第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年福建省廈門市思明區(qū)湖濱中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.中國(guó)“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國(guó)教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄，下列四幅作品分別代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.2.拋物線y=2（x-1）2-6對(duì)稱軸是（）A.直線x=-6 B.直線x=-1 C.直線 D.直線x=13.如圖，△ABC內(nèi)接于圓，點(diǎn)D在上，連接BD，CD.下列角中，與∠ABD相等的是（）A.∠DBC

B.∠BDC

C.∠ACD

D.∠ACB

4.如圖，在⊙O中半徑OC與弦AB垂直于點(diǎn)D，且AB=16，OC=10，則CD的長(zhǎng)是（）A.2

B.3

C.4

D.5

5.如圖所示，將一個(gè)含30°角的直角三角板ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B，A，C'在同一條直線上，則三角板ABC旋轉(zhuǎn)的角度是（）

A.60° B.90° C.120° D.150°6.若要得到拋物線y=（x-2）2+3，可以將拋物線y=x2（）A.先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

B.先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

C.先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

D.先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度7.若關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為（）A.-16 B.-4 C.4 D.168.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，其中點(diǎn)A'與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)B'恰好落在AB邊上，則點(diǎn)A到直線A'C的距離等于（）

A.3 B.2 C.3 D.29.被譽(yù)為“蘊(yùn)藏著人類上古文明密碼的哲學(xué)之書”的古老苗繡，在貴州文旅市場(chǎng)和時(shí)尚行業(yè)中，展現(xiàn)出匠人匠心的“針”功夫.小星奶奶手繡了一幅長(zhǎng)為38cm、寬為23cm的矩形繡品（如圖所示），為了完好保存繡品，計(jì)劃將其塑封，塑封時(shí)需四周留白（上下左右寬度相同），且塑封后整幅圖的面積為1000cm2，設(shè)留白部分的寬度為xcm,則可列方程為（）A.（38-2x）（23-2x）=874 B.（38+2x）（23+2x）=874

C.（38-2x）（23-2x）=1000 D.（38+2x）（23+2x）=100010.已知函數(shù)y=ax2-（a+1）x+1，下列說(shuō)法正確的序號(hào)是（）

①若該函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a=1；

②方程ax2-（a+1）x+1=0至少有一個(gè)整數(shù)根；

③若，則y=ax2-（a+1）x+1的函數(shù)值都是負(fù)數(shù)；

④不存在實(shí)數(shù)a,使得ax2-（a+1）x+1≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立.A.①② B.②④ C.①②④ D.①②③④二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（-2，1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是

．12.如圖是拋物線y=ax2+bx+c的示意圖，則a的值可以是

（填寫符合條件一個(gè)數(shù)值即可）.

13.已知x=1是方程x2-mx+3=0的解，則m的值為

.14.如圖，⊙O是地球的示意圖，其中AB表示赤道，CD，EF分別表示北回歸線和南回歸線，∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午時(shí)，太陽(yáng)光線GD所在直線經(jīng)過(guò)地心O，此時(shí)點(diǎn)F處的太陽(yáng)高度角∠IFH（即平行于GD的光線HF與⊙O的切線FI所成的銳角）的大小為

°.

15.《彈簧探險(xiǎn)家的能量之旅》

假設(shè)你是一名年輕的物理探險(xiǎn)家，正在實(shí)驗(yàn)室中研究一個(gè)神奇的彈簧系統(tǒng).想象一下：光滑如鏡的水平實(shí)驗(yàn)臺(tái)上（忽略所有摩擦和空氣阻力），一個(gè)銀色的金屬小球（質(zhì)量m=1.35kg）連接著一根輕質(zhì)彈簧，彈簧的勁度系數(shù)k=180N/m——這意味著一拉一壓之間，它就蘊(yùn)含著可觀的能量!你小心翼翼地用機(jī)械臂將彈簧壓縮了x0=-0.1m（負(fù)號(hào)表示壓縮方向），然后從靜止?fàn)顟B(tài)（初速度v0=0）釋放小球.瞬間，彈簧“嗡”的一聲舒展開，小球開始舞蹈般地滑動(dòng).整個(gè)系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒，遵循公式：

其中：

E是總機(jī)械能（單位：焦耳，J），在無(wú)能量損失的情況下保持不變.

