云南省梁河縣一中2025年高二數(shù)學第一學期期末經(jīng)典模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，記M到x軸的距離為a，到y(tǒng)軸的距離為b，到z軸的距離為c，則（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作直線交雙曲線的右支于A，B兩點.若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．為了調(diào)查修水縣2019年高考數(shù)學成績，在高考后對我縣6000名考生進行了抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學成績作為一個樣本，這項調(diào)查宜采用的抽樣方法是（）A.系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法C.抽簽法 D.簡單的隨機抽樣法4．已知直線、的方向向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2C.0 D.35．如圖在平行六面體中，與的交點記為．設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.6．已知過點A（a，0）作曲線C：y＝x?ex的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）7．已知圓M與直線與都相切，且圓心在上，則圓M的方程為（）A. B.C. D.8．下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則9．對于兩個平面、，“內(nèi)有無數(shù)多個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．過點A(3，3)且垂直于直線的直線方程為A. B.C. D.11．函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，分別是它們的在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于（）A.4 B.2C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．動點M在圓上移動，則M與定點連線的中點P的軌跡方程為___________.14．過點作圓的切線，則切線的方程為________15．已知點P是拋物線y2＝2x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點，則|的最小值是_________16．當為任意實數(shù)時，直線恒過定點，則以點C為圓心，半徑為圓的標準方程______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知橢圓：（）的左、右焦點分別為、，離心率為.過的直線與橢圓的一個交點為，過垂直于的直線與橢圓的一個交點為，.（1）求橢圓的方程和點的軌跡的方程；（2）若曲線上的動點到直線：的最大距離為，求的值.18．（12分）已知為直角梯形，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19．（12分）如圖，已知頂點，，動點分別在軸，軸上移動，延長至點，使得，且.（1）求動點的軌跡；（2）過點分別作直線交曲線于兩點，若直線的傾斜角互補，證明：直線的斜率為定值；（3）過點分別作直線交曲線于兩點，若，直線是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點，若不是，說明理由.20．（12分）已知橢圓C：的左右焦點分別為，，點P是橢圓C上位于第二象限的任一點，直線l是的外角平分線，過左焦點作l的垂線，垂足為N，延長交直線于點M，（其中O為坐標原點），橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）過右焦點的直線交橢圓C于A，B兩點，點T在線段AB上，且，點B關(guān)于原點的對稱點為R，求面積的取值范圍.21．（12分）如圖，已知拋物線的焦點為F，拋物線C上的點到準線的最小距離為1（1）求拋物線C的方程；（2）過點F作互相垂直的兩條直線l1，l2，l1與拋物線C交于A，B兩點，l2與拋物線C交于C，D兩點，M，N分別為弦AB，CD的中點，求|MF|·|NF|的最小值22．（10分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且（1）求證：時，；（2）已知a，b，p，q為正實數(shù)，滿足，比較與的大小關(guān)系.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分別求出點M在x軸，y軸，z軸上的投影點的坐標，再借助空間兩點間距離公式計算作答.【詳解】設(shè)點M在x軸上的投影點，則，而x軸的方向向量，由得：，解得，則，設(shè)點M在y軸上的投影點，則，而y軸的方向向量，由得：，解得，則，設(shè)點M在z軸上的投影點，則，而z軸的方向向量，由得：，解得，則，所以.故選：C2、A【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合雙曲線定義求出，，再借助余弦定理求出半焦距c即可計算作答.【詳解】因，令，，而雙曲線實半軸長，由雙曲線定義知，，而，于是可得，在等腰中，，令雙曲線半焦距為c，在中，由余弦定理得：，而，，，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：A【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率的方法：(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；(3)特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.3、B【解析】考生分為幾個不同的類型或?qū)哟?，由此可以確定抽樣方法；【詳解】6000名考生進行抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學成績作為一個樣本又文科考生、理科考生、藝術(shù)和體育類考生會存在差異，采用分層抽樣法較好故選：B.【點睛】本題主要考查的是分層抽樣，掌握分層抽樣的有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】由可得出，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可得出關(guān)于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】若，則，所以，所以，解得.故選：C5、B【解析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關(guān)于、、的表達式.【詳解】故選：B.6、A【解析】設(shè)出切點，對函數(shù)求導得到切點處的斜率，由點斜式得到切線方程，化簡為，整理得到方程有兩個解即可，解出不等式即可.【詳解】設(shè)切點為，，，則切線方程為：，切線過點代入得：，，即方程有兩個解，則有或.故答案為:A.【點睛】這個題目考查了函數(shù)的導函數(shù)的求法，以及過某一點的切線方程的求法，其中應(yīng)用到導數(shù)的幾何意義，一般過某一點求切線方程的步驟為：一：設(shè)切點，求導并且表示在切點處的斜率；二：根據(jù)點斜式寫切點處的切線方程；三：將所過的點代入切線方程，求出切點坐標；四：將切點代入切線方程，得到具體的表達式.7、A【解析】由題可設(shè)，結(jié)合條件可得，即求.