七年級上冊數(shù)學(xué)知識點歸納第一章有理數(shù)一、正數(shù)與負(fù)數(shù)1.概念大于0的數(shù)叫做正數(shù)，正數(shù)前面可以加“+”號（可省略）；小于0的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)前面必須加“-”號；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界，具有實際意義（如表示“沒有”“基準(zhǔn)數(shù)”等）。提示：負(fù)數(shù)的引入是為了表示具有相反意義的量，如“上升5米”與“下降3米”可分別表示為+5米和-3米，描述時需先明確基準(zhǔn)和相反意義的方向。2.應(yīng)用用正負(fù)數(shù)表示實際問題中具有相反意義的量，如溫度（零上為正、零下為負(fù)）、海拔（高于海平面為正、低于為負(fù)）、收入與支出（收入為正、支出為負(fù)）等。二、有理數(shù)的分類1.按定義分類整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)的統(tǒng)稱，如1、0、-2等。分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，如1/2、-3/4、0.6（有限小數(shù)）、0.333…（無限循環(huán)小數(shù)）等（注意：無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)，如π）。2.按性質(zhì)分類正有理數(shù)：正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)，如3、5/7。0：單獨一類。負(fù)有理數(shù)：負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，如-1、-2/3。三、數(shù)軸1.定義規(guī)定了原點（0的位置）、正方向（通常向右）和單位長度的直線叫做數(shù)軸。數(shù)軸的三要素缺一不可，是數(shù)形結(jié)合的重要工具。2.數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示，但數(shù)軸上的點不一定都表示有理數(shù)（還可表示無理數(shù)，如π對應(yīng)的點）。數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大。四、相反數(shù)1.概念只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。例如，2與-2互為相反數(shù)，a的相反數(shù)是-a。2.幾何意義在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，且到原點的距離相等。3.性質(zhì)互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0，即a+(-a)=0；若a+b=0，則a與b互為相反數(shù)。五、絕對值1.定義數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。絕對值是“距離”，所以一定是非負(fù)數(shù)（≥0）。2.絕對值的計算法則當(dāng)a是正數(shù)時，|a|=a；當(dāng)a是0時，|a|=0；當(dāng)a是負(fù)數(shù)時，|a|=-a（此處“-a”表示a的相反數(shù)，實際為正數(shù)）。易錯點：|a|=3時，a的值為3或-3，注意絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，且互為相反數(shù)。3.性質(zhì)①絕對值具有非負(fù)性：|a|≥0；②若|a|+|b|=0，則a=0且b=0（幾個非負(fù)數(shù)的和為0，每個非負(fù)數(shù)都為0）；③兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，如-5與-3，|-5|=5＞|-3|=3，所以-5＜-3。六、有理數(shù)的加減法1.有理數(shù)的加法（1）法則同號兩數(shù)相加：取相同的符號，并把絕對值相加，如(+3)+(+2)=5，(-3)+(-2)=-5；異號兩數(shù)相加：取絕對值較大的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，如(+3)+(-2)=1，(-3)+(+2)=-1；一個數(shù)與0相加：仍得這個數(shù)，如0+(-5)=-5。（2）運算律加法交換律：a+b=b+a；加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)（可用于簡便計算，如將互為相反數(shù)的數(shù)、和為整數(shù)的數(shù)結(jié)合）。2.有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，即a-b=a+(-b)。通過此法則可將減法轉(zhuǎn)化為加法計算，如3-5=3+(-5)=-2，(-3)-(-2)=(-3)+2=-1。七、有理數(shù)的乘除法1.有理數(shù)的乘法（1）法則同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；任何數(shù)與0相乘都得0，如(-3)×0=0；幾個不為0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定：負(fù)因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積為正；負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負(fù)，如(-1)×(-2)×(-3)=-6（3個負(fù)因數(shù)，積為負(fù)）。