是小球的動(dòng)能（速度v的單位：米/秒，m/s）.

是彈簧的彈性勢(shì)能（位移x的單位：米，m；以彈簧原長(zhǎng)位置為參考點(diǎn)x=0）.

請(qǐng)閱讀以上內(nèi)容回答問(wèn)題：

當(dāng)x=0.05m時(shí)，你要像偵探一樣，根據(jù)總機(jī)械能守恒公式，追蹤能量如何在動(dòng)能和勢(shì)能之間流轉(zhuǎn)，記住，能量守恒是你的指南針——系統(tǒng)總能量E終恒定，但形式會(huì)變！那么，此時(shí)小球的速度v為

.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，對(duì)于⊙O的弦AB和不在直線AB上的點(diǎn)C，給出如下定義：若點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C′在⊙O上或其內(nèi)部，且∠ACB=α，則稱點(diǎn)C是弦AB的“α可及點(diǎn)”.已知P是直線上一點(diǎn)，且存在⊙O的弦MN，使得點(diǎn)P是弦MN的“60°可及點(diǎn)”.記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,則t的取值范圍是

.三、計(jì)算題：本大題共1小題，共8分。17.解方程：x2+2x-1=0．四、解答題：本題共8小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。18.(本小題8分)

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，連接BE，DF．證明：BE=DF．

19.(本小題8分)

先化簡(jiǎn)，再求值：，其中.20.(本小題8分)

某市為減少汽車尾氣污染，改善空氣質(zhì)量，鼓勵(lì)市民選擇新能源汽車作為出行的交通工具，并大力推進(jìn)新能源汽車充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè).據(jù)統(tǒng)計(jì)，該市2020年新建100座充電站，2022年新建169座.求該市這兩年新建充電站的數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率.21.(本小題8分)

如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在拋物線y=-x2+4上，點(diǎn)D在y軸上.若A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m,n（m＞n＞0），求m-n的值.22.(本小題10分)

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，連接CD，∠BCD=∠A，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交CD于點(diǎn)E.

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)，且BE=3，求⊙O的半徑.23.(本小題10分)

閱讀與思考

下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù).關(guān)于“等邊半正多邊形”的研究報(bào)告

博學(xué)小組

研究對(duì)象：等邊半正多邊形

研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念-性質(zhì)-判定”的路徑，由一般到特殊進(jìn)行研究.

研究方法：觀察（測(cè)量、實(shí)驗(yàn)）-猜想-推理證明

研究?jī)?nèi)容：

【一般概念】對(duì)于一個(gè)凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我們稱這個(gè)凸多邊形為等邊半正多邊形.如圖1，我們學(xué)習(xí)過(guò)的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形…

【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對(duì)等邊半正六邊形研究如下：

概念理解：如圖2，如果六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形，那么AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠C=∠E，∠B=∠D=∠F，且∠A≠∠B.

性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：

內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和為▲°.

對(duì)角線：…

任務(wù)：

（1）直接寫出研究報(bào)告中“▲”處空缺的內(nèi)容：______.

（2）如圖3，六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形.連接對(duì)角線AD，猜想∠BAD與∠FAD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）如圖4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圓.請(qǐng)?jiān)趫D4中作一個(gè)等邊半正六邊形ABCDEF（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）.

24.(本小題12分)

綜合與探究

【問(wèn)題情境】

如圖1，在矩形ABCD中，，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E.使得CE=2CD.點(diǎn)F是AD邊上一點(diǎn)，且DF=DC，連接EF，CF.

【操作發(fā)現(xiàn)】

（1）若EF=2，則CD的長(zhǎng)為______，AF的長(zhǎng)為______.

