2/17專題3.1基本計(jì)數(shù)原理

教學(xué)目標(biāo)1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理．2.會用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題．教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)（1）分類加法計(jì)數(shù)原理；（2）分部乘法計(jì)數(shù)原理；（3）分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用。2.難點(diǎn)（1）數(shù)字排列問題；（2）涂色問題。知識點(diǎn)01分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的辦法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．知識點(diǎn)02分布乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．注意：兩個(gè)原理及其區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件事情有類辦法，這類辦法之間是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分類加法計(jì)數(shù)原理．分步乘法計(jì)數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對“分步完成”的問題．如果完成某件事情有個(gè)步驟，而且這幾個(gè)步驟缺一不可，且互不影響（獨(dú)立），當(dāng)且僅當(dāng)依次完成這個(gè)步驟后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理．當(dāng)然，在解決實(shí)際問題時(shí)，并不一定是單一應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理，有時(shí)可能同時(shí)用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．即分類時(shí)，每類的方法可能運(yùn)用分步完成；而分步后，每步的方法數(shù)可能會采取分類的思想求方法數(shù)．對于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也是檢驗(yàn)排列組合問題的很好方法．知識點(diǎn)03兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的辦法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．

題型01分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【典例1】.（24-25高二下·江蘇南京·期末）將各位數(shù)字之和為6的三位數(shù)叫“幸運(yùn)數(shù)”，比如123，402，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】C【難度】0.85【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理【分析】應(yīng)用分類加法原理計(jì)算得出幸運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)即可.【詳解】當(dāng)百位數(shù)字是6，其他數(shù)字是0，此時(shí)幸運(yùn)數(shù)有1個(gè)；當(dāng)百位數(shù)字是5，其他數(shù)字是0和1，此時(shí)幸運(yùn)數(shù)有2個(gè)；當(dāng)百位數(shù)字是4，其他數(shù)字是1和1或者是0和2，此時(shí)幸運(yùn)數(shù)有個(gè)；當(dāng)百位數(shù)字是3，其他數(shù)字是1和2或者是0和3，此時(shí)幸運(yùn)數(shù)有個(gè)；當(dāng)百位數(shù)字是2，其他數(shù)字是2和2或者是0和4或者是1和3，此時(shí)幸運(yùn)數(shù)有個(gè)；當(dāng)百位數(shù)字是1，其他數(shù)字是2和3或者是1和4或者是0和5，此時(shí)幸運(yùn)數(shù)有個(gè)；所以幸運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：C.【變式1】.（24-25高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）某同學(xué)從個(gè)球類項(xiàng)目和個(gè)田徑類項(xiàng)目中選個(gè)項(xiàng)目參加，則不同的選擇方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理【分析】利用分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】某同學(xué)從個(gè)球類項(xiàng)目和個(gè)田徑類項(xiàng)目中選個(gè)項(xiàng)目參加，若選擇的為球類項(xiàng)目，有種選擇，若選擇的為田徑類項(xiàng)目，有種選擇，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選擇方案種數(shù)為種.故選：A.【變式2】．（25-26高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）完成一件事，如果有類辦法，且：第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法……第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法．【答案】【難度】0.94【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理【分析】略【詳解】略【點(diǎn)睛】【變式3】．（24-25高二下·河南·期末）一個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為．三位數(shù)中，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個(gè)數(shù)字的和等于第三個(gè)數(shù)字時(shí)稱為“有緣數(shù)”（如213，134等）．若，且互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”共個(gè)．【答案】24【難度】0.65【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用【分析】利用“有緣數(shù)”的定義，利用分類討論的思想，求出所有的三位數(shù)．【詳解】根據(jù)題意知在中，能組成有緣數(shù)的組合有；；；，由組成的三位自然數(shù)為“有緣數(shù)”共6個(gè)；同理：由組成的三位數(shù)為“有緣數(shù)”是6個(gè)；由組成的三位數(shù)為“有緣數(shù)”是6個(gè)；由組成的三位數(shù)為“有緣數(shù)”是6個(gè)；所以三位數(shù)為“有緣數(shù)”的個(gè)數(shù)為：個(gè)．故答案為：24題型02分布乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【典例2】.（2025高二·全國·專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁四人各寫一張賀卡，先將賀卡集中起來，然后每人從中拿一張別人寫的賀卡，則不同的分配方式有（

