一、解答題1．如圖，A點的坐標為（0，3），B點的坐標為（﹣3，0），D為x軸上的一個動點且不與B，O重合，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得線段AE，使得AE⊥AD，且AE＝AD，連接BE交y軸于點M．（1）如圖，當點D在線段OB的延長線上時，①若D點的坐標為（﹣5，0），求點E的坐標．②求證：M為BE的中點．③探究：若在點D運動的過程中，的值是否是定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（2）請直接寫出三條線段AO，DO，AM之間的數量關系（不需要說明理由）．2．如圖1，//，點、分別在、上，點在直線、之間，且．（1）求的值；（2）如圖2，直線分別交、的角平分線于點、，直接寫出的值；（3）如圖3，在內，；在內，，直線分別交、分別于點、，且，直接寫出的值．3．已知：AB∥CD，截線MN分別交AB、CD于點M、N．（1）如圖①，點B在線段MN上，設∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且滿足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度數；（2）如圖②，在（1）的條件下，射線DF平分∠CDE，且交線段BE的延長線于點F；請寫出∠DEF與∠CDF之間的數量關系，并說明理由；（3）如圖③，當點P在射線NT上運動時，∠DCP與∠BMT的平分線交于點Q，則∠Q與∠CPM的比值為（直接寫出答案）．4．汛期即將來臨，防汛指揮部在某水域一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈射出的光束自順時針旋轉至便立即回轉，燈射出的光束自順時針旋轉至便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈射出的光束轉動的速度是/秒，燈射出的光束轉動的速度是/秒，且、滿足．假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即，且．（1）求、的值；（2）如圖2，兩燈同時轉動，在燈射出的光束到達之前，若兩燈射出的光束交于點，過作交于點，若，求的度數；（3）若燈射線先轉動30秒，燈射出的光束才開始轉動，在燈射出的光束到達之前，燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行?5．如圖①，將一張長方形紙片沿對折，使落在的位置；（1）若的度數為，試求的度數（用含的代數式表示）；（2）如圖②，再將紙片沿對折，使得落在的位置．①若，的度數為，試求的度數（用含的代數式表示）；②若，的度數比的度數大，試計算的度數．6．已知，AB∥DE，點C在AB上方，連接BC、CD．（1）如圖1，求證：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；（2）如圖2，過點C作CF⊥BC交ED的延長線于點F，探究∠ABC和∠F之間的數量關系；（3）如圖3，在（2）的條件下，∠CFD的平分線交CD于點G，連接GB并延長至點H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．7．閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：設S=1+2+22+23+24+…+22017，將等式兩邊同時乘以2得：2S=2+22+23+24+…+22017+22018將下式減去上式得2S-S=22018-1即S=22018-1即1+2+22+23+24+…+22017=22018-1請你仿照此法計算：(1)1+2+22+23+…+29=_____；(2)1+5+52+53+54+…+5n(其中n為正整數)；(3)1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29．8．據說，我國著名數學家華羅庚在一次訪問途中，看到飛機鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個數32768，它是一個正數的立方，希望求它的立方根，華羅庚不假思索給出了答案，鄰座乘客非常驚奇，很想得知其中的奧秘，你知道華羅庚是怎樣準確計算出的嗎？請按照下面的問題試一試：（1）由，因為，請確定是______位數；（2）由32768的個位上的數是8，請確定的個位上的數是________，劃去32768后面的三位數768得到32，因為，請確定的十位上的數是_____________(3)已知13824和分別是兩個數的立方，仿照上面的計算過程，請計算：=____;9．先閱讀材料，再解答問題：我國數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出，給出了答案，眾人十分驚訝，忙問計算的奧妙，你知道華羅庚怎樣迅速而準確地計算出結果嗎？請你按下面的步驟也試一試：（1）我們知道，，那么，請你猜想：59319的立方根是_______位數（2）在自然數1到9這九個數字中，________，________，________．猜想：59319的個位數字是9，則59319的立方根的個位數字是________．（3）如果劃去59319后面的三位“319”得到數59，而，，由此可確定59319的立方根的十位數字是________，因此59319的立方根是________．（4）現在換一個數103823，你能按這種方法得出它的立方根嗎？10．[閱讀材料]∵，即，∴，∴的整數部分為1，∴的小數部分為[解決問題]（1）填空：的小數部分是__________；（2）已知是的整數部分，是的小數部分，求代數式的平方根為______．11．對于有理數、，定義了一種新運算“※”為：如：，．（1）計算：①______；②______；（2）若是關于的一元一次方程，且方程的解為，求的值；（3）若，，且，求的值．12．已知，在計算：的過程中，如果存在正整數，使得各個數位均不產生進位，那么稱這樣的正整數為“本位數”．