《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案

習(xí)題三

I.將i硬幣拋擲三次，以x表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以丫表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與

出現(xiàn)反面次數(shù)之差的肯定值.試寫出x和y的聯(lián)合分布律.

【解】x和丫的聯(lián)合分布率如表：

X0123

10刀111_3C;.lxlxl=3/80

-x-x-=—

2228222

32001111

—X—X—=—

82228

2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只

數(shù)，以y表示取到紅球的只數(shù).求x和丫的聯(lián)合分布律.

【解】x和丫的聯(lián)合分布筆如表:

X0123

000

C?二3C；?C；_2

C：35C：一35

10

C；CC=6C；??C；12C：?C；2

C；一35C；~35C；~35

2P(0黑,2紅,2白尸0

cy/二6C；?3

C；35C；一35

35

3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,X)的聯(lián)合分布函數(shù)為

廠/、sinxsiny,0<^<—,()<y<—

F(x,y)=<八2"2

0,其他.

求二維隨機(jī)變量(X,y)在長方形域，5內(nèi)的概率.

463

【解】如圖。｛0<XW二二<yw當(dāng)公式(3.2)

463

F(碧)-叫J)--(0，勺+F(0,J)

434636

.71.it.n.it.八.兀.八.九

=sin—?sin——sin—?sin——sinO*sm一■bsinO*sin—

434636

=^(V3-1).

4

題3圖

說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。

4.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度

‘Ae-(3x+4y),x>0,y>0,

/(x,y)=〈

0,其他.

求：（1〉常數(shù)4

（2）隨機(jī)變量（X,X）的分布函數(shù)：

（3）P（O<X<1,0<r<2}.

【解】⑴由to，）'）峭*T^e…）財(cái)二合1

得A=\2

（2）由定義，有

F(x，)，)=[f/(w,v)dz/d

V

JyJ-oo

「「12e-⑶’+4%”du[(l-e^Xl-e-4-)y>0,x>0,

n0,其他

(3)P{0<X<l,0<y<2}

=?{o<x<i,o<y<2}

=J；J：12e-(3v+4-y,cLrdy=(l-e-3)(l-e-8)?0.9499.

5.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

k(6-x-y),0<x<2,2<y<4,

y)="

0,其他

（1）確定常數(shù)k；

（2）求P{XV1,F<3}；

（3）求尸（Xvl.5}；

（4）求尸{X+Y*}.

【解】（1）由性質(zhì)有

匚匚/(X,y)dxdy=J：J；&(6-X-y)dydx=8&=1,

故R=-

8

(2)P{X<I,y<3}=「Cf(x,y)dydx

J-00J-00

⑶P[X<1.5)=jj/(■￥,)，)d.dy如圖a|jf(x,yXhdy

x<\Sq

127

-(6-x-y)dy=-.

832

(4)P{X+r<4)=jj/(x,)，)drdy如圖bffy)dxdy

X+Y<4D2

(b)

題5圖

6.設(shè)x和y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，x在（O,0.2）上聽從勻稱分布，丫的密度函數(shù)為

5e-5\)，>0,

fy3

0,其他.

求：（1）X與y的聯(lián)合分布密度；（2）P[Y<X].

題6圖

【解】（1）因X在（0,0.2）上聽從勻稱分布，所以X的密度函數(shù)為

0<x<0.2,

AW=<0.2

0,其他.

而

5e-5\y>0,

fy(y)='

0,其他

所以

/qoox,ym.A(Wr(.y)

—x5e-5v25"、’,0<x<0.2且y>0,

0.2

0,其他.

0,

⑵P(Y<X)=J|f(x,y)dvd)如圖jj25e"dxdy

(?0.2f,r*f0.2.

=￡CIA125e為dyI。(-5e-5x+5)dA-

二e'0.3679.

7.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

(l-e5)—%),工〉0~〉0,

0,其他.

求（X,Y）的聯(lián)合分布密度.

52F（X,y）［加一⑶2），x＞（）,）,＞（）,

【解】f(x,y)=

ocxody0,其他.

