2/11專題04二項(xiàng)式定理與楊輝三角題型一：求二項(xiàng)展開式題型二：求含有參數(shù)的二項(xiàng)展開式題型三：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)題型四：求二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的最值題型五：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和題型六：整除與余數(shù)問題題型七：近似計(jì)算問題題型八：楊輝三角題型九：證明組合恒等式題型十：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和題型十一：排列組合綜合題型一：求二項(xiàng)展開式1．（24-25高二·內(nèi)蒙古赤峰·期中）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．二項(xiàng)式的展開式為（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·浙江杭州·期中）展開式中，的系數(shù)為（

）A．20 B． C．160 D．4．二項(xiàng)式的展開式中為常數(shù)項(xiàng)的是（

）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)5．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A．第5項(xiàng) B．第5項(xiàng)或第6項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．不存在6．（25-26高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A．210 B． C．10 D．7．（2025·云南楚雄·模擬預(yù)測）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．120 B．240 C．280 D．4808．（2025·北京東城·二模）已知，則實(shí)數(shù)9．（24-25高三上·北京·期中）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）10．（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．題型二：求含有參數(shù)的二項(xiàng)展開式1．（25-26高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是，則（

）A． B． C．2 D．32．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知的展開式中的系數(shù)為15，則的系數(shù)為（

）A．420 B．640 C．720 D．9603．（24-25高二下·河北·期末）設(shè)，若，則（

）A．1 B． C．3 D．4．（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）在的展開式中，的系數(shù)為5，則a的值為（

）A． B．1 C． D．25．（24-25高二下·河北·期末）已知的展開式中的系數(shù)為20，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，若，則的值是．7．（25-26高三上·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知的展開式中的第2項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為198，則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為(用數(shù)字作答)．8．（24-25高二下·北京延慶·期末）在的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為，則的值為.9．（2025·湖南婁底·模擬預(yù)測）若的展開式中的系數(shù)為231，則.題型三：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)1．（2025·遼寧丹東·模擬預(yù)測）展開式中的系數(shù)為（

）A． B．12 C． D．182．（2025·浙江寧波·一模）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．0 B．20 C．10 D．3．（25-26高三上·北京·階段練習(xí)）展開式中的系數(shù)為（

）A． B．C．160 D．804．（25-26高三上·重慶·階段練習(xí)）展開式中的系數(shù)為（

）A． B．24 C． D．165．（25-26高三上·湖北·階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A．162 B．168 C．180 D．1856．（2025·湖南益陽·模擬預(yù)測）若，則（

）A．B．C．D．7．（25-26高三上·黑龍江佳木斯·期中）展開式中，的系數(shù)為.8．（2025·廣東深圳·二模）的展開式中的系數(shù)為．9．（25-26高三上·廣東·開學(xué)考試）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．10．（2025高三·全國·專題練習(xí)）在展開式中，的系數(shù)為．題型四：求二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的最值1．（24-25高二下·江蘇南京·期中）若二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)只有第6項(xiàng)最大，則展開式的常數(shù)項(xiàng)的值為（

）A．840 B． C． D．2102．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測）的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和等于256，則二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）在的展開式中，若僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第（

）項(xiàng).A． B． C．2或3 D．3或44．已知的展開式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則展開式中系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是（

）A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng)C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng)5．（24-25高二下·河南開封·階段練習(xí)）已知的展開式中，第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為15：2，展開式中系數(shù)最大項(xiàng)是.6．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是．7．（24-25高三下·廣東深圳·階段練習(xí)）在的展開式中，僅第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是．8．（24-25高三下·廣東清遠(yuǎn)·開學(xué)考試）在的展開式中，僅第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是.題型五：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和1．（24-25高一下·廣東廣州·期中）（多選題）已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的（

）A．B．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256C．二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第5項(xiàng)D．展開式中常數(shù)項(xiàng)為452．（23-24高二下·天津靜?！るA段練習(xí)）已知，則（

）A．B．此二項(xiàng)展開式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)C．此二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32D．3．（2025·全國·模擬預(yù)測）若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．160 B． C．20 D．4．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，各項(xiàng)系數(shù)之和為81，則其展開式中的系數(shù)是（

）A．4 B．8 C．32 D．645．（25-26高三上·河北·階段練習(xí)）若的展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，且常數(shù)項(xiàng)為a，則.6．（24-25高二下·天津南開·期中）的展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，各項(xiàng)系數(shù)之和為243，則展開式中的系數(shù)為.

題型六：整除與余數(shù)問題1．（24-25高二下·陜西咸陽·期末）除以128的余數(shù)為（

）A．51 B．43 C．41 D．332．（24-25高二下·河南·階段練習(xí)）除以8的余數(shù)為（

）A．1 B．3 C．5 D．73．（24-25高二下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知除以13所得余數(shù)為m，除以14所得余數(shù)為n，則（

）A．1 B． C．13 D．144．若既能被9整除又能被7整除，則正整數(shù)a的最小值為（

）A．6 B．10 C．55 D．635．（24-25高二下·湖北恩施·期末）除以7的余數(shù)是.6．（24-25高二下·江蘇連云港·期中）被9除所得的余數(shù)是.7．（24-25高二下·湖北武漢·期中）除以26所得余數(shù)為.8．除以9的余數(shù)是．題型七：近似計(jì)算問題1．（24-25高二下·安徽·期中）的小數(shù)點(diǎn)后第三位數(shù)字為（）A． B． C． D．2．（2024·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為，某人存入大額存款元，按照復(fù)利計(jì)算10年后得到的本利和為，下列各數(shù)中與最接近的是（

