20/20第01講集合及其運(yùn)算目錄TOC\o"1-2"\h\u01?？碱}型過關(guān)練題型01元素與集合的關(guān)系題型02集合中元素的特征題型03集合間的基本關(guān)系題型04（真）子集的個(gè)數(shù)題型05數(shù)集的運(yùn)算題型06點(diǎn)集的運(yùn)算題型07Venn圖的運(yùn)算題型08利用集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)題型09容斥原理題型10集合的新定義問題02核心突破提升練03真題溯源通關(guān)練01元素與集合的關(guān)系1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題可知，故A正確，BC錯(cuò)誤，集合不是集合的子集，故D錯(cuò)誤.故選：A.2．若，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時(shí)，則，符合題意，當(dāng)時(shí)，有或，已知當(dāng)時(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)，則，符合題意，故的取值集合為.故選：C.3．集合，若且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榍?，所以且，解?故選：B.02集合中元素的特征4．設(shè)集合，，則集合元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，y＝1；當(dāng)時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝3時(shí)，．故集合B共有3個(gè)元素．故選：B.5．（多選）已知集合A中三個(gè)元素分別為2，，，若，則x的取值可能為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】AD【詳解】由，則或，若，解得或，代回集合檢驗(yàn)可得合題意，（舍去），若，解得，代回集合檢驗(yàn)可得合題意，（舍去），綜上，的可能取值為或.故選：AD.6．已知集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的所有可能值的乘積為（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】D【詳解】若，則，符合題意；若，則變?yōu)?，顯然不成立，則，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，則，解得（舍）或，所以的所有可能值為，故所有可能值的乘積為．故選：D7．已知集合中有且僅有個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值為．【答案】或【詳解】由題意可知，有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則或，解得或故答案為：或03集合間的基本關(guān)系8．下列六個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【詳解】依據(jù)子集定義，任何集合都是自身的子集，①正確；集合中的元素具有無序性，②正確；集合中有一個(gè)元素0，不是空集，③正確；0是集合中的元素，所以，④正確；空集和集合兩個(gè)集合的關(guān)系為包含關(guān)系不是屬于關(guān)系，⑤錯(cuò)誤；由于空集是任意集合的子集，則，⑥正確；故選：C9．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，因?yàn)?，則.故選：A.10．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，即，解得或，所以或，因?yàn)榍?，若時(shí)，若時(shí)，不符合題意，所以，則或，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D11．已知集合，則滿足的有序集組的個(gè)數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】729【詳解】設(shè)集合B的元素個(gè)數(shù)為，則集合B的個(gè)數(shù)有個(gè)，可知集合B的子集有個(gè)，即集合A的個(gè)數(shù)有個(gè)；所以有序集組的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：729.04（真）子集的個(gè)數(shù)12．已知集合，則的子集的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【詳解】由，解得，所以，所以的子集有個(gè).故選：B13．已知集合，那么滿足的集合的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【詳解】由題意得或或，則滿足題意的的個(gè)數(shù)是3.故選：B.14．已知集合，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【詳解】由，得或，解得或空集，又，所以，則集合A的子集個(gè)數(shù)為.故選：C15．已知，集合，若集合恰有8個(gè)子集，則的可能值有幾個(gè)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由題意易知，，均是集合中的元素，又集合恰有8個(gè)子集，故集合只有三個(gè)元素，有，則結(jié)合誘導(dǎo)公式易知，可取的值是4或5.故選：B05數(shù)集的運(yùn)算16．若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】，由得，，即，則，故.故選：B17．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】集合，，則.故選：B.18．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?故選：C.19．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所以，，故選：C06點(diǎn)集的運(yùn)算20．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】將代入，得，解得或0，所以.則中元素的個(gè)數(shù)為3個(gè).故選：C21．已知集合，，則中的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，消整理得到，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C.22．已知集合，，則中有個(gè)元素．【答案】2【詳解】易知集合表示拋物線上的所有點(diǎn)的集合，集合表示圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的圓上的所有點(diǎn)的集合，顯然表示兩圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出兩函數(shù)圖象如下圖所示:顯然僅有兩個(gè)交點(diǎn)，因此中有2個(gè)元素.故答案為：207Venn圖的運(yùn)算23．已知集合，，則圖中陰影部分所表示的集合是（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，由題意可得圖中陰影部分所表示的集合是，可得，所以.故選：B.24．已知全集為，集合是的兩個(gè)子集，若，則下列運(yùn)算結(jié)果為的子集的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】作出Venn圖，如圖，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，與集合交集是空集，若，則不是的子集，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，與集合交集是空集，若，則不是的子集，故D錯(cuò)誤；故選：C.25．設(shè)全集為，如圖所示的陰影部分用集合表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)集合的運(yùn)算可知，陰影部分用集合表示為.故選：B08利用集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)26．已知集合.若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，可得，解得，所以，因?yàn)椋?，所?所以的取值范圍為.故選：A.27．已知集合，，若，，則集合的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．7 D．8【答案】B【詳解】由題意知，則集合為，，，共4個(gè).故選：B．28．設(shè)全集，集合或，，則（

