專題3?4超難數(shù)壓軸小題：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)

11大熱點(diǎn)題型歸類及提分秘籍（1）

目錄

【題型一】整數(shù)解............................................................?

【題型二】零點(diǎn)..............................................................3

【題型三】同構(gòu)..............................................................4

【題型四】恒成立求參：移項(xiàng)討論型...........................................5

【題型五】恒成立求參：代入消參型（虛設(shè)根型）..............................6

【題型六】恒成立求參：構(gòu)造函數(shù).............................................7

【題型七】恒成立求參：分離參數(shù)（常規(guī)）.....................................8

【題型八】恒成立求參：分離參數(shù)（洛必達(dá)法則）..............................9

【題型九】恒成立求參：倍函數(shù)...............................................10

【題型十】恒成立求參：雙函數(shù)最值型........................................11

【題型十一】數(shù)列與導(dǎo)數(shù)：...................................................13

斌離熱克墨型后抽

【題型一】整數(shù)解

【典例分析】

在關(guān)于x的不等式《2犬一（較"+4^卜+訛'+4?2>0（其中e=2.71828L為自然對數(shù)的底數(shù)）

的解集中，有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

<_16_L[91)

A.，B.

<5e"2e_

’164-94]

C.<5e4'3e2D.57‘豆,

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.通過函數(shù)討論法，參變分離，數(shù)形結(jié)合等來切入

2.討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個整數(shù)點(diǎn)函數(shù)的符號問題

【變式演練】

1.已知函數(shù)/（6=。（戈+1”-X,若存在唯一的正整數(shù)占，使得/（與）＜0,則實(shí)數(shù)〃的取值

范圍是（）

2.已知偶函數(shù)滿足〃3+X）=〃3T）,且當(dāng)xe［0,3］時，若關(guān)于x的不等

式f（力_外可＞0在［-150,150］上有且只有150個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是（）

（）\「13、/3A（1A

22l

A.|^0,eJB.e2,3e2jc,,2e~^D.,2e~

3.已知對任意實(shí)數(shù)&＞1,關(guān)于x的不等式在（0,*）上恒成立，則〃的最大整數(shù)

值為

A.0C.-2D.-3

【題型二】零點(diǎn)

【典例分析】

己知函數(shù)-2x)8,若方程/("=〃有3個不同的實(shí)根為，占，與(七<占。3)，

則:匕的取值范圍是()

A.—奈。B.卜川C.—奈D,(0,&叫

【提分秘籍】

基本規(guī)律

求零點(diǎn)或者討論零點(diǎn)求參

1.函數(shù)討論法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；

2.分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；

3.數(shù)形結(jié)合法：構(gòu)造兩個函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.(常規(guī)題是函數(shù)與直線，較復(fù)雜的,

就需要構(gòu)造需要借助求導(dǎo)來畫圖的函數(shù)了)

【變式演練】

1.已知/(力=/-3/+1,若/(“存在唯一的零點(diǎn)飛,且%>0,則。的取值范圍是()

A.(2,+oo)B.(-oo,-2)C.(h+aoiD.(,1)

2.已知函數(shù)=:學(xué)(rn<0),g")=生史,設(shè)方程/(g⑴)+,=0的3個實(shí)根分別為

3x~xm

%，與，&，且玉<9<當(dāng)，貝iJg(芭)+2g(±)+3g(w)的值可能為()

3.已知函數(shù)〃x）=W，對于正實(shí)數(shù)〃，若關(guān)于Z的方程/（/）=/（?）恰有三個不同的正實(shí)

數(shù)根，則〃的取值范圍是（）

A.(1,8)B.(〃,8)C.(8,-KC)D.(/,+8)

【題型三】同構(gòu)

【典例分析】

定義：設(shè)函數(shù)y=/"）在心勿上的導(dǎo)函數(shù)為/'（X）,若/"）在（。,〃）上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱

函數(shù)y=/（x）在（。向上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡記為y=rv）.若在區(qū)間（。向上rv）＞u,則

稱函數(shù)y=/（X）在區(qū)間（。,〃）上為“凹函數(shù)”.已知

/*）=〃/+史三。1+2E〃?-213+1）］+/在區(qū)間（-1,內(nèi)）上為“凹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)〃7的取值

