最值問題

直線軌跡專題

易錯(cuò)點(diǎn)1:將軍飲馬

例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4（1,1）,8（3,3）,點(diǎn)夕為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則必+P8的最小值為（）

A.2逐B(yǎng).275C.5D.V15

變式1：如圖，C。是。。的直徑，CO=8,Z4CD=20",點(diǎn)8為弧4）的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是直徑CD上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則B4+P8的最小值為

易錯(cuò)點(diǎn)2；三點(diǎn)共線

例：如圖，在々48。中，A4=13,4C=10,。是"C中點(diǎn)，E尸垂直平分A8,交AB邊于點(diǎn)、E,交AC邊于

點(diǎn)廣，在瓦■上確定一點(diǎn)使|朋-叫最大，則這個(gè)最大值為（）

A

A.10B.5C.13D.6.5

變式h如圖,四邊形A8C。中，AB//CD,N/WC=90。，A8=5,BC=3,8=3,點(diǎn)夕為直線8。左

3

側(cè)平面上一點(diǎn),△8C尸的面積為則歸八一2。的最大值為

易錯(cuò)點(diǎn)3：兩動(dòng)一定

例：如圖，已知ZAQ8=I5。，點(diǎn)M在邊。3上，且OW=4,點(diǎn)N和點(diǎn)P分別是和04上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

C.3D.4

變式1：如圖，在四邊形A8CO中，AD//BC,AB=AC,BC=6,△O3C的面積為24,AB的垂直平

分線MN分別交AB,AC于點(diǎn)、M、N,若點(diǎn)尸和點(diǎn)。分別是線段MN和8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，則P6+PQ的最小

值為.

CQB

易錯(cuò)點(diǎn)4：兩動(dòng)兩定

例：如圖，已知正比例函數(shù),，=依（心>0）的圖象與x軸相交所成的銳角為70。，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,

尸為），軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)產(chǎn)心”>0）的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+MP+/W的最小值為（）

B.4sin400

C.2拒D.4sin20°(1+cos20°+sin200cos20°)

變式1：如圖，已知正比例函數(shù)>=依（&>0）的圖象與％軸相交所成的銳角為70。，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,P

為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)>=依0>0）的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM十例9+PN的最小值為.

易錯(cuò)點(diǎn)5：兩動(dòng)一定長(zhǎng)

例：如圖，長(zhǎng)方形/WCD中，A6=4,BC=2,G是AO的中點(diǎn)，線段￡/；在邊A3上左右滑動(dòng)，若EF=1,

則GE+b的最小值為（）

A.2GB.2^2C.3yliD.373

變式1：如圖，448C中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,若。,E是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸是邊AC上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DE=立，則8+￡尸的最小值為.

B

易錯(cuò)點(diǎn)6：三動(dòng)點(diǎn)

例：如圖，在直角三角形48c中，，ZACB=30°,A8=8,點(diǎn)P為8C上任意一點(diǎn)，連接處,以Q4,PC

為鄰邊作平行四邊形尸42C,連接PQ，則PQ的最小值為（）

A.3B.C.6D.2石

變式1：如圖，△ABC中，AC=BC=3,AB=2,將它沿AB翻折得到△43。，點(diǎn)尸、E、尸分別為線段AB、

AD.。8上的動(dòng)點(diǎn)，則尸E+P/的最小值是.

C?

D

易錯(cuò)點(diǎn)7：周長(zhǎng)最小

例：如圖，ZAQ8=30°,OC為/AO8內(nèi)部一條射線，點(diǎn)P為射線OC上一點(diǎn)，OP=6,點(diǎn)M、N分別為04、

。3邊上動(dòng)點(diǎn)，則△MN/周長(zhǎng)的最小值為（）

A

PC

B

ON

A.6B.8C.12D.18

變式1：如圖，在AABC中，點(diǎn)。為上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD,點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，點(diǎn)尸，點(diǎn)G分別為邊

C4,邊C3上的動(dòng)點(diǎn)，若NAC3=30。，CE=6,則.MG的周長(zhǎng)的最小值為.

易錯(cuò)點(diǎn)8：中位線

例：如圖，在平行四邊形A8CD中，ZC=135°,A3=2,AO=3,點(diǎn)H,G分別是CD8c上的動(dòng)點(diǎn)，連

接A",GH.E,F分別為A”,G”的中點(diǎn)，則E/的最小值是（）

A.2B.V2C.當(dāng)D.2a

變式1:已知矩形48CO中，A8=2A￡>=4,點(diǎn)E、/分別是邊A3、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AO邊上動(dòng)點(diǎn)，過

點(diǎn)P作與A3平行的直線交心于點(diǎn)G,連接莊，點(diǎn)M是PE中點(diǎn)，連接MG,則MG的最小值=.