）種.A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用【分析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先原則，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得解.【詳解】（1）甲先拿，有種拿法；（2）再讓寫那張被甲拿到的卡片的人去拿，有種拿法；（3）剩余兩人只有種拿法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有種拿法，故選：A.【變式1】．（24-25高二下·山東威?！て谀┯?，1，2，3，4可組成無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．48 B．36 C．24 D．18【答案】D【難度】0.85【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、數(shù)字排列問題、元素（位置）有限制的排列問題【分析】根據(jù)分步乘法原理計(jì)算求解.【詳解】用0，1，2，3，4可組成無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)個(gè)位數(shù)字有2種情況，首位數(shù)字有3種情況，十位數(shù)字有3種情況，所以三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為種情況.故選：D.【變式2】．（2025高三·全國·專題練習(xí)）將27，37，47，48，55，71，75這7個(gè)數(shù)排成一列，使任意連續(xù)4個(gè)數(shù)的和為3的倍數(shù)，則這樣的排列有種．【答案】144【難度】0.65【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用【分析】考慮這7個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，只需對余數(shù)排列即可，利用分步乘法原理計(jì)算得解.【詳解】注意到這7個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)分別為0，1，2，0，1，2，0．只需對余數(shù)排列即可，有6種情形：2010201，1020102，0120012，2100210，0210021，1200120．每一種情形有種，所以共有種.故答案為：144.【變式3】．（24-25高二下·福建福州·期末）春節(jié)期間，甲、乙、丙三人去看電影，每人可在《哪吒之魔童鬧海》、《唐探1900》、《熊出沒·重啟未來》及《蛟龍行動》四部電影中任選一部，則不同的選法有種．【答案】【難度】0.94【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用即可求解．【詳解】易知每個(gè)人都有種選法，故不同的選法有種．故答案為：．題型03兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用【典例3】．（24-25高二下·福建三明·期中）某校開展社團(tuán)活動，其中有知識性社團(tuán)詩詞賞析，趣味數(shù)學(xué)等6個(gè)社團(tuán)，有活動類社團(tuán)木工、種植等4個(gè)社團(tuán)，甲乙兩人按順序依次選擇一社團(tuán)參加，不得重復(fù).乙選擇活動類社團(tuán)參加的概率為．【答案】/【難度】0.85【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中的計(jì)數(shù)問題、計(jì)算古典概型問題的概率【分析】根據(jù)題意先求甲乙兩人按順序依次選擇一社團(tuán)的情況，然后求乙選擇活動類社團(tuán)的情況，根據(jù)古典概型即可求解.【詳解】根據(jù)題意甲乙兩人按順序依次選擇一社團(tuán)參加有種情況，其中乙選擇活動類社團(tuán)有，所以根據(jù)古典概型得乙選擇活動類社團(tuán)參加的概率為，故答案為：.【變式1】．隨著外地返鄉(xiāng)人員的增加，當(dāng)前防疫形勢愈加嚴(yán)峻，射洪已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了多起新冠陽性病人.射洪中學(xué)計(jì)劃下周星期一、二、三，連續(xù)三天對我校在校師生進(jìn)行核酸檢測.高三數(shù)學(xué)組有金老師、趙老師、譚老師、黃老師四人主動申請參與信息采集.每人自行選擇其中的某一天參與，但金老師和譚老師不能在同一天參加，則不同的安排方式有.（用數(shù)字作答）【答案】【難度】0.65【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中的計(jì)數(shù)問題【分析】先考慮四位老師各隨機(jī)選擇一天參與核酸信息采集的安排方式種數(shù)，再考慮金老師和譚老師在同一天參加的安排方式種數(shù)，利用間接法可求得金老師和譚老師不能在同一天參加的安排方式種數(shù).【詳解】四位老師各隨機(jī)選擇一天參與核酸信息采集，不同的安排方式種數(shù)為種，其中，金老師和譚老師在同一天參加的安排方式種數(shù)為種，因此，金老師和譚老師不能在同一天參加，不同的安排方式種數(shù)為種.故答案為：.【變式2】．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）學(xué)校教師運(yùn)動會設(shè)置有“跳繩”、“立定跳遠(yuǎn)”、“定點(diǎn)投籃”、“沙包擲準(zhǔn)”四個(gè)比賽項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目各需要一位裁判，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位體育老師，每人做且僅做一項(xiàng)裁判工作，因?yàn)闀r(shí)間問題，甲不能安排“跳繩”裁判，乙不能安排“定點(diǎn)投籃”裁判，則不同的安排方法共有（

