高中2027屆高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：150分注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題58分）一、單選題單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)（為虛數(shù)單位），則（）A B. C. D.22.已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半徑為18，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.3.如圖，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，其中，.則以下正確的有（

）A. B.等腰直角三角形C. D.的面積為4.在中，已知，，，則（）A. B. C.3 D.5.要得到函數(shù)的圖象，只需的圖象A.向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）B.向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）C.向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）D.向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）6.如圖，在三棱柱中，，，底面，則異面直線與所成角的余弦值是（）A B. C. D.7.已知，，且，，則（）A.1 B.0 C.-1 D.8.如圖所示，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差為A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在平行四邊形中，點(diǎn)，分別是邊和的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，則有（）A. B.C. D.10.三角形的三邊所對(duì)的角為，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.若面積為，則周長(zhǎng)的最小值為12C.當(dāng)，時(shí)， D.若，，則面積為11.如圖直角梯形中，，，，E為中點(diǎn).以為折痕把折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且則（）A.平面平面 B.C.二面角的大小為 D.與平面所成角的正切值為第II卷（非選擇題92分）三、填空題本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，，且，則與的夾角為___________.13.如圖，貨輪在海上以40海里時(shí)的速度由向航行，航行的方向角，處有燈塔，其方位角，在處觀察燈塔的方位角，由到需航行0.5小時(shí)，則到燈塔的距離是___________海里.14.如圖，已知邊長(zhǎng)為4的菱形中，.將菱形沿對(duì)角線折起得到三棱錐，二面角的大小為60°，則直線與平面所成角的正弦值為______.四、解答題本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.15.已知向量與的夾角，且，．（1）求，；（2）求在方向上投影向量的模．16.在中，的對(duì)邊分別為.（1）若，求的值；（2）若的平分線交于點(diǎn)，求長(zhǎng)度的取值范圍.17.如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，平面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積.18.已知函數(shù)（其中，，，）的部分圖象如圖所示，是圖象的最高點(diǎn)，為圖象與軸的交點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，，.（1）求的大小；（2）求函數(shù)的解析式；（3）若，，求的值.19.欲在某濕地公園內(nèi)搭建一個(gè)形狀為平面凸四邊形的休閑、觀光及科普宣教的平臺(tái)，如圖所示，其中（單位：百米），（單位：百米），為正三角形.建成后將作為人們旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域，將作為科普宣教文化的區(qū)域.（1）當(dāng)時(shí)，求旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域的面積；（2）求旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域面積的最大值.

2027屆高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：150分注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題58分）一、單選題單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以；故選：B2.已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半徑為18，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出圓錐的底面半徑和高即可求出圓錐的體積.【詳解】解：由題意在圓錐中，設(shè)底面半徑為圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半徑為18，圓心角為120°的扇形∴解得：由幾何知識(shí)得圓錐的高：∴圓錐體積：故選：C.3.如圖，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，其中，.則以下正確的有（