例如：2和30都是“本位數”，因為沒有進位，沒有進位；15和91都不是“本位數”，因為，個位產生進位，，十位產生進位．則根據上面給出的材料：（1）下列數中，如果是“本位數”請在后面的括號內打“√”，如果不是“本位數”請在后面的括號內畫“×”．106（）；111（）；400（）；2015（）．（2）在所有的四位數中，最大的“本位數”是，最小的“本位數”是．（3）在所有三位數中，“本位數”一共有多少個？13．如圖所示，A（1，0），點B在y軸上，將三角形OAB沿x軸負方向平移，平移后的圖形為三角形DEC，點C的坐標為（﹣3，2）．（1）直接寫出點E的坐標；（2）在四邊形ABCD中，點P從點O出發(fā)，沿OB→BC→CD移動，若點P的速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，請解決以下問題；①當t為多少秒時，點P的橫坐標與縱坐標互為相反數；②當t為多少秒時，三角形PEA的面積為2，求此時P的坐標14．如圖，已知//，點是射線上一動點（與點不重合），分別平分和，分別交射線于點．（1）當時，的度數是_______；（2）當，求的度數（用的代數式表示）；（3）當點運動時，與的度數之比是否隨點的運動而發(fā)生變化?若不變化，請求出這個比值；若變化，請寫出變化規(guī)律．（4）當點運動到使時，請直接寫出的度數．15．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形各頂點的坐標分別為，，，，現將四邊形經過平移后得到四邊形，點的對應點的坐標為．（1）請直接寫點、、的坐標；（2）求四邊形與四邊形重疊部分的面積；（3）在軸上是否存在一點，連接、，使，若存在這樣一點，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．16．學校準備購進一批籃球和足球，已知2個籃球和6個足球共需480元；3個籃球和4個足球共需470元．（1）求一個籃球和一個足球的售價各是多少元；（2）學校準備購進兩種球共50個，并且籃球的數量不少于足球數量的2倍，請設計出最省錢的購買方案，并說明理由．17．如圖，點A(1，n)，B(n，1)，我們定義：將點A向下平移1個單位，再向右平移1個單位，同時點B向上平移1個單位，再向左平移1個單位稱為一次操作，此時平移后的兩點記為A1，B1，t次操作后兩點記為At，Bt．（1）直接寫出A1，B1，At，Bt的坐標（用含n、t的式子表示）；（2）以下判斷正確的是．A．經過n次操作，點A，點B位置互換B．經過（n﹣1）次操作，點A，點B位置互換C．經過2n次操作，點A，點B位置互換D．不管幾次操作，點A，點B位置都不可能互換（3）t為何值時，At，B兩點位置距離最近？18．在平面直角坐標系中，，滿足．（1）直接寫出、的值：；；（2）如圖1，若點滿足的面積等于6，求的值；（3）設線段交軸于C，動點E從點C出發(fā)，在軸上以每秒1個單位長度的速度向下運動，動點F從點出發(fā)，在軸上以每秒2個單位長度的速度向右運動，若它們同時出發(fā)，運動時間為秒，問為何值時，有？請求出的值．19．我國傳統(tǒng)數學名著《九章算術》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子．問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據以上譯文，提出以下兩個問題：（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？（2）若某商人準備用20兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請問商人有幾種購買方法？列出所有的可能．20．閱讀下面資料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，對面積為a的△ABC逐次進行以下操作：分別延長AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，順次連接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1，求S1的值.小明是這樣思考和解決這個問題的：如圖2，連接A1C、B1A、C1B，因為A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，根據等高兩三角形的面積比等于底之比，所以2S△ABC2a，由此繼續(xù)推理，從而解決了這個問題.（1）直接寫出S1（用含字母a的式子表示）.請參考小明同學思考問題的方法，解決下列問題：（2）如圖3，P為△ABC內一點，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點D、E、F，則把△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標明，求△ABC的面積.（3）如圖4，若點P為△ABC的邊AB上的中線CF的中點，求S△APE與S△BPF的比值.21．李師傅要給-塊長9米，寬7米的長方形地面鋪瓷磚.如圖，現有A和B兩種款式的瓷磚，且A款正方形瓷磚的邊長與B款長方形瓷磚的長相等,B款瓷磚的長大于寬.已知一塊A款瓷磚和-塊B款瓷磚的價格和為140元;3塊A款瓷磚價格和4塊B款瓷磚價格相等.請回答以下問題:(1)分別求出每款瓷磚的單價.(2)若李師傅買兩種瓷磚共花了1000元，且A款瓷磚的數量比B款多，則兩種瓷磚各買了多少塊?(3)李師傅打算按如下設計圖的規(guī)律進行鋪瓷磚.若A款瓷磚的用量比B款瓷磚的2倍少14塊，且恰好鋪滿地面，則B款瓷磚的長和寬分別為_米(直接寫出答案).22．平面直角坐標系中，A（a，0），B（0，b），a，b滿足，將線段AB平移得到CD，A，B的對應點分別為C，D，其中點C在y軸負半軸上．（1）求A，B兩點的坐標；（2）如圖1，連AD交BC于點E，若點E在y軸正半軸上，求的值；（3）如圖2，點F，G分別在CD，BD的延長線上，連結FG，∠BAC的角平分線與∠DFG的角平分線交于點H，求∠G與∠H之間的數量關系．