8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為

4.8y(2-x),0<x<1,0<y<x,

f(A,y)=?

0,其他.

求邊緣概率密度.

【解】/x*)=J：/(x,y)dy

[X4.8y(2-x)dy[2.4x2(2-x),0<x<1,

=〈Jo=〈

0,l°?其他

A(3J)=f/teyidv

「4.8)，(2-x)cLr2Ay(3-4y+y2\0<y<1,

Jy

0,其他

0,

0<X<y,

其他

求邊緣概率密度.

【解】fx(x)=￡r(x,y)dy

Ije,dyje",x>0,

-o,二i。，其他.

萬(y)=J：/(x,y)dt

10.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,r）的概率密度為

x2<y<1,

其他

（1）試確定常數(shù)C；

（2）求邊緣概率密度.

【解】⑴|T'1dAe，如圖3以x,y)ckdv

J-OOX?JJ

D

=j]drJ',ex2ydy=4c=1.

21

得c=一

4

⑵&"）=匚/（x，y）dy

=/丁2必=斤"2(1—x4),-iWxWl,

0,|o,

其他.

6（y）=J二/（x,y）也

1()4日，

o,[o,其他

11.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為

f（"比|y|<x,0<x<1,

其他

求條件概率密度力IX（丁1x）,fxiY（X|y)?

y

/

題11圖

【解】fx（x）=rf（x,y）dy

fIdy=2x,0cx<1,

-q'其他

f'ldr=l+3\-1<y<0,

J-y

人（y）=C/（?、）*二fld.r=l-y,0<y<1,

Jy

0,其他

所以

心（）,⑶二約|y|<X<1,

c

人。）[o,

其他.

1

y<x<l,

i-y

-y<

fY(y)i+y

o,其他.

12.袋中有五個(gè)號碼1,2,3,4,5,從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號碼中最小的號碼為X,最大

的號碼為Y.

（I）求x與y的聯(lián)合概率分布：

（2）X與丫是否相互獨(dú)立？

【解】（I）X與丫的聯(lián)合分布律如下表

345

P[X=Xi]

16

J__J__2__2__3_=^_

cf-iocf~ioc[-To10

203

J__J_2_2

c[~iocf-ioio

300i

ii

cf-ioio

i36

P{Y=}

yiioToTo

(2)因p{x=i}?P{y=3}=9x-!-=￡w-!-=p{x=Ly=3},

101010010

故X與y不獨(dú)立

13.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,/)的聯(lián)合分布律為

258

0.40.150.300.35

0.80.050.120.03

（1）求關(guān)于x和關(guān)于y的邊緣分布;

（2）x與y是否相互獨(dú)立？

【解】（1）x和丫的邊緣分布如下表

258PE

0.4().15().300.350.8

0.80.050.120.030.2

0.20.420.38

P{X3}

(2)因P{X=2}?P{y=0.4}=0.2x0.8=0.16工0」5=P(X=2,y=0.4),

故x與y不獨(dú)立.

14.設(shè)X和y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，x在（o,1）上聽從勻稱分布，丫的概率密度為

"

>(他),

其

（1）求x和y的聯(lián)合概率密度；

（2）設(shè)含有〃的二次方程為〃+2Xa+y=0,試求a有實(shí)根的概率.

1-2

1,0<^<1,y>i,

【解】（1）因人（x）=,f(y^='2e

0,其他；Y

o,其他.

故f(x,)，)上丫獨(dú)立R(x)?力,()，)=<5e。<X<1,)>。.

0,其他.

題14圖

（2）方程/+2Xa+F=0有實(shí)根的條件是

A=(2X)2-4K>0

故X2>Y,

從而方程有實(shí)根的概率為:

P{X2>Y}=Jjf(x,y)dxdy

A-ey/2dy

)2-

二1一瘍及⑴一①(())]

=0.1445.

15.設(shè)x和丫分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè)X和丫相互獨(dú)立，且聽

從同一分布，其概率密度為

1000

7x〉1000,

/(x)=廠

0,其他

求2=乂/丫的概率密度.

