2.運動的合成與分解

I.知道什么是合運動和分運動。

2.理解分運動的獨立性，掌握運動合成與分解的方法。

3.能用平行四邊形定則分析運動的合成與分解。

01課前自主學(xué)習(xí)KEQIANZIZHUXUEXI--

1.一個平面運動的實例

在蠟塊勻速上升的同時，將玻璃管緊貼著黑板沿水平方向向右勻速移動。

(1)建立坐標(biāo)系：以蠟塊開始勻速運動的位置為原點O,以水平向右的方向和

豎直向上的方向分別為x軸和y軸的方向，建立回平面直角坐標(biāo)系。

(2)蠟塊運動的軌跡：若以“表示玻璃管向右勻速移動的速度，以表示蠟

塊沿玻璃管勻速上升的速度，則有尸畫0by=畫出。消去3得到)，=畫

內(nèi)，可知蠟塊的運動軌跡是固直線。

(3)蠟塊運動的速度：。=畫y/v3+v3,方向滿足tanO=回器。

2.運動的合成與分解

(1)合運動與分運動：如果一個物體同時參與理JL仝運動，那么物體實際發(fā)

生的運動就叫作那幾個運動的螞合運動.那幾個運動就叫作這個實際運動的

畫分運動。

(2)運動的合成：由分運動求國合運動的過程。

(3)運動的分解：由合運動求回分運動的過程。

(4)運動的合成與分解實質(zhì)是對物體的回速度、加速度、位移等物理量進(jìn)行

合成與分解。

⑸運動的合成與分解遵從回矢量運算法則。

判一判

(1)合速度就是兩個分速度的代數(shù)和。()

⑵合速度不一定大于任一分速度。()

(3)合位移一定大于任意一個分位移。()

(4)運動的合成就是把兩個分運動加起來。()

(5)運動的分解就是把一個運動分成兩個完全相同的運動。()

(6)運動的合成與分解遵循平行四邊形定則。()