范圍為（

A.(l,+oo)B.(G+8)C.(e,g)D.(&,e)

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.注意同構(gòu)法在解題中的應(yīng)用，對于常見形式的同構(gòu)要熟練運(yùn)用，如:

2.注意同構(gòu)技巧在試題中的轉(zhuǎn)化意識，適當(dāng)?shù)欠N“同構(gòu)就結(jié)束解題”的題型。區(qū)別就是

如練習(xí)1和3。

【變式演練】

1.已知函數(shù)f(x)=x-ln(1+1),g(x)=ex-x-\,若g(x)i0(x)對Vxe[0,+8)恒成立,

求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

2.已知不等式年旬-工21舊+2〃?+3對安?（），田）恒成立，則機(jī)取值范圍為（）

A.m<--B.，"之—C.m<-2D.m>-2

22

3,設(shè)40,若存在正實(shí)數(shù)工，使得不等式1幅7“-A3?，0成立,則k的最大值為（）

In3

，B.—C工D.

AMe*1113~T

【題型四】恒成立求參：移項(xiàng)討論型

【典例分析】

若xe（05，〃比-何1工4加恒成立，則實(shí)數(shù)〃，的取值范圍為（)

I

A.[1,+℃)—,+coC.[2,+oo)D.-ooj]

2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.移項(xiàng)含參討論是所有導(dǎo)數(shù)討論題的基礎(chǔ)，也是學(xué)生日常訓(xùn)練的重點(diǎn)。

2.討論點(diǎn)的尋找是關(guān)鍵。

3.一些題型，可以適當(dāng)?shù)慕柚它c(diǎn)值來“壓縮”參數(shù)的討論范圍

【變式演練】

1.若關(guān)于X的不等式e-NEx+a對一切正實(shí)數(shù)工恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.[]B.（-co,e]C.（-℃」]D.（y，2]

2.己知函數(shù)人力=川-；江-；加+1,%?0,叱），若/（X）有最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是

「2^]（2-}

A.[^,-KO）B.（e,+oo）C.-^2,-HX>D.§/，+8

3.已知函數(shù)/（x）=（x—。一1）廿+〃，若存在bwR,對于任意xe[l,2],都有/（力卜],則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【題型五】恒成立求參：代入消參型（虛設(shè)根型）

【典例分析】

設(shè)實(shí)數(shù)丸>（）,若對任意xe（O,3）,不等式g—ln（"）2。恒成立，則％的取值范圍是（）

A

A.0<A<-B.O<A<^-1C.0v/l4eD.0</l<?

e

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.代入消參，也是壓軸大題的一個類型。

2.解題框架（主要的）：

（1）導(dǎo)函數(shù)（主要是一階導(dǎo)函數(shù)）等零這一步，有根X。但不可解。但得到參數(shù)和X。的等

量代換關(guān)系。備用

（2）知原函數(shù)最值處就是一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)處，可代入虛根X。

（3）利用X。與參數(shù)互化得關(guān)系式，先消掉參數(shù)，得出小不等式，求得X。范圍。

(4)再代入?yún)?shù)和X。互化式中求得參數(shù)范圍。

【變式演練】

1.已知函數(shù)/(x)=fTn(l+x)-M,LX)有唯一零點(diǎn)，則〃=()

A.0B.--C.1D.2

2

2x

2.已知函數(shù)/(.r)=xe-\,不等式f(x)>tnx+\nx對任意xG(0,-KO)恒成立，則實(shí)數(shù)w的取

值范圍是()

A.(-00,2]B.[0,2]C.(-oo,e2-l]D.

3.若對任意(0,+co),不等式e2x-win(2m)-wlnx>0恒成立，則實(shí)數(shù)in的最大值()

A.4eB.eC.2eD.e2

【題型六】恒成立求參：構(gòu)造函數(shù)

【典例分析】

已知函數(shù)/(X)=匕等的定義域?yàn)?0、,若對任意的小乙￡(。3,

**)一"*)「〃區(qū)，了,恒成立,則實(shí)數(shù)/〃的取值范圍為()

-x,<x；

A.(-oo,3]B.(-oo,4]C.(—,5]D.(e,6]

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)，需要先構(gòu)造合理的函數(shù)形式，以達(dá)到“化繁為簡”的目的

