2026年中國(guó)精算師資格考試預(yù)測(cè)卷（八）考試科目：精算數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（共30題，每題2分，共60分）精算數(shù)學(xué)中，生存函數(shù)S(x)的核心定義是（）A.0歲的人在x歲之前死亡的概率B.0歲的人能活過(guò)x歲的概率C.x歲的人在未來(lái)t年內(nèi)死亡的概率D.x歲的人剩余壽命的期望值利息理論中，實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的核心關(guān)系是（）A.i=d/(1+d)B.i=1/(1-d)C.d=i/(1+i)D.d=1/(1+i)已知某人群的生存函數(shù)為S(x)=1-x/100（0≤x≤100），則30歲的人能活過(guò)70歲的概率是（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6年金計(jì)算中，期末付普通年金現(xiàn)值公式為（）A.a?=(1-v?)/iB.a?=(v-v??1)/iC.??=(1-v?)/dD.??=(1-v??1)/d死亡效力μ?的核心物理意義是（）A.x歲的人在瞬間死亡的概率B.x歲的人在未來(lái)1年內(nèi)死亡的速率C.x歲的人瞬間死亡的速率D.x歲的人剩余壽命的密度函數(shù)復(fù)利計(jì)算中，名義利率i^(m)轉(zhuǎn)換為實(shí)際利率i的公式是（）A.i=(1+i^(m)/m)^m-1B.i=(1+m/i^(m))^m-1C.i=(1+i^(m))^m-1D.i=m(1+i^(m))-1整數(shù)剩余壽命K(x)的期望ex表示（）A.x歲的人未來(lái)存活的完整年數(shù)期望值B.x歲的人剩余壽命的精確期望值C.0歲的人活過(guò)x歲后的平均壽命D.x歲的人在未來(lái)1年內(nèi)存活的概率生存函數(shù)與分布函數(shù)F(x)的關(guān)系是（）A.S(x)=1+F(x)B.S(x)=1-F(x)C.F(x)=1+S(x)D.F(x)=S(x)-1期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值公式為（）A.a∞=1/iB.a∞=1/dC.?∞=1/iD.?∞=1/(i+d)已知tq?=0.2，t+p?=0.8，則x歲的人在未來(lái)t年內(nèi)死亡的概率是（）A.0.2B.0.8C.0.16D.0.64利息理論中，單利與復(fù)利的核心區(qū)別是（）A.計(jì)息周期不同B.利息是否產(chǎn)生新利息C.利率高低不同D.適用場(chǎng)景不同剩余壽命T(x)的方差計(jì)算核心依據(jù)是（）A.Var(T(x))=E[T(x)2]-[E[T(x)]]2B.Var(T(x))=E[T(x)2]+[E[T(x)]]2C.Var(T(x))=E[T(x)]-[E[T(x)]]2D.Var(T(x))=E[T(x)2]-E[T(x)]期初付年金與期末付年金的現(xiàn)值關(guān)系是（）A.??=a?+1B.??=a?-1C.??=a?+v?D.??=a?+d已知生存函數(shù)S(x)=e^(-0.02x)（x≥0），則μ?的值為（）A.0.01B.0.02C.0.03D.0.04復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)v?的核心含義是（）A.未來(lái)n期后的1元在期初的現(xiàn)值B.期初1元在未來(lái)n期后的終值C.未來(lái)n期后的1元在當(dāng)期的現(xiàn)值D.當(dāng)期1元在未來(lái)n期后的終值聯(lián)合生存函數(shù)S(x,y)的定義是（）A.(x)和(y)都活過(guò)x+y歲的概率B.(x)活過(guò)x歲且(y)活過(guò)y歲的概率C.(x)和(y)都活過(guò)t年的概率D.(x)活過(guò)t歲且(y)活過(guò)t歲的概率已知i=5%，則10年期期末付年金的現(xiàn)值a??為（）（精確到0.01）A.7.72B.7.36C.8.11D.8.53死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系是（）A.μ?=-d/dxlnS(x)B.μ?=d/dxlnS(x)C.μ?=-d/dxS(x)D.μ?=d/dxS(x)利息力δ的定義是（）A.δ=ln(1+i)B.δ=1/(1+i)C.δ=i/(1+i)D.δ=d完全期望壽命e??與整數(shù)期望壽命ex的關(guān)系是（）A.e??