7/10第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式～第八章平面解析幾何綜合訓(xùn)練（全國(guó)通用）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合,則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榧?所以.故選C.2．已知平面向量,,若,則（

）A．-3 B．2 C．3 D．5【答案】C【解析】因?yàn)?所以,則,所以.故選C.3．設(shè),則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故“”是“”的充分條件；取,,則,但,故“”不是“”的必要條件；綜上可得“”是“”的充分不必要條件.故選A.4．一定條件下,某人工智能大語(yǔ)言模型訓(xùn)練N個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要的時(shí)間（單位：h）,其中k為常數(shù)．在此條件下,已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加20h；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加（

）A．2h B．4h C．20h D．40h【答案】B【解析】設(shè)當(dāng)N取個(gè)單位、個(gè)單位、個(gè)單位時(shí)所需時(shí)間分別為,由題意,,,,因?yàn)?所以,所以,所以當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加4小時(shí).故選B.5．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F,左,右頂點(diǎn)分別為,,M為C上一點(diǎn),且軸,點(diǎn)N在線段上,直線交y軸于H點(diǎn),直線交y軸于G點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則C的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)檩S,軸,則,所以,則,同理.因?yàn)?則,即,得,所以.故選A6．若P是正方體的面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論不可能成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】P是正方體的面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),對(duì)于A,在正方體中當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),為平行四邊形,則,A成立；對(duì)于B,在正方體中若,那么共面,因?yàn)槭敲嫔系囊粋€(gè)動(dòng)點(diǎn),則不能在同一平面,B不成立；對(duì)于C,在正方體中當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),平面,因?yàn)槠矫?所以,C成立；對(duì)于D,在正方體中當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),平面,因?yàn)槠矫?所以,又,,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以,D成立；故選B.7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?且,直線與曲線交于兩點(diǎn),則（）A．為奇函數(shù) B．的定義域和值域相同C． D．的最大值為2【答案】D【解析】對(duì)于A,因?yàn)?所以,,所以,令,則,即,所以,所以為偶函數(shù),錯(cuò)誤；對(duì)于B,由A知函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?錯(cuò)誤；對(duì)于C,由,得,即表示單位圓不含點(diǎn)和,由題意,直線與單位圓有兩個(gè)交點(diǎn),所以圓心到直線的距離,解得,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),可得,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),可得,所以,錯(cuò)誤；對(duì)于D,由弦長(zhǎng)公式可得,又,所以當(dāng),即直線過(guò)原點(diǎn)時(shí),取最大值,為2,正確.故選D8．已知且滿足,則下列結(jié)論正確的有（）A．的最大值為 B．的最小值為2eC．的最大值為 D．的最小值為2e【答案】B【解析】,,構(gòu)造函數(shù),,∵,∴函數(shù)是上的增函數(shù),∴,即,故．對(duì)于A選項(xiàng),,令,顯然在上單調(diào)遞增,故無(wú)最大值,所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng),由,得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),所以的最小值為2e,所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng),,令,顯然,在上單調(diào)遞減,故無(wú)最大值,所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),則的最小值為,所以D錯(cuò)誤.故選B.二、選擇題：本題共3小題,每小題6分,共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分．9．已知拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)在C上,則（

）A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為 B．F的坐標(biāo)為C．若,則 D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A,B,由拋物線方程為,則焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,故A錯(cuò)誤,B正確；對(duì)于C,將代入,得,則,故C正確；對(duì)于D,由拋物線定義得,當(dāng)時(shí),取等號(hào),故D正確.故選BCD.10．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且公比,則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題意可知：的公比,,則,由于,故,故,故A正確,B錯(cuò)誤,,故,故D正確,C錯(cuò)誤,故選AD.11．如圖所示,在圓錐PO中,PO為高,AB為底面圓的直徑,圓錐的軸截面是面積等于4的等腰直角三角形,C為母線PA的中點(diǎn),點(diǎn)M為底面上的動(dòng)點(diǎn),且,點(diǎn)O在直線PM上的射影為H,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí),則有（

）A．三棱錐體積的最大值為 B．直線PA與直線CH不可能垂直C．點(diǎn)H的軌跡長(zhǎng)度為 D．的最大值為【答案】AC【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為,高為,母線長(zhǎng)為.由題可知,所以.因?yàn)?所以.因?yàn)?所以.對(duì)于Ａ,因?yàn)槠矫?平面,則,因平面,故平面,則三棱錐的體積,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故三棱錐體積的最大值為,故Ａ正確；對(duì)于B,由上已證??平面??,因平面,所以因?yàn)辄c(diǎn)O在直線PM上的射影為H,所以由且平面,得平面,因平面,則,又,連接OC,又C為PA的中點(diǎn),故,又平面,所以平面,因平面,故恒成立,即B不正確；對(duì)于C,由選項(xiàng)B可知平面.因?yàn)槠矫?平面,所以,因過(guò)點(diǎn)C且與PA垂直的平面僅有一個(gè),則H點(diǎn)的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓（除去兩點(diǎn)）．因?yàn)?所以H點(diǎn)的軌跡周長(zhǎng)為,故C正確；對(duì)于D,方法一：由選項(xiàng)B可知因,則點(diǎn)必在圓內(nèi),設(shè),則,,,令,則.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增；所以,故D錯(cuò)誤.方法二：,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),取等.因?yàn)?所以,即,故D錯(cuò)誤.故選AC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.12．．已知為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的虛部是．【答案】【解析】,所以復(fù)數(shù)的虛部是.13．已知,,則=.【答案】【解析】由于,所以,由于,,所以,.14．已知函數(shù)設(shè),,若關(guān)于的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解,則m的最大值是．【答案】12【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示,有,.對(duì)于方程,令,則.因?yàn)?所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,設(shè)為,,且,所以的解集為.由于,則,.當(dāng)時(shí),,所以,,則,由圖可知的解為或,此時(shí)關(guān)于的不等式的解中至少有2個(gè)整數(shù),不符合題意；當(dāng)時(shí),,.由函數(shù)的圖象可知,當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的值唯一.因?yàn)榈慕馇∮幸粋€(gè)整數(shù),所以這個(gè)整數(shù)為,所以,即,此時(shí),即的最大值是12.

