2024年春高一（下）期末聯(lián)合檢測試卷數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

測試卷共4頁，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、班級(jí)填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上

粘貼的條形碼的“準(zhǔn)為證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2R鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用0?5毫米的黑色墨水簽

字筆在答題卡上書寫作答.若在試題卷上作答，答案無效.

3,為試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù):滿足"+'5，,則上卜（）

V?

A.2B.1C.邪D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則得到復(fù)數(shù)二，再求復(fù)數(shù)的模即可.

【詳解】因?yàn)?/p>

所以1+1(1+11(1-1)

所以匕卜在

故選：C.

”8,79,81,81.83,85,87,89,90,90,919194的第6。百分位數(shù)是（）

A.8.7B.8.9C.9.0D.9.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?3x0.6=78,

所以781,81,81.83.85.87,89,90,90.91.91.94從小到大排列取第8個(gè)數(shù)89.

故選：B.

3.在中，記內(nèi)角ARC所對(duì)的邊分別為若d-ab=（a-b）L則。=（）

KKK2K

A.6R.4c.3D.3

【答案】c

【解析】

【分析】由題意可得=M+9-結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解.

【詳解】由c'-ab=（a-b）‘，得ab.a—\

ca'+b'-c'ab1

cosC=--------------—

由余弦定理得2ab2ab2,

C='

又0＜。＜兀，所以一3.

故選：c

4.下列說法正確的是（）

A.若空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線

B.若空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)共面

C.若空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面

D.若空間四點(diǎn)不共面，則任意三點(diǎn)不共線

【答案】D

【解析】

【分析】對(duì)四個(gè)命題利用空間四個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系分別分析解答.

【詳解】對(duì)于A,空間四點(diǎn)共面，如平面四邊形，其中任何三點(diǎn)不共線；故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)，得到此四點(diǎn)不共面：故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)可能共面，如平面四邊形；故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,空間四點(diǎn)不共面，如果任意三點(diǎn)有共線的，那么此四個(gè)點(diǎn)就共面,與已知矛盾.故D正確，

故選：D.

5.某航空公司銷售一款盲盒機(jī)票，包含哈爾濱、西安、蘭州、濟(jì)南、延吉5個(gè)城市，甲乙兩人計(jì)劃“五一”小長

假前分別購買上述盲盒機(jī)票一張，則兩人恰好到達(dá)城市相同的概率為（）

234

A?5B.5c.5D,5

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算即可求解.

【詳解】記哈爾濱、西安、蘭州、濟(jì)南、延吉5個(gè)城市分別為0?瓦Cd.。，

則甲乙分別購買盲盒機(jī)票一張共有5）=25種可能，

其中兩人恰好到達(dá)城市相同的情況有8辦（“坎（cOW的,@“），共5種可能，

_5__1_

所以滿足題意的概率為？5-5.

故選：A

6.汜”BC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為°?瓦若Man5-btg4cos/l+cos5-l,則a鉆0是（）

A,等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直用三角形

【答案】B

【解析】

4=3=C=—

【分析】根據(jù)正弦定理和三角恒等變換的化簡可得，，即可求解.

【詳解】=blon月，

由正弦定理得出i4anBcos/l=wnBanAcotB,

^sini4>0,sm5>0所以cosZ=cosa,

又°</<幾0<8<兀，所以4=3,

因?yàn)?$4+8SB,1,所以2co$4=1,

cos>4=1/」b,C==

即2,得3,故3,則3,

所以d4BC為正三角形.

故選：B

AE^^AB.AF=-AC

7.在/C中，/I5=3./1C=4,Z3XC=6O'

且34則OEBF=()

A.-2B.-3c.-4D.-5

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)余弦定理計(jì)算求出BC,再次利用余弦定理計(jì)算ssB,cost,根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可

西市，正」正

得3344,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律和定義計(jì)算即可求解.

【詳解】XB-3MC-4,X-60,

由余弦定理得BC疝，

Dq+BC-舊cAC'5J3

cosB?------------?——,cosC?--------------——

所以2ABBC132ACBC26

一，_______1一

AE^^AB.AF^^-AC

又34.