提示：(1)X合速度是各分速度的矢量和，而不是代數(shù)和。

⑵J

(3)X根據(jù)矢量三角形可知，合位移不一定大于任一分位移。

(4)X運動的合成遵從平行四邊形定則，而不是簡單相加。

(5)X(6)7

02卜課堂探究評價KETANGTANJIUPINGJIA，?；

課堂任務(wù)4運動的合成與分解

仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動”。

蠟塊店沿玻璃

管勻速上升

在蠟塊上升的

同時，將玻璃

管沿水平方向

向右移動C

甲

活動1:如果玻璃管沿水平方向勻速運動，蠟塊實際的運動會怎么樣？

提示：蠟塊參與了兩個運動，就是水平方向的勻速直線運動和豎直方向的勻

速直線運動。蠟塊實懷上做勻速直線運動，如圖乙中斜線。

活動2：如果玻璃管沿水平方向做加速運動，蠟塊的運動又會怎么樣？

提示：玻璃管沿水平方向做加速運動，蠟塊乜被迫在水平方向做加速運動，

這樣，蠟塊運動到玻璃管頂部的過程不再是條直線而是曲線。

活動3：怎么求蠟塊經(jīng)過一段時間后的位移和速度？

提示：可以建立平面直角坐標(biāo)系，分別求蠟塊經(jīng)過一段時間后在兩個方向的

位移和速度，再求合位移、合速度即可。

活動4：討論、交流、展示，得出結(jié)論。

1.合運動與分運動的關(guān)系

(1)等時性：合運動與分運動經(jīng)歷的時間相等，即同時開始、同時進(jìn)行、同時

停止。

(2)獨立性：各分運動之間互不相干、彼此獨立、互不影響。

(3)等效性：各分運動的共同效果與合運動的效果相同。

2.合運動性質(zhì)的判斷

分析兩個直線運動的合運動的性質(zhì)時，應(yīng)先根據(jù)平行四邊形定則，求出合運

動的合初速度如和合加速度然后進(jìn)行判斷。

(1)判斷是否做勻變速運動

①若。=0,物體沿合初速度必的方向做勻速直線運動。

②若且〃恒定，物體做勻變速運動。

③若。變化，物體做非勻變速運動。

(2)判斷軌跡的曲直

①若。與如共線，物體做直線運動。

②若。與如不共線，物體做曲線運動。

3.合位移和合速度的計算

位移和速度的合成與分解都遵循平行四邊形定則。例如：上圖中蠟塊在水平

和豎直兩個方向均做勻速直線運動時，設(shè)速度分別為訕、U.v，則經(jīng)過時間/，蠟塊

在水平方向的位移工=猊/，豎直方向的位移y=iM，蠟塊的合位移為/=??巧=

N/+4n設(shè)位移與水平方向的夾角為。，則tana=《=竽，蠟塊的合速度v=

vAVx

4屆+次,合速度方向與“方向的夾角夕的正切值為tanO=B。

YVx

4.運動的分解：運動的分解是運動合成的逆運算，可以將曲線運動問題轉(zhuǎn)化

為直線運動問題。

例1(多選)質(zhì)量為2kg的質(zhì)點在xOy平面內(nèi)做曲線運動，在x方向的速度

圖像和y方向的位移圖像如圖所示，下列說法正確的是()

