5.1直角三角形的性質(zhì)定理湘教版（2024）初中數(shù)學(xué)八年級上冊同步

練習(xí)

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共3（）分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.如圖，在ABC中，/-ACB=91J。，/-A=30°,CD148于點(diǎn)D,E是A8

的中點(diǎn)，若DE=2.5,則A8的長為（

A.2.5

AEDB

B.5

C.7.5

D.10

2.如圖所示，A4BC是等邊三角形，。為4C的中點(diǎn)，DE1AB,垂足為E.若A

A

4E=3,則aABC的邊長為（）

A.12

B.10

C.8

D.6

3.如圖，在RtZk/lBC中，Z-ACB=90°,CDJ.AB于點(diǎn)D,^BCD=20°,E是斜邊48的中點(diǎn)，則"CE的度

數(shù)為（）

A.30°B.50°C.45°D.40°

4.將副直角三角板按如圖所示方式投放,含3（T角的三角板的斜邊經(jīng)過含45c角的K

—?It.4-rlH1?/r-c

A.10°

B.15°

C.20°

D.30°

5.如圖，公路AC,8C互相垂直，公路的中點(diǎn)M與點(diǎn)。被湖隔開，若

測得48的長為6Am,則M,C兩點(diǎn)間的距離為（）

A.3km

B.3.5/C7H

C.4k771

D.4.5km

6.調(diào)禮考工記》中記載有：半矩謂之宣，一宣有半謂之樨…”意思是：…直角的一半的角叫做宣，

宣半的角叫做梅….即：1宣=；矩，1檻=《宣（其中，1矩=90。），圖1為中國占代一種強(qiáng)弩圖,圖2為這種

強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若41=1矩，48=1擷，則乙。的度數(shù)為（）

7.已知a〃從某學(xué)生將一直角三角板如圖所示放置，如果21=35。，那么42的度數(shù)為（）

A.35°B.55°C.56°D.65°

8.如圖，在△力8c中，Z,A=32°,4。=40。，點(diǎn)0在邊力。上，將△480沿8。折A

疊，點(diǎn)力落在點(diǎn)E處，若則NC8D的度數(shù)是（）

A.72°

B.75°

C.79°

D.80°

9.在Rta/ICB中，ZC=90°,=30。，若AC=6,則BC的長為（）A

A.8

B.12

...............C

C.6/3

D.12/3

10.如圖,在△48C中，AB=AC,Z-B=30°,ADJ.AB交BC于點(diǎn)、D,A

CO=2,則BC的長是（）

BDC

A.4B.6C.8D.12

二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。

11.如圖，在△48。中，Z.ACB二90。，48=40。，。為線段45的中點(diǎn)，則乙4G9=____.

K

12.如圖，在△48C中，/-BAC=90°,力。是8C邊上的中線，且BC+4D=18,則BC的長為________.

k

%

13.如圖，Z.BAP=乙CAP=1!5°,PM〃/1C交力8于M,PO_L/1C于。，若PD=5,B,

財(cái)4M=_.A￡X_P

DC

14.如圖，在△48C中，/.ABC=45°,AC=9cm,尸是高力。和EE的交點(diǎn)，則8F的長是

三、解答題：本題共6小題，共48分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題8分）

如圖，在Rt△48C中，/-ACB=90°,。是邊力8的中點(diǎn)，=25。.求乙力CD的度數(shù).

16.（本小題8分）

如圖，在國48。中，AD1BC,21=48.求證：團(tuán)是直角三角形.

17.（本小題8分）

如圖，四邊形8CED是平行四邊形，延長BD至點(diǎn)4使點(diǎn)。為AB的中點(diǎn).連接4E,AC,CD,已知4C=

BC.

（1）求證：四邊形40CE是矩形.

（2）若還滿足AC18C,則四邊形4OCE的形狀為

BC

18.(本小題8分)

在△ABC中，Z.C=90°,根據(jù)下列條件解直角三角形：

(l)c=10,乙B=45°；

(2)、=248,c-b=S.

19.(本小題8分)

(1)在RtZkABC中，Z.C=90°,tanA=/3,求41度數(shù).

(2)在A/IBC中，AB=8,LA=30°,BC=5,求4c長度.

20.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，AB=AC,Z.BAC=150°,將ABC繞8點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DBE,旋轉(zhuǎn)角為a(0。<

a<180°),若A,D,E三點(diǎn)恰好在同一條直線上：

(1)求旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)：

(2)若48=6,求力E的長.

BA

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：???△4CB=90°,44=30°,

???乙B=60°,

???￡是A8的中點(diǎn)，

CE=BE=加,

.?.△BCE為等邊三角形，

vCD1AB,DE=2.5,

:.BE=2DE=5,

:.AB=2BE=10.

故選：D.

利用三角形的內(nèi)角和定理可得=60。，由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)定理可得CE=BE=^4B,利用等

邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.