—I—1_____3—1一

3=-C4+二。8、8尸=-BA+-BC

所以3344,

BF^L^1CB\(1BA^BC\

則(33八44)

即a為平面4CGE,是四邊形.

故選：c

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.

9.一個(gè)不透明袋中裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球（每個(gè)球標(biāo)有不同的編號(hào)，除顏色和編號(hào)外均相同），從中不

放回依次抽取2個(gè)球，記事件A為“第一次取的球?yàn)榧t球“，事件B為“第二次取的球?yàn)榘浊颉?，則（）

A尸（川=尸（3）

B.45為對(duì)立事件

c.4B為相互獨(dú)立事件

5

D.抽取的2個(gè)球中至多1個(gè)白球的概率為不

【專案】AD

【解析】?

【分析】記？個(gè)紅球編號(hào)為丐①乙？個(gè)白球編號(hào)為寫出樣本空間Q及事件48的樣本點(diǎn)，對(duì)于

A,用古典概率公式計(jì)算事件43概率即可；對(duì)于B,事件48包含共同的樣本點(diǎn)，故不對(duì)立；對(duì)于C,

根據(jù)獨(dú)立事件的概念判斷即可；對(duì)于D,記事件0為“抽取的2個(gè)球中至多一個(gè)白球”，用古典概率公式

計(jì)算即可.

【詳解】記？個(gè)紅球編號(hào)為生?的二個(gè)白球編號(hào)為砥3，

所以樣本空間為

。=｛（%.%）,（%,4）.（。禺）.（的。1）,（分4）,（外務(wù)）@嗎）.（'的）,（瓦出）他嗎）.。瑪）他.瓦））

事件A包含的樣本點(diǎn)為｛（%。［'3卜4），（0卜4）＜0?0】）＜%，4），（％』】）），

事件3包含的樣本點(diǎn)為｛31自）＜°卜4）＜44）＜卬5），@。）（44））,

＜A）6】小柏萬⑻61

產(chǎn)（4）=-：—=——=一.尸（6,）=—―=—=—

對(duì)于A,因?yàn)?（Q）1--"（C）I?-,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)槭录?2包含共同的樣本點(diǎn)｛4也）?與＞（%出）＜%石］））,故事件4E不對(duì)立,故B

錯(cuò)誤；

P（砂=3駕A=-*尸⑷畫=1

對(duì)于C,因?yàn)榈模?234,所以43不獨(dú)立，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,記事件C為“抽取的2個(gè)球中至多一個(gè)白球”，

則事件C包含的樣本點(diǎn)為

（（4a，也、出修乂&聞心也乂與卬的.%）4》/）。,.4）｝

小n（C）105

產(chǎn)C）=----=—=—

所以力（Q）126,故D正確.

故選：AD.

10.已知復(fù)數(shù):1二2+&二)=3-41.二】.與在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為4?2),則()

A.hfl=IR+周

B.網(wǎng)=58

c滿足口二上丁的復(fù)數(shù)：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z形成的圖形的周長是5Tl

D.滿足匕卜一〈」」的復(fù)數(shù);對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z形成的圖形的面積是1%

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得Z=Q.AZ：=(3T)求得匕+f卜匕|+七|即可判斷人：求得

|Z，J=5W即可判斷B：求得M+b，=25即可判斷C：求得13<。：種,<25即可判斷D.

【詳解】由：產(chǎn)"九：：=3-七得Z；=QJ)4=aT)

A：=1+小7則匕+二卜后，乂匕卜疝H=5,

所以|二】+訃匕|+七|,故A錯(cuò)誤;

B：|卒心「了+(3+“=5月故B正確；

C：設(shè)二:。+4(*SR),則卜卜

由匕卜E,得gW=5,即a'+b'=?5,

所以復(fù)數(shù)二對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z形成的圖形的周長為1。汽，故c錯(cuò)誤；

D：設(shè)二:。+從(db^R),則I二卜匕

又國=岳匕|=

5所以Ja：+b：<5,即13<a：

所以滿足匕卜匕卜」二』的復(fù)數(shù)二對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z形成的圖形的面積為二L1311*故D正確.