23．在平面直角坐標系中，把線段先向右平移h個單位，再向下平移1個單位得到線段（點A對應點C），其中分別是第三象限與第二象限內的點．（1）若，求C點的坐標；（2）若，連接，過點B作的垂線l①判斷直線l與x軸的位置關系，并說明理由；②已知E是直線l上一點，連接，且的最小值為1，若點B，D及點都是關于x，y的二元一次方程的解為坐標的點，試判斷是正數?負數還是0？并說明理由．24．如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，其中是二元一次方程組的解，過點作軸的平行線交軸于點．（1）求點的坐標；（2）動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿射線的方向運動，連接，設點的運動時間為秒，三角形的面積為，請用含的式子表示（不用寫出相應的的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，在動點從點出發(fā)的同時，動點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿線段的方向運動．過點作直線的垂線，點為垂足；過點作直線的垂線，點為垂足．當時，求的值．25．閱讀材料：關于x，y的二元一次方程ax+by=c有一組整數解，則方程ax+by=c的全部整數解可表示為（t為整數）．問題：求方程7x+19y=213的所有正整數解．小明參考閱讀材料，解決該問題如下：解：該方程一組整數解為，則全部整數解可表示為（t為整數）．因為解得．因為t為整數，所以t=0或-1．所以該方程的正整數解為和．（1）方程3x-5y=11的全部整數解表示為：（t為整數），則=；（2）請你參考小明的解題方法，求方程2x+3y=24的全部正整數解；（3）方程19x+8y=1908的正整數解有多少組?請直接寫出答案．26．某工廠準備用圖甲所示的A型正方形板材和B型長方形板材，制作成圖乙所示的豎式和橫式兩種無蓋箱子．（1）若現有A型板材150張，B型板材300張，可制作豎式和橫式兩種無蓋箱子各多少個？（2）若該工廠準備用不超過24000元資金去購買A、B兩種型號板材，制作豎式、橫式箱子共100個，已知A型板材每張20元，B型板材每張60元，問最多可以制作豎式箱子多少個？（3）若該工廠新購得65張規(guī)格為的C型正方形板材，將其全部切割成A型或B型板材（不計損耗），用切割的板材制作兩種類型的箱子，要求豎式箱子不少于10個，且材料恰好用完，則最多可以制作豎式箱子多少個？27．對于實數x，若，則符合條件的中最大的正數為的內數，例如：8的內數是5；7的內數是4．（1）1的內數是______，20的內數是______，6的內數是______；（2）若3是x的內數，求x的取值范圍；（3）一動點從原點出發(fā)，以3個單位/秒的速度按如圖1所示的方向前進，經過秒后，動點經過的格點（橫，縱坐標均為整數的點）中能圍成的最大實心正方形的格點數（包括正方形邊界與內部的格點）為，例如當時，，如圖2①……；當時，，如圖2②，③；……①用表示的內數；②當的內數為9時，符合條件的最大實心正方形有多少個，在這些實心正方形的格點中，直接寫出離原點最遠的格點的坐標．（若有多點并列最遠，全部寫出）28．某加工廠用52500元購進A、B兩種原料共40噸，其中原料A每噸1500元，原料B每噸1000元．由于原料容易變質，該加工廠需盡快將這批原料運往有保質條件的倉庫儲存．經市場調查獲得以下信息：①將原料運往倉庫有公路運輸與鐵路運輸兩種方式可供選擇，其中公路全程120千米，鐵路全程150千米；②兩種運輸方式的運輸單價不同（單價：每噸每千米所收的運輸費）；③公路運輸時，每噸每千米還需加收1元的燃油附加費；④運輸還需支付原料裝卸費：公路運輸時，每噸裝卸費100元；鐵路運輸時，每噸裝卸費220元．（1）加工廠購進A、B兩種原料各多少噸？（2）由于每種運輸方式的運輸能力有限，都無法單獨承擔這批原料的運輸任務．加工廠為了盡快將這批原料運往倉庫，決定將A原料選一種方式運輸，B原料用另一種方式運輸，哪種方案運輸總花費較少？請說明理由．29．在平面直角坐標系中，點，，的坐標分別為，，，且，滿足方程為二元一次方程．（1）求，的坐標．（2）若點為軸正半軸上的一個動點．①如圖1，當時，與的平分線交于點，求的度數；②如圖2，連接，交軸于點．若成立．設動點的坐標為，求的取值范圍．30．如圖1在平面直角坐標系中，大正方形OABC的邊長為m厘米，小正方形ODEF的邊長為n厘米，且|m﹣4|+＝0．（1）求點B、點D的坐標．（2）起始狀態(tài)如圖1所示，將大正方形固定不動，小正方形以1厘米/秒的速度沿x軸向右平移，如圖2．設平移的時間為t秒，在平移過程中兩個正方形重疊部分的面積為S平方厘米．①當t＝1.5時，S＝平方厘米；②在2≤t≤4這段時間內，小正方形的一條對角線掃過的圖形的面積為平方厘米；③在小正方形平移過程中，若S＝2，則小正方形平移的時間t為秒．（3）將大正方形固定不動，小正方形從圖1中起始狀態(tài)沿x軸向右平移，在平移過程中，連接AD，過D點作DM⊥AD交直線BC于M，∠DAx的角平分線所在直線和∠CMD的角平分線所在直線交于N（不考慮N點與A點重合的情形），求∠ANM的大小并說明理由．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、解答題1．（1）①E（3，﹣2）②見解析；③，理由見解析；（2）OD+OA＝2AM或OA﹣OD＝2AM【分析】（1）①過點E作EH⊥y軸于H．證明△DOA≌△AHE（AAS）可得結論．②證明△BOM≌△EHM（AAS）可得結論．③是定值，證明△BOM≌△EHM可得結論．（2）根據點D在點B左側和右側分類討論，分別畫出對應的圖形，根據全等三角形的判定及性質即可分別求出結論．【詳解】解：（1）①過點E作EH⊥y軸于H．