X

【解】如圖,Z的分布函數(shù)％(z)=P{Z<z}=P{—<z]

(1)當(dāng)z<0時(shí),Fz(z)=0

（2）當(dāng)Ovzvl時(shí)，（這時(shí)當(dāng)戶1000時(shí)，產(chǎn)W22）（如圖a）

z

B（z）=JJ丹&dy=應(yīng)財(cái)：詈占

X

7

)

10'

O10,

(b)

題15圖

⑶當(dāng)它1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)yfO3時(shí)，mGz）（如圖b）

區(qū)）訓(xùn)果…。嵋篝

y^-

1031()八

y2zyj

1--,z>h

2z

Z

即/z(z)=￥0<z<l,

0,其他.

zNl,

故0<z<l,

其他.

16.設(shè)某種型號的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地聽從M160,202）分布.隨機(jī)地選取4只,

求其中沒有一只壽命小于180的概率.

【解】設(shè)這四只壽命為Xig1,2,3,4),則X,~N(160,20")，

從而

P{min(X?X2,X3,X4)N180}X,之間獨(dú)立P{X；180}?P{X2>180)

P{X3>180}?P{X4>180}

=[1_P{%<180}]41-P{X2<180}]41-P{X3<180JH1-P(X4<180}]

=H-P{X,<180}r=l-?咒1601]

=[1-(D(1)]4=(0.158)4=0.00063.

17.設(shè)x,y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為

P[X=k}=p(2),k=0,1,2....?

P{Y=r}=q(r),r=0,1,2....

證明隨機(jī)變量z=x+y的分布律為

i

P\Z=i\=Ep(k)q(i-k),/=0,I,2,....

ho

【證明】因X和y全部可能值都是非負(fù)整數(shù)，

所以

{Z=i]={X+Y=i}

=(x=o,y=z}U{x=i,r=z-i}U--?U{x=/,y=o}

于是

0伍二4二6長乂二上丫與一口乂：相互獨(dú)立之丹乂二攵卜打丫=，—2}

*:=0Jt=o

=Np(k)q(J-k)

k=0

18.設(shè)x,y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都聽從參數(shù)為“，〃的二項(xiàng)分布.證明z=x+y聽從參

數(shù)為2〃，〃的二項(xiàng)分布.

【證明】方法一：x+y可能取值為0,I,2,…，2〃.

k

p{x+y=k}=W/{xm}

r=0

P(X=i^P{Y=k-i]

方法二：設(shè)……，"J均聽從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為P），則

x="I+"2+...+""，Y=NI'+〃2‘+..?+4”'，

x+y=41+償+.'+〃2+..+〃/，

所以，x+y聽從參數(shù)為（2〃夕）的二項(xiàng)分布.

19.設(shè)隨機(jī)變量（X,r）的分布律為

X012345

000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05

(1)求P{X=2IY=2},P[Y=3IX=0}；

(2)求占max(X,Y)的分布律；

(3)求U=min(X,Y)的分布律；

(4)求卬=X+Y的分布律.

【解】(1)P{X=2|12}=二*=2.丫=2}

p(r=2)

P{X=2,y=2}0.051

之p{x=i,y=2}0,255

i=O

P{y=3,X=0}

P{y=3|X=0}=

P{X=O}

P{x=o,y=3}0.01_1

"(Hj3-3

￡p(x=o,y=?

六0

(2)P{V=z}=P{max(X,r)=z)=P{X=Z,y<z}+P(X<z,y=z}

=gp{x=i,y=%}+￡p{x=Ay=i},i=o,i,2,3,4,5

A=0A=O

所以V的分布律為

V=max(X,K)012345

P00.040.160.280.240.28

(3)P{U=i}=P{min(X,Y)=i}

=P[X=i,Y>i}+P{X>i,Y=i]

=^P[X=i,Y=k]i￡P(guān)[X=k,Y=i]"=°J2,3,

k=i+\

于是

U=min(X,X)0123

P0.280.300.250.17

（4）類似上述過程，有

W=X+Y012345678

P00.020.06().130.190.240.190.120.05

20.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R,設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X,X）在屏幕上聽從勻稱分布.