故選：BD

11.對(duì)棱相等的四面體被稱為等腰四面體，現(xiàn)有一等腰四面體前。?！颁X=出3="?!。』、則下列說

法正確的是()

A.該四面體各面均是全等三角形

B.該等腰四面體的面可以是直角三角形

c.若E為AS中點(diǎn)，尸為CD中點(diǎn)，則EFLAB,ER1CD

—J(a3+b3-c3)(33+c3-a3)(c3+a3-b3)

D.該四面體的體積為12、

恪案】ACD

【解析】

【分析】由等腰四面體的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A,由圖可知，該四面體各面邊長均是外瓦J

所以該四面體各面均是全等三角形，故A正確；

對(duì)于B,若為直角，則4CDNm7.ZW均為直角,

可知AB.C.Z）在同一平面上，顯然不可能，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于c,連接屹EC.陽8尸，

cosZ.ADC=cos^BCD=~—

Zab,

在-亞中，所產(chǎn)竹卜w

BF=Jb】+—-2b巴co/CD=Jc

在ABC尸中，所以V42V

則4尸二2尸，所以

同理可得：EC=ED,所以*'/CD,故c正確；

對(duì)于D,將四面體放入如圖所示的長方體內(nèi)，

AC=BD=c,BC=AD-b,AB=CD=a,

則低+附=/，4?；+川=口耳+皿=1

則【=I4JOUCD-一<J?C?2>一1.3C-1D-ACD

1-故D正確.

故迷：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.放風(fēng)箏是一項(xiàng)有益的運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)對(duì)高一和高二共1500名同學(xué)進(jìn)行按比例分層抽樣調(diào)杳，統(tǒng)計(jì)近兩年放過

風(fēng)箏的人數(shù)，有如下數(shù)據(jù)：高一學(xué)生抽取有效樣本40,放過風(fēng)箏的人數(shù)為19,高二學(xué)生抽取有效樣本

60,放過風(fēng)箏的人數(shù)為巾，由此估計(jì)兩個(gè)年級(jí)近兩年放過風(fēng)箏的人數(shù)約為540,則加=.

【答案】17

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立方程，解之即可求解.

*?6019+刑

【詳解】由題意知，節(jié)面的，

解得巾=17,

即高二學(xué)生抽取有效樣本60,放過風(fēng)箏的人數(shù)為17.

故答案為：17

13.己知復(fù)數(shù)，,與分別為方程『-二1+6=°的兩根，則二;+上I=.

【答案】-2

【解析】

【分析】由題意可得二"工-6,則二：+工=Xz+G-6,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槎放c分別為方程/一6=0的兩根，

所以-1+。一一,-1--10,

所以二；+二=二?6+二=2仁+二］）?6=4?6=-1

故答案為：-2

14.已知工㈠為單位向量，且門"卜",則?魴?4+F?T的最小值為.

【雪案】后

【解析】

?.1

【分析】由忸詞="得歷三一亦斗后由困T+F-相如回當(dāng)?shù)忍?hào)成

立時(shí)可得最小值.

【洋解】因?yàn)長為單位向量，有同咽咔卜L得審=戶=尸=1,

*="得（2a-b\=4J2-4Jd+62=7,

由,得？

cos/3.t\=-^r1

所以，?1*1

-(a,b]e[Q.n]

，乂'/1L所以'13,

35-S|=jj3J-i|3=7?2-65b+P=713

而

則怩t+FTn忻詞=正

當(dāng)且僅當(dāng)3力-^與5—0方向相反時(shí)“二”成立

所以占T+H的最小值為后；

故答案為：岳

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.2023年冬季“爾濱”爆火，某咨詢公司開展評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)，以網(wǎng)絡(luò)問卷、現(xiàn)場掃碼問卷、電話回訪、短信等方式

進(jìn)夕亍，得到若干游客的評(píng)價(jià)得分如下頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)評(píng)分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），中位數(shù)（精確到0.1）：

（2）按比例從【60?80）中抽取4人，進(jìn)行不滿意情況電話回訪，再從這4人中隨機(jī)抽取2人發(fā)送禮物，求

2人不在同一評(píng)分區(qū)間的概率.