∵A（0，3），B（﹣3，0），D（﹣5，0），∴OA＝OB＝3，OD＝5，∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠DAO＝∠AEH，∴△DOA≌△AHE（AAS），∴AH＝OD＝5，EH＝OA＝3，∴OH＝AH﹣OA＝2，∴E（3，﹣2）．②∵EH⊥y軸，∴∠EHO＝∠BOH＝90°，∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，∴△BOM≌△EHM（AAS），∴BM＝EM．③結論：＝．理由：∵△DOA≌△AHE，∴OD＝AH，∵OA＝OB，∴BD＝OH，∵△BOM≌△EHM，∴OM＝MH，∴OM＝OH＝BD．（2）結論：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．理由：當點D在點B左側時，∵△BOM≌△EHM，△DOA≌△AHE∴OM=MH，OD=AH∴OH=2OM，OD－OB=AH－OA∴BD=OH∴BD＝2OM，∴OD﹣OA＝2（AM﹣AO），∴OD+OA＝2AM．當點D在點B右側時，過點E作EH⊥y軸于點H∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠DAO＝∠AEH，∵AD=AE∴△DOA≌△AHE（AAS），∴EH=AO=3=OB，OD=AH∴∠EHO＝∠BOH＝90°，∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，∴△BOM≌△EHM（AAS），∴OM＝MH∴OA＋OD=OA＋AH=OH=OM＋MH=2MH=2（AM＋AH）=2（AM＋OD）整理可得OA﹣OD＝2AM．綜上：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．【點睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質、旋轉的性質和平面直角坐標系，掌握全等三角形的判定及性質、旋轉的性質和點的坐標與線段長度的關系是解決此題的關鍵．2．（1）；（2）的值為40°；（3）．【分析】（1）過點O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行線的性質可求解；（2）過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，由角平分線的定義可設∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，進而求解；（3）設直線FK與EG交于點H，FK與AB交于點K，根據平行線的性質即三角形外角的性質及，可得，結合，可得即可得關于n的方程，計算可求解n值．【詳解】證明：過點O作OG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OG∥CD，∴∴即∵∠EOF=100°，∴∠；（2）解：過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，設∵∴∴x-y=40°，∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∴=x-y=40°，的值為40°；（3）如圖，設直線FK與EG交于點H，FK與AB交于點K，∵AB∥CD，∴∵∴∵∴即∵FK在∠DFO內，∴，∵∴∴即∴解得．經檢驗，符合題意，故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質是解題的關鍵．3．（1）30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°，理由見解析；（3）【分析】（1）由非負性可求α，β的值，由平行線的性質和外角性質可求解；（2）過點E作直線EH∥AB，由角平分線的性質和平行線的性質可求∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°，由角的數量可求解；（3）由平行線的性質和外角性質可求∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∠CPM＝2∠Q，即可求解．【詳解】解：（1）∵+（β﹣60）2＝0，∴α＝30，β＝60，∵AB∥CD，∴∠AMN＝∠MND＝60°，∵∠AMN＝∠B+∠BEM＝60°，∴∠BEM＝60°﹣30°＝30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°．理由如下：過點E作直線EH∥AB，∵DF平分∠CDE，∴設∠CDF＝∠EDF＝x°；∵EH∥AB，∴∠DEH＝∠EDC＝2x°，∴∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°；∴∠DEF＝150°﹣2∠CDF，即∠DEF+2∠CDF＝150°；（3）如圖3，設MQ與CD交于點E，∵MQ平分∠BMT，QC平分∠DCP，∴∠BMT＝2∠PMQ，∠DCP＝2∠DCQ，∵AB∥CD，∴∠BME＝∠MEC，∠BMP＝∠PND，∵∠MEC＝∠Q+∠DCQ，∴2∠MEC＝2∠Q+2∠DCQ，∴∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∵∠PND＝∠PCD+∠CPM＝∠PMB，∴∠CPM＝2∠Q，∴∠Q與∠CPM的比值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質、角平分線的性質，準確計算是解題的關鍵．4．（1），；（2）30°；（3）15秒或82.5秒【分析】（1）解出式子即可；（2）根據，用含t的式子表示出，根據（2）中給出的條件得出方程式，求出t的值，進而求出的度數；（3）根據燈B的要求，t<150，在這個時間段內A可以轉3次，分情況討論．【詳解】解：（1）．又，．，；（2）設燈轉動時間為秒，如圖，作，而，，，，，，（3）設燈轉動秒，兩燈的光束互相平行．