2.比較常見的，是絕對值形式，如本專題的【典例分析】

【變式演練】

1.已知函數(shù)/（x）=（?er+e.r）（er+e.v）與g（x）=/的圖象恰有三個不同的公共點(diǎn)（其中e為自

然對數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

a-H'Ob-c?（判D.（1,揚(yáng)

2.對于任意X2€[1,+OO）,當(dāng)天＞內(nèi)時，恒有。In上■＜2*2-X）成立；則實(shí)數(shù)。的取

-'i

值范圍是（）

A.（-8,0]B.（-oo,l]C.（-8,2]D.（一8,3]

3.已知函數(shù)f（x）滿足/（/'（工）+2/（.明二?,/6卜志，若對任意正數(shù)。力都有

小一一撲焉+蘇+?則，的取值范圍是

A.B.（YO,0）C.（0,1）D.（1，內(nèi)）

【題型七】恒成立求參：分離參數(shù)（常規(guī)）

【典例分析】

設(shè)函數(shù)/W=W+x-名+需p■，若工＞0時，/（力＞。，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（0,+OP）B.（52）C.（F。）D.（12,-Ko）

【提分秘籍】

基本規(guī)律

分離參數(shù)：將參數(shù)提取到單獨(dú)的一側(cè)，然后通過求解函數(shù)的最值來求解參數(shù)的取值范圍，

1.分離參數(shù)思維簡單，不需過多思考；

2.缺點(diǎn)是，首先得能分參，其次求導(dǎo)計(jì)算可能十分麻煩，甚至需要二階，三階等等求導(dǎo)。

【變式演練】

1.不等式廠％'一對任意xe（l，"）恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

A.（一co』-e]B.（-co,2-e2]C.（-8,-2]D.（-<?,-3]

2.已知函數(shù)/⑺二產(chǎn)+川門」/-以滿足恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是—.

3.已知函數(shù)/（x）=LeTnx-at,若對于任意工￡（。,內(nèi)），不等式/（幻N0恒成立，則實(shí)數(shù)

e

a的最大值為.

【題型八】恒成立求參：分離參數(shù)（洛必達(dá)法則）

【典例分析】

若;+對女>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.（-00.21B.（-a）⑵C.（田.1]D.（存.3]

【提分秘籍】

基本規(guī)律

若分離參數(shù)后，所求最值恰好在“斷點(diǎn)處”，則可以通過洛必達(dá)法則求出“最值”

變式演練】

1.已知函數(shù)/(x)=/hr-4，-l)g￡田,若/。)“在小(0,1]時恒成立,則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是

A.[—,+oo)B.[^,+oo)C.[2,+8)D.[l,+oo)

4*-

2.若對任意xw(Oz),不等式"-"jasinx恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.[-2,2]B.S，e]C.~,2]D.(5]

【題型九】恒成立求參：倍函數(shù)

【典例分析】

設(shè)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?。，若滿足條件：存在[〃]，〃]工使/(%)在I"?，網(wǎng)上的值域?yàn)?/p>

Ikm,hi](丘R且k>0),則稱/(x)為“k倍函數(shù)”，若函數(shù)/3)=，(。>1)為“3倍函數(shù)”,

則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.B.(1,/)D.(6/)

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.倍函數(shù)，包括“倍增函數(shù)”，“倍縮函數(shù)”，“K倍函數(shù)”，等等新定義

2.應(yīng)用函數(shù)思想和方程思想。

【變式演練】

1.若存在與,9句且為工工2，使館(凡)一(X2)|>4/(%)7伍)|成立，則在區(qū)間［。㈤上，

稱g(x)為.f(x)的“倍函數(shù)”.設(shè)/("=lnx,g(x)=",若在區(qū)間「&,e］上，g(x)為

21nx+1」」

/("的”倍函數(shù)%則實(shí)數(shù)/,的取值范圍為()

一4卜嗚)

C.(F，e］D.(f,e)

..對于函數(shù))可若存在區(qū)間當(dāng)句時的值域?yàn)榈膭t稱月㈤

2(x),［a,h］fx￡［di,kb］(k>())t

為k倍值函數(shù).若｛x)=K+3x是k倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

1?2

A.(e+-,+8)B.(e+—,+co)

ee

C.(e+2,+oo)D.(e+3,+co)

3.如果存在七，與?4，〃］且王。修，使|g(%)—g(x2)|>L/a)-，(七)|成立，則在區(qū)間［。問

上，稱g(r)為/(”)的“倍函數(shù)”.設(shè)/(，)=lnx,若在區(qū)間［心刁上，g(x)

為/W的“倍函數(shù)”，則實(shí)數(shù)L的取值范圍為.