（2）運算律乘法交換律：a×b=b×a；乘法結(jié)合律：(a×b)×c=a×(b×c)；乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c（常用于簡便計算，如(-2)×(3+1/2)=(-2)×3+(-2)×(1/2)=-6-1=-7）。2.有理數(shù)的除法（1）法則除以一個不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即a÷b=a×(1/b)（b≠0）；同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除；0除以任何不為0的數(shù)都得0，0不能作除數(shù)。（2）混合運算乘除混合運算時，從左到右依次進行，或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為乘法后再計算，如(-8)÷2×(-3)=(-4)×(-3)=12或(-8)×(1/2)×(-3)=12。八、有理數(shù)的乘方1.概念求n個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。記作a?，其中a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，讀作“a的n次冪”或“a的n次方”，如(-2)3表示3個-2相乘，底數(shù)是-2，指數(shù)是3，結(jié)果為-8。2.運算法則正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，如23=8；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，偶次冪是正數(shù)，如(-2)3=-8，(-2)?=16；0的任何正整數(shù)次冪都是0，如0?=0；1的任何次冪都是1，-1的奇次冪是-1，偶次冪是1。易錯點：區(qū)分(-a)?與-a?，如(-2)2=4，而-22=-4（后者表示22的相反數(shù)）。九、有理數(shù)的混合運算運算順序：①先算乘方，再算乘除，最后算加減；②同級運算（只有乘除或只有加減），從左到右依次進行；③有括號的先算括號里面的（先小括號，再中括號，最后大括號）。例如：18-32×(-2)+4÷(-1/2)=18-9×(-2)+4×(-2)=18+18-8=28。十、科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)1.科學(xué)記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成a×10?的形式（其中1≤a＜10，n是正整數(shù)），這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法。例如，1300000=1.3×10?（n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1，1300000是7位整數(shù)，n=6）。2.近似數(shù)實際問題中，測量或計算得到的與準(zhǔn)確值接近的數(shù)叫做近似數(shù)。近似數(shù)的精確度表示其與準(zhǔn)確值的接近程度，如“3.14”精確到百分位（0.01），“2.5×103”精確到百位。取近似數(shù)的方法通常是“四舍五入法”，如將3.14159精確到十分位是3.1，精確到千分位是3.142。第二章整式的加減一、整式的相關(guān)概念1.單項式（1）定義由數(shù)或字母的積組成的代數(shù)式叫做單項式，單獨的一個數(shù)或一個字母也叫做單項式，如3、a、-5xy等。（2）系數(shù)與次數(shù)系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，如-5xy的系數(shù)是-5；單獨一個字母的系數(shù)是1（如a的系數(shù)是1），單獨一個數(shù)的系數(shù)是它本身（如-3的系數(shù)是-3）。次數(shù)：單項式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)，如-5xy中x的指數(shù)是1，y的指數(shù)是1，次數(shù)為1+1=2；32x2y的次數(shù)是2+1=3（注意：數(shù)字的指數(shù)不算，只算字母的指數(shù)）。2.多項式（1）定義幾個單項式的和叫做多項式，如2x+3y、x2-2x+1等。多項式中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項，如x2-2x+1的項是x2、-2x、1，常數(shù)項是1。（2）次數(shù)多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做多項式的次數(shù)，如x2-2x+1中次數(shù)最高的項是x2（次數(shù)為2），所以該多項式是二次三項式；3x3y+2xy-1是四次三項式（3x3y的次數(shù)是3+1=4）。3.整式單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。注意：含有分母且分母中含字母的代數(shù)式不是整式，如1/x、(x+1)/y等。二、同類項1.概念所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。幾個常數(shù)項也是同類項，如2x2y與-5x2y是同類項（字母x、y相同，x的指數(shù)都是2，y的指數(shù)都是1）；3與-7是同類項。2.