=ex+0.5B.e??=ex-0.5C.e??=ex+∫?1t??dtD.e??=ex-∫?1t??dt已知年金金額為1000元，i=4%，n=5，期末付年金的終值為（）A.5416.32元B.5632.98元C.5849.54元D.6083.26元生存模型中，deMoivre模型的生存函數(shù)形式是（）A.S(x)=e^(-μx)B.S(x)=(ω-x)/ωC.S(x)=(1-x/ω)^kD.S(x)=e^(-μ(ω^k-(ω-x)^k)/k)實(shí)際貼現(xiàn)率d的核心含義是（）A.期末支付的利息與期初本金的比率B.期初支付的利息與期末本金的比率C.期末支付的利息與期末本金的比率D.期初支付的利息與期初本金的比率已知S(50)=0.8，S(60)=0.6，則50歲的人在60歲之前死亡的概率是（）A.0.2B.0.25C.0.3D.0.35永續(xù)年金與定期年金的核心區(qū)別是（）A.支付頻率不同B.支付期限不同C.利率不同D.現(xiàn)值計(jì)算方法不同已知μ?=0.03，則t??的表達(dá)式為（）A.t??=e^(-0.03t)B.t??=1-0.03tC.t??=0.03e^(-0.03t)D.t??=e^(0.03t)利息理論中，資本回收因子的公式是（）A.A?=i/(1-v?)B.A?=d/(1-v?)C.A?=i/(1+v?)D.A?=d/(1+v?)生存分析中，剩余壽命T(x)的密度函數(shù)f?(t)與生存函數(shù)的關(guān)系是（）A.f?(t)=d/dtt??B.f?(t)=-d/dtt??C.f?(t)=t??μ???D.f?(t)=t??/μ???已知i=6%，則期初付5年期年金的現(xiàn)值??為（）（精確到0.01）A.4.47B.4.21C.4.78D.5.03精算數(shù)學(xué)中，生命表的核心作用是（）A.記錄實(shí)際死亡人數(shù)B.描述特定人群的生存死亡規(guī)律C.計(jì)算保險(xiǎn)費(fèi)率的唯一依據(jù)D.替代生存函數(shù)的理論模型二、多項(xiàng)選擇題（共10題，每題3分，共30分）生存函數(shù)S(x)的核心性質(zhì)包括（）A.S(0)=1B.S(ω)=0C.S(x)是x的非增函數(shù)D.S(x)是x的連續(xù)函數(shù)利息理論中，常用的計(jì)息方式包括（）A.單利計(jì)息B.復(fù)利計(jì)息C.連續(xù)計(jì)息D.間斷計(jì)息剩余壽命T(x)的分布函數(shù)F?(t)的核心含義包括（）A.x歲的人在未來(lái)t年內(nèi)死亡的概率B.F?(t)=tq?C.F?(t)=1-t??D.F?(t)是t的非減函數(shù)年金的分類依據(jù)包括（）A.支付時(shí)間（期初/期末）B.支付期限（定期/永續(xù)）C.支付金額（固定/變額）D.計(jì)息方式（單利/復(fù)利）死亡效力μ?的核心特征包括（）A.μ?>0B.呈現(xiàn)“浴盆曲線”特征C.與生存函數(shù)成反比D.新生兒死亡效力較高精算中常用的隨機(jī)變量分布包括（）A.指數(shù)分布B.deMoivre分布C.Weibull分布D.二項(xiàng)分布實(shí)際利率i的核心特征包括（）A.反映資金的時(shí)間價(jià)值B.是期末利息與期初本金的比率C.與名義利率成正比D.單利下實(shí)際利率固定聯(lián)合生存模型的核心應(yīng)用場(chǎng)景包括（）A.聯(lián)合人壽保險(xiǎn)B.生存年金C.養(yǎng)老金計(jì)劃D.長(zhǎng)期護(hù)理保險(xiǎn)精算符號(hào)的規(guī)范使用原則包括（）A.明確年齡標(biāo)識(shí)B.區(qū)分期初/期末支付C.統(tǒng)一時(shí)間單位D.與生命表數(shù)據(jù)一致生命表的核心構(gòu)成要素包括（）A.年齡xB.存活人數(shù)l?C.死亡人數(shù)d?D.死亡率q?三、計(jì)算分析題（共2題，每題5分，共10分）已知某人群的生存函數(shù)為S(x)=1-x/105（0≤x≤105），要求：（1）計(jì)算30歲的人在未來(lái)20年內(nèi)死亡的概率（??q??）；（2）計(jì)算30歲的人剩余壽命的期望e???；（3）計(jì)算死亡效力μ??的值。已知實(shí)際利率i=5%，某投保人每年年末向保險(xiǎn)公司繳納保費(fèi)10000元，連續(xù)繳納15年，要求：（1）計(jì)算該年金的現(xiàn)值（a??）；（2）計(jì)算該年金的終值（s??）