）A．0 B．2 C．5 D．10【答案】B【詳解】由補(bǔ)集知且，對(duì)比得，則.故選：B29．（多選）設(shè)集合，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】由題可得集合，且，所以方程的兩根，滿足，.由韋達(dá)定理可知，，即，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤..選項(xiàng)C正確.從而，即.選項(xiàng)D正確.故選：ACD.09容斥原理30．為提升學(xué)生學(xué)習(xí)雙語的熱情“G11?四市十一校”教學(xué)聯(lián)盟計(jì)劃在2025年4月舉行“語文情境默寫”?“英語讀后續(xù)寫”兩項(xiàng)競賽，我校計(jì)劃派出20人的代表隊(duì)，據(jù)了解其中擅長語文的有10名同學(xué)，擅長英語的有12名同學(xué)，兩項(xiàng)都擅長的有5名同學(xué)，請(qǐng)問該代表隊(duì)誤選了幾名均不擅長的同學(xué)？（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】C【詳解】設(shè)擅長語文的同學(xué)構(gòu)成集合，擅長英語的同學(xué)構(gòu)成集合，20人代表隊(duì)構(gòu)成全集，則，，，，，，所以語文和英語均不擅長的同學(xué)人數(shù)為人.故選：C.31．為了更加深入地了解重慶，高一某班倡導(dǎo)學(xué)生利用周末時(shí)間去參觀洪崖洞，南山一棵樹，磁器口這三個(gè)地方.調(diào)查發(fā)現(xiàn)該班共有55名同學(xué)，其中31個(gè)同學(xué)去了洪崖洞，21個(gè)同學(xué)去了南山一棵樹，30個(gè)同學(xué)去了磁器口，同時(shí)去了洪崖洞和南山一棵樹的有10人，同時(shí)去了南山一棵樹和磁器口的有7人，每個(gè)人至少去了一個(gè)地方，沒有人同時(shí)去三個(gè)地方，則只去了一個(gè)地方的有（

）人A．24 B．26 C．28 D．30【答案】C【詳解】設(shè)去了洪崖洞的同學(xué)組成集合，去了南山一棵樹的同學(xué)組成集合，去了磁器口的同學(xué)組成集合，依題意，，而，由容斥原理得，解得，所以只去了一個(gè)地方的有(人).故選：C32．為弘揚(yáng)紅色文化、傳承文化精神，某校在假期來臨之際布置了一項(xiàng)紅色文化學(xué)習(xí)的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)作業(yè)，并在開學(xué)后隨機(jī)抽查了100名學(xué)生的完成情況（每個(gè)同學(xué)至少參加一項(xiàng)活動(dòng)），其中有52人觀看了紅色電影，43人參觀了烈士陵園，49人參觀了紅色教育基地，既觀看紅色電影又參觀烈士陵園的有24人，既觀看紅色電影又參觀紅色教育基地的有20人，既參觀烈士陵園又參觀紅色教育基地的有17人，則三項(xiàng)活動(dòng)都參加的人數(shù)為．【答案】17【詳解】設(shè)集合，集合，集合，設(shè)三項(xiàng)活動(dòng)都參加的人數(shù)為，則，則由題意可得，即，解得．故答案為：1710集合的新定義問題33．對(duì)于集合，，定義且，，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于集合，，定義且，，設(shè)，，則，，所以.故選：C．34．中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二.問：物幾何？”現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項(xiàng)中不符合題意的整數(shù)x為（