A.筆尖留下的痕跡是一條曲線

B.筆尖留下的痕跡是一條傾斜的直線

C.在運動過程中，筆尖運動的速度方向始終保持不變

D.在運動過程中，筆尖運動的加速度方向始終保持不變

答案AD

解析由題可知，鉛筆尖既隨三角板向右做勻速運動，又沿三角板直角邊向

上做勻加速運動，其運動軌跡應(yīng)是曲線，故A正確，B錯誤。在運動過程中，筆

尖運動的速度方向是軌跡的切線方向，時刻在變化，故C錯誤。筆尖水平方向的

加速度為零，豎直方向的加速度方向向上，則根據(jù)運動的合成規(guī)律可知，筆尖運

動的加速度方向始終豎直向上，保持不變，故D正確。

［變式訓(xùn)練1—2］質(zhì)量〃?=2kg的物體在光滑水平面上運動，其相互垂直的

分速度5?和6?隨時間變化的圖線如圖a、b所示，求：

圖b

⑴物體所受的合外力；

⑵物體的初速度；

⑶f=8s時物體的速度；

(4H=4s內(nèi)物體的位移。

答案(1)1N,沿,，軸正方向

(2)3m/s,沿x軸正方向

(3)5m/s,與x軸正方向的夾角為53。

(4)4也m,與x軸正方向的夾角為arctanj

解析(1)物體在x方向：z=()；

、，Auv

y方向：〃.v=w=0.5m/sz9,

根據(jù)牛頓第二定律：尸合=〃以、=1N,方向沿y軸正方向。

(2)由題圖可知次0=3m/s,6o=0,

則物體的初速度為。o=3m/s,方向沿x軸正方向。

(3)由題圖知，/=8s時，vx=3m/s,vy=4m/s,

物體的合速度為。=yjvx+vy=5m/s,

設(shè)速度方向與x軸正方向的夾角為仇

則tan0=?=*0=53。，

VxJ

即速度方向與X軸正方向的夾角為53。。

2

(4)r=4S內(nèi),x=Vrt=12m,y=^ayt=4m,

物體的位移/=mo

設(shè)位移方向與x軸正方向的夾角為a,

yJI

貝hana=：=g,所以a=arclan],

即位移方向與x軸正方向的夾角為arctan|o

課堂任務(wù)2小船渡河與關(guān)聯(lián)速度問題

仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動”。

回國國圓

活動％中圖反映的是小船渡河的什么情況？

提示：甲圖反映的是小船渡河的分速度與合速度的情況。

活動2：乙圖反映的是什么情況？

提示：乙圖反映的是小船靠岸時的分運動與合運動的情況。

活動3：甲、乙兩圖的共同點是什么？

提示：物體的運動(合運動)都參與了兩個分運動，由合運動與分運動的情況

反映物體的運動規(guī)律。

活動4：討論、交流、展示，得出結(jié)論。

1.小船渡河問題

（1）三個速度：D圖（船在靜水中的速度）、。水（水流速度）、。合（船的實際速度）。

（2）兩個問題：

①渡河時間

a.船頭與河岸成。角時，渡河時間為尸T—S為河寬）。

Vasina

b.船頭正對河岸時，渡河時間最短，而n="（"為河寬）。

0梏

②最短航程

a.若。木V。如則當(dāng)合速度。合垂直于河岸時，航程最短，Xmin=d。船頭指

向上游與河岸的夾角a滿足cosa=）。如圖①所示。

0船

b.若。水秘”則合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河。如圖②所示，

以。水矢量的末端為圓心、以。船矢量的大小為半徑畫圓弧，從。水矢量的始端向圓

弧作切線，則合速度沿此切線方向時航程最短，由圖可知船頭指向上游與河岸的

夾角?滿足COSO=￥，最短航程Xmin=g=3。

。木COSOC。船

2.關(guān)聯(lián)速度問題

（1）對關(guān)聯(lián)速度的理解

用繩、桿相牽連的物體在運動過程中的速度通常不同，但兩物體沿繩或桿方

向的分速度大小相等。

（2）關(guān)聯(lián)速度問題的解題步驟

①確定合速度：牽連物端點的速度（即所連接物體的實際速度）是合速度。

②分解合速度：按平行四邊形定則進(jìn)行分解，作好矢量圖。合運動所產(chǎn)生的

實際效果：一方面產(chǎn)生使繩或桿伸縮的效果；另一方面產(chǎn)生使繩或桿轉(zhuǎn)動的效果。

兩個分速度的方向：沿繩或桿方向和垂直于繩或桿方向。常見的模型如圖所示：

③沿繩或桿方向的分速度大小相等，列方程求解。例如：(甲圖)；。〃=

(乙圖、丙圖)。

例2一小船渡河，河寬d=180m,水流速度3=2.5m/s,船在靜水中的速

度為。2=5m/s,則：

(1)欲使船在最短的時間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長時間？位移是多

少？

(2)欲使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長時間？位移是多少？

(3)如果具他條件不變，水流速度變?yōu)?m/so船過河的最短時間和最小位移

是多少？

°1實踐探究I(1)小船渡河時同時參與了幾個分運動？如何渡河時間最短?

提示：參與了兩個分運動，一個是船相對水的運動(即船在靜水中的運動)，

一個是船隨水漂流的運動(即水的運動)。當(dāng)口垂直于河岸時到達(dá)對岸用時最短，

最短時間與O豕無關(guān)。

(2)當(dāng)v^＜v網(wǎng)和v水＞。M,分別怎樣渡河位移最小？

提示：當(dāng)。豕＜。期時，合運動垂直于河岸時航程最短，最小位移為Xmin=d。

當(dāng)。水柄時，船不能垂直到達(dá)河對岸，但仍存在最短航程，當(dāng)。梏與。令垂克時,

航程最短,最小位移為X而。*d。

［規(guī)范解答］(1)欲使船在最短時間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝垂直河岸方向。當(dāng)船頭