；（3）若改為每年年初繳納保費(fèi)，計(jì)算其現(xiàn)值（???）。（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）參考答案及解析一、單項(xiàng)選擇題B【解析】生存函數(shù)S(x)=Pr(X>x)，表示0歲的人能活過(guò)x歲的概率，A為分布函數(shù)F(x)的定義，C為tq?的定義，D為e??的定義。C【解析】實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的核心關(guān)系為d=i/(1+i)或i=d/(1-d)，反映期初貼現(xiàn)與期末計(jì)息的內(nèi)在聯(lián)系。B【解析】30歲的人能活過(guò)70歲的概率為??p??=S(70)/S(30)=(1-70/100)/(1-30/100)=0.3/0.7≈0.4（此處嚴(yán)格按公式計(jì)算，分子分母均為生存函數(shù)值）。A【解析】期末付普通年金現(xiàn)值公式為a?=(1-v?)/i，v為現(xiàn)值系數(shù)；B為延期年金公式，C為期初付年金現(xiàn)值公式，D為錯(cuò)誤表達(dá)式。C【解析】死亡效力μ?是x歲的人在瞬間死亡的速率，即μ?=-d/dxlnS(x)，反映瞬時(shí)死亡風(fēng)險(xiǎn)強(qiáng)度，A、B混淆了概率與速率的概念。A【解析】名義利率i^(m)轉(zhuǎn)換為實(shí)際利率i的公式為i=(1+i^(m)/m)^m-1，核心是考慮復(fù)利計(jì)息下的實(shí)際收益。A【解析】整數(shù)剩余壽命K(x)的期望ex表示x歲的人未來(lái)存活的完整年數(shù)期望值，即ex=E[K(x)]=Σ?=0^∞???p?；B為完全期望壽命e??的定義。B【解析】生存函數(shù)與分布函數(shù)為補(bǔ)函數(shù)關(guān)系，S(x)=1-F(x)，F(xiàn)(x)=Pr(X≤x)表示0歲的人在x歲前死亡的概率。A【解析】期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值公式為a∞=1/i，因永續(xù)年金無(wú)到期日，現(xiàn)值為利息的倒數(shù)；期初付永續(xù)年金現(xiàn)值為?∞=1/d。A【解析】tq?的定義即為x歲的人在未來(lái)t年內(nèi)死亡的概率，與t??（存活概率）互補(bǔ)，即tq?=1-t??。B【解析】單利計(jì)息下利息不產(chǎn)生新利息，復(fù)利計(jì)息下每期利息計(jì)入本金再計(jì)息，這是兩者核心區(qū)別，與計(jì)息周期、利率高低無(wú)關(guān)。A【解析】方差的通用計(jì)算公式為Var(X)=E[X2]-[E[X]]2，剩余壽命T(x)的方差計(jì)算遵循該原則。A【解析】期初付年金現(xiàn)值??=a?+1，因期初付年金比期末付年金多一期期初支付的本金，現(xiàn)值需加1。B【解析】指數(shù)分布的生存函數(shù)為S(x)=e^(-μx)，其死亡效力μ?=μ，故本題μ?=0.02。C【解析】復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)v?=1/(1+i)?，核心含義是未來(lái)n期后的1元在當(dāng)期的現(xiàn)值，反映資金的時(shí)間價(jià)值。D【解析】聯(lián)合生存函數(shù)S(x,y,t)=Pr(T(x)>t,T(y)>t)，即(x)和(y)都活過(guò)t年的概率，簡(jiǎn)化記為S(x,y)。A【解析】a??=(1-(1+0.05)^(-10))/0.05≈(1-0.6139)/0.05≈7.72。A【解析】死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系為μ?=-d/dxlnS(x)，通過(guò)對(duì)生存函數(shù)取對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)并取反得到。A【解析】利息力δ=ln(1+i)，是連續(xù)計(jì)息下的利率強(qiáng)度，與實(shí)際利率i相互轉(zhuǎn)換。C【解析】完全期望壽命e??=ex+∫?1t??dt，即整數(shù)期望壽命加上小數(shù)部分的期望壽命，反映精確剩余壽命。A【解析】期末付年金終值s?=((1+0.04)^5-1)/0.04≈(1.2167-1)/0.04≈5.4167，年金終值=1000×5.4167≈5416.32元。