）A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.343．實(shí)數(shù)精確到的近似值為.4．某公司2021年實(shí)現(xiàn)利潤100萬元，計(jì)劃在以后5年中每年比一年利潤增長8%，則2026年的利潤是萬元.（結(jié)果精確到1萬元）

題型八：楊輝三角1．（25-26高三上·福建·開學(xué)考試）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表．?dāng)?shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．第2025行的第1013個(gè)數(shù)和第1014個(gè)數(shù)相等C．在楊輝三角中，第行所有數(shù)字的平方和恰好是第行的中間一項(xiàng)的數(shù)字D．記楊輝三角中第行的第個(gè)數(shù)為，則2．（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項(xiàng)式展開式中組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，用代表第行，第個(gè)數(shù)，，例如，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（

）A．B．在第行中，最大C．D．3．（24-25高二下·河北保定·階段練習(xí)）如圖所示的“楊輝三角”中，第3行到第10行的各行的第4個(gè)數(shù)的和為（

）A．124 B．185 C．220 D．3304．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（）A．B．在第2022行中第1011個(gè)數(shù)最大C．第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于9行的第8個(gè)數(shù)D．第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為2：35．（24-25高二下·重慶·期末）（多選題）將（，1，2，…）按照二項(xiàng)式定理展開后，其各二項(xiàng)式系數(shù)可以形成“楊輝三角”（圖1），將“楊輝三角”中所有的奇數(shù)涂成黑色圓，偶數(shù)涂成白色圓，就得到“謝爾賓斯基三角形”（圖2），則（

）A．在“楊輝三角”中，第n行的所有數(shù)字之和為B．在“楊輝三角”中，記第行的第個(gè)數(shù)為，則C．在“謝爾賓斯基三角形”中，第（，2，…）行全行都為黑色圓D．在“謝爾賓斯基三角形”中，第126行的黑色圓比白色圓多一個(gè)6．（24-25高二下·廣東廣州·期末）（多選題）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的．以下關(guān)于楊輝三角的說法正確的是（

）A．第6行從左到右第4個(gè)數(shù)是20 B．第2022行的第1011個(gè)數(shù)最大C．210在楊輝三角中共出現(xiàn)了6次 D．記第行的第個(gè)數(shù)為，則7．楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教育家.楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多規(guī)律，如圖是一個(gè)11階楊輝三角.11階楊輝三角（1）第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù)為；（2）若第行中從左到右第7個(gè)數(shù)與第9個(gè)數(shù)的比為，則的值為.8．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里給出了楊輝三角，書中是用漢字來表示的，如圖1.研究發(fā)現(xiàn)，楊輝三角可以由組合數(shù)來表示，如圖2.

楊輝三角有很多有趣的性質(zhì)，如楊輝三角的兩個(gè)腰上的數(shù)字都是1，用組合數(shù)表示為.請寫出一條其他的性質(zhì)，用組合數(shù)表示為：.從楊輝三角蘊(yùn)含的規(guī)律可知：.題型九：證明組合恒等式1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）求證：．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）求證：

3．已知．(1)求的值(2)①證明：，其中，，，，；②利用的結(jié)論求的值．4．（24-25高三下·天津·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，(1)求、、的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)證明：；(3)表示不超過的最大整數(shù)，如，，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

5．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）（l）當(dāng)，時(shí)，證明：．（2）當(dāng)，時(shí)，證明：．題型十：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和1．已知，展開式中的系數(shù)為，則等于（

）A． B． C． D．2．（25-26高三上·北京·開學(xué)考試）已知，則；．3．（1）求證：；（2）利用等式可以化簡：；類比上述方法，化簡下式：.（3）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，求證：對于任意正整數(shù)，函數(shù)總是關(guān)于的一次函數(shù).

題型十一：排列組合綜合1．（24-25高二上·遼寧大連·期末）現(xiàn)有位老師，位女同學(xué)，位男同學(xué)，派這些人去參加兩項(xiàng)活動(dòng).要求老師參加活動(dòng)時(shí)至少帶上一位男同學(xué)和一位女同學(xué)，每個(gè)人只參加一個(gè)活動(dòng)且每個(gè)活動(dòng)至少一人參加，若不同的參與活動(dòng)的方法有種，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江嘉興·二模）6位學(xué)生在游樂場游玩三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)人都只游玩一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目都有人游玩，若項(xiàng)目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有（

）A．180種 B．210種 C．240種 D．360種3．2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)將在杭州舉行，某大學(xué)5名大學(xué)生為志愿者，現(xiàn)有語言翻譯、醫(yī)療衛(wèi)生、物品分發(fā)三項(xiàng)工作可供安排，每項(xiàng)工作至少分配一名志愿者，這5名大學(xué)生每人安排一項(xiàng)工作．若學(xué)生甲和學(xué)生乙不安排同一項(xiàng)工作，則不同的安排方案有（

）A．162種 B．150種 C．120種 D．114種4．武鋼六中近期迎來校慶，學(xué)