）A．23 B．38 C．128 D．233【答案】B【詳解】解法1

因?yàn)?，所以，故A符合；因?yàn)?，所以，故B不符合；因?yàn)?，所以，故C符合；，所以，故D符合.解法2

因?yàn)?，所以且，則且（k，），所以，即，所以.又，所以（c，），即，即，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.35．設(shè)集合，，，中至少有兩個(gè)元素，且滿足：①對(duì)于任意，若，都有；②對(duì)于任意，若，則；則集合可以是（

）（1）

（2）

（3）

（4）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）【答案】C【詳解】對(duì)于（1），易知，所以應(yīng)有，矛盾，即（1）錯(cuò)誤；對(duì)于（2），易知，且，則可取滿足題意，即（2）正確；對(duì)于（3），易知，所以應(yīng)有，矛盾，即（3）錯(cuò)誤；對(duì)于（4），易知，且，則可取滿足題意，即（4）正確；故選：C.36．在山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)科技節(jié)中，高一李明同學(xué)定義了可分比集合：若對(duì)于集合滿足對(duì)任意，，都有，則稱是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均為可分比集合，且，則正整數(shù)的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【詳解】解法一：一方面，取滿足題意，則；另一方面，若，不妨設(shè)，則，則，此時(shí)，且，矛盾！綜上所述，正整數(shù)的最大值為7.解法二：，則，又，即若，內(nèi)的數(shù)均不屬于，若，則，則，又，矛盾，所以，當(dāng)時(shí)，符合，所以．故選：B.1．已知集合所有非空真子集的元素之和等于12，則（

）A．3 B．4 C．6 D．2【答案】B【詳解】解：因?yàn)榧系乃蟹强照孀蛹海?，，?故選：B2．（2024·25高三上·云南·階段練習(xí)）已知集合，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】分別作出函數(shù)與的圖象，如下：當(dāng)直線與半圓，相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，，此時(shí)；結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，直線與半圓，無公共點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線與半圓，有公共點(diǎn)，即.故選：B3．設(shè)，則集合．【答案】【詳解】由題意，畫出韋恩圖如圖所示，結(jié)合，，故，故答案為：4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，集合．?dāng)時(shí)，；若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】或【詳解】要使函數(shù)有意義，則解得，所以集合．因?yàn)椋?，所以或，所以或．因?yàn)?，所以①?dāng)時(shí)，，即，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，解得．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．5．設(shè)集合，，則滿足且的集合有個(gè)【答案】12【詳解】因?yàn)榍?，，．中一定含?或5或4、5．當(dāng)中含有一個(gè)元素時(shí)，或，共2個(gè)；當(dāng)中含有兩個(gè)元素時(shí)，，，，，，共5個(gè)；當(dāng)中含有三個(gè)元素時(shí)，，，，，共4個(gè)；當(dāng)中含有四個(gè)元素時(shí)，，共1個(gè)．所以滿足條件的集合有個(gè)．故答案為：126．已知集合，對(duì)于集合的兩個(gè)非空子集、，若，則稱為集合的一組“互斥子集”.記集合的所有“互斥子集”的組數(shù)為（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與為同一組“互斥子集”），則，.【答案】【詳解】令，如圖，全集被劃分成、、三個(gè)部分，中的任意一個(gè)元素只能在集合、、之一中，有種方法，則這個(gè)元素在集合、、中，每個(gè)元素均有種選擇，故共有種選擇方法，其中為空集的種數(shù)為，為空集的種數(shù)為，、均為空集的種數(shù)為種，則、均為非空子集的種數(shù)為，因當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與為同一組“互斥子集”，而，滿足的與不是同一組“互斥子集”，于是得集合的所有“互斥子集”的組數(shù)為，其中.故答案為：；.7．已知集合，且.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)2(2)【詳解】（1）由，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，符合題意，所以.（2）由（1）得，，由，得，①若，此時(shí)，即，符合題意；②若，由，則，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.1．（2024·天津·高考真題）集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榧希?，所以，故選：B2．（2023·北京·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意，，，根據(jù)交集的運(yùn)算可知，.故選：A3．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，則.故選：A.4．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A