本題主要考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握定理是解答此題的關(guān)

鍵.

2.【答案】A

【解析】解：?.?△48C是等邊三角形，DELAB,垂足為點(diǎn)E,AE=3,

.,.在直角三角形力OE中，Z/1=60S/-AED=90°,Z.ADE=30%

AD=2AE=6,

又，;。為力。的中點(diǎn)，

???AC=2AD=12,

等邊三角形ABC的邊K為12,

故選:A.

根據(jù)題意可知4/1=60。，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)先求得乙4?！?30。；在直角三角形7IOE中求得力。

的長，即可求得的長.

本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60。；也考查了直角三角形

兩銳角互余的性質(zhì)，在直角三角形中30。角所對應(yīng)的邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三

角形斜邊中線的性質(zhì).根據(jù)直角三角形兩銳角互余分別求;l"B，4A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等

于斜邊一半可得CE=AE，算出ZACE的度數(shù)，根據(jù)△。?！?乙皿?。一乙4?￡即可求解.

【解答】

解：???△是直角三角形，Z.ACB=Z.ACD+乙BCD=90°,乙BCD=20°,

A/.ACD=70°,

vCD1AB,

.?.在Rt△BCD中，△B=90°-乙BCD=90°-20°=70°,

同理，在RtaABC中，Z-A=90°-=90°-70°=20°,

???點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，

1

CE=%3,

即CE=BE=AE,

LECA=z/l=20°,

:.乙DCE=Z.ACD-/.ACE=700-20°=50°.

故選:B.

4.【答案】B

【解析】解：如圖所示：

依題意得：乙B=45°,AACD=60°,

vZ.ACD=zl+Z.B,

Zl=Z.ACD-乙B=60°-45°=15°.

故選：B.

依題意得匕8=45。，AACD=60°,然后再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得出乙1的度數(shù).

此題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，解決問題的關(guān)鋌是理解三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰

的兩個(gè)內(nèi)角和.

5.【答案】A

【解析】解：???4C1BC,

???/.ACB=90°,

???點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),AB=6km

:.CM=^AB=3(/cm),

???M,C兩點(diǎn)間的距離為3/cm,

故選：A.

根據(jù)垂直定義可得：乙4cB=90。，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】B

【解析】解：由題意知：N力=90。,乙8=|乂45。=67.5。，

則“=22.5°；

故選：B.

7.【答案】B

【解析】解：?：a〃b,

z3=z.4,

vz3=zl,

???zl=z.4,

?.?/5+匕4=90°,且45=42,

:.zl4-z2=90°,

vzl=35°,

???Z2=55。，

故選：B.

【解析】解：???在△ABC中，乙4=32。，4c=40。,

???乙ABC=180“-LA-“=180°-32。-40"=108°,

VBELAC,zc=40%

???乙CBE=90°-ZC=90°-40°=50°,

:.￡EBA=￡.ABC-乙EBC=108°-50°=58°,

???招△48。沿8。折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，

:.乙EBD=LABD=^/.EBA=29°,

乙CBD=乙CBE+乙EBD=500+29°=79°.

故選：C.

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得108。，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得NE8C=50。，進(jìn)而得到

^LEBA=58°；然后利用折疊的性質(zhì)可得NEBO=29。，最后根據(jù)角的和差即可解答.

本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，弄清各角之間的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

9.【答案】C

【解析】解：在RM4C8中，〃=90°,=30°,AC=6,

則｛8=2AC=2X6=12,

由勾股定理得：BC=yjAB2-AC2=V122-62=6/3,

故選：C.

根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AB,再根據(jù)勾股定理求出BC.

本題考查的是勾股定理、含30度角的百角三角形的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜

邊長為c,那么。2+爐=。2.

10.【答案】B

【解析】解：?.?48=4。，

:.Z.B=L,C—30°,

vAD1AB,

A々BAD=90°,

???￡ADB=90°-LB=60°,

???/HOB是△ACZ）的一個(gè)外角，

:.Z.DAC+ZC=60°,

vzC=30°,

Z.DAC=ZC=30°,

，AD=CD=2,

在含30。的中，BD=2AD=4,

?.BC=BD+DC=2+4=6.

故選：B.

根據(jù)48=AC得到28=ZC,再根據(jù)題意可得40=CD,最后根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

本題考查了含30。的直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30。的直角三角形的性質(zhì)是解決問

題的關(guān)鍵.

11.【答案】50°

【解析】略

12.【答案】12

【解析】解：???在△A8C中，LBAC=90°,,

.?.△ABC是直角三角形，

是48邊上的中線，

：.AD=；BC,

???BC+AD=18,

A\BC+BC=18,

=18,

:.BC=12,

即BC的長為12,

故答案為12.

13.【答案】10

【解析】解：過P點(diǎn)作PE于E,如圖，E?

