《概率統(tǒng)計(jì)A》期中練習(xí)

一、古典概率部分

(一)事件的運(yùn)算

1.設(shè)A,8為任意兩事件，則下列關(guān)系成立的有()

(A)(A+B)-B=A(B)(A+B)-B=A-B

(C)(A—8)+8=A(D)+B=

2.設(shè)4,8為任意兩事件，則下列關(guān)系成立的是().

(A)(A-B)+B=A(B)(A+B)-AB=A

(C)(4+8)-3=4(D)(A-B)+AB+(B-A)=A-vB

(二)條件概率

I.設(shè)事件A,8獨(dú)立，P(A)>0,P(B)>0,則()對(duì)。

(A)P(A)=1-P(B)(B)P(A\B)=]~P(A)

(C)P(A|B)=O(D)P(A\B)=P(B)

2.設(shè)48為對(duì)立(互逆)事件,且。(4)>0,2(8)>0,則()錯(cuò)。

(A)P(A)=1-P(B)(B)P(A\B)=0

(C)P(A|8)=1(D)P(AB)=1

（三）全概率公式

1.三門火炮同時(shí)炮擊一敵艦（每炮發(fā)射一彈）.設(shè)擊中敵艦一、二、三發(fā)炮彈的概

率分別為0.3,0.5,0.1,而敵艦中彈一、二、三發(fā)時(shí)被擊沉的概率分別為0.2,

0.6,1.則敵艦被擊沉的概率為.

2.從0?9這十個(gè)數(shù)碼中任意取出4個(gè)排成一串?dāng)?shù)碼,則數(shù)碼恰成四位偶數(shù)的概率

為：

4114032

(A)—(B)-(C)—(D)—

9029090

3.設(shè)有〃個(gè)球，每個(gè)球都能以同樣的概率,落到N個(gè)格子（N>〃）的每一個(gè)格子

N

中，則恰有〃個(gè)格子中各有一個(gè)球的概率為.

4.設(shè)袋中有4只白球和3只黑球，現(xiàn)從袋中無(wú)放回地依次摸出3只球，則恰有2只

白球的概率為.

5.一袋中裝有N-1只黑球及1只白球，每次從袋中隨機(jī)地摸出一球,并換入一只黑

球，這樣繼續(xù)下去，設(shè)A="第左次摸球時(shí)得到黑球“，則P(A)=.

6.從()~9這十個(gè)數(shù)碼中任意取出4個(gè)排成一行數(shù)碼，求：

(1)所取4個(gè)數(shù)碼恰排成四位偶數(shù)的概率；

(2)所取4個(gè)數(shù)碼恰排成四位奇數(shù)的概率；

(3)所取4個(gè)數(shù)碼沒排成四位數(shù)的概率.

(四)綜合題型

1.沒A是試驗(yàn)E中的一個(gè)事件，P(A)=6-(0<￡<1).把試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)做n

次，令&=“在〃次實(shí)驗(yàn)中事件A至少發(fā)生一次”，

試求：(1)limP(紇)；(2)試說(shuō)明(1)的結(jié)果對(duì)認(rèn)識(shí)實(shí)踐的指導(dǎo)意義。

〃一>8

2.設(shè)一袋中有〃個(gè)白球與機(jī)個(gè)黑球，現(xiàn)在從中無(wú)放回接連抽取N個(gè)球，設(shè)A,=

“第i次取時(shí)得黑球”,(1WN?九+〃i).

試求：(1)P(4)；(2)試說(shuō)明(1)的結(jié)果對(duì)認(rèn)識(shí)實(shí)踐的指導(dǎo)意義。

二、隨機(jī)變量部分

(一)典型分布

1.設(shè)某昆蟲產(chǎn)Z個(gè)卵的概率為為常數(shù))，女=0,1,2,….每個(gè)卵能孵

化成幼蟲的概率為〃(0vp<1),且各個(gè)卵能否孵化成幼蟲是相互獨(dú)立的，設(shè)

A二“該昆蟲有后代”，則尸(A)=.

0,x<1

0.3,1<x<3

2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FQ)=

0.5,3<A:<4

l,x>4

則P{X〉l|Xw3}=()o

3.設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為/(人)，分布函數(shù)為產(chǎn)(人)，且

<x<+co；對(duì)設(shè)是方程F(x)=a的解，下列表述中正確的結(jié)論

是?

(A)P[~x<X<x]=\-a；(B)P{x<X<x]=\

I-2-aI-aa

(D)P[\X\>x}=^

(C)P[\X\<xa

I----

(二)分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的性質(zhì)

<-1

1.已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)='(l+/),_]owl,

2

l,x>1

則Y=2X2+I的分布函數(shù)Fy(y)o

2.設(shè)隨機(jī)變量X〃的概率密度為

力(幻=心-------------F

(1+3(]+|”)，

分布函數(shù)為FU),其中常數(shù)公>0,則1而入(幻=o

nn-Ko

(三)隨機(jī)變量函數(shù)的分布(通常會(huì)綜合事件的運(yùn)算或者積分變換)

工2_n+\

1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，(x)=Q(l十一)2,Y0VXV-，其中C〃為

n

V-]Y

正常數(shù)，〃為正整數(shù)，則隨機(jī)變量分的概率密度力。，)

(四)數(shù)字特征

1.某一射手向一目標(biāo)射擊，每次擊中的概率都是〃(()<〃<1),現(xiàn)連續(xù)向目標(biāo)射擊,

直到第一次擊中為止，設(shè)子彈的消耗量為X,則EX=.