垂直河岸時，如圖甲所示。

時間/=弓=/。s=36s,o臺=而彳福m/s,位移為x=o合f=9O4mo

(2)欲使船渡河航程最短，應(yīng)使合運動的速度方向垂直河岸，船頭應(yīng)朝11游與

河岸成某一夾角或，如圖乙所示，有。2C0s￡=0l,得S=6()。。最小位移為Xmin=d

=18°m,所用時間-=+=而金=黑s=24小So

2

(3)最短渡河時間只與s有關(guān)，與磯無關(guān)，當(dāng)船頭垂直于河岸渡河時時間最

廣d“

短，t—m—36so

當(dāng)水流速度變?yōu)?m/s時，即切＞02,則合速度不可能垂直于河岸，無法垂

直渡河。如圖丙所示，以。1矢量的末端為圓心、以矢量s的大小為半徑畫弧，從

切矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向時航程最短，設(shè)船頭與上游

河岸夾角為a,則cosa=?最小位移為Xmin=；^J=*/=￡x180m=216m。

［完美答案1(1)船頭垂直于河岸36s9(mm(2)船頭偏向上游，與河岸

夾角為6()。2473s18()m(3)36s216m

一［規(guī)律點撥］--------------------------------

小船渡河的最短時間與最短航程

(1)不論水流速度多大，船頭垂直于河岸渡河，時間最短，且這個時

間與水流速度大小無關(guān)。

(2)當(dāng)。水V。匐時，合運動的速度方向可垂直于河岸，最短航程為河寬。

(3)當(dāng)。水船時，船不能垂直到達(dá)河對岸，但仍存在最短航程，當(dāng)。船與。合

垂直時，航程最短，最短航程為Xmin=3~d。

［變式訓(xùn)練2］(多選)下列圖中實線為河岸，河水的流動方向如圖中。的箭頭

所示，虛線為小船從河岸M駛向?qū)Π禢的實際航線。則其中可能正確的是()

