深圳四校發(fā)展聯(lián)盟體2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角為（）A. B.C. D.2．閱讀如圖所示程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出S的結(jié)果是（）A.128 B.64C.16 D.323．已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．在數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是（）A.102 B.C. D.1085．將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A. B.C. D.6．在等比數(shù)列中，，則等于（）A. B.C. D.7．拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)，焦點(diǎn)，已知，則線段的中點(diǎn)到軸的距離是（）A.1 B.C.2 D.8．已知拋物線的焦點(diǎn)恰為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，的另一頂點(diǎn)為，與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，若，則直線的斜率為（）A. B.C. D.9．如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．在四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.11．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（）A.4 B.C.2 D.12．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足：，且，記，若，則___________.（用表示）14．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________；15．若和或都是假命題，則的范圍是__________16．如圖，在棱長(zhǎng)都為的平行六面體中，，，兩兩夾角均為，則________；請(qǐng)選擇該平行六面體的三個(gè)頂點(diǎn)，使得經(jīng)過這三個(gè)頂點(diǎn)的平面與直線垂直.這三個(gè)頂點(diǎn)可以是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）是否存在直線，使得的面積為？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值19．（12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)B為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點(diǎn)P（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）20．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若焦距為4，點(diǎn)P是橢圓上與左、右頂點(diǎn)不重合的點(diǎn)，且的面積最大值.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，直線交拋物線E于兩點(diǎn)（1）求E的方程；（2）若以BC為直徑的圓過原點(diǎn)O，求直線l的方程22．（10分）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：,且是,的等差中項(xiàng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若,,求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由直線與垂直得到的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，且，所以，解得，設(shè)的傾斜角為，，所以.故選：D2、C【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯，其執(zhí)行步驟如下：1、成立，則；2、成立，則；3、成立，則；4、成立，則；5、不成立，輸出；故選：C3、B【解析】先分析充分性：假設(shè)特殊等比數(shù)列即可判斷；再分析充分性，由條件得恒成立，再對(duì)和進(jìn)行分類討論即可判斷.【詳解】先分析充分性：在等比數(shù)列中，，所以假設(shè)，，所以，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，所以恒成立，即恒成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時(shí)成立，所以必要性成立.故選：B.4、D【解析】將將看作一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】將看作一個(gè)二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，開口向下，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，故選：D5、A【解析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化由點(diǎn)M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A6、C【解析】根據(jù)，然后與，可得，最后簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】在等比數(shù)列中，由所以，又，所以所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，重在計(jì)算，當(dāng)，在等差數(shù)列中有，在等比數(shù)列中，靈活應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即可求出線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即得到答案.【詳解】由已知可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，由拋物線的定義得，即，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故線段的中點(diǎn)到軸的距離是.故選：.8、D【解析】根據(jù)題意，列出的方程組，解得，再利用斜率公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，由題可知；又點(diǎn)在拋物線上，故可得；又，聯(lián)立方程組可得，整理得，解得（舍）或，此時(shí)，又，故直線的斜率為.故選：D.9、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.10、A【解析】結(jié)合空間幾何體以及空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則,,,故選：A.11、A【解析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可確定焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.故選：A.12、B【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，求出切線和橫截距a和縱截距b，面積為【詳解】由題意可得，所以，則所求切線方程為令，得；令，得故所求三角形的面積為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由可得，結(jié)合已知條件，利用裂項(xiàng)相消求和法即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，又，所?故答案為：.14、【解析】函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減∴在區(qū)間上恒成立即，解得:，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意故答案為【點(diǎn)睛】f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解15、【解析】先由和或都是假命題，求出x的范圍，取交集即可.【詳解】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是胡答案：16、①.②.點(diǎn)或點(diǎn)（填出其中一組即可）【解析】（1）以向量，，為基底分別表達(dá)出向量和，展開即可解決；（2）由上一問可知，用上一問同樣的方法可以證明出，這樣就證明了平面與直線垂直.【詳解】（1）令，，，則，則有，故（2）令，，，則，則有，故故，即又由（1）之,,故直線垂直于平面同理可證直線垂直于平面故答案為：0;點(diǎn)或點(diǎn)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在；或.【解析】（1）設(shè)，由，，，求得的值即可得橢圓的方程；（2）設(shè)，，直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立可得，，進(jìn)而可得弦長(zhǎng)，求出點(diǎn)到直線的距離，解方程，求得的值即可求解.【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，，所以，可得，又因?yàn)?，所以，所以，所以橢圓的方程為【小問2詳解】假設(shè)存在直線，使得的面積為，當(dāng)軸時(shí)，不合題意，設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立消去得：，由可得或，，，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以，整理可得：即，所以或，所以或，所以存在直線：或使得的面積為.18、，因此.,當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元【解析】解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為.再由，得，因此.而建造費(fèi)用為最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬(wàn)元19、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，即可得到軌跡方程；（2）設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，則，代入韋達(dá)定理，即可求出面積最小值；【小問1詳解】解：由已知可得，，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線的距離，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)的軌跡方程為【小問2詳解】解：當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)，設(shè)直線方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即面積的最小值為；20、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)焦距求出，利用面積最大值，得到求出，從而得到，求出橢圓方程；（2）分直線斜率存在和斜率不存在，結(jié)合題干條件得到，進(jìn)而求出直線方程.【小問1詳解】∵∴，又的面積最大值，則，所以，從而，，故橢圓的方程為：；【小問2詳解】①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，代入③整理得，設(shè)、，則，所以，點(diǎn)到直線的距離因?yàn)椋?，又由，得，所以?而，，即，解得：，此時(shí)；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，直線交橢圓于點(diǎn)、.也有，經(jīng)檢驗(yàn)，上述直線均滿足，綜上：直線的方程為或.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中，有關(guān)向量的題目，要結(jié)合條件選擇不同的方法，一般思路有轉(zhuǎn)化為三角形面積，或者線段的比，或者由向量得到共線等.21、（1）；（2）.【解析】(1)利用橢圓的焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，列出方程求解即可(2)設(shè)，、，，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理，通過，求出，得到直線方程【小問1詳解】由題意知：，，∴的方程是【小問2詳解】設(shè)，、，，由題意知，由，得，∴，，，∵以