(1)求P{y>oiy>x}；

(2)設(shè)加=0m*{乂，Y],求P{M>0}.

【解】因（x,r）的聯(lián)合概率密度為

1

x2+y2</?2,

/（%,），）=<兀店

0,其他.

(1)P-OIEJ…八X}

P{Y>X}

JJ/(X,y)d0

v>0

-222__________

J]/(x,y)db

y>x

「rdr

二J"4J。冗R-

Jx/4JO兀R-

—3/83?

(2)P{M>O}=P{max(X,F)>O}=l-P{max(X,Y)<0}

=i-p{x<o,r-0)=l-|jf(x,y)da=1--=—.

x<Q

ySO

21.設(shè)平面區(qū)域。由曲線產(chǎn)1/x及直線產(chǎn)0,—l,x=e2所圍成,二維隨機(jī)變量（X,Y）

在區(qū)域。上聽從勻稱分布，求（X,F）關(guān)于X的邊緣概率密度在m2處的值為多少？

e21

【解】區(qū)域。的面積為S°=Ir—dx=lnx；2=2.（x,n的聯(lián)合密度函數(shù)為

人

l<x<e2,0<y<-,

/*,)，)=?5x

0,其他.

（X,y）關(guān)于x的邊緣密度函數(shù)為

a111

Jo產(chǎn)去l<x<e2,

0,其他

所以/⑵=%

22.設(shè)隨機(jī)變量X和y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X,丫）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和

y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.

yi”P{X=Xi}=pi

X\1/8

X21/8

P{Y=yj}=Pj1/61

【解」因片丫二乃)二4二方片乂二毛二二%},

i=i

故p{y=x}=p{x=%,y=y}+p{x=w，y=yj,

從而P{X=*,y=yJ=，_』='.

116824

而X與y獨(dú)立，故p{x=Xj}?P{y=y/}=P{x=Xj,y=?},

從而尸{X=x}x,=p{x=E，y=x}==

又尸{X="=P{X=%,V=y}+尸{X=x，y=%}+P{x=%；=%}，

即"導(dǎo)"

P{X=XlY=y.},

從而P{X=x^Y=y3}=^.

同理P{Y=乃}="P{X=x2,Y=y2]=l

Lo

3111

又2尸{丫=3=1，故p{y=%}=i—公―3=不

j=i。2J

同理P{X=w}=*

從而

P{X=x2yY=y3)=P{Y=y3]-P{X=xrY=y3}=^-^-=^

J1JI

故

M%當(dāng)P[X=x,]=Pl

111

陽

248124

]_3J_2

X

28844

j_1

P{Y=yj}=Pj

623

23.設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X聽從參數(shù)為，心>0）的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率

為〃（Ovpci）,且中途下車與否相互獨(dú)立，以y表示在中途下車的人數(shù)，求：（I）在發(fā)

車時(shí)有〃個(gè)乘客的條件下，中途有，〃人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量（X,X）的概

率分布.

【解】⑴P{y=w|X=w}=C>w（l-pr-/n,0<w<7i,n=0,l,2,....

(2)P\X=n.Y=m}=P[X=n}-P{Y=m\X=n}

A,'\n<m</?,n=0,1,2,

(12A

24.設(shè)隨機(jī)變量x和y獨(dú)立，其中x的概率分布為x［o3I，而y的概率密度為

求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度以〃).

【解】設(shè)？()，)是丫的分布函數(shù)，則由全概率公式，知u=x+y的分布函數(shù)為

G(u)=P{X+Y<u}=03P{X+Y<u\X=\}+().7P［X+Y<u\X=2}

=().3P(y<i/-l|X=l)+0.7P{r<w-2|X=2}

由于x和y獨(dú)立，可見

G(u)=0.3P{y<M-1}+0.7P)y<w-2}

=