【拓展探索】

（2）如圖2，將Rt△EFC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，使點(diǎn)F在矩形內(nèi)部.若EF，F(xiàn)G分別與AD，DC相交于點(diǎn)M，N.

①請(qǐng)判斷DM和DN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

②如圖3，探索Rt△EFG旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若點(diǎn)F恰好在矩形對(duì)角線AC的中點(diǎn)上.求出圖3中所有與圖1中AF相等的線段.

25.(本小題14分)

某施工隊(duì)在屋頂上安裝太陽(yáng)能光伏板，發(fā)現(xiàn)光伏板的輸出功率P（瓦）受太陽(yáng)光入射角影響，與傾斜角θ（°）有關(guān).實(shí)驗(yàn)測(cè)定中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)傾斜角為0°時(shí)功率為100W；當(dāng)傾斜角為20°時(shí)功率為240W；當(dāng)傾斜角為40°時(shí)功率為260W.假設(shè)在某范圍內(nèi)（θ在0°至60°之間）可以近似將P視為關(guān)于θ的二次函數(shù).

（1）請(qǐng)估算出這條二次函數(shù)的解析式.

（2）某地冬季太陽(yáng)高度較低，而夏季太陽(yáng)高度較高.當(dāng)?shù)匚蓓敯惭b太陽(yáng)能板，若只固定一次傾斜角，則應(yīng)兼顧全年輸出.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，最佳屋頂傾斜角常取該地緯度±10°之間.此外，當(dāng)傾斜角不當(dāng)時(shí)，反射、陰影和面塵積累都會(huì)使功率進(jìn)一步下降.假設(shè)一年中晴天的總時(shí)長(zhǎng)是某個(gè)固定的常數(shù)t（s），按照秋冬季、春夏季時(shí)間的長(zhǎng)短比例分布在秋冬季、春夏季兩季.

①已知該地春夏季時(shí)間t1（s）、秋冬季時(shí)間t2（s）之比k=2.實(shí)驗(yàn)測(cè)定發(fā)現(xiàn)秋冬季太陽(yáng)能板的功率相較于（1）中的P下降至，春夏季太陽(yáng)能板的功率相較于（1）中的P上升至.若要使年總功W=P2t1+P1t2最大，求該地?cái)[放太陽(yáng)能板的最佳傾斜角θm.（其中：W=Pt）

②根據(jù)地理學(xué)相關(guān)知識(shí)，一年中春夏季時(shí)間t1、秋冬季時(shí)間t2之比k隨緯度f(wàn)（°）增高而減小，且變化規(guī)律呈一條直線，在北極點(diǎn)（f=90）處k=0.已知①中該地的緯度是30°.經(jīng)過(guò)一番計(jì)算，發(fā)現(xiàn)最佳傾斜角θm和k存在關(guān)系.為了使年總功W=P1t1+P2t2盡可能大，試判斷“最佳屋頂傾斜角常取該地緯度±10°之間的角度”對(duì)于緯度多少的區(qū)域是適用的.（僅考慮0＜f＜60的地區(qū)）

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】B

11.【答案】（2，-1）

12.【答案】2（答案不唯一）

13.【答案】4

14.【答案】43

15.【答案】1m/s.

16.【答案】或

17.【答案】解：方程變形得：x2+2x=1，

配方得：x2+2x+1=2，即（x+1）2=2，

開方得：x+1=±，

解得：x1=-1+，x2=-1-．

18.【答案】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠BAC=∠DCA，

∵E，F(xiàn)是對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，

∴AE=CF，

在△ABE與△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴BE=DF．

19.【答案】；．

20.【答案】解：設(shè)新建充電站的數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x,

根據(jù)題意得：100（1+x）2=169．

解得：x1=0.3，x2=-2.3（舍去）．

答：該市這兩年新建充電站的數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為0.3．

21.【答案】1．

22.【答案】見解析；

⊙O半徑為．

23.【答案】240；

∠BAD=∠FAD，理由見解析；

見解析．

24.【答案】;-

（2）①DM=DN，

∵四邊形ABCD為矩形，如圖，