）A．12種 B．14種C．7種 D．9種【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中的計(jì)數(shù)問題【分析】應(yīng)用分類分步計(jì)數(shù)原理，求出甲安排為“定點(diǎn)投籃”、不安排“定點(diǎn)投籃”兩種情況分別寫出安排方法數(shù)，即可得答案.【詳解】當(dāng)甲安排“定點(diǎn)投籃”，另外3人任意安排工作有6種方法.當(dāng)甲不安排“定點(diǎn)投籃”時(shí)，先安排甲有2種，再安排乙有2種，另外剩余2人有2種，此時(shí)有種方法，共有種，故選：B【變式3】．為了紀(jì)念我國成功舉辦北京冬奧會，中國郵政發(fā)行《北京舉辦2022年冬奧會成功紀(jì)念》郵票，圖案分別為冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“飛躍”、冬奧會吉祥物“冰墩墩”、冬殘奧會吉祥物“雪容融”及“志愿者標(biāo)志”，現(xiàn)將一套5枚郵票任取3枚，要求取出的郵票既含會徽郵票又含吉祥物郵票，則不同的取法種數(shù)為（

）A．4 B．8 C．16 D．18【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中的計(jì)數(shù)問題【分析】根據(jù)3枚郵票中郵票的種類進(jìn)行分類求解即可.【詳解】由題意可知：會徽郵票有2枚，吉祥物郵票有2枚，“志愿者標(biāo)志”有1枚，若任取3枚，取出的郵票既含會徽郵票又含吉祥物郵票，則有：若會徽郵票有2枚，吉祥物郵票有1枚，共有種；若會徽郵票有1枚，吉祥物郵票有2枚，共有種；若會徽郵票有1枚，吉祥物郵票有1枚，“志愿者標(biāo)志”有1枚，共有種；故共有種．故選：B.題型04代數(shù)中的計(jì)數(shù)問題【典例4】．（23-24高二下·廣東廣州·期末）有（

）個(gè)不同的正因數(shù)A．8 B．10 C．12 D．15【答案】D【難度】0.85【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、代數(shù)中的計(jì)數(shù)問題【分析】首先分解質(zhì)因數(shù)可得，再由分步乘法計(jì)算原理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以的不同的正因?shù)有個(gè).故選：D【變式1】．（24-25高一下·黑龍江哈爾濱·期末）已知，且，則所有滿足條件的數(shù)對的個(gè)數(shù)為（