【題型十】恒成立求參：雙函數(shù)最值型

【典例分析】

已知函數(shù)/(x)=(，-2)e'+e+l,g*)=@+xlnx,對任意的mc-,3，總存在-,3使

A-l_e」Le

得g(⑼../(〃)成立，則。的范圍為.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

L形如/?)"&(￡),最終是歸結(jié)為求最值

2.一般地，已知函數(shù)y=/(x),x?a,〃],y=g(x),X￡[c,d]

(1)若依式"可，氣中"/],總有/(與)〈"(電)成立，故/(Ma<月(七).；

(2)若％??句，+24c,d],有/&)vg(w)成立，故/0詠<8(毛)網(wǎng)；

(3)若現(xiàn)水封，叫4G4,有“Xjvg㈤成立,故/(力小江士濡；

(4)若即w[c,d],有/(%)=8(毛)，則/(X)的值域是g(x)值域的子集.

3.對于一般同學(xué)，如果難以區(qū)分，可以簡單的總結(jié)為一句口訣：對于任意的，不等號大的“小”

(min),小的“大”(max),任意改存在，則“大"(max)“小”(min)互換。

4.注意本節(jié)練習(xí)題3,不等號改成等號，則變成值域之間的包含關(guān)系。

【變式演練】

1.已知f(x)=xe'+，+/,^(x)=-(x4-l)2+t7ln(x+l),若存在'cR,x,G(-1,+OO),使得

成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

2.已知人x)=lnx—：+機(jī)，g(x)=—X2—2rzx+4,若對任意的xi『0,2],存在4￡[1,2],使

得〃口)之。2)成立，則。的取值范圍是()

A「511n「一、「「?5'('

A.-t+<?JB.-j,+?>JC.-0.-Dn.I—<?.

3.己知函數(shù)/(x)=2混-3W+l,g*)=-(x+|,若任意給定的廝￡?2],總存在兩個不同

的.rg=l,2)e[0,2],使得/(3=屋與)成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.B.。收）c.y,-i）（i收）D.[-1,1]

【題型十一】數(shù)列與導(dǎo)數(shù)：

【典例分析】

已知數(shù)列｛4｝中，%=g，4+1=〃；—q+1，記S4=q+4++4,1=4；+?；++a；，/?€N”,

則下列結(jié)正確的是（）

A.??<j|B.2。向一%—120C.Szl<|/?D.2Sn-Tn<n

166

【提分秘籍】

基本規(guī)律

數(shù)列與不等式結(jié)合，常常要進(jìn)行適當(dāng)放縮，或利用函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而求出

數(shù)列的范圍或求和的范圍，在求單調(diào)性或者最值范圍時，可能需要用到函數(shù)導(dǎo)數(shù)。

如【典例分析】這道題需要構(gòu)造函數(shù)〃％）=ln〒-亡，通過研究其單調(diào)性，得到

—+—+—++—-<In2+In—+In—+In------=+是解題問題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.己知數(shù)列也｝也｝｛%｝｛4｝滿足：〃“=〃”也=〃!《=〃n“=L則對于任意正整數(shù)心io。，

n

有（）

A.aln-an<b2n-bnB.b2n-bt<c2n-cn

c.c2n-cn<d2n-dnD.a2n-an<d2n-dn

2a

2.己知數(shù)列｛/｝滿足。t二急，滿足4?0,1）,4+q+…+々*=2020,則下列成立的

n

是（）

A.Ina,?In>―!—B.Ina.In07fpi-------

120212020120212020

C.In?,<^^7D.以上均有可能

3.設(shè)。力wR,數(shù)列｛《J滿足4=。，a“=111。N+M〃￡2.），則（）

A.若〃=29則々2020，"若'=2,則"2020<"

C.若b=2,則“2020>aD.若b=2,則a2020<”

屋〔徽新模考駁俎秣

1.已知函數(shù)/。）=上也\若關(guān)于工的不等式/2*）+。口）＞（）恰有兩個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的

X

取值范圍是

l+ln2l+ln31l+ln3l+ln2

A.B.