【答案】(I)估計(jì)評(píng)分的平均數(shù)為85,估計(jì)評(píng)分的中位數(shù)為85.5

(2)2

【解析】

【分析】(1)利用平均數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，先確定中位數(shù)在［80'901內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為K,從而列出方

程，求出答案；

(2)根據(jù)分層抽樣得到［60,70)170,801各抽取的人數(shù),用列舉法得到所有情況數(shù)和滿足要求的情況

數(shù)，計(jì)算出相應(yīng)的概率.

【小問1詳解】

估計(jì)評(píng)分的平均數(shù)為

(65x0.005+75x0015+85x0055+95x0025)x10=85

9

因?yàn)椤?05x10+0015x10=0,<0.5,0.2+0.055x10=0,75>0,5,

故中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為K,

則。-801x0.055=05,解得工燈855

估計(jì)評(píng)分的中位數(shù)為855

【小問2詳解】

［60,7°10°,80)的頻率之比為Q05：。15=1:3,

故從160,80)中抽取4人，其中［607°1內(nèi)的抽取人數(shù)為由”■,設(shè)為A,

3十?

口0罟01內(nèi)的抽取人數(shù)為mX設(shè)為3CQ,

則從這4人中隨機(jī)抽取2人發(fā)送禮物，情況如下：

共6種，

其中2人不在同一評(píng)分區(qū)間的情況有,共3種，

所以從這4人中隨機(jī)抽取2人發(fā)送禮物，求2人不在同一評(píng)分區(qū)間的概率為不.二

16.在同一平面內(nèi),旅訪的夾角為6,且2快卜網(wǎng)=2赤=(17)>——方當(dāng)』取4時(shí),

畫取最小值，OC=OP^OQ.

(1)證明AA。三點(diǎn)共線；

⑵若4.亍,求仇

【岑案】（I）證明見解析

⑵0)

【解析】

【分析】（1）由0c=°產(chǎn)+°°=（】一"°4+'0"可得答案；

（2）對(duì)產(chǎn)°=0°-°尸=I°8-I1-Z）Q4兩邊平方再開方，結(jié)合二次函數(shù)求最值可得答案

【小問1詳解】

因?yàn)槎?"―/）聲詼=1禰

所以O(shè)C=。尸+。。=Il-z\OA^tOB

OC-OA=H\OA-OB\

可得

所以AC^tABt

因?yàn)橄蛄?U43有共同的起點(diǎn)，

所有AR。三點(diǎn)共線；

【小問2詳解】

用=而?麗=,礪一4—1）為，所以

髭卜也麗-(1T)可=/網(wǎng)醞溫+[(]7)可

=，々二-4r(l-r)cos￡+(l-r『=j5+4co$6)J-(?+4cos6)r+1

_2+4co6-

因?yàn)?+4cos”0,所以當(dāng)?(5+485°)時(shí)|閹有最小值,

2+4cos2

4

此時(shí)，2(5+4836)

Q1八加

cosr=-6=一

可得？，因?yàn)?35三%可得3.

ZPCB，

17.如圖，點(diǎn)尸為邊長為1的菱形工5。。所在平面外一點(diǎn)，且JCD為正三角形,4,四邊形

J2

/5CD的面積為2，點(diǎn)乂，“分別為QP和的中點(diǎn).

(1)求證：MN//平面F5C；

(2)求證：平面尸BC1平面^58.

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)如圖，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得且38=3,即四邊形人化即為平行四邊形，則

wBE,結(jié)合線面平行的判定定理即可證明：

zz)ec=zpoc=DO―

(2)如圖，利用全等三角形的性質(zhì)可得27,即DQ'bC,根據(jù)勾股定理的逆定理可

得PQ1DQ,結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明.