B【解析】deMoivre模型的生存函數(shù)為S(x)=(ω-x)/ω，ω為極限年齡，是最簡(jiǎn)單的生存模型之一。B【解析】實(shí)際貼現(xiàn)率d是期初支付的利息與期末本金的比率，即d=i/(1+i)，與實(shí)際利率i互補(bǔ)。B【解析】50歲的人在60歲之前死亡的概率為??q??=1-??p??=1-S(60)/S(50)=1-0.6/0.8=0.25。B【解析】永續(xù)年金的支付期限為無(wú)限期，定期年金有固定支付期限，這是兩者核心區(qū)別，其他選項(xiàng)非本質(zhì)差異。A【解析】當(dāng)死亡效力μ?為常數(shù)時(shí)，t??=e^(-μt)，即指數(shù)分布的存活概率公式。A【解析】資本回收因子是年金現(xiàn)值的倒數(shù)，公式為A?=i/(1-v?)，用于計(jì)算定期年金的每期回收金額。C【解析】剩余壽命的密度函數(shù)f?(t)=t??μ???，既考慮了x歲的人活過(guò)t年的概率，也考慮了t時(shí)刻的死亡效力。A【解析】期初付年金現(xiàn)值??=(1-(1+0.06)^(-5))/d，d=0.06/(1+0.06)≈0.0566，計(jì)算得??≈(1-0.7473)/0.0566≈4.47。B【解析】生命表的核心作用是描述特定人群的生存死亡規(guī)律，為精算計(jì)算提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)；A僅為表面內(nèi)容，C“唯一依據(jù)”過(guò)于絕對(duì)，D不能替代理論模型。二、多項(xiàng)選擇題ABC【解析】生存函數(shù)的核心性質(zhì)包括S(0)=1（新生兒存活概率為1）、S(ω)=0（極限年齡時(shí)存活概率為0）、S(x)是非增函數(shù)（年齡越大存活概率越低）；D錯(cuò)誤，生存函數(shù)可能為離散函數(shù)（如生命表對(duì)應(yīng)的生存函數(shù)）。ABCD【解析】利息理論中常用的計(jì)息方式包括單利計(jì)息、復(fù)利計(jì)息、連續(xù)計(jì)息（利息力形式）、間斷計(jì)息（定期復(fù)利），覆蓋不同應(yīng)用場(chǎng)景。ABCD【解析】剩余壽命分布函數(shù)F?(t)=tq?，即x歲的人在未來(lái)t年內(nèi)死亡的概率，滿足F?(t)=1-t??，且隨t增大非減，趨近于1。ABC【解析】年金分類依據(jù)包括支付時(shí)間（期初/期末）、支付期限（定期/永續(xù)）、支付金額（固定/變額）；計(jì)息方式是利息計(jì)算的分類，非年金分類依據(jù)。ABD【解析】死亡效力μ?恒大于0，人類死亡效力呈現(xiàn)“浴盆曲線”（新生兒和老年人較高，中青年較低），新生兒死亡效力較高；C錯(cuò)誤，μ?與生存函數(shù)的關(guān)系為μ?=-d/dxlnS(x)，非簡(jiǎn)單反比。ABC【解析】精算中常用的隨機(jī)變量分布包括指數(shù)分布（常數(shù)死亡效力）、deMoivre分布（均勻死亡）、Weibull分布（變死亡效力）；二項(xiàng)分布主要用于計(jì)數(shù)變量，非生存分布。ABD【解析】實(shí)際利率i反映資金的時(shí)間價(jià)值，是期末利息與期初本金的比率，單利下實(shí)際利率固定（i=n×r，r為單利利率）；C錯(cuò)誤，名義利率與實(shí)際利率的關(guān)系受計(jì)息次數(shù)影響，非正比。ABC【解析】聯(lián)合生存模型核心應(yīng)用于聯(lián)合人壽保險(xiǎn)、生存年金（如夫妻共生存年金）、養(yǎng)老金計(jì)劃（如聯(lián)合受益人待遇）；長(zhǎng)期護(hù)理保險(xiǎn)主要依賴單人生存模型。ABC【解析】精算符號(hào)規(guī)范使用原則包括明確年齡標(biāo)識(shí)（如x、y）、區(qū)分期初/期末支付（如?與a）、統(tǒng)一時(shí)間單位（通常為年）；D錯(cuò)誤，符號(hào)使用與生命表數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)，僅需數(shù)據(jù)匹配即可。ABCD【解析】生命表的核心構(gòu)成要素包括年齡x、存活人數(shù)l?（x歲時(shí)的存活人數(shù)）、死亡人數(shù)d?（x歲至x+1歲的死亡人數(shù)）、死亡率q?（x歲的人在1年內(nèi)死亡的概率），形成完整的生存死亡數(shù)據(jù)鏈。三、計(jì)算分析題（1）??q??=1-??p??=1-S(30+20)/S(30)=1-