八,1+In2l+ln3、i+ln3

C.（-------，-------）D.（-1,-亍

/（x）=,

5-2x-x2,x<1,

2.（四川省遂寧2022屆高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

若函數(shù)丁="（*『+（2-4。）/（幻+1恰有§個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

3.（山東省2021-2022學(xué)年高三10月“山東學(xué)情”聯(lián)考數(shù)學(xué)試題C）已知-3a.-a,

若存在使得成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

4.（廣東省2022屆高三上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（四）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/（］）=依'-2〃（llU+X）

有兩個零點(diǎn)，則。的最小整數(shù)值為（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2019屆湖北省八校高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)）若對任意xc（O,3）,不等式

Ze，'-ahia-ahi.rNO恒成立，則實(shí)數(shù)。的最大值為（）

A.y/eB.。C.2eD.?

6.不等式ax+l+//u<x/對于定義域內(nèi)的任意i.恒成立，則〃的取值范圍為.

7.設(shè)函數(shù)萬（工）的定義域?yàn)槿魸M足條件:存在［"句G。，使〃（x）在力］上的值域?yàn)椋?億2〃］,

則稱為“倍脹函數(shù)”?若函數(shù)/（x）=h］x+/為“倍脹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

8.對任意的〃eN,不等式（1+，）”m&-17）"（其中6是自然對數(shù)的底）恒成立，貝伊的最

n〃+1

大值為（）

A.In2-1B.11C.In3-1D.,\1

In2In3

9.數(shù)列｛七｝,也｝滿足4+34+32+…+3"-4號（，蚱M）,"=》“，若也｝的前〃項(xiàng)

和為S“，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.M2018>52017B.S20l8>M2018+l

C.M?018<5IOO.,-ID.S2OI8-l<ln?0IS

10.(黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高三第四次驗(yàn)收考試數(shù)學(xué)(理科)試題)

x

已知函數(shù)一部送⑶一工，若存在實(shí)數(shù)卜J使得/(xj=g(w)=〃?，則的取值范圍

/\2

A2虱X?)

是___________:若聲＜°,則口力的最大值是.

專題3?4超難數(shù)壓軸小題：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)

一一11大熱點(diǎn)題型歸類及提分秘籍（1）

目錄

這苫湊克敢型歸的

【題型一】整數(shù)解...........................................................18

【題型二】零點(diǎn).............................................................23

【題型三】同構(gòu).............................................................28

【題型四】恒成立求參：移項(xiàng)討論型..........................................31

【題型五】恒成立求參：代入消參型（虛設(shè)根型）.............................37

【題型六】恒成立求參：構(gòu)造函數(shù)............................................43

【題型七】恒成立求參：分離參數(shù)（常規(guī)）...................................48

【題型八】恒成立求參：分離參數(shù)（洛必達(dá)法則）.............................52

【題型九】恒成立求參：倍函數(shù)..............................................55

【題型十】恒成立求參：雙函數(shù)最值型........................................61

【題型十一】數(shù)列與導(dǎo)數(shù)：...................................................67

【題型一】整數(shù)解

【典例分析】

在關(guān)于尤的不等式e與、(沈、公2卜+加、+4。2>0(其中e=2.71828L為自然對數(shù)的底數(shù))

的解集中，有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

(161］「91)

'?B.［彳，刻

f1641「941

c?1青旅］D-

【答案】D

【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為e2(x-2)2>a(x-l)ex,分別研究兩個函數(shù)的性質(zhì)，確定。的取值

范圍，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法進(jìn)一步縮小。的取值范圍，列出不等式組，求出結(jié)果.

【詳解】由，/一標(biāo)\今2卜+比,+4€2>。，化簡得：e2(x-2)2>?(x-l)e\

設(shè)〃x)=e2(A2)2,g(x)=a(x7)e、，則原不等式即為/?(x)＞g(x).若a40,則當(dāng)工＞2時,

/(力＞0，g(x)＜。，

??.原不等式的解集中有無數(shù)個大于2的整數(shù)，???。>0:〃2)=0,42)=府>0,???