依題意得①當時，兩河岸平行，所以兩光線平行，所以所以，即：，解得；②當時，兩光束平行，所以兩河岸平行，所以所以，，解得；③當時，圖大概如①所示，解得（不合題意）綜上所述，當秒或82.5秒時，兩燈的光束互相平行．【點睛】這道題考察的是平行線的性質和一元一次方程的應用．根據平行線的性質找到對應角列出方程是解題的關鍵．5．（1）；（2）①；②【分析】(1)由平行線的性質得到，由折疊的性質可知，∠2=∠BFE，再根據平角的定義求解即可；(2)①由（1）知，，根據平行線的性質得到，再由折疊的性質及平角的定義求解即可；②由（1）知，∠BFE=，由可知：，再根據條件和折疊的性質得到，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，由題意可知，∴，∵，∴，，由折疊可知．（2）①由題（1）可知，∵，，再由折疊可知：，；②由可知：，由（1）知，，又的度數比的度數大，，，，．【點睛】此題考查了平行線的性質，屬于綜合題，有一定難度，熟記“兩直線平行，同位角相等”、“兩直線平行，內錯角相等”及折疊的性質是解題的關鍵．6．（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）過點作，先根據平行線的性質可得，再根據平行公理推論可得，然后根據平行線的性質可得，由此即可得證；（2）過點作，同（1）的方法，先根據平行線的性質得出，，從而可得，再根據垂直的定義可得，由此即可得出結論；（3）過點作，延長至點，先根據平行線的性質可得，，從而可得，再根據角平分線的定義、結合（2）的結論可得，然后根據角的和差、對頂角相等可得，由此即可得出答案．【詳解】證明：（1）如圖，過點作，，，，，即，，；（2）如圖，過點作，，，，，即，，，，，；（3）如圖，過點作，延長至點，，，，，平分，平分，，由（2）可知，，，又，．【點睛】本題考查了平行線的性質、對頂角相等、角平分線的定義等知識點，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．7．(1)210-1；(2)；(3)9×210+1．【分析】（1）根據題目中材料可以得到用類比的方法得到1+2+22+23+…+29的值；（2）根據題目中材料可以得到用類比的方法得到1+5+52+53+54+…+5n的值．（3）根據題目中的信息，運用類比的數學思想可以解答本題．【詳解】解：（1）設S=1+2+22+23+…+29，將等式兩邊同時乘以2得：2S=2+22+23+24+…+29+210，將下式減去上式得2S-S=210-1，即S=210-1，即1+2+22+23+…+29=210-1．故答案為210-1；（2）設S=1+5+52+53+54+…+5n，將等式兩邊同時乘以5得：5S=5+52+53+54+55+…+5n+5n+1，將下式減去上式得5S-S=5n+1-1，即S=，即1+5+52+53+54+…+5n=；（3）設S=1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29，將等式兩邊同時乘以2得：2S=2+2×22+3×23+4×24+…+9×29+10×210，將上式減去下式得-S=1+2+22+23+…+29+10×210，-S=210-1-10×210，S=9×210+1，即1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29=9×210+1．【點睛】本題考查有理數的混合運算、數字的變化類，解題的關鍵是明確題意，發(fā)現數字的變化規(guī)律．8．（1）兩；（2）2，3；（3）24，-48．【分析】（1）根據題中所給的分析方法先求出這32768的立方根都是兩位數；（2）繼續(xù)分析求出個位數和十位數即可；（3）利用（1）（2）中材料中的過程進行分析可得結論．【詳解】解：（1）由103=1000，1003=1000000，∵1000＜32768＜100000，∴10＜＜100，∴是兩位數；故答案為：兩；（2）∵只有個位數是2的立方數是個位數是8，∴的個位上的數是2劃去32768后面的三位數768得到32，因為33=27，43=64，∵27＜32＜64，∴30＜＜40．∴的十位上的數是3．故答案為：2，3；（3）由103=1000，1003=1000000，1000＜13824＜1000000，∴10＜＜100，∴是兩位數；∵只有個位數是4的立方數是個位數是4，∴的個位上的數是4劃去13824后面的三位數824得到13，因為23=8，33=27，∵8＜13＜27，∴20＜＜30．∴=24；由103=1000，1003=1000000，1000＜110592＜1000000，∴10＜＜100，∴是兩位數；∵只有個位數是8的立方數是個位數是2，∴的個位上的數是8，劃去110592后面的三位數592得到110，因為43=64，53=125，∵64＜110＜125，∴40＜＜50．∴=-48；故答案為：24，-48．【點睛】此題考查立方根，解題關鍵在于理解一個數的立方的個位數就是這個數的個位數的立方的個位數．9．（1）兩；（2）125，343，729，9；（3）3，39；（4）47【分析】（1）根據夾逼法和立方根的定義進行解答；（2）先分別求得1至9中奇數的立方，然后根據末位數字是幾進行判斷即可；（3）先利用（2）中的方法判斷出個數數字，然后再利用夾逼法判斷出十位數字即可；（4）利用（3）中的方法確定出個位數字和十位數字即可．【詳解】（1）∵1000＜59319＜1000000，∴59319的立方根是兩位數；（2）∵125，343，729，∴59319的個位數字是9，則59319的立方根的個位數字是9；（3）∵，且59319的立方根是兩位數，∴59319的立方根的十位數字是3，又∵59319的立方根的個位數字是9，∴59319的立方根是39；（4）∵1000＜103823＜1000000，∴103823的立方根是兩位數；∵125，343，729，∴103823的個位數字是3，則103823的立方根的個位數字是7；∵，且103823的立方根是兩位數，∴103823的立方根的十位數字是4，又∵103823的立方根的個位數字是7，∴103823的立方根是47．