2a.設(shè)隨機(jī)變量X?M4,/),則￡X—〃3=.

2b.設(shè)隨機(jī)變量X?。2),則E\x-婢二.

2c.設(shè)隨機(jī)變量則E\X-^=.

3.將〃只球(1~〃號(hào))隨機(jī)地放進(jìn)〃只盒子(1?〃號(hào))中去，一只盒子裝一只球，若將

一只球裝入與球同號(hào)碼的盒子中，稱為一個(gè)配對(duì)，記X為配對(duì)的個(gè)數(shù)，則EX

4.設(shè)袋中裝有機(jī)個(gè)顏色各不相同的球，有返回的摸取〃次，摸到了X種顏色的

球，貝ij￡X=.

("2—1)"nm

(A)切一^~］；⑻叩一丁1；?

5.設(shè)隨機(jī)變量*「可(0,1),X2~可(3,22),,且Xi與X2相互獨(dú)立，①⑴為N(0,1)

的分布函數(shù)，X的分布函數(shù)為尸")=聞)。)+儀1)(丁)，其中常數(shù)。">0,

。+8二1.下列表述中正確的結(jié)論是O

(A)X=aX\+bX2(B)X~M3〃,〃+4/)；

(C)EX=3b(D)EX=3/2/?

6.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為尸(幻=。①(x)+〃D(y),其中常數(shù)

a,b>O,a+b=l,①(x)為N(0,1)的分布函數(shù)，求EX.

三、隨機(jī)向量部分

(一)隨機(jī)向量函數(shù)的分布(通常會(huì)綜合事件的運(yùn)算或者積分變換)

1.已知二維隨機(jī)變量(X,X)的概率密度為f(x,)，)二代?)'°-A-t0->-2,

。，具匕

其中。為常數(shù)；則有P{X>Y}=o

(A)-(B)a(C)|(D)[

632

2.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,K)?N(3,b2；-2,3〃;0),則下列各式中成立的是______o

(A)P{X+Y<-\]=^(B)P[X-Y<-]}=^

(C)P{X+2r<7}=1(D)P{X-2r<7}=i

3.擲兩顆勻稱的骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).設(shè)x為第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y為第

二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，i2z=x+r,則口z=6的最大值在攵二處達(dá)到。

4.設(shè)隨機(jī)變量(X,丫)的分布函數(shù)為“(X,)，)，對(duì)任意實(shí)數(shù)Z,則P{max(X,X)<z}

(A)1-P{X>zyY>z](B)P[X<z}+P[Y<z}(C)F(z,z)(D)1-F(z,z)

5.設(shè)設(shè)隨機(jī)變量(X,K)￥J分布函數(shù)為尸(x,y),對(duì)任意實(shí)數(shù)z,則P{max(X,Y)>z}

(A)P{X>z,Y>z](B)F(z,z)(C)1-F(z,z)(D)P{X>z}+尸{Y>2}

x(l-e-y),0<x<l,y>0

6.已知二維隨機(jī)變量(X,K)的分布函數(shù)為尸(尢,)，)二?(1-e7)/>1,丁>0,

0,其它

則2=01訪(乂丫)的分布函數(shù)&(z)=0

z(l-e";),0<z<lfz,0<z<l

(A)乃(z)=<(B)F:(z)=<l,z>1

0,z<0|o,z<O

0,z<0

(l-^2),z>0

(C)%(z)二(D)F^z)=<(\-e-2+ze-210<z<\

(),z<()

l,z>l

7.設(shè)隨機(jī)變量(x,r)的概率密度為/a,)，)，且函數(shù)/區(qū))，)連續(xù),

z=y/x2+Y2的概率密度為々(z),記C:/+/=r2,

則有當(dāng)z>()時(shí)，々(z);.

(A)山(內(nèi))dsdr,

(C)L/(x,y)ds,(D)f,y)ds0

JC&JCZ

注：球坐標(biāo)變換！變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

尸+廣

8.設(shè)隨機(jī)變量(X,K)的概率密度為/(x,y)=——762"2,-oo<x,y<-Hx；

2的

設(shè)Z=〃2+丫2,試求：(1)Z的分布函數(shù)及⑵；(2)Z的概率密度近(z).

(三)數(shù)字特征

1.設(shè)二維隨機(jī)變量(X1)?N(l,22；2,32;9,則ax-2y+5)=.

(A)36(B)37(C)32(D)48

2.設(shè)二維隨機(jī)變量(X?)~N(1,22;2,32;_；),則以2X-y+1)=.

(A)13(B)14(C)19(D)37

五、概率不等式、依概率收斂與中心極限定理

1.設(shè)隨機(jī)變量X存在數(shù)學(xué)期望EX和方差OX/0,則對(duì)任意正數(shù)￡,

下列不等式成立的是.

(A)P[\X-EX\>￡]>^-(B)P[\X-EX\<e}<1—--

￡~￡~

(C)P[\X-EX\>￡y[DX]<\(D)P{|X|>g}<h|X~hX|,(^>1)

￡~￡

注：Cheyshev不等式