）A．12 B．13 C．20 D．24【答案】B【難度】0.4【知識點(diǎn)】代數(shù)中的計(jì)數(shù)問題【分析】將題設(shè)條件變形為且、，結(jié)合判斷的可能數(shù)值，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，即，又，且，則，所以且，可能為、、、、、、、、、、、、，共13個(gè)，所以對應(yīng)也有13個(gè).綜上，所有滿足條件的數(shù)對的個(gè)數(shù)為13個(gè).故選：B【變式2】．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知x，y，z均為正整數(shù)，且，則滿足方程的解有組.【答案】10【難度】0.65【知識點(diǎn)】代數(shù)中的計(jì)數(shù)問題【分析】由題意可得的取值范圍，分類列舉，根據(jù)分類加法原理，可得答案.【詳解】因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，則，即，可??；當(dāng)時(shí)，則可?。划?dāng)時(shí)，則，解得，或6，則為；當(dāng)時(shí)，則，為．所以方程的解的個(gè)數(shù)為.故答案為：.【變式3】．（23-24高二下·北京順義·期中）哥德巴赫猜想描述為：任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和.（質(zhì)數(shù)是指在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)）.在不超過17的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為奇數(shù)取法有種.【答案】【難度】0.85【知識點(diǎn)】代數(shù)中的計(jì)數(shù)問題【分析】列舉出不超過的質(zhì)數(shù)，分析可知必取，然后在剩余個(gè)奇數(shù)中任選一個(gè)即可，即可得出不同的選法種數(shù).【詳解】不超過的質(zhì)數(shù)有：、、、、、、，共個(gè)，在這個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為奇數(shù)，則必取，然后在剩余個(gè)奇數(shù)中任選一個(gè)即可，所以，不同的取法種數(shù)為種.故答案為：.題型05幾何中的計(jì)數(shù)問題【典例5】．從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（

）.A．20種 B．16種 C．12種 D．8種【答案】C【難度】0.65【知識點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)問題【分析】正方體共有條棱，每條棱對應(yīng)兩個(gè)相鄰面，與這兩個(gè)面不都相鄰的面有個(gè)共有組，再考慮重復(fù)情況得到答案.【詳解】正方體共有條棱，每條棱對應(yīng)兩個(gè)相鄰面，與這兩個(gè)面不都相鄰的面有個(gè)共有組，每組中包含兩條棱，故有故選：【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)數(shù)問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力.【變式1】．在直角坐標(biāo)系中，已知三邊所在直線的方程分別為，則內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（

）A．95 B．91 C．88 D．75【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)問題【分析】首先確定以為對角線的矩形中整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再確定上的整點(diǎn)數(shù)，最后根據(jù)對稱性求出△中整點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】由題設(shè)，直線分別交x、y軸于、，

以高為10，寬為15的矩形內(nèi)（含邊）整數(shù)點(diǎn)有176個(gè)，其中直線上的整數(shù)點(diǎn)有、、、、、，共6個(gè)，所以，矩形對角線兩側(cè)的三角形中整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，綜上，△中整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B【變式2】．圓周上有個(gè)等分點(diǎn)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為．【答案】【難度】0.65【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、幾何計(jì)數(shù)問題【分析】只有三角形的一條邊為直徑才能組成直角三角形,第一步選直徑共有種方法，第二步選直角頂點(diǎn)有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理相乘即可.【詳解】由題意知,只有三角形的一條邊過圓心,才能組成直角三角，因?yàn)閳A周上有個(gè)等分，所以共有條直徑，每條直徑可以和除去本身的兩個(gè)端點(diǎn)外的點(diǎn)組成直角三角形，所以可做個(gè)直角三角形.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知,共有個(gè)故答案為:.【變式3】．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出形狀相同的兩個(gè)陰陽魚，陽魚的頭部有個(gè)陰眼，陰魚的頭部有個(gè)陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律．由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取出4個(gè)構(gòu)成四邊形，其中梯形的個(gè)數(shù)為．

【答案】24【難度】0.65【知識點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)問題【分析】首先分情況，先確定兩個(gè)頂點(diǎn)，再確定其他頂點(diǎn)，即可求解.【詳解】梯形的上、下底平行且不相等，如圖，

