2025年秋季期中測(cè)試卷高一數(shù)學(xué)考點(diǎn)總結(jié)集合與常用邏輯用語(yǔ)集合1.集合的含義與表示準(zhǔn)確理解集合的概念，明確集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性。例如，“比較大的數(shù)”不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤氨容^大”不具有確定性；而集合{1,2,3}與{3,2,1}是同一個(gè)集合，體現(xiàn)了無(wú)序性。熟練掌握集合的表示方法，包括列舉法和描述法。列舉法適用于元素個(gè)數(shù)較少的集合，如{1,2,3}；描述法用于表示具有某種共同特征的元素組成的集合，如{x|x是小于5的正整數(shù)}。2.集合間的基本關(guān)系清晰區(qū)分子集、真子集和相等集合的概念。若集合A中的任意元素都是集合B中的元素，則稱(chēng)A是B的子集，記作A?B；若A?B且存在元素x∈B但x?A，則稱(chēng)A是B的真子集，記作A?B；若A?B且B?A，則A=B。例如，集合{1,2}是集合{1,2,3}的真子集，集合{1,2}與集合{2,1}相等。掌握空集的性質(zhì)，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。例如，??{1,2}，??{1,2}。3.集合的基本運(yùn)算熟練進(jìn)行交集、并集和補(bǔ)集的運(yùn)算。交集是由所有既屬于集合A又屬于集合B的元素所組成的集合，記作A∩B；并集是由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，記作A∪B；補(bǔ)集是在全集U中，由所有不屬于集合A的元素所組成的集合，記作?UA。例如，若U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={3,4,5}，則A∩B={3}，A∪B={1,2,3,4,5}，?UA={4,5}。能夠運(yùn)用Venn圖和數(shù)軸來(lái)直觀地表示集合的運(yùn)算，幫助解決相關(guān)問(wèn)題。常用邏輯用語(yǔ)1.命題及其關(guān)系理解命題的概念，能夠判斷一個(gè)語(yǔ)句是否為命題，并能判斷命題的真假。命題是可以判斷真假的陳述句，如“若x=1，則x2=1”是真命題，“x>1”不是命題。掌握原命題、逆命題、否命題和逆否命題的概念及相互關(guān)系。原命題為“若p，則q”，逆命題為“若q，則p”，否命題為“若?p，則?q”，逆否命題為“若?q，則?p”。原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假。2.充分條件與必要條件準(zhǔn)確理解充分條件、必要條件和充要條件的概念。若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若p?q，則p是q的充要條件。例如，“x>2”是“x>1”的充分不必要條件，“x=1”是“x2=1”的充分不必要條件。能夠根據(jù)條件判斷充分性和必要性，并能進(jìn)行相關(guān)的證明。3.全稱(chēng)量詞與存在量詞掌握全稱(chēng)量詞和存在量詞的概念，全稱(chēng)量詞如“所有”“任意”等，用符號(hào)“?”表示；存在量詞如“存在”“至少有一個(gè)”等，用符號(hào)“?”表示。會(huì)對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定。全稱(chēng)命題“?x∈M，p(x)”的否定是特稱(chēng)命題“?x∈M，?p(x)”；特稱(chēng)命題“?x∈M，p(x)”的否定是全稱(chēng)命題“?x∈M，?p(x)”。一元二次函數(shù)、方程和不等式不等關(guān)系與不等式1.不等關(guān)系能夠用不等式（組）來(lái)表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系，如某商場(chǎng)規(guī)定購(gòu)買(mǎi)商品的總價(jià)x不低于100元可享受折扣優(yōu)惠，可表示為x≥100。2.不等式的性質(zhì)熟練掌握不等式的基本性質(zhì)，如對(duì)稱(chēng)性（若a>b，則b<a）、傳遞性（若a>b，b>c，則a>c）、可加性（若a>b，則a+c>b+c）、可乘性（若a>b，c>0，則ac>bc；若a>b，c<0，則ac<bc）等，并能運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行不等式的證明和求解。一元二次函數(shù)1.一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握一元二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0），能通過(guò)配方將其化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2+k，從而確定函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等。例如，y=x22x+3可化為y=(x1)2+2，其對(duì)稱(chēng)軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)。理解二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系。當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)單調(diào)遞減，右側(cè)單調(diào)遞增，有最小值；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口向下，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)單調(diào)遞增，右側(cè)單調(diào)遞減，有最大值。2.一元二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系能夠根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象來(lái)求解一元二次方程的根和一元二次不等式的解集。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根就是一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集就是函數(shù)圖象在x軸上方部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍。基本不等式1.基本不等式的推導(dǎo)和應(yīng)用掌握基本不等式\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)（a>0，b>0），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。理解其幾何意義和代數(shù)意義。能夠運(yùn)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題，如已知x>0，y>0，且x+y=1，則xy≤(\(\frac{x+y}{2}\))2=\(\frac{1}{4}\)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=\(\frac{1}{2}\)時(shí)等號(hào)成立。在使用基本不等式求最值時(shí)，要注意“一正、二定、三相等”的條件。函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義理解函數(shù)的概念，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。能夠判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，需要判斷定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否都相同。例如，f(x)=x與g(x)=\(\sqrt{x2}\)不是同一函數(shù)，因?yàn)閷?duì)應(yīng)關(guān)系不同。2.函數(shù)的定義域和值域掌握求函數(shù)定義域的方法，常見(jiàn)的限制條件有分母不為零、偶次根式下的數(shù)非負(fù)等。例如，函數(shù)y=\(\frac{1}{x1}\)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，函數(shù)y=\(\sqrt{x+2}\)的定義域?yàn)閧x|x≥2}。會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域，如一次函數(shù)、二次函數(shù)等。對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），可根據(jù)其性質(zhì)求值域。函數(shù)的表示法1.函數(shù)的三種表示方法熟練掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法和列表法。解析法能準(zhǔn)確地反映函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如y=2x+1；圖象法能直觀地展示函數(shù)的變化趨勢(shì)；列表法能清晰地列出函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值。能夠根據(jù)不同的情況選擇合適的表示方法，并能進(jìn)行三種表示方法之間的轉(zhuǎn)換。函數(shù)的單調(diào)性與最值1.函數(shù)的單調(diào)性理解函數(shù)單調(diào)性的概念，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?，x?，當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)>f(x?)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，包括定義法和導(dǎo)數(shù)法（對(duì)于學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)的同學(xué)）。用定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟為：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論。例如，判斷函數(shù)f(x)=x2在(0,+∞)上的單調(diào)性，設(shè)0<x?<x?，則f(x?)f(x?)=x?2x?2=(x?x?)(x?+x?)<0，所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)。2.函數(shù)的最值理解函數(shù)最值的概念，函數(shù)的最大值是指在定義域內(nèi)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x?，使得對(duì)于任意的x∈定義域，都有f(x)≤f(x?)；函數(shù)的最小值是指在定義域內(nèi)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x?，使得對(duì)于任意的x∈定義域，都有f(x)≥f(x?)。能夠根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值。例如，函數(shù)f(x)=x2在[1,2]上，在[1,0]上單調(diào)遞減，在[0,2]上單調(diào)遞增，所以最小值為f(0)=0，最大值為f(2)=4。函數(shù)的奇偶性1.函數(shù)奇偶性的定義理解函數(shù)奇偶性的概念，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意x∈D，都有f(x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)；如果對(duì)于任意x∈D，都有f(x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法，首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)非奇非偶；若對(duì)稱(chēng)，再判斷f(x)與f(x)的關(guān)系。例如，函數(shù)f(x)=x3是奇函數(shù)，因