）A. B.是等腰直角三角形C. D.的面積為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)直觀圖畫出原圖，逐一分析，計(jì)算判斷，即得正確答案.【詳解】畫出原圖如下圖所示，根據(jù)斜二測(cè)畫法的知識(shí)可知：，則,即三角形是等腰直角三角形，面積為.故A,B,C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.4.在中，已知，，，則（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩角和差的正弦公式計(jì)算，再結(jié)合正弦定理即可.【詳解】由題意可知，，又，則由正弦定理可得，.故選：D5.要得到函數(shù)的圖象，只需的圖象A.向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）B.向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）C.向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）D.向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）【答案】D【解析】【分析】先將函數(shù)的解析式化為，再利用三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律得出正確選項(xiàng).【詳解】，因此，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），可得到函數(shù)的圖象，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，處理這類問題的要注意以下兩個(gè)問題：（1）左右平移指的是在自變量上變化了多少；（2）變換時(shí)兩個(gè)函數(shù)的名稱要保持一致.6.如圖，在三棱柱中，，，底面，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，將異面直線與所成的角轉(zhuǎn)化為或其補(bǔ)角，即可求解．【詳解】在三棱柱中，，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，連接，底面，平面，，又，，平面，又平面，，由，可得，，，又，，在△中，，即異面直線與所成角的余弦值為．故選：A．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．7.已知，，且，，則（）A.1 B.0 C.-1 D.【答案】B【解析】【分析】判斷，的范圍，求得，，將化為，利用兩角差的余弦公式即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?所以，,因，所以,因?yàn)?，所?所以,故選：B8.如圖所示，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為、高分別為，得，即，得到圓柱的側(cè)面積，求得圓柱的側(cè)面積最大值，進(jìn)而可求解球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差，得到答案．【詳解】由題意知，球的半徑，所以球的表面積為.設(shè)圓柱的底面半徑為、高分別為，則，得，即，所以圓柱的側(cè)面積，所以當(dāng)，即時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為.此時(shí)球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的表面積和圓柱的側(cè)面積公式的應(yīng)用，以及組合體的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)組合體的性質(zhì)，得到圓柱的底面半徑和高的關(guān)系，求得圓柱的側(cè)面積的表示是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在平行四邊形中，點(diǎn)，分別是邊和的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，則有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】對(duì)A，B，由向量的加法法則即可判斷；對(duì)C，D，由向量的加法法則以及三角形重心的性質(zhì)即可判斷.【詳解】解：如圖所示：對(duì)A，，又，即，故A正確；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)為與的交點(diǎn)，由題意可得：是的重心，故，，故C正確；對(duì)D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.三角形三邊所對(duì)的角為，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.若面積為，則周長(zhǎng)的最小值為12C.當(dāng)，時(shí)， D.若，，則面積為【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得，選項(xiàng)A：利用正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理即可求角的大?。贿x項(xiàng)B：由三角形面積和角可得，利用均值不等式求周長(zhǎng)最小值即可；選項(xiàng)C：利用邊角互化后得到的解即可；選項(xiàng)D：利用正弦定理求，然后后面積公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，由題意可得，整理得，由正弦定理邊角互化得，又由余弦定理得，所以，A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以，B正確；由當(dāng)，時(shí)，，解得，C錯(cuò)誤；由，得，由正弦定理得解得，又因?yàn)椋?，D正確；故選：ABD.11.如圖直角梯形中，，，，E為中點(diǎn).以為折痕把折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且則（）A.平面平面 B.C.二面角的大小為 D.與平面所成角的正切值為【答案】ABC【解析】【分析】先證明平面，得，再結(jié)合，即證平面，所以平面平面，判斷A正確；利用投影判斷，判斷B正確；先判斷即為二面角的平面角，再等腰直角三角形判斷，即C正確；先判斷為與平面所成的角，再求正切，即知D錯(cuò)誤.【詳解】由題易知，又，，所以，所以，又，，所以平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；在平面內(nèi)的射影為，又為正方形，所以，，故B正確；易知即為二面角的平面角，又，，所以，故C正確；易知為與平面所成的角，又，，，所以，故D錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】求空間中直線與平面所成角常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點(diǎn)到面的距離，距離與斜線長(zhǎng)的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對(duì)值，即是線面成角的正弦值.本題使用了定義法.第II卷（非選擇題92分）三、填空題本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，，且，則與的夾角為___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，且，所以，即，即，所以，設(shè)與的夾角為，所以，因?yàn)?，所以；故答案為?3.如圖，貨輪在海上以40海里時(shí)的速度由向航行，航行的方向角，處有燈塔，其方位角，在處觀察燈塔的方位角，由到需航行0.5小時(shí)，則到燈塔的距離是___________海里.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件求解出，的大小，然后根據(jù)正弦定理求解出，則到燈塔的距離可求.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，所以，所以，又因?yàn)楹＠?，且，所以海里，故答案為?14.如圖，已知邊長(zhǎng)為4的菱形中，.將菱形沿對(duì)角線折起得到三棱錐，二面角的大小為60°，則直線與平面所成角的正弦值為______.【答案】【解析】【分析】由，可算得點(diǎn)C到平面的距離為d，又由直線BC與平面所成角的正弦值為，即可得到本題答案.【詳解】∵四邊形是菱形，，，為二面角的平面角，，是等邊三角形.取的中點(diǎn)，連接，則.，平面，又平面，平面，平面，，，的邊上的高，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.，，∴直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何與折疊圖形的綜合問題，其中涉及到直線與平面所成角的求解.四、解答題本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.15.已知向量與的夾角，且，．（1）求，；（2）求在方向上的投影向量的模．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算公式即可求解，向量的模，結(jié)合數(shù)量積公式，可解得；(2)利用向量投影公式計(jì)算模.【小問1詳解】由已知，得．；【小問2詳解】，在方向上的投影向量的模為．16.在中，的對(duì)邊分別為.（1）若，求值；（2）若的平分線交于點(diǎn)，求長(zhǎng)度的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得結(jié)果；（2）設(shè)，把表示成兩個(gè)三角形的面積和，表示出，再求其取值范圍；【小問1詳解】已知，由正弦定理可得，，，，，即，.【小問2詳解】由（1）知，由，則.設(shè)，，，，.17.如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，平面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先求證以及，再利用線面垂直的判定定理即可；（2）取線段的中點(diǎn)，求證四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可；（3）求出各邊長(zhǎng)，利用棱錐的體積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】連接，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因四邊形為菱形且，則為正三角形，又為的中點(diǎn)，則，又，平面，則平面.【小問2詳解】設(shè)為線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，則，且，又且，為的中點(diǎn)，則且，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面；【小問3詳解】∵，為正三角形，∴，∵，為的中點(diǎn)，∴，∴，故三棱錐的體積為.18.已知函數(shù)（其中，，，）