若以AB為底邊，則可構(gòu)成2個(gè)梯形，根據(jù)對稱性可知此類梯形有（個(gè)），若以AC為底邊，則可構(gòu)成1個(gè)梯形，此類梯形共有（個(gè)），所以梯形的個(gè)數(shù)是（個(gè)）．故答案為：24題型06數(shù)字排列問題【典例6】．（24-25高二上·遼寧·期末）用數(shù)字，，，，組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．60 B．30 C．36 D．21【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】數(shù)字排列問題【分析】通過個(gè)位數(shù)分別為，，，討論即可；【詳解】由題意可知，這三位數(shù)是偶數(shù)，則說明其個(gè)位數(shù)為偶數(shù)，即，，，有3種選擇，因?yàn)檫@是一個(gè)三位數(shù)，所以百位數(shù)不能是0.①當(dāng)個(gè)位數(shù)為0時(shí)，有種，②當(dāng)個(gè)位數(shù)為2或4時(shí)，有種.綜上，有30種.故選：B.【變式1】．（23-24高二下·北京延慶·期中）由數(shù)字，，，構(gòu)成的三位數(shù)有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】A【難度】0.94【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、數(shù)字排列問題【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】百位有4種選擇，十位有4種選擇，個(gè)位有4種選擇，故構(gòu)成的三位數(shù)共有個(gè)，故選：A【變式2】．（2025·河南·模擬預(yù)測）用，，，…，這個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為．【答案】224【難度】0.85【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、數(shù)字排列問題【分析】利用分布乘法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列知識進(jìn)行計(jì)算即可直接得答案.【詳解】從四個(gè)數(shù)中任選一個(gè)數(shù)放在個(gè)位，有4種方法，再從其他八個(gè)數(shù)中任選2位數(shù)放在十位和百位，有種方法，故九個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)的三位數(shù)且是偶數(shù)共有種方法，故答案為：224.【變式3】．（24-25高二上·上?！て谀┯?，1，2，3四個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)是【答案】【難度】0.85【知識點(diǎn)】數(shù)字排列問題【分析】通過個(gè)位數(shù)字是0和2，兩類情況討論即可求解；【詳解】當(dāng)個(gè)數(shù)數(shù)字是0時(shí)，滿足條件的四位數(shù)由，當(dāng)個(gè)數(shù)數(shù)字是2時(shí)，滿足條件的四位數(shù)由，故滿足條件的偶數(shù)個(gè)數(shù)是10，故答案為：10題型07涂色問題【典例7】．（24-25高二下·云南臨滄·階段練習(xí)）用種不同顏色的粉筆寫黑板報(bào)，板報(bào)設(shè)計(jì)如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的粉筆，則該板報(bào)共有種不同的書寫方案．【答案】【難度】0.85【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、涂色問題【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.【詳解】完成工作可分四步：第一步，“英語角”用的粉筆顏色有種不同的選法；第二步，“語文學(xué)苑”用的粉筆顏色不能與“英語角”用的粉筆顏色相同，有種不同的選法；第三步，“理綜世界”用的粉筆顏色與“英語角”和“語文學(xué)苑”用的粉筆顏色都不相同，有種不同的選法；第四步，“數(shù)學(xué)天地”用的粉筆顏色只要與“理綜世界”用的粉筆顏色不同即可，有種不同的選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，該板報(bào)共有種不同的書寫方案．故答案為：．【變式1】．（2025·江蘇南京·二模）英國數(shù)學(xué)家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地圖只需不超過四種顏色即可實(shí)現(xiàn)相鄰區(qū)域顏色不同.該猜想于1976年由阿佩爾和哈肯借助計(jì)算機(jī)完成證明.如圖，一個(gè)地區(qū)分為6個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖上的行政區(qū)域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每個(gè)區(qū)域涂1種顏色，相鄰區(qū)域不同色.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有種（用數(shù)字作答）.【答案】216【難度】0.85【知識點(diǎn)】排列組合綜合、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、涂色問題【分析】如圖，將6個(gè)行政區(qū)標(biāo)上序號，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，按照一定的順序?qū)Ω鱾€(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，同時(shí)考慮相鄰區(qū)域顏色不同的限制條件即可求解.【詳解】如圖，將6個(gè)行政區(qū)標(biāo)上序號，區(qū)域1有4種顏色可選，共4種方法；區(qū)域2與區(qū)域1相鄰，不能與區(qū)域1同色，有3種顏色可選，共3種方法；區(qū)域3與區(qū)域1、2相鄰，不能與區(qū)域1、2同色，有2種顏色可選，共2種方法；①若區(qū)域4與區(qū)域2同色，有1種顏色可選，此時(shí)區(qū)域5與區(qū)域2不同色且有2種涂色方法，此時(shí)區(qū)域6有2種涂色方法；②若區(qū)域4與區(qū)域2不同色，有1種顏色可選，此時(shí)若區(qū)域5與區(qū)域2同色，有1種涂色方法，區(qū)域6有3種涂色方法，若區(qū)域5與區(qū)域2不同色，有1種涂色方法，區(qū)域6有2種涂色方法，所以一共有種方法.故答案為：216.【變式2】．（23-24高二下·安徽池州·期中）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為（