“2)(屋2).

當(dāng)/(3)Wg⑶，即IN：時，設(shè)Mx)=/(x)-g(x)(x"),則

2e

"(x)=2e2(x-2)-(7xeA＜2e2(x-2)-^-.

g^(x)=2c2(x-2)-—(x>4),則”(力=2/-("［》在［3,—)單調(diào)遞減,所以

2e2c

"(x)=2c2—也上］“(3)=0,所以Q(x)=2e2(x-2)-史在［4,y)單調(diào)遞減，???

2e2e

0(x)<9(4)=2e2(2-e)<0,

???當(dāng)xN4時，〃'(x)<0,「."(x)在［4,+co］上為減困數(shù)，lip

/?(x)</?(4)=4e2-3ae4<e2

???當(dāng)x"時，不等式恒成立，，原不等式的解集中沒有大于2的整數(shù).

(7⑶〉。⑶2>2a3

2

-要使原不等式的解集中有且僅有兩個人于2的整數(shù)，則(/"(4)>g(4),即4C>3acS解

2s

(/⑸<0(5)%<4ae

94、

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為廣，?.故選：D

■cDCy

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.通過函數(shù)討論法，參變分離，數(shù)形結(jié)合等來切入

2.討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個整數(shù)點(diǎn)函數(shù)的符號問題

【變式演練】

1.己知函數(shù)/a)=?x+iH-x,若存在唯一的正整數(shù)天，使得/(/)<0,則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是()

21

【答案】C

【分析】

題意等價于存在唯一的正整數(shù)一%使得不等式成立，求出函數(shù)g*)=￡■的單調(diào)區(qū)

間，直線y=〃(x+l)過定點(diǎn)(TO),作出函數(shù)g*)/和直線y=a(x+l)圖像，結(jié)合圖形

列出不等式組化簡即可.

解：函數(shù)/'(x)=a(x+l)e<-x,若存在唯一的正整數(shù).使得/(與)<0。等價于存在唯一

的正整數(shù)與，使得不等式a(x+l)</■成立，令g(x)=；，則8(幻=宗，由《⑴〉。得:<1，

由g'(x)vO得八1

所以函數(shù)g(X)=2在區(qū)間(F/)上遞增，在區(qū)間(I，*)上遞減。所以g(X)M=g(l)=L

ee

直線y="x+l)過定點(diǎn)(TO),作出函數(shù)雙加=三和直線)，=〃(x+l)圖像如下:

C-

由圖可得要使存在唯?的正整數(shù)使得不等式

a(x+l)vg?成立

C1

2a<--

?所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

必有，e=>^<a<

(2+1)?>4%品)

故選：C.

2.已知偶函數(shù)滿足〃3H)=〃3T),且當(dāng)，40,3］時，/3=八二，若關(guān)于x的不等

式/(x)-/(x)>0在［-150,150］上有且只有150個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是()

A.0,e《B.C.3—,2/D.一,21

\/L/\/\/

【答案】B

【分析】

根據(jù)偶函數(shù)“X)滿足/(3+X)=/(3T),得到函數(shù)/(力是以6為周期的周期函數(shù)，由"目0,3］

時，/")=泥弓，用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合偶函數(shù)，作出數(shù)/(x)在(-3,3］上的圖象，將不等式

尸(力-/(工)>0在［-150,150］上有且只有15()個整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為在一個周期(T3］上

，卜)>，有3個整數(shù)解分別為22,3求解.

【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)/(可滿足〃3+X)=〃3T),所以〃67)=/(X)=/(-X),即/(6+x)=/(x),

所以函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，當(dāng)xe［0,3］時，〃”=必3,所以尸(力=>(1一^)，