河岸W河岸W河岸W河岸M

XBcD

答案AB

解析小船渡河的運動可看做水流的運動和小船運動的合運動。虛線為小船

從河岸用駛向?qū)Π禢的實際航線，即合速度的方向，小船合運動的速度方向就是

其實際運動的方向，分析可知，實際航線可能正確的是A、Bo

例3（多選）如圖所示，做勻速直線運動的汽車A通過一根繞過定滑輪的長

繩吊起一重物B,設(shè)重物和汽車的速度的大小分別為。B、UA，則（）

A.OA=OBB.V\<VB

C.VA>VRD.重物B的速度逐漸增大

°l實踐探究1（1）汽車實際的運動是什么運動?它與繩子末端點的速度有什么

關(guān)系？

提示：汽車實際的運動是水平方向的直線運動，繩子末端點就在汽車上，所

以繩子末端點的速度和汽車速度相同。

（2）汽車的分速度是什么速度？

提示：汽車的分速度包含拉動速度（沿著繩）和擺動速度（垂直繩）。

［規(guī)范解答］如圖所示，汽車的實際運動是水平向左的運動，它的速度以可

以產(chǎn)生兩個運動效果：一是使繩子伸長；二是使繩子與豎直方向的夾角增大，所

以車的速度內(nèi)應(yīng)有沿繩方向的分速度a和垂直繩的分速度0，由運動的分解可

得UO="ACOSa；又由于DB=0O,所以。A>DB,故C正確。因為隨著汽車向左行駛，

Q角逐漸減小，所以0B逐漸增大，故D正確。

［完美答案］CD

一［規(guī)律點撥］------------------------------

關(guān)聯(lián)速度問題，關(guān)鍵是要弄清楚哪個速度是合速度、哪個速度是分速度，然

后弄清楚哪個分速度才是我們需要用來解題的。

［變式訓(xùn)練3—1］如圖所示，一根長直輕桿A8在墻腳沿豎直墻和水平地面滑

動，當(dāng)人8桿和墻的夾角為。時，桿的八端沿墻下滑的速度大小為0，3端沿地

面的速度大小為則切、S的關(guān)系是（）

A.V\=V2B.V\=V2COs0

C.v\=V2tan/9D.ei=V2sinO

答案C

解析如圖所示，輕桿A端下滑速度3可分解為沿桿方向的速度和垂直

于桿方向的速度初〃，B端水平速度02可分解為沿桿方向的速度s'和垂直于桿

方向的速度。2〃，兩端沿桿方向的速度相等，即研'=出，又叫'=uicos6>,

s'=ssin。，解得ui=stan。，故C正確。

［變式訓(xùn)練3—2］如圖所示，用船A拖著車B前進(jìn)時，若船勻速前進(jìn)，速度

為OA,當(dāng)。、A間繩與水平方向夾角為夕時，貝I」：

（。車B運動的速度0B為多大？

（2）車B是否做勻送運動？

答案（I）OACOS。（2）不做勻速運動

解析（1）把。A分解為一個沿繩子方向的分速度VI和一個垂直于繩的分速度

。2,如圖所示，所以車前進(jìn)的速度0B大小應(yīng)等于。A的分速度切，即DB=OI=OACOS0。

（2）當(dāng)船勻速向前運動時，。角逐漸減小，車速。B將逐漸增大，因此，車B不

做勻速運動。

03課后課時作業(yè)KEHOUKESHIZUOYE

A組：合格性水平訓(xùn)練

1.（運動的合成與分解）（多選）關(guān)于運動的合成與分解，下列說法中正確的是

A.物體的兩個分運動是直線運動，則它們的合運動一定是直線運動

B.若不在一條直線上的分運動分別是勻速直線運動和勻加速直線運動，則

合運動一定是曲線運動

C.合運動與分運動具有等時性

D.速度、加速度和位移的合成都遵從平行四邊形定則

答案BCD

解析物體的兩個分運動是直線運動，若合初速度方向與合加速度方向共線,

則為直線運動，否則為曲線運動，故A錯誤，B正確；合運動和分運動，同時開

始同時結(jié)束，具有等時性，故C正確；速度、加速度和位移都是矢量，矢量合成

都遵從平行四邊形定則，故D正確。

2.（合運動的性質(zhì)）（多選汝I果兩個不在同一直線上的分運動都是勻變速直線

運動，關(guān)于它們的合運動的描述，正確的是（）

A,合運動一定是勻變速運動

B.合運動可能是曲線運動

C.只有當(dāng)兩個分運動的速度垂直時，?告運動才為直線運動

D.以上說法都不對

答案AB

解析兩個分運動都是勻變速直線運動，則物體所受合力恒定不變，故一定

是勻變速運動，但因合力的方向與速度的方向不一定在同一直線上，物體可能做

勻變速曲線運動，故C、D錯誤，A、B正確。

3.（合運動的性質(zhì)）（多選）若。、h為兩個不在同一條直線上的分運動，它們的

合運動為c,則下列說法正確的是（）

A.若4、〃的軌跡為直線，則。的軌跡必為直線

B.若C?的軌跡為直線，則4、〃必為勻速運動

C.若〃為勻速直線運動，為勻速直線運動，則C?必為勻速直線運動

D.若4、〃均為初速度為零的勻變速直線運動，則C必為初速度為零的勻變

速直線運動

答案CD

解析4、人兩個分運動的合初速度與合加速度如果不共線，則合運動C?必為

曲線運動，A錯誤；若C為直線運動，4、〃可能為勻速直線運動，也可能為變速

直線運動，且以b的合初速度與合加速度共線，合加速度方向恒定，B錯誤；兩

個勻速直線運動的合運動必為勻速直線運動，C正確；兩個初速度為零的勻加速

直線運動的合運動必為初速度為零的勻加速直線運動，D正確。

4.（運動的合成）如圖所示，帆板在海面上以速度。朝正西方向運動，帆船以速

度。朝正北方向航行，以帆板為參照物（）

A.帆船朝正東方向航行，速度大小為。

B.帆船朝正西方向航行，速度大小為。

C.帆船朝南偏東45。方向航行，速度大小為也。

D.帆船朝北偏東45。方向航行，速度大小為吸。

答案D

解析以帆板為參照物，帆船具有朝正東方向的速度。和朝正北方向的速度

兩速度的合速度大小為啦小方向朝北偏東45。，故D正確。

5.（合運動的性質(zhì)）如圖所示，一塊橡皮用細(xì)線懸掛于0點，用鉛筆靠著線的

左側(cè)水平向右勻速移動，運動中始終保持懸線豎直，則橡皮運動的速度（）

........N......