合并同類項（1）法則合并同類項時，把同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變，如2x2y+(-5x2y)=(2-5)x2y=-3x2y；3x+2x-5x=(3+2-5)x=0。（2）步驟①找出同類項；②利用加法交換律和結(jié)合律將同類項結(jié)合；③合并同類項；④整理結(jié)果（按字母順序排列，一般降冪排列）。三、去括號法則括號前是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉后，原括號里各項的符號都不改變，如a+(b-c)=a+b-c；括號前是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉后，原括號里各項的符號都要改變，如a-(b-c)=a-b+c。提示：去括號時，若括號前有數(shù)字因數(shù)，需先利用乘法分配律將數(shù)字因數(shù)乘到括號內(nèi)，再去括號，如2(a-2b)-3(2a+b)=2a-4b-6a-3b=-4a-7b。四、整式的加減整式的加減實質(zhì)就是去括號和合并同類項。一般步驟：①根據(jù)題意列出代數(shù)式；②去括號（注意符號變化）；③合并同類項（將結(jié)果化為最簡形式）。例如，求2(x2+3x)與(x2-2x+1)的差：2(x2+3x)-(x2-2x+1)=2x2+6x-x2+2x-1=x2+8x-1。第三章一元一次方程一、方程的相關(guān)概念1.方程含有未知數(shù)的等式叫做方程，如2x+3=7、x-5=2x等。方程必須滿足兩個條件：一是等式，二是含有未知數(shù)。2.一元一次方程只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1（次），等號兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。其標(biāo)準(zhǔn)形式為ax+b=0（其中a、b為常數(shù)，且a≠0），如3x-4=0、(x-2)/3=1等。3.方程的解與解方程方程的解：使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如x=2是2x+3=7的解（代入得2×2+3=7，等式成立）。解方程：求方程的解的過程叫做解方程。二、等式的性質(zhì)1.性質(zhì)1等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。即如果a=b，那么a±c=b±c。例如，由x+5=8，兩邊減5得x=3。2.性質(zhì)2等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。即如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么a/c=b/c。例如，由3x=12，兩邊除以3得x=4；由x/2=5，兩邊乘2得x=10。易錯點：等式兩邊除以的數(shù)不能為0，否則無意義。三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟（根據(jù)等式性質(zhì)，逐步將方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式）：去分母：在方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)，消去分母（注意：不含分母的項也要乘，分子是多項式時要加括號）。例如，解方程(x-1)/2-(2x+3)/3=1，兩邊乘6得3(x-1)-2(2x+3)=6。去括號：根據(jù)去括號法則去掉方程中的括號，注意符號和數(shù)字因數(shù)的分配。承接上例，去括號得3x-3-4x-6=6。移項：把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，常數(shù)項移到另一邊，移項要變號（“過橋變號”）。承接上例，移項得3x-4x=6+3+6。合并同類項：將同類項合并，化為ax=b（a≠0）的形式。承接上例，合并同類項得-x=15。系數(shù)化為1：在方程兩邊除以未知數(shù)的系數(shù)a，得x=b/a。承接上例，兩邊除以-1得x=-15。注意：具體解題時，步驟可根據(jù)方程的特點靈活調(diào)整，如方程無分母則省去“去分母”步驟。四、一元一次方程的應(yīng)用1.列方程解應(yīng)用題的一般步驟審：審題，明確題目中的已知量、未知量及數(shù)量關(guān)系（找出等量關(guān)系是關(guān)鍵）；設(shè)：設(shè)未知數(shù)（直接設(shè)未知數(shù)或間接設(shè)未知數(shù)，一般設(shè)“誰”就設(shè)誰為x，復(fù)雜問題可設(shè)中間量）；列：根據(jù)等量關(guān)系列出一元一次方程；解：解所列方程，求出未知數(shù)的值；驗：檢驗所求值是否符合方程和實際意義（如人數(shù)、長度不能為負(fù)數(shù)）；答：寫出答案（帶單位）。2.常見應(yīng)用題類型及等量關(guān)系類型核心等量關(guān)系示例行程問題路程=速度×?xí)r間；相遇問題：路程和=速度和×?xí)r間；追及問題：路程差=速度差×?xí)r間甲、乙兩地相距360km，客車每小時行60km，貨車每小時行40km，兩車同時從兩地相向而行，幾小時后相遇？設(shè)x小時后相遇，列方程：(60+40)x=360工程問題工作總量=工作效率×工作時間；各部分工作量之和=總工作量（通常設(shè)總工作量為1）一項工程，甲單獨做需10天，乙單獨做需15天，兩人合作幾天完成？設(shè)x天完成，列方程：(1/10+1/15)x=1利潤問題利潤=售價-進價；利潤率=利潤/進價×100%；售價=進價×(1+利潤率)一件商品進價200元，按利潤率20%定價銷售，售價多少？設(shè)售價為x元，列方程：(x-200)/200=20%和差倍分問題根據(jù)“和、差、倍、分”關(guān)系直接列方程，如A是B的n倍：A=nB；A比B多m：A=B+m某數(shù)的3倍比它的2倍多5，求這個數(shù)。