）

A．120 B．26C．340 D．420【答案】D【難度】0.65【知識點(diǎn)】涂色問題【分析】根據(jù)題意，分4步依次分析區(qū)域A、B、C、D、E的涂色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算答案．【詳解】根據(jù)題意，如圖，設(shè)5個(gè)區(qū)域依次為A、B、C、D、E，

分4步進(jìn)行分析：①，對于區(qū)域A，有5種顏色可選；②，對于區(qū)域B，與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；③，對于區(qū)域C，與A、B區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；④，對于區(qū)域D、E，若D與B顏色相同，E區(qū)域有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，D區(qū)域有2種顏色可選，E區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域D、E有種選擇，所以不同的涂色方案有種.故選：D.【變式3】．（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（

）A．120 B．72 C．48 D．24【答案】A【難度】0.65【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理、涂色問題【分析】利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，先分類再分步即可求解．【詳解】先涂，有4種選擇，接下來涂，有3種選擇，再涂,有2種選擇，①當(dāng),顏色相同時(shí)涂色方法數(shù)是：，②當(dāng),顏色不相同時(shí)涂色方法數(shù)是：，滿足題意的涂色方法總數(shù)是：．故選：A．題型08其它計(jì)數(shù)模型【典例1】．寒假里5名同學(xué)結(jié)伴乘動車外出旅游，實(shí)名制購票，每人一座，恰在同一排五個(gè)座位（一排共五個(gè)座位），上車后五人在這五個(gè)座位上隨意坐，則恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有種.【答案】45【難度】0.85【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中的計(jì)數(shù)問題、其他計(jì)數(shù)模型【分析】先選出坐對位置的人，再對剩下四人進(jìn)行錯(cuò)排，最后利用分布計(jì)數(shù)乘法原理求結(jié)果.【詳解】先選出坐對位置的人，即從5人中選1人，有5種可能；剩下四人進(jìn)行錯(cuò)排，設(shè)四人座位為，則四人都不坐在自己位置上有這9種可能；所以恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有種故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查錯(cuò)排問題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.【變式1】．已知集合，，，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定不同點(diǎn)的坐標(biāo)個(gè)數(shù)為．【答案】【難度】0.65【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、其他計(jì)數(shù)模型【分析】先從三個(gè)集合中各取一個(gè)元素，計(jì)算出所構(gòu)成的點(diǎn)的總數(shù)，再減去兩個(gè)坐標(biāo)為時(shí)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】集合，，，從這三個(gè)集合中各選一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，其中點(diǎn)的坐標(biāo)中有兩個(gè)的點(diǎn)為、、，共個(gè)，在選的時(shí)候重復(fù)一次，因此，確定不同點(diǎn)的坐標(biāo)個(gè)數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合思想的應(yīng)用，解題時(shí)要注意元素的重復(fù)，結(jié)合間接法求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