易錯(cuò)點(diǎn)9：斜中定值

例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A4CQ的兩個(gè)頂點(diǎn)4、B是坐標(biāo)軸上的動(dòng)點(diǎn)，若正方形的邊長(zhǎng)為

4,則線段0C長(zhǎng)的最大值是（）

c.4V2D.8

變式1：如圖，長(zhǎng)方形兩邊長(zhǎng)A8=2,AD=\,兩頂點(diǎn)A、B分別在丁軸的正半軸和x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),

則頂點(diǎn)。到原點(diǎn)0的距離最大值是

易錯(cuò)點(diǎn)10：隱直線

例：如圖，在長(zhǎng)方形A8CZ)中，A8=5,AD=3,動(dòng)點(diǎn)尸滿足5g樣=長(zhǎng)方物時(shí)。，則B4+PB的最小值為

()

A.aB.734C.729D.5母

變式1：如圖，在矩形ABCO中，AB=5,AO=12,點(diǎn)E是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接8E、CE,5、,旌=：S矩形八帽。，

F為A。上一動(dòng)點(diǎn)，連接￡7%則BE+CE+莊的最小值是.

易錯(cuò)點(diǎn)n：矩形對(duì)角線

例：如圖，RtZXA8c中，ZACB=90°,AC=3,8c=4.點(diǎn)。是A8邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作邊AC、BC

垂線，垂足分別為區(qū)F.連接則的最小值為（）

A.3B.2.4C.4D.2.5

變式1:如圖，直線”白+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,4,點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)夕作尸MJLx軸于

4

點(diǎn)、M,作PN_L），軸于點(diǎn)N,連接MN,則線段MN的最小值為

易錯(cuò)點(diǎn)12：數(shù)形結(jié)合

例：函數(shù)產(chǎn)42+2工+2+42-6x+13的最小值是（）

A.2+VF7B.1+2dC.5D.V17

變式1：數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東

西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原貝F.在復(fù)習(xí)二次根式時(shí)，老師提出了一個(gè)求代數(shù)式最小值的問題，如：“當(dāng)

0<x<12時(shí)，求代數(shù)式G■工+?12-幻2+9的最小值”,其中廬2可看作兩直角邊分別為x和2的

RLACP的斜邊長(zhǎng)，“2-幻2+9可看作兩直角邊分別是12-x和3的RsBDP的斜邊長(zhǎng).于是構(gòu)造出如圖，

將問題轉(zhuǎn)化為求AP+4。的最小值.運(yùn)用此方法，請(qǐng)你解決問題：已知小方均為正數(shù)，且。-10=4.則

+9+C+25的最小值是.

易錯(cuò)點(diǎn)13：螞蟻爬行

例：如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為6m,圓柱高為3m,8c為底面圓的直徑，一只螞蟻在圓柱的表面上從點(diǎn)

A爬到點(diǎn)C的最短距離為（）m.

A.2逐B(yǎng).372C.3>/5D.5叵

變式1：如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,寬為10,高為20,點(diǎn)8而點(diǎn)C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體

的表而從點(diǎn)4爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是.

易錯(cuò)點(diǎn)14；切線與勾股定理

例：如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)。到直線/的距離為3,點(diǎn)。是直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。。切0。于點(diǎn)Q,則

P。的最小值為（）

P

A.V13B.石C.3D.2

變式1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線AB：）=；x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。。的半輕為1,過點(diǎn)尸作

的切線，切點(diǎn)為。，則“2長(zhǎng)度的最小值為.

易錯(cuò)點(diǎn)15：圓錐側(cè)面展開圖

例：如圖，圓錐的底面半徑是2,母線長(zhǎng)是6.如果點(diǎn)A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)

面一圈再回到A點(diǎn)，則這根繩子的最短長(zhǎng)度是（）

B.6N/3C.12D.4;r

變式1：如圖，圓錐的母線長(zhǎng)A4為2,底面圓的直徑為2,若一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)B出發(fā)，沿表面爬到AC

的中點(diǎn)。處，則其爬行的最短路線長(zhǎng)為

易錯(cuò)點(diǎn)16：手拉手

例：如圖，在△ABC中，4CB=90。，AC=AC=2,點(diǎn)。是8。邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

接P。，以為邊在PO的下方作等邊三角形p。。，連接CQ,則CQ的最小值是（）

Q

A.走B.yC.—D.-

4224

變式1：如圖，AABC中，ZB=30°,ZACB=90°,AB=2,。在8c上，將線段4。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。

得AP,則CP的最小值為一.