設(shè)這個數(shù)為x，列方程：3x-2x=5數(shù)字問題兩位數(shù)=十位數(shù)字×10+個位數(shù)字；三位數(shù)=百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個位數(shù)字一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字大2，個位數(shù)字與十位數(shù)字的和是8，求這個數(shù)。設(shè)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為x+2，列方程：x+(x+2)=8第四章幾何圖形初步一、幾何圖形1.立體圖形與平面圖形立體圖形：各部分不都在同一平面內(nèi)的圖形，如正方體、長方體、圓柱、圓錐、球等（可簡稱“立體”）。平面圖形：各部分都在同一平面內(nèi)的圖形，如線段、角、三角形、長方形、圓等。2.立體圖形的展開圖有些立體圖形是由幾個平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形叫做該立體圖形的展開圖。例如，正方體的展開圖有11種基本形式（“一四一”型、“三三”型、“二二二”型），圓錐的展開圖是一個扇形和一個圓，圓柱的展開圖是兩個圓和一個長方形。3.點、線、面、體幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點是構(gòu)成圖形的基本元素。①點動成線，線動成面，面動成體；②面與面相交得到線，線與線相交得到點。例如，筆尖（點）在紙上移動形成線，汽車雨刷（線）擺動形成面，直角三角形繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)形成圓錐（體）。二、直線、射線、線段1.直線（1）概念與表示直線沒有端點，可以向兩邊無限延伸，無法度量長度。表示方法：①用直線上兩個點的大寫字母表示，如直線AB（或直線BA）；②用一個小寫字母表示，如直線l。（2）性質(zhì)經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線，即“兩點確定一條直線”。應(yīng)用：如釘木條時釘兩個釘子固定，建筑工人砌墻時用重垂線確定直線。2.射線射線有一個端點，只能向一個方向無限延伸，無法度量長度。表示方法：用端點和射線上另一個點的大寫字母表示，端點字母在前，如射線OA（不能表示為射線AO，因為方向不同）。3.線段（1）概念與表示線段有兩個端點，不能延伸，可以度量長度。表示方法：①用線段兩端點的大寫字母表示，如線段AB（或線段BA）；②用一個小寫字母表示，如線段a。（2）性質(zhì)兩點之間，線段最短。連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點間的距離。應(yīng)用：如從A地到B地走直路最近，就是利用此性質(zhì)。（3）線段的中點把一條線段分成兩條相等線段的點叫做線段的中點。若點M是線段AB的中點，則AM=MB=1/2AB，或AB=2AM=2MB。例如，AB=6cm，M是AB中點，則AM=3cm。（4）線段的比較與計算比較線段長短的方法：①度量法（用刻度尺量長度比較）；②疊合法（將線段重合，看端點位置）。線段的計算：根據(jù)線段的和、差、倍、分關(guān)系計算，如AB=AC+CB，或AC=AB-CB。三、角1.角的概念與表示（1）概念有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，兩條射線叫做角的邊。角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形。（2）表示方法用三個大寫字母表示（頂點字母在中間），如∠AOB（O為頂點）；用頂點字母表示（頂點唯一時），如∠O；用數(shù)字表示，如∠1；用希臘字母表示，如∠α。2.角的度量角的度量單位是度、分、秒，它們之間的換算關(guān)系是：1°=60′，1′=60″（六十進制）。例如，1.5°=1°30′，30′=0.5°，2°15′=2.25°。測量角的工具是量角器。3.角的比較與運算（1）角的比較方法：①度量法（用量角器量出度數(shù)比較，度數(shù)大的角大）；②疊合法（將兩個角的頂點和一條邊重合，看另一條邊的位置，另一條邊在外面的角大）。（2）角的和差若∠AOC=∠AOB+∠BOC，則∠AOB=∠AOC-∠BOC，∠BOC=∠AOC-∠AOB。例如，∠AOC=120°，∠AOB=50°，則∠BOC=120°-50°=70°。（3）角的平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線。若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠COB=1/2∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠COB。例如，∠AOB=80°，OC平分∠AOB，則∠AOC=40°。4.余角與補角（1）余角如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角。性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等。例如，∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，則∠2=∠3。（2）補角如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角。性質(zhì)：同角（或等角）的補角相等。例如，∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=180°，則∠β=∠γ。提示：一個