當(dāng)0Wxv2時，.f'(x)>0,函數(shù)f(x)遞增;當(dāng)2vxW3E寸,尸(6<0,函數(shù)遞減；

當(dāng)當(dāng)x=2時，函數(shù)“X)取得極大值/(”=；,作出函數(shù)在(-3,3］上的圖象，如圖所示：

因?yàn)椴坏仁?2(6-"。)>0在［-150,150］上有且只有150個整數(shù)解,

所以不等式/2(司_/(?>0在(-3,3］上有且只有3個整數(shù)解，

當(dāng)/(x)=0時，不符合題意，故不等式“力〉/在(-3,3］上有且只有3個整數(shù)解，

因?yàn)?1)=1,/(3)=3涓，所以瑞=》】，即/⑴</⑶，

故不等式/")〉/在(-3,3］上的3個整數(shù)解分別為22,3,

所以，/(l)<r</(3),艮］故選：B

3.已知對任意實(shí)數(shù)A>1,關(guān)于x的不等式在(0,+8)上恒成立，則〃的最大整數(shù)

e

值為()

A.0B.-1C.-2D.-3

【答案】B

【詳解】令/(x)q(x>0),依題意，對任意舊，當(dāng)x>0時，)，=〃”圖象在直線

)=攵(無一。)下方，???/%)=型;立列表

e

X(o.i)1(Lxo)

r(x)+0—

2

/(x)TAri

e

y=/(x)得的大致圖象

則當(dāng)。=0時，Tr(O)=2，，當(dāng)l“v2時不成立;

當(dāng)。=一1時,設(shè)y=%(x+l)與y=f(x)相切于點(diǎn)(如/(%)).

”/二件句7氣，解得中與1?0』).

則40

《八u?1Z

,3-石1,

，&。=叵j＜彳＜，故成立，，當(dāng)aeZ時,amK=T.故選B.

e2

【題型二】零點(diǎn)

【典例分析】

已知函數(shù)/(x)=(x2-2x)/,若方程/(x)=〃有3個不同的實(shí)根為,.%八(不＜占＜占)，

則一%的取值范圍是()

X?一乙

A.1當(dāng),0、B.H,。)C._奈缶］D.(0,72^)

【答案】B

【分析】對/(力求導(dǎo)，利用/(力的圖像求得士的范圍，以及“與Z的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為

關(guān)于9的函數(shù)值域的問題進(jìn)行處理即可.

【詳解】因?yàn)?(力=(丁-2x)爐，故可得廣(力=產(chǎn)(/-2),令/'(x)=O,解得工=±及，

故可得在區(qū)間(f-Vi)單調(diào)遞增，在(-血,a)單調(diào)遞減，在("+8)單調(diào)遞增.

又/(-①)=白誓，/網(wǎng)=3-2近)戶,且當(dāng)“趨近于負(fù)無窮時，/"(X)趨近于零,故

eifI

/W的圖象如下所示：.一■

G~-43_3U_?k1I34

（2+2五、

故若方程〃x）=。有3個不同的實(shí)根，則。,一^~，又因?yàn)?“2）=（￥-2引升=〃,

re,

%e（->/2,0）故=J"》=勺泮，不妨令h（x）=xex工￡（-及,0）,則

/?兒,乙

/f(x)=er(x+l),令"(M=0,解得工=-1,

容易知〃（可在區(qū)間（-后,-1）單調(diào)遞減，在（-1,0）單調(diào)遞增.故可得加=/?（-1）=」，乂

e

.―忘）=一與〈/?（0）=0故可得/?（x）<0,則力（力W-pOj,即-：，。）.故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

求零點(diǎn)或者討論零點(diǎn)求參

1.函數(shù)討論法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解.；

2.分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；

3.數(shù)形結(jié)合法：構(gòu)造兩個函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.（常規(guī)題是函數(shù)與直線，較復(fù)雜的,

就需要構(gòu)造需要借助求導(dǎo)來畫圖的函數(shù)了）

【變式演練】

1.已知/（刈=/-3/+1,若存在唯一的零點(diǎn).%,且%>0,則”的取值范圍是（）

A.（2,+8）B.（田，-2）C.（1,+oojD.（^o,l）

【答案】B

【分析】

分類討論：當(dāng)時.，容易判斷出不符合題意；當(dāng)a<0時，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和

極值之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求極小值解出即可.