【小問1詳解】

cc=-DC

取?C的中點(diǎn)E,連接即，則M5//OC且2,

又AB//DC旦腦?展0C,所以XB/小隹且NB=ME,

所以四邊形'出5"為平行四邊形，則

又MN(Z平面PBC,BEu平面P5C,

所以MW7/平面P5C；

NH【小問2詳解】

過p作尸于Q,連接網(wǎng),由?8=1,得P0=Cg

nnADAB-——ZJ)AB=-ZDCB■―

則2,由4C>3D、0<NZU5(%4,即4,

所以“CB="CB,又CD=PC.OCNQC.所以AOCDEAOCP.

得PQ=DQ,〃QC="QC￡得C0=D0,DQ1BC

在中，皿。?“如；，所以則為邛.

因?yàn)榈酌嬖?。。是邊長為1的菱形，dCD為正三角形，

所以8=尸。=1,得吵吁圣喈+卬”加所以尸2，口,

又D0nBe=0,區(qū)、BCu平面.4?。。，所以尸2/平面.43CD,

又P°u平面F50,所以平面FB01平面，SCO.

況=］反"萌==

18.在/C中，已知點(diǎn)E滿足26.

(1)若?西二L"二?帆求4c的長度;

(2)若BE=1,求面積的取值范圍.

【答案】(I)6

Ovs.it^

(2)4.

【解析】.

sinZCX￡=-ZCAB=-

【分析】(I)在A/BE,△HCB中，由正弦定理得從而確定3,再由

A￡^-AB^LACS

33兩邊同時(shí)平方，即可得4C.

(2)根據(jù)題意得$"?=33皿，在/BE中，由余弦定理得9月￡“：：+/,則

4代入即可.

【小問1詳解】

因?yàn)槔?；EC./B愈//

BE^-EC

即2,

一一一一1一一1一一今一1一

AE^AB^BE^AB^-BC^XS+-(^C-AB)=^AB^-AC

所以33JD

在“ABE,△HCE中，由正弦冠理得

BE_ABECAC

siu'BAEsiu^ARBsmZ.CAEsui二Afif

又因?yàn)閟in乙4￡3=sn乙45。，

AB^^BAEAC^nZ.CAE.，…1

------------=-------------sinZ.CAE=一

所以BE次？，即2

—2。4￡=三NCAB=3

又因?yàn)镹C4”W（0?R）,所以6,故3,

苻二（二石，后

所以33

祝，/11而?LL/‘，冠」」同11函罰

即991rl299911,93

I而上五「

所以？，故4c=6

【小問2詳解】

BE=?BC

因?yàn)?,且BE=1,

所以Sqc=3S.m.

在&4BE中，由余弦定理得

BE'=AB'+AE3-tABAEC^ABAE,

1=AB2^AE2-2ABAE->2AB>AE->/3ABAE

故2,

即形AEgt+6,當(dāng)且僅當(dāng)X5=/E取等號(hào)，

S〃=3SM=3xlxABxA￡x$mNA45=2XB—』(?+")=一"

所以-444

所以53（7的面積取值范圍為-4

19.如圖，三棱柱＜30-446中，4在底面ABC內(nèi)的射影為^ABC的外心0,且

三棱柱的側(cè)面積為

IB

(1)求證：M,BC；

(2)求三棱柱”5。-440的體積：

(3)分別求二面角3一-。和二面角A-3瓦一0的大小.

【答案】(I)證明見詳解.

(2)2

⑶60二60,.

【解^5]

【分析】(I)連接X。并延長交3。于D,由4在底面4BC內(nèi)的射影為超C的外心。得40,平面

ABC,AO1BC,再通過證明平面4力0即可：

(2)由(1)可知3。,此，證明3c,8冬,痛="，根據(jù)側(cè)面積為二日得

AB=AC=伙=BB[=CC]=義

小,再由余弦定理計(jì)算底面?四C外接圓半件CH即可；

⑶取M中點(diǎn)M,連接㈤,"C,證明會(huì)。為等邊三角形，即二面角3一必一0即為

N5MC=60?，同理可得二面角”竭一0為601

【小問1詳解】

連接并延長交3C于D.如圖①所示，

因?yàn)锳在底面43c內(nèi)的射影為“5C的外心o.

且q=力0,即D5C為等腰三角形，

所以40_L平面43°,H0,3C,D為3c的中點(diǎn)，

因?yàn)锽Cu平面43C,

所