一、單選題1．（24-25高二下·福建福州·期末）某天小丁要從福州出發(fā)去廈門，已知當(dāng)天的飛機(jī)有5班，動車有12趟，高鐵有10個(gè)車次，則小丁當(dāng)天出行的方案共有（

）A．12種 B．27種 C．120種 D．600種【答案】B【難度】0.94【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理【分析】由分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】已知當(dāng)天的飛機(jī)有5班，動車有12趟，高鐵有10個(gè)車次，則小丁當(dāng)天出行的方案共有.故選：B.2．（25-26高二上·廣東江門·階段練習(xí)）集合，從中各任意取一個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．12 B．11 C．8 D．6【答案】B【難度】0.94【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、代數(shù)中的組合計(jì)數(shù)問題【分析】先利用計(jì)數(shù)原理得出所有的兩位數(shù)，再減去重復(fù)數(shù)字即可.【詳解】個(gè)位數(shù)取自集合，十位數(shù)取自集合，共有個(gè)，個(gè)位數(shù)取自集合，十位數(shù)取自集合，共有個(gè)，這兩類中重復(fù)的有數(shù)字，故所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：B3．如圖所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之間建有，，，，五個(gè)水閘，若上游有充足的水源但下游沒有水，則這五個(gè)水閘打開或關(guān)閉的情況有（

）

A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【難度】0.85【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、實(shí)際問題中的計(jì)數(shù)問題【分析】分水閘關(guān)閉，水閘打開時(shí)，同時(shí)關(guān)閉，水閘打開時(shí)，同時(shí)關(guān)閉，三種情況，去掉重復(fù)的情況，得到答案.【詳解】①水閘關(guān)閉時(shí)，滿足要求，此時(shí)打開或關(guān)閉時(shí)均可，故此時(shí)有種情況，②若水閘打開時(shí)，同時(shí)關(guān)閉時(shí)，滿足要求，此時(shí)打開或關(guān)閉時(shí)均可，故此時(shí)有種情況，③若水閘打開時(shí)，同時(shí)關(guān)閉時(shí)，滿足要求，此時(shí)打開或關(guān)閉時(shí)均可，故此時(shí)有種情況，上面②③兩種情況有重復(fù)的1種情況，就是水閘打開，同時(shí)關(guān)閉的情況，故共有種情況.故選：B4．（2024·陜西西安·三模）方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為（

）A．40 B．28 C．22 D．12【答案】A【難度】0.85【知識點(diǎn)】代數(shù)中的計(jì)數(shù)問題【分析】將分解質(zhì)因數(shù)，即可求出的因數(shù)的個(gè)數(shù)，從而得解.【詳解】因?yàn)椋缘囊驍?shù)有個(gè)，故方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為40．故選：A5．（24-25高二上·北京西城·期末）從數(shù)字中，可重復(fù)地取出3個(gè)數(shù)字，組成各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【難度】0.65【知識點(diǎn)】數(shù)字排列問題【分析】分別討論和為6的情況，再結(jié)合排列組合概念即可求解；【詳解】三個(gè)數(shù)字和為6的情況有：222,114,123，對于3個(gè)2的排列只有1個(gè)；對于1，1，4的排列有個(gè)，對于1，2，3的排列有個(gè)，所以這樣的三位數(shù)有10個(gè)，故選：C6．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)等6種顏色給如圖所示的五連圓涂色，要求相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，且紅色至少要涂兩個(gè)圓，則不同的涂色方案種數(shù)為（