四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸.15．（13分）已知等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,求使得的的最小值.【解析】（1）由于,故解得（3分）所以.（5分）（2）由（1）知,所以,則數(shù)列是以4為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列；所以.（8分）由,得,即,則,或,又因?yàn)?所以的最小值為4.（13分）16．（15分）如圖,在四棱錐中,側(cè)棱長(zhǎng)均為,四邊形是矩形,.(1)證明：平面平面.(2)求二面角的正弦值.【解析】（1）連接交于點(diǎn),記的中點(diǎn)分別為,連接,在中,是的中點(diǎn),所以,因?yàn)槠矫?所以平面,（3分）因?yàn)槠矫?所以,在矩形中,,因?yàn)槠矫?所以平面,（5分）因?yàn)槠矫?所以,由,同理得,又,所以,即,（6分）因?yàn)槠矫?所以平面,因?yàn)槠矫?所以平面平面.（8分）（2）作,垂足為,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,所以,,所以,（10分）設(shè)是平面的法向量,則,即,可取,設(shè)是平面的法向量,則,即,可取,（13分）,則,故二面角的正弦值為.（15分）17．（15分）在中,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大小；(2)若,求的取值范圍；(3)如圖,若,點(diǎn)分別在邊上,將沿著線段折,頂點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn),當(dāng)時(shí),求重疊部分的面積.【解析】（1）由,得,所以,即,所以,（3分）又,所以,所以．又,所以．（5分）（2）,,由余弦定理可得,所以,（8分）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,又因?yàn)?則,所以的取值范圍為；（10分）（3）由,知為等邊三角形,由及,得,設(shè),則．在中,由余弦定理可得,即,解得．（12分）同理,在中,由余弦定理可得．又,所以．（15分）18．（17分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率為,直線與軸交于點(diǎn),與相交于兩點(diǎn)．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若的斜率為1,且,求的值；(3)是否存在,使恒為定值？若存在,求出與的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意知,,解得,,所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4分）（2）由的斜率為1,則直線的方程為．設(shè),,聯(lián)立,消去得,,其中,解得,所以,,（6分）所以,因?yàn)?所以,解得．（9分）（3）①當(dāng)直線的斜率不為0時(shí),設(shè)其方程為,聯(lián)立,消去得,,其中,所以,,（11分）所以．當(dāng),即時(shí),,即；（14分）②當(dāng)直線的斜率為0時(shí),不妨取,,若,則,此時(shí),即．綜上,存在,使得恒為定值,即,.（17分）19．（17分）已知函數(shù)和函數(shù)__________有相同的最大值,請(qǐng)?jiān)谝韵碌暮瘮?shù)：①,②,③中選擇一個(gè)函數(shù)填入橫線中,并完成下列問(wèn)題.(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：存在實(shí)數(shù),使函數(shù),共有4個(gè)不相同的零點(diǎn),按從小到大的順序?yàn)?則.【解析】（1）定義域?yàn)?,令,解得,若,在上,上,所以有最小值無(wú)最大值,不滿足題意,故,所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以最大值為.

（3分）

對(duì)于①,定義域,,令,解得,因?yàn)樗詴r(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增；所以無(wú)最大值,所以不滿足題意.對(duì)于③,定義域,因?yàn)樗?恒單調(diào)遞增；無(wú)最大值,所以不滿足題意.對(duì)于②定義域,,令,解得,因?yàn)?所以時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減；所以的最大值為,所以滿足題意,所以,解得.（5分）（2）因?yàn)?當(dāng)時(shí),,所以,,且,整理得：,即,,

令,則,

（7分）

（i）當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞減,又,所以當(dāng)時(shí),,,所以；當(dāng)時(shí),,,所以,所以滿足題意；（8分）（ii）當(dāng)時(shí),由于,,所以,又,所以時(shí),,而,所以不滿足題意；（9分）（iii）當(dāng)時(shí),此時(shí)恒成立,故在上有,此時(shí)恒成立,所以不滿足題意.

綜上所述,的取值范圍為.（10分）（3）設(shè),,與的零