【點睛】考查了立方根的概念和求法，解題關鍵是理解一個數的立方的個位數就是這個數的個位數的立方的個位數．10．（1）；（2）±3．【分析】（1）由于4＜7＜9，可求的整數部分，進一步得出的小數部分；（2）先求出的整數部分和小數部分，再代入代數式進行計算即可．【詳解】解：（1）∵4＜7＜9，∴，即，∴，∴的整數部分為2，∴的小數部分為；（2）∵是的整數部分，是的小數部分，9＜10＜16，∴，即，∴，∴的整數部分為3，的小數部分為，即有，，∴9的平方根為±3．∴的平方根為±3．【點睛】本題考查了估算無理數的大小：利用完全平方數和算術平方根對無理數的大小進行估算．11．（1）①5；②；（2）1；（3）16．【分析】(1)根據題中定義代入即可得出；(2)根據，討論3和的兩種大小關系，進行計算；(3)先判定A、B的大小關系，再進行求解．【詳解】（1）根據題意：∵，∴，∵，∴．（2）∵，∴，①若，則，解得，②若，則，解得(不符合題意)，∴．（3）∵，∴，∴，得，∴．【點睛】本題考查了一種新運算，讀懂題意掌握新運算并能正確化簡是解題的關鍵．12．（1）×，√，×，×；（2）3332；1000；（3）（個）．【分析】（1）根據“本位數”的定義即可判斷；（2）要想保證不進位，千位、百位、十位最大只能是3，個位最大只能是2，故最大的四位“本位數”是3332；千位最小為1，百位、十位、個位最小為0，故最小的“本位數”是1000；（3）要想構成“本位數”，百位可以為1，2，3，十位可以為0，1，2，3，個位可以為0，1，2，所有的三位數中，“本位數”一共有（個）．【詳解】解：（1）有進位；沒有進位；有進位；有進位；故答案為：×，√，×，×．（2）要想保證不進位，千位、百位、十位最大只能是3，個位最大只能是2，故最大的四位“本位數”是3332；千位最小為1，百位、十位、個位最小為0，故最小的“本位數”是1000，故答案為：3332，1000．（3）要想構成“本位數”，百位可以為1，2，3，十位可以為0，1，2，3，個位可以為0，1，2，所有的三位數中，“本位數”一共有（個）．【點睛】本題考查了新定義計算題，準確理解新定義的內涵是解題的關鍵．13．（1）（-2，0）；（2）①4秒；②（0，）或（-3，）【分析】（1）根據BC=AE=3，OA=1，推出OE=2，可得結論．（2）①判斷出PB=CD，即可得出結論；②根據△PEA的面積以及AE求出點P到AE的距離，結合點P的路線可得坐標．【詳解】解：（1）∵C（-3，2），A（1，0），∴BC=3，OA=1，∵BC=AE=3，∴OE=AE-AO=2，∴E（-2，0）；（2）①∵點C的坐標為（-3，2）∴BC=3，CD=2，∵點P的橫坐標與縱坐標互為相反數；∴點P在線段BC上，∴PB=CD=2，即t=（2+2）÷1=4；∴當t=4秒時，點P的橫坐標與縱坐標互為相反數；②∵△PEA的面積為2，A（1，0），E（-2，0），∴AE=3，設點P到AE的距離為h∴，∴h=，即點P到AE的距離為，∴點P的坐標為（0，）或（-3，）．【點睛】本題考查坐標與圖形變化-平移，三角形的面積等知識，解本題的關鍵是由線段和部分點的坐標，得出其它點的坐標．14．（1）120°；（2）90°-x°；（3）不變，；（4）45°【分析】（1）由平行線的性質：兩直線平行同旁內角互補可得；（2）由平行線的性質可得∠ABN=180°-x°，根據角平分線的定義知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=90°-x°；（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根據BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，從而可得∠APB：∠ADB=2：1；（4）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，當∠ACB=∠ABD時有∠CBN=∠ABD，得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根據角平分線的定義可得∠ABP=∠PBN=∠ABN=2∠DBN，由平行線的性質可得∠A+∠ABN=90°，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵AM∥BN，∠A=60°，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠ABN=120°；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∴∠ABN=180°-x°，∴∠ABP+∠PBN=180°-x°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（180°-x°）=90°-x°；（3）不變，∠ADB：∠APB=．∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB：∠ADB=2：1，∴∠ADB：∠APB=；（4）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，當∠ACB=∠ABD時，則有∠CBN=∠ABD，∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，∴∠ABC=∠DBN，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠ABC，∠PBN=2∠DBN，∴∠ABP=∠PBN=2∠DBN=∠ABN，∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠A+∠ABN=90°，∴∠A+2∠DBN=90°，∴∠A+∠DBN=（∠A+2∠DBN）=45°．【點睛】本題主要考查平行線的性質和角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．15．