）A．25 B．630 C．605 D．580【答案】B【難度】0.65【知識點(diǎn)】涂色問題【分析】先計(jì)算所有的情況，然后計(jì)算不涂紅色和只有一個(gè)圓涂紅色，最后求差即可.【詳解】先涂第一個(gè)圓，由6種情況；再涂第二個(gè)圓有5種情況；涂第三個(gè)圓有5種情況；涂第四個(gè)圓有5種情況；涂第五個(gè)圓有5種情況，利用計(jì)數(shù)原理可知，一共有種；若沒有紅色，先涂第一個(gè)圓，由5種情況；再涂第二個(gè)圓有4種情況；涂第三個(gè)圓有4種情況；涂第四個(gè)圓有4種情況；涂第五個(gè)圓有4種情況，一共有種；若紅色涂一個(gè)圓，當(dāng)紅色涂第一個(gè)圓，再涂第二個(gè)圓有5種情況；涂第三個(gè)圓有4種情況；涂第四個(gè)圓有4種情況；涂第五個(gè)圓有4種情況，一共有種；當(dāng)紅色涂第二個(gè)圓，再涂第一個(gè)圓有5種情況，涂第三個(gè)圓有5種情況，涂第四個(gè)圓有4種情況；涂第五個(gè)圓有4種情況；一共有種；當(dāng)紅色涂第三個(gè)圓，再涂第二個(gè)圓有5種情況，涂第四個(gè)圓有5種情況，涂第一個(gè)圓有4種情況；涂第五個(gè)圓有4種情況；一共有種；當(dāng)紅色涂第四個(gè)圓，再涂第三個(gè)圓有5種情況，涂第五個(gè)圓有5種情況，涂第一個(gè)圓有4種情況；涂第二個(gè)圓有4種情況；一共有種；當(dāng)紅色涂第五個(gè)圓，再涂第四個(gè)圓有5種情況，涂第是三個(gè)圓有4種情況，涂第二個(gè)圓有4種情況；涂第一個(gè)圓有4種情況；一共有種；所以紅色至少涂兩個(gè)圓的方案有.故選:B二、填空題7．（24-25高二下·安徽·階段練習(xí)）已知有4名工人分別在4個(gè)不同的崗位，現(xiàn)根據(jù)需要進(jìn)行輪崗調(diào)整，則至少有3名工人崗位變動的輪崗方式種數(shù)有.【答案】17【難度】0.65【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用【分析】根據(jù)分類加法原理和分步乘法原理求解即可.【詳解】分兩類：當(dāng)恰有3名工人崗位變動時(shí)，則先從4名工人中選出1名保持崗位不變，剩余3名工人進(jìn)行錯(cuò)位排列有種；當(dāng)4名工人崗位全部變動時(shí)，則不妨記4名工人分別為，對應(yīng)的崗位分別為，工人有3種崗位選擇，若工人選擇崗位時(shí)，則工人選擇對應(yīng)的崗位為、或共3種輪崗方式，同理工人選擇崗位時(shí)有3種輪崗方式，工人選擇崗位時(shí)有3種輪崗方式，所以4名工人進(jìn)行錯(cuò)位排列有種；綜上，共有種輪崗方式.故答案為：178．（24-25高二下·陜西咸陽·期末）如圖，某植物園的參觀路徑形如三葉草，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線共有種．【答案】【難度】0.65【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】解：參觀路線分步完成：第一步，選擇三個(gè)“環(huán)形”路線中的一個(gè)流覽，有3種選法；而在游覽選擇的“環(huán)形”時(shí)，可以按順時(shí)針或按逆時(shí)針2類方法完成；第二步，選擇余下的兩個(gè)“環(huán)形”路線中的一個(gè)游覽，有2種方法，同理，在游覽選擇的“環(huán)形”時(shí)，可以按順時(shí)針或按逆時(shí)針兩類方法完成；第三步，游覽最后一個(gè)“環(huán)形”路線，也可以按順時(shí)針或按逆時(shí)針兩類方法完成，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知不同的