解：當(dāng)4=0時，/(司=-3/+1=0,解得X=士"，函數(shù)/(X)有兩個零點(diǎn)，不符合題意,

應(yīng)舍去；

當(dāng)a>0時，令/(x)=3af_6x=3ox[x-：)=0,解得了=0或x=：>0,列表如下：

2

(—,0)

0*72-8]

X

0-0+

f4

單調(diào)遞極大單調(diào)遞極小單調(diào)遞

f(

值減值增

.?X--8,/⑴——,而/(0)=1>0,

「?存在x<0,使得/(x)=0,

不符合條件：/(x)存在唯一的零點(diǎn)小，且%>0,應(yīng)舍去,

當(dāng)"<0時，/(x)=3ax2-6x=3av(x--|=0,

2

解得x=0或尸一<0,

a

列表如下:

2

0(0,+8)

7

X1--aI)

0+0—

f

單調(diào)遞極小單調(diào)遞極大單調(diào)遞

聯(lián)

/(值增值減

而/(0)=l>0,時，/(X)f-oo,.?.存在玉>0,使得/(.q)=0,

,2、29

；"(x)存在唯一的零點(diǎn)七,且%>。，.??極小值/匕卜5)3-3(々)2+1>0,化為/>4,

*/?<0,a<-2,綜上可知：”的取值范圍是(Y)，-2).故選:B.

2.已知函數(shù)=三?(加<0),g。)=網(wǎng)口,設(shè)方程/(以外)+工=0的3個實(shí)根分別為

3xxm

%,修，當(dāng)，且玉<吃<當(dāng),貝!lg(x)+2g(w)+3g(w)的值可能為()

223

B.C.D.3

eeee

【答案】B

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)性、極值及區(qū)間值域，由題設(shè)可知3丁+〃a-2〃/=0在

y,o)U(。,我o)上必有兩個不等的實(shí)根6出(假設(shè)…2)且普，結(jié)合g(?的性質(zhì)

99n;

有1丁°且—叱gQ…心)’進(jìn)而求目標(biāo)式的值，即可確定答案.

【詳解】

由題設(shè)，8(幻=也衛(wèi)的定義域?yàn)?-^，0),且g'(x)=迎羋必

xX

.,?當(dāng)xe(-8,-e)時，gXx)<0,即g(x)遞減；當(dāng)xe(-e,O)時，g'(x)>0,即g(x)遞增.

2

???ga)2g(-e)=——，又尤在(F,-e)上逐漸變小時g(x)逐漸趨近于0,當(dāng)-lc<0時

g(x)>g(T)=0且隨X趨向于0,飄冷趨向無窮大.

，g(x)的圖象如下:

,//(X)的定義域?yàn)椋鸛|XHO),由/(x)+_L=O可得：3x2+nix-2m2=0在(—,。)J。”)上

m

必有兩個不等的實(shí)根乙由(假設(shè)4>G)且乙=-皿，2用?！?lt;°)，

???令f=g(x),要使/")+工=0的3個實(shí)根，貝也e[0,3)、k(-2,0),即二<M<0,

inee3

3

可得——</7Z<0.

e

；?由再知:t2=g(xi)=g(x2),]=g(引,:.

g(xj+2g(x2)+3g(xj=3a]+，2)=T"€(°，3)?故選：B.

e

3.已知函數(shù)〃x)=W，對于正實(shí)數(shù)a,若關(guān)于f的方程"/)=/(?)恰有三個不同的正實(shí)

數(shù)根，則a的取值范圍是()

A.(1,8)B.(乙8)C.(8,+00)D.(/,”)

【答案】D

【分析】

研究〃x)=理的圖像可知，若"/)=/(?，令%=八七=｝則/(%)=/&)，月.與占>1，

可以推出，凡=七或工/2=%通過對數(shù)不等式寫出關(guān)于王勺的不等式，即可求出〃的范圍

【詳解】

因?yàn)?(力=華，/(r)=-p-?令/(x)=l：；x>0得:o<x<e；令/(M=1[尸>0

得：x>e,所以/（x）在區(qū)間（0，e）單調(diào)遞增，在（e,E）理調(diào)遞減，且x-8時，/（x）>0恒

成立，〃力的圖像如下:

令X=/,&=?，則/（5）=/（毛），且大，專>1

①當(dāng)寸*時，，吟，=&,成立,所以&是方程的一個實(shí)數(shù)根

②當(dāng)內(nèi)工當(dāng)時，由/（%）=/（七）得：—=—，令嶼=見a=〃?

X]x2-fjx2

mx.=Inx.