易錯(cuò)點(diǎn)17：費(fèi)馬點(diǎn)

例：在RtZXABC中，NABC=90°,NACB=30°，BC=6,P為△48C內(nèi)一點(diǎn)，連接兩、PB、PC,則

RHP8+PC的最小值為（)

A.25/21B.4x/5C.2>/3+6D.473+3

變式1：如圖，拋物線y=a』+〃x+c經(jīng)過點(diǎn)A（-3,0）,頂點(diǎn)為旦拋物線與），軸的交點(diǎn)B在（0,-2）

和（0,-3）之間（不含端點(diǎn)），則卜列結(jié)論:

①當(dāng)-3WE時(shí)，y<0；

②當(dāng)?shù)拿娣e為氈時(shí)，4=@；

22

③當(dāng)△A8M為直角三角形時(shí)，在AAOB內(nèi)存在唯一點(diǎn)P,使得尸A+PO+尸8的值最小，最小值的平方為

其中正確的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

易錯(cuò)點(diǎn)18：胡不歸

例：如圖，矩形A8CZ）的對(duì)角線交于點(diǎn)0,AB=2,8c=2有，點(diǎn)尸是BC上的動(dòng)點(diǎn)，則。。+38。的最小

值是（）

A.V3B.3C.26D.6

變式1：已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)40,3）,8（10,0）,在工軸上存在一點(diǎn)P,使AP+且的值最

5

小，此時(shí)尸的坐標(biāo)為_____,AP+且8。的最小值為_____.

5.

圓軌跡專題

易錯(cuò)點(diǎn)1:兩動(dòng)一定

例：如圖，矩形A8C。中，AB=2,8c=3,以A為圓心，1為半徑畫圓，E是0A上一動(dòng)點(diǎn)，P是BC上

的一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PQ的最小值是（)

A.2B.3C.4D.273

變式1：如圖，正方形A8C力中，A8=4,M是。。邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CM為直徑的圓與8M相交于點(diǎn)。，P

為上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接4尸，PQ,則的最小值是.

易錯(cuò)點(diǎn)2：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑

例：如圖，△A8C是等腰直角三角形，ZACB=90°,AC=8C=4,點(diǎn)D是斜邊44上一點(diǎn)，且

將A/WC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到“rzrc,/『C'交A8于點(diǎn)E.其中點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑為弧CC,則弧CC

的長(zhǎng)度為（）

A加〃RM?！?n—

A?---D?-----------L?D?

2424

變式h如圖，在矩形A8CQ中，AB=26BC=4,某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿力。方向以每秒1

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，沿8C方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向

點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到矩形頂點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接E尸，過點(diǎn)。作E尸的垂線，垂足

為G.在這一運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是.

易錯(cuò)點(diǎn)3：折疊圓

例：如圖，在矩形ABCO中，AB=4tAD=6f七是/W邊的中點(diǎn)，歹是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將“EBP沿EF

所在直線折疊得到△七夕凡連接夕。，則所。的最小值是（）

A.2V10-2B.6C.2y/13-2D.4

變式1：如圖，在矩形A8CO中，AB=10,BC=12,M為4B中點(diǎn)，N為8C邊上一動(dòng)點(diǎn)，將&MNB沿MN

折疊，得到△MN&,則C8'的最小值為

易錯(cuò)點(diǎn)4：直角圓

例：如圖，在RtZXABC中，AB1BC,A8=6,BC=4,?是△>4BC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足NP4A=NPAC,

則線段C尸的長(zhǎng)的最小值為（）

A

變式1：如圖，AB是半圓。的直徑，點(diǎn)。在半圓0上，AB=2而,AD=\O,C是弧AQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連接AC,過。點(diǎn)作O〃_LAC于〃，連接8”，在點(diǎn)C移動(dòng)的過程中，8”的最小值是.

易錯(cuò)點(diǎn)5：定角定長(zhǎng)

例：如圖，四邊形A8C。中，Z4BC=30°,ZAZ）C=90o,DA=DC,8。=遙，則四邊形ABC。的面積

最小值為（）

A.3-百C.乎D.5-273

變式1：如圖，△A8C中，AC=3,BC=4,ZACB=45°,AM,點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)，連接4。交

△APC外接圓于。，則4。的最小值為.

易錯(cuò)點(diǎn)6：四點(diǎn)共圓

例：如圖，￡是的直徑A3上一點(diǎn)，44=10,BE=2,過點(diǎn)E作弦CO_LA4,P是弧AS上一動(dòng)點(diǎn),

連接。P,過點(diǎn)4作AQ_LP。，垂足為Q,則。。的