??P是乙8AC平分線上一點(diǎn)，PDA.AC,PE1AB,\

???PE=PD=5,P

vPMUAC,ADC

Z.EMP=2LBAC=30°,4MPA=Z.DAP,

???4P平分N84C,

Z.BAP=/.CAP,

???￡MPA=Z.MAP,

?.AM=PM,

在次APME中，=30°,

PM=2PE=10,

??"M=10.

故答案為：10.

過P點(diǎn)作PE_L/1B于E,如圖，先利用角平分線的性質(zhì)得到PE=P。=5,再證明，MR4=々M/1P得到AM=

PM,接著利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出PM,從而得到AM的長度.

本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也考查了平行線的性質(zhì).

14.【答案】9cm

【解析】解：AD_LBC,BELAC,

乙ADC=Z.ADB=90°,/.BEA=90°,

又,?乙FBD+Z.BDF+乙BFD=180°,zF/lE4-Z.FEA+Z.AFE=180°,RzFFD=Z/1FE,

:.乙FBD=Z.FAE,

乂?；乙ABC=45°,4ABD+/.BAD=90°,

/BAD=45°,

BD=AD,R^ADC=LBDF=90°,乙FBD=LFAE,

.?.△ADCaBOFG4sA）

:.BF=AC=9cm,

故答案為:9cm.

由垂直的定義，三角形的內(nèi)角和定理和角的和差求二/8。=N凡4E,直角三角形中兩銳角互余利等腰三角

形的判定與性質(zhì)求得8。=4。，用角角邊證明△F8DgZi&40,由其性質(zhì)得8F=4C,求出B/的長是

9cm.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，垂直定義和等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明

△80尸是本題的關(guān)鍵.

15.【答案】解?.?在RtzMBC中，Z.ACB=90°,。是AB的中點(diǎn)，

；.CD=\AB=AD=80（直角三角形的性質(zhì)定理）.

:.Z.DCB==25°.

???Z.ACB=90°,

Z.ACD=Z.ACB-Z.DCB=90°-25°=65°.

【解析】見答案

16.【答案】證明：因?yàn)?0_L8C,所以乙10。=90。.所以21+NC=90。.因?yàn)镹1=48,所以/8+NC=

90。.所以團(tuán)ABC是直角三角形.

【解析】略

17.【答案】見解析；

正方形.

【解析】(1)證明：???邊形BCED是平行四邊形，

BD=CE,AB//CE,

???點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，

:.BD=AD,

:.AD=CE*

匹邊形/OCE是平行四邊形，

???AC=BC,

???△4BC是等腰三角形，

?.?點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，

CD1AB,

:."DC=90。，

二匹邊形ADCE是矩形；

(2)解:-AC=BC,AC1BC,

.?.△48C是等腰直角三角形，

???點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，

???CD=AD,

?.?匹邊形/WCE是矩形，

???匹邊形4DCE是正方形，

故答案為：正方形.

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BD=CE,AB//CE,由題意易得BD=4D,推出4。=CE,易證四邊形

4DCE是平行四邊形，再根據(jù)題意易得△48C是等腰三角形，結(jié)合點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，利用等腰三角形三線

合一可證41DC=90°,即可證明結(jié)論：

(2)根據(jù)題意易得△A8C是等腰直角二角形，利用直角二角形的性質(zhì)可得=4。，即可得到四邊形片

是正方形.

本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，

正方形的判定.熟記平行四邊形的判定方法與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

18.【答案】LA=45°,a=b=5/2；

Z-A=60°,Z.B=30°,a=8\/~3,b=8,c=16

【解析】(1)???乙8=45。，zC=90。，

LA=90°-Z-B=45°,

???a=b=csinA=10x苧=52，

即，力=45°,a=b=5/2：

(2)vZ.A=2zfi,ZC=90°,

z/l+ZB=90°,

.??/A=60%乙B=30°,

:.c=2b,

vc—b=8,

???2b—b=8,

b=8,c=16,

???a=>1c2—b2=8V-3?

即/力=60°,乙B=30°,a=8/3,b=8,c=16.

(1)根據(jù)NB=45。，ZC=90°,可以求出這個(gè)三角形的另一個(gè)銳角為45。，利用乙4的正弦可以求出直角三角

形的直角邊；

(2)根據(jù)=2/8和直角三角形兩個(gè)銳角互余可以求出41=60。，△8二30。，根據(jù)直角三角形中30。的銳

角所對的直角邊等于斜邊的一半可以求出直角邊b和斜邊c的長，再利用勾股定理求出另一直隹邊Q的長

度.

本題主要考查了解直角三角形，解直角三角形是利用勾股定理和三角函數(shù)求出直角三角形中未知的邊和

角.

19.【答案】60°；

4V口+3或4c-3

【解析】(1)在中，zC=90°,tanA=>Jl^

Z.A=60°；

(2)如圖,作8。14C于點(diǎn)D,

在RtZk/BD中，44=30°,AB=8,

2222

ABD=^AB=4,AD=AB-BD=V