0\

懸紋

CD

橡皮

A.大小和方向均不變

B.大小不變，方向改變

C.大小改變，方向不變

D.大小和方向均改變

答案A

解析橡皮在水平方向做勻速直線運動，在豎直方向做勻速直線運動，其合

運動仍是勻速直線運動，其速度大小和方向均不交，故選A。

6.（分運動的獨立性）跳傘表演是人們普遍喜歡的觀賞性體育項目，如圖所示,

當(dāng)運動員從直升機由靜止跳下后，在下落過程中不免會受到水平風(fēng)力的影響，下

列說法中正確的是（）

A.風(fēng)力越大，運動員下落時間越長，運動員可完成更多的動作

B.風(fēng)力越大，運動員著地速度越大，有可能對運動員造成傷害

C.運動員下落時間與風(fēng)力有關(guān)

D.運動員著地速度與風(fēng)力無關(guān)

答案B

解析運動員同時參與了兩個分運動，豎直方向下落運動和水平方向隨風(fēng)飄

動，兩個分運動同時發(fā)生，相互獨立，因而，水平風(fēng)力越大，落地的合速度越大，

但落地時間不變，故B1E確。

7.（合運動的性質(zhì)）一質(zhì)點在xOy平面內(nèi)運動的軌跡如圖所示，己知質(zhì)點在x

軸方向的分運動是勻速運動，則關(guān)于質(zhì)點在），軸方向的分運動的描述正確的是

（）

A.勻速運動

B.先勻速運動后加速運動

C.先加速運動后減速運動

D.先減速運動后加速運動

答案D

解析依題意知，質(zhì)點沿工軸方向做勻速直線運動，故該方向上質(zhì)點所受外

力凡=（）；由圖像看出，沿），軸方向，質(zhì)點運動的軌跡先向y軸負(fù)方向彎曲后向y

軸正方向彎曲；由質(zhì)點做曲線運動的條件以及質(zhì)點做曲線運動時軌跡彎曲方向與

所受外力的關(guān)系知，沿y軸方向，該質(zhì)點先受沿y軸負(fù)方向的力，后受沿y軸正

方向的力，即質(zhì)點沿y軸方向先做減速運動后做加速運動，D正確。

8.（小船過河問題〕某小船在靜水中的速度大小保持不變，該小船要渡過一條

河，渡河時小船船頭垂直指向河岸。若船行至河中間時，水流速度突然增大，則

A.小船渡河時間不變B.小船航行方向不變

C.小船航行速度不變D.小船到達(dá)對岸地點不變

答案A

解析因為分運動具有等時性，所以分析渡河時間時，只分析垂直河岸方向

的速度即可，渡河時小船船頭垂直指向河岸，即在靜水中的速度方向指向河岸，

而其大小不變，因此，小船渡河時間不變，故A正確；當(dāng)水流速度突然增大時，

由矢量合成的平行四邊形定則知船的合速度變化，航行方向變化，因而小船到達(dá)

對岸地點變化，故B、C、D錯誤。

9.（小船過河問題）一小船在靜水中的速度為3m/s,它在一條河寬150m、水

流速度為4m/s的河流中渡河，則該小船（）

A.能到達(dá)正對岸

B.渡河的時間可能少于50s

C.以最短時間渡河時，它沿水流方向的位移大小為20（）山

D.以最短位移渡河時，位移大小為150m

答案C

解析因為小船在靜水中的速度小于水流速度，所以小船不能到達(dá)正對岸，

故A錯誤；當(dāng)船頭與河岸垂直時渡河時間最短，最短時間f="=50s,故渡河時

間不會少于5（）s,故B錯誤；以最短時間渡河時，沿水流方向位移/=200m,

故C正確：當(dāng)?！迸c實際運動方向垂直時渡河位移最短,設(shè)此時船頭與河岸的夾

角為仇則cos0=￡=*故渡河位移s=jg=200m,故D錯誤。

10.（關(guān)聯(lián)速度問題X多選）如圖所示，人在岸上拉船，己知船的質(zhì)量為"?，水

的阻力恒為/,當(dāng)輕繩與水面的夾角為。時，船的速度為小人的拉力大小為F,

則此時（）

A.人拉繩行走的速度為。cos。