（1）；（2）；（3）存在，或【分析】（1）先確定平移的規(guī)則，然后根據平移的規(guī)則，求出點的坐標即可；（2）由平移的性質可知，重疊部分為平行四邊形，且底邊長為3，高為2，即可求出面積；（3）設點的坐標為，先求出平行四邊形ABCD的面積，然后利用三角形的面積公式，即可求出b的值．【詳解】解：（1）∵，，∴平移的規(guī)則為：向右平移2個單位，向上平移一個單位；∵，，，∴；（2）如圖，延長交x軸于點E，過點做由平移可知，重疊部分為平行四邊形，高為2，∴重疊部分的面積為（3）存在；設點的坐標為，∵，，∴，∴點的坐標為或．【點睛】本題考查了平移的性質，平行四邊形的性質，坐標與圖形，以及求陰影部分的面積，解題的關鍵是熟練掌握平移的性質進行解題．16．（1）一個籃球的價格90元，一個足球的價格50元；（2）購買籃球34個，足球16個，見解析【分析】（1）根據題意可以列出相應的二元一次方程組，從而可以解答本題；（2）根據題意可以列出相應的不等式，從而可以解答本題．【詳解】解：（1）設一個籃球的價格元，一個足球的價格元，則有，，解得：，∴一個籃球的價格90元，一個足球的價格50元；（2）設購進籃球個，則購進足球個.∵籃球的數量不少于足球數量的2倍，，解得：∵籃球價格高于足球價格，∴在購買數量固定，則買的籃球越少越省錢，∴最省錢的購買方案是購買籃球34個，足球16個．【點睛】本題考查一元一次不等式的應用、二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組和不等式，利用方程的思想和不等式的性質解答．17．（1）A1(2，n﹣1)，B1(n﹣1，2)，At(1+t，n﹣t)，Bt(n﹣t，1+t)；（2）B；（3）t＝或t＝或t＝【分析】（1）根據點在平面直角坐標系中的平移規(guī)律求解可得答案；（2）由1+t＝n時t＝n﹣1，知n﹣t＝n﹣（n﹣1）＝1，據此可得答案；（3）分n為奇數和偶數兩種情況，得出對應的方程，解之可得n關于t的式子．【詳解】解：（1）A1（2，n﹣1），B1（n﹣1，2），At（1+t，n﹣t），Bt（n﹣t，1+t）；（2）當1+t＝n時，t＝n﹣1．此時n﹣t＝n﹣（n﹣1）＝1，故選：B；（3）當n為奇數時：1+t＝n﹣t解得t＝，當n為偶數時：1+t＝n﹣t+1解得t＝，或1+t＝n﹣t﹣1解得t＝．【點睛】本題主要考查坐標與圖形變化—平移，解題的關鍵是掌握點在平面直角坐標系中的平移規(guī)律：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．18．（1），2；（2）或；（3）或2【分析】（1）由，求出和的值即可；（2）過點作直線軸，延長交于，設出點坐標，根據面積關系求出點坐標，再求出的長度，即可求出值；（3）先根據求出點坐標，再根據面積關系求出值即可．【詳解】解：（1），，，，，故答案為，2；（2）如圖1，過作直線垂直于軸，延長交直線于點，設的坐標為，過作交直線于點，連接，，，，解得，，，又點滿足的面積等于6，，解得或；（3）如圖2，延長交軸于，過作軸于，過作軸于，，，解得，，，，解得，，，，由題知，當秒時，，，，，，，，解得或2．【點睛】本題是三角形綜合題，考查三角形的面積，熟練掌握直角坐標系的知識，三角形的面積，梯形面積等知識是解題的關鍵．19．（1）每頭牛3兩銀子，每頭羊2兩銀子；（2）共有三種購買方法：方案一：購買2頭牛，7頭羊；方案二：購買4頭牛，4頭羊；方案三：購買6頭牛，1頭羊【分析】（1）設每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，根據“5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購買a頭牛，b只羊，利用總價＝單價×數量，即可得出關于a，b的二元一次方程，結合a，b均為正整數，即可得出各購買方案．【詳解】解：（1）設每頭牛x兩銀子，每頭羊y兩銀子，根據題意，得解得答：每頭牛3兩銀子，每頭羊2兩銀子．（含設）（2）設該商人購買了a頭牛，b頭羊，根據題意，得∵a、b均為正整數∴該方程的解為或或所以共有三種購買方法：方案一：購買2頭牛，7頭羊；方案二：購買4頭牛，4頭羊；方案三：購買6頭牛，1頭羊．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、數學常識以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程．20．（1）19a；（2）315；（3）.【解析】【分析】（1）首先根據題意，求得S△A1BC=2S△ABC，同理可求得S△A1B1C=2S△A1BC，依此得到S△A1B1C1=19S△ABC，則可求得面積S1的值；（2）根據等高不等底的三角形的面積的比等于底邊的比，求解，從而不難求得△ABC的面積；（3）設S△BPF=m，S△APE=n，依題意，得S△APF=S△APC=m，S△BPC=S△BPF=m．得出，從而求解．【詳解】解：（1）連接A1C，∵B1C=2BC，A1B=2AB，∴,,，∴，∴，同理可得出：，∴S1=6a+6a+6a+a=19a；故答案為：19a；（2）過點作于點，設，，；，．，即．同理，．．．①，，．②由①②，得，．（3）設，，如圖所示．依題意，得，．．，．，，．．．【點睛】此題考查了三角形面積之間的關系．（2）的關鍵是設出未知三角形的面積，然后根據等高不等底的三角形的面積的比等于底邊的比列式求解．21．（1）A款瓷磚單價為80元，B款單價為60元.（2）買了11塊A款瓷磚，2塊B款;或8塊A款瓷磚，6塊B款.（3）B款瓷磚的長和寬分別為1，或1，.【分析】（1）設A款瓷磚單價x元，B款單價y元，根據“一塊A款瓷磚和一塊B款瓷磚的價格和為140元；3塊A款瓷磚價格和4塊B款瓷磚價格相等”列出二元一次方程組，求解即可；（2）設A款買了m塊，B款買了n塊，且m>n，根據共花1000元列出二元一次方程，求出符合題意的整數解即可；（3）設A款正方形瓷磚邊長為a米，B款長為a米，寬b米，根據圖形以及“A款瓷磚的用量比B款瓷磚的2倍少14塊”可列出方程求出a的值，然后由是正整教分情況求出b的值.