【詳解】∵圓心在上，∴可設(shè)圓心，又圓M與直線與都相切，∴，解得，∴，即圓的半徑為1，圓M的方程為.故選：A.8、C【解析】先舉例說明ABD不成立，再根據(jù)不等式性質(zhì)說明C成立.【詳解】當時，滿足，但不成立，所以A錯；當時，滿足，但不成立，所以B錯；當時，滿足，但不成立，所以D錯；因為所以，又，因此同向不等式相加得，即C對；故選：C【點睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有無數(shù)多個點到的距離相等，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有無數(shù)多個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.10、D【解析】過點A(3，3)且垂直于直線的直線斜率為，代入過的點得到.故答案為D.11、B【解析】方程有兩個根，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性與極值【詳解】函數(shù)定義域是，有兩個零點，即有兩個不等實根，即有兩個不等實根設(shè)，則，時，，遞減，時，，遞增，極小值＝，而時，，時，，所以故選：B12、A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，由定義可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線定義，得，，，由可得，又，在中，，即，化簡得，兩邊同除以，得.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查共焦點的橢圓與雙曲線的離心率問題，解題的關(guān)鍵是利用定義以及焦點三角形的關(guān)系列出齊次方程式進行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】設(shè)，中點，根據(jù)中點坐標公式求出，代入圓的標準方程即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，中點，則，即，因為在圓上，代入得故答案為：.14、【解析】由已知可得點M在圓C上，則過M作圓的切線與CM所在的直線垂直，求出斜率，進而可得直線方程.【詳解】由圓得到圓心C的坐標為(0,

0)，圓的半徑,而所以點M在圓C上，則過M作圓的切線與CM所在的直線垂直，又，得到CM所在直線的斜率為，所以切線的斜率為，則切線方程為：即故答案為：.15、##【解析】由拋物線的定義可得，所以的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，由圖可知的最小值為，從而可求得答案【詳解】拋物線y2＝2x焦點，準線為，由拋物線的定義可得，所以,因為，，所以，所以，當且僅當三點共線且在線段上時，取得最小值，所以的最小值為，故答案為：16、【解析】先求得直線過的定點C，再寫出圓的標準方程.【詳解】直線可化為，則，解得，所以直線恒過定點，所以以點C為圓心，半徑為圓的標準方程是，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）橢圓的方程為，點的軌跡的方程為（2）【解析】（1）由題意可得，求出，再結(jié)合，求出，從而可得橢圓的方程，設(shè)，則由題意可得，坐標代入化簡可得點的軌跡的方程，（2）由題意結(jié)合點到直線的距離公式可得，設(shè)，將直線方程代入橢圓方程中消去，整理利用根與系數(shù)的關(guān)系，由，可得，因為，代入化簡計算可求得答案【小問1詳解】由題意得，解得，則，所以橢圓的方程，設(shè)，則由題意可得，所以，所以，所以點軌跡的方程為【小問2詳解】由（1）知曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓，因為曲線上的動點到直線：的最大距離為，所以，得，設(shè)，由，得，所以，，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，，所以，得，得（舍去），或18、（1）證明見解析；（2）.【解析】建立空間直角坐標系.（1）方法一，利用向量的方法，通過計算，，證得，，由此證得平面.方法二，利用幾何法，通過平面證得，結(jié)合證得，由此證得平面.（2）通過平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，可得，，，.（1）證明法一：因為，，，所以，，所以，，，平面，平面，所以平面.證明法二：因為平面，平面，所以，又因為，即，，平面，平面，所以平面.（2）由（1）知平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，又，，且所以所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）設(shè)點M,P,Q的坐標,將向量進行坐標化，整理即可得軌跡方程；（2）設(shè)點，，直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數(shù)，用斜率公式計算得到，即可計算kAB；（3）若，由兩直線斜率積為-1，可得到關(guān)于與的等量關(guān)系，寫出直線AB的方程，將等量關(guān)系代入直線方程整理可得直線AB經(jīng)過的定點【詳解】（1）設(shè)，，.由，得，即.因為，所以，所以.所以動點的軌跡為拋物線，其方程為.（2）證明：設(shè)點，，若直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數(shù)，又，，所以，，整理得，所以.（3）因為，所以，即，①直線的方程為：，整理得：，②將①代入②得，即，當時，即直線經(jīng)過定點.【點睛】本題考查直接法求軌跡方程，考查直線斜率為定值的求法和直線恒過定點問題.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意可得到的值，結(jié)合橢圓的離心率，即可求得b,求得答案;（2）由可得，進一步推得，于是設(shè)直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得弦長，表示出三角形AOB的面積，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其范圍.【小問1詳解】由題意可知：為的中點，為的中點，為的中位線，，,又,故,即,，又，，，橢圓的標準方程為；【小問2詳解】由題意可知，，,①當過的直線與軸垂直時，，,②當過的直線不與軸垂直時，可設(shè)，，直線方程為,聯(lián)立,可得：.,,,由弦長公式可知，到距離為,故，令，則原式變?yōu)?，令，原式變?yōu)楫敃r，故，由①②可知.【點睛】本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓相交時的三角形的面積問題，考查學生的計算能力和數(shù)學素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是計算三角形面積時要理清運算的思路，準確計算.21、（1）（2）8【解析】（1）由拋物線C上的點到準線的最小距離為1，所以，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)直線AB的斜率為k，則直線CD的斜率為，得到直線AB的方程為，聯(lián)立方程，求得，進而求得的坐標，得到的表達式，結(jié)合基本不等式，即可求解.【小問1詳解】解：因為拋物線C上的點到準線的最小距離為1，所以，解得，所以拋物線C的方程為【小問2詳解】解：由（1）可知焦點為F(1，0)，由已知可得ABC