【詳解】解:(1)設A款瓷磚單價x元，B款單價y元，則有，解得，答:A款瓷磚單價為80元，B款單價為60元；(2)設A款買了m塊，B款買了n塊，且m>n，則80m+60n=1000，即4m+3n=50∵m，n為正整數，且m>n∴m=11時n=2；m=8時，n=6，答：買了11塊A款瓷磚，2塊B款瓷磚或8塊A款瓷磚，6塊B款瓷磚；(3)設A款正方形瓷磚邊長為a米，B款長為a米，寬b米.由題意得：，解得a=1.由題可知，是正整教.設(k為正整數)，變形得到，當k=1時，,故合去)，當k=2時，，故舍去)，當k=3時，，當k=4時，，答:B款瓷磚的長和寬分別為1，或1，.【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，（1）（2）較為簡單，（3）中利用數形結合的思想，找出其中兩款瓷磚的數量與圖形之間的規(guī)律是解題的關鍵.22．（1）；（2）；（3）與之間的數量關系為．【分析】（1）根據非負數的性質和解二元一次方程組求解即可；（2）設，先根據平移的性質可得，過D作軸于P，再根據三角形ADP的面積得出，從而可得，然后根據線段的和差可得，由此即可得出答案；（3）設AH與CD交于點Q，過H，G分別作DF的平行線MN，KJ，設，由平行線的性質可得，由此即可得出結論．【詳解】（1）∵，且∴解得：則；（2）設∵將線段AB平移得到CD，∴由平移的性質得如圖1，過D作軸于P∴∵∴即解得∴∴；（3）與之間的數量關系為，求解過程如下：如圖2，設AH與CD交于點Q，過H，G分別作DF的平行線MN，KJ∵HD平分，HF平分∴設∵AB平移得到CD∴∴，∴∵∴∴∵∴∴∴．【點睛】本題屬于一道較難的綜合題，考查了解二元一次方程組、平移的性質、平行線的性質等知識點，較難的是題（3），通過作兩條輔助線，構造平行線，從而利用平行線的性質是解題關鍵．23．（1）（-1，-2）；（2）①結論：直線l⊥x軸．證明見解析；②結論：（s-m）+（t-n）=0．證明見解析【分析】（1）利用非負數的性質求出a，b的值，可得結論．（2）①求出A，D的縱坐標，證明AD∥x軸，可得結論．②判斷出D（m+1，n-1），利用待定系數法，構建方程組解決問題即可．【詳解】解：（1），又，，，，，點先向右平移2個單位，再向下平移1個單位得到點，．（2）①結論：直線軸．理由：，，，向右平移個單位，再向下平移1個單位得到點，，，的縱坐標相同，軸，直線，直線軸．②結論：．理由：是直線上一點，連接，且的最小值為1，，點，及點都是關于，的二元一次方程的解為坐標的點，，①②得到，，③②得到，，，，．【點睛】本題考查坐標與圖形變化-平移，非負數的性質，待定系數法等知識，解題的關鍵是熟練掌握平移變換的性質，學會利用參數解決問題，屬于中考?？碱}型．24．（1）；（2）；（3）或4．【分析】（1）先求出是二元一次方程組的解，然后代入A、B的坐標即可解答；（2）先求出OC的長，分點P在線段OB上和OB的延長線上兩種情況，分別利用三角形面積公式計算即可；（3）分兩種情況解答：①當點P在線段OB上時，連接PQ，過點M作PM⊥AC交AC的延長線于M，可得OP=2CQ，構建方程解答即可；②當點P在BO的延長線上時，同理可解．【詳解】解：（1）解二元一次方程組，得：∴A（6,7），B（-8,0）；（2）①當點P在線段OB上時，BP=4t，OP=8-4t，∴②當點P在OB延長線上時，綜上所述；（3）①當點P在線段OB上時，如圖：連接PQ，過點M作PM⊥AC交AC的延長線于M，又；②當在線段延長線上時同理可得：．綜上，滿足題意t的值為或4．【點睛】本題主要考查了三角形的面積、二元一次方程組等知識點，學會用分類討論的思想思考問題以及利用面積法解決線段之間的關系成為解答本題的關鍵．25．（1）-1；（2）t=-2，-1，0，1；（3）13組【分析】（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，求得y的值，即可求得θ的值；（2）參考小明的解題方法求解即可；（3）參考小明的解題方法求解后，即可得到結論．【詳解】解：（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，6-6y=11，解得y=-1，∵方程3x-5y=11的全部整數解表示為：（t為整數），則θ=-1，故答案為-1；（2）方程2x+3y=24一組整數解為，則全部整數解可表示為（t為整數）．因為，解得-3＜t＜2．因為t為整數，所以t=-2，-1，0，1．（3）方程19x+8y=1908一組整數解為，則全部整數解可表示為（t為整數）．∵，解得＜t＜12.5．因為t為整數，所以t=0，1，2，3，4，5，67，8，9，10，11，12，∴方程19x+8y=1908的正整數解有13組．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，一元一次不等式的整數解，理解題意、掌握解題方法是本題的關鍵．26．（1）可制作豎式無蓋箱子30個，可制作橫式無蓋箱子60個；（2）最多可以制作豎式箱子50個；（3）最多可以制作豎式箱子45個【分析】（1）根據題意可以列出相應的二元一次方程組，再解方程組即可解答本題；（2）根據題意可以列出相應的不等式，從而可以求得最多可以制作豎式箱子多少個；（3）根據題意可以列出相應的二元一次方程，再根據a為整數和a≥10，即可解答本題．【詳解】解：（1）設可制作豎式無蓋箱子m個，可制作橫式無蓋箱子n個，依題意有，解得，故可制作豎式無蓋箱子30個，可制作橫式無蓋箱子60個；（2）由題意可得，1個豎式箱子需要1個A型和4個B型，1個橫式箱子需要2個A型和3個B型，設豎式箱子x個，則橫式箱子（100-x）個，（20+4×60）x+（2×20+3×60）（100-x）≤24000，解得x≤50，故x的最大值是50，答：最多可以制作豎式箱子50個；（3）C型可以看成三列，每一列可以做成3個A型或1個B型，65個C型就有65×3=195列，∵材料恰好用完，∴最后A型的數量一定是3的倍數，設豎式a個，橫式b個，∵1個豎式箱子需要1個A型和4個B型，1個橫式箱子需要2個A型和3個B型，1個B型相當于3個A型，∴（