廣工復(fù)變函數(shù)試卷及答案考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分一、選擇題（總共10題，每題2分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的是（）a)f(z)=sin(1/z)b)f(z)=z^2+2ic)f(z)=|z|^2d)f(z)=exp(1/z)2.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=i處的留數(shù)是（）a)-1/2b)1/2c)-id)i3.留數(shù)定理用于計(jì)算積分∫∞?∞(x^2+1)/(x^2+4)dx的值時(shí)，應(yīng)選擇的閉曲線是（）a)半圓弧|z|=2b)橢圓|z|=3c)半圓弧|z|=1d)直線x=24.函數(shù)w=1/(1-z)在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式收斂于（）a)所有zb)|z|<1c)|z|>1d)|z|=15.若f(z)在z=0處解析，且f(0)=1，則f(z)的洛朗級(jí)數(shù)展開式中，-1/z項(xiàng)的系數(shù)為（）a)1b)-1c)0d)無法確定6.函數(shù)w=z^2在z=1處的導(dǎo)數(shù)是（）a)2b)4c)1d)07.若f(z)在z=0處解析，且f(z)=∑_{n=0}^∞a_nz^n，則f'(0)=（）a)a_1b)a_0c)2a_1d)08.函數(shù)w=log(z)在z=-1處的導(dǎo)數(shù)是（）a)-ib)ic)1d)-19.若f(z)在z=0處解析，且f(z)=z^2+2z+3，則f(z)的共軛解析函數(shù)是（）a)z^2-2z+3b)z^2+2z-3c)z^2-2z-3d)z^2+2z+310.函數(shù)w=sqrt(z)在z=1處的導(dǎo)數(shù)是（）a)1/2b)1/4c)1d)0二、判斷題（總共10題，每題2分）1.若f(z)在z=0處解析，則f(z)在z=0處可導(dǎo)。（）2.函數(shù)f(z)=1/z在z=0處有奇點(diǎn)。（）3.留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)軸上的積分。（）4.函數(shù)w=z^2在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式是唯一的。（）5.若f(z)在z=0處解析，則f(z)的洛朗級(jí)數(shù)展開式中所有負(fù)次冪項(xiàng)的系數(shù)為0。（）6.函數(shù)w=exp(z)在整個(gè)復(fù)平面上解析。（）7.函數(shù)w=log(z)在z=0處解析。（）8.若f(z)在z=0處解析，且f(z)=∑_{n=0}^∞a_nz^n，則f(z)在|z|<R處解析。（）9.函數(shù)w=sqrt(z)在z=0處有分支點(diǎn)。（）10.函數(shù)w=1/(1-z)在z=1處有極點(diǎn)。（）三、填空題（總共10題，每題2分）1.函數(shù)f(z)=z^2+2z+3在z=1處的導(dǎo)數(shù)是________。2.函數(shù)f(z)=exp(z)在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式的前三項(xiàng)是________。3.函數(shù)w=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)是________。4.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=i處的留數(shù)是________。5.函數(shù)w=z^2在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式是________。6.函數(shù)f(z)=log(z)在z=1處的導(dǎo)數(shù)是________。7.函數(shù)w=sqrt(z)在z=1處的導(dǎo)數(shù)是________。8.函數(shù)f(z)=1/(1-z)在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式是________。9.函數(shù)w=exp(iz)在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開式中-z^2項(xiàng)的系數(shù)是________。10.函數(shù)f(z)=z^2+2z+3在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開式是________。四、簡答題（總共4題，每題5分）1.解釋什么是解析函數(shù)，并舉例說明。2.簡述留數(shù)定理的應(yīng)用，并舉例說明如何使用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)軸上的積分。3.解釋什么是泰勒級(jí)數(shù)，并說明其收斂域。4.解釋什么是奇點(diǎn)，并分類說明常見的奇點(diǎn)類型。五、討論題（總共4題，每題5分）1.討論函數(shù)w=1/z在z=0處的性質(zhì)，并說明其奇點(diǎn)類型。2.討論函數(shù)w=sqrt(z)在z=0處的性質(zhì)，并說明其分支點(diǎn)。3.討論留數(shù)定理在計(jì)算復(fù)積分中的應(yīng)用，并說明其局限性。4.討論泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)在復(fù)變函數(shù)分析中的作用，并說明其區(qū)別。參考答案一、選擇題1.b)f(z)=z^2+2i2.a)-1/23.a)半圓弧|z|=24.b)|z|<15.c)06.a)27.a)a_18.a)-i9.d)z^2+2z+310.a)1/2二、判斷題1.√2.√3.√4.√5.×6.√7.×8.√9.√10.√三、填空題1.52.1+z+z^2/2!3.1/14.-1/25.1+0z+0z^2+...6.i7.1/28.1+z+z^2+z^3+...9.-1/(2!)10.3+2z+z^2四、簡答題1.解析函數(shù)是指在某區(qū)域內(nèi)滿足柯西-黎曼方程且導(dǎo)數(shù)連續(xù)的復(fù)變函數(shù)。例如，f(z)=z^2在整個(gè)復(fù)平面上解析。2.留數(shù)定理用于計(jì)算圍道積分，通過計(jì)算閉曲線內(nèi)所有奇點(diǎn)的留數(shù)之和。例如，計(jì)算∫∞?∞(x^2+1)/(x^2+4)dx時(shí)，選擇|z|=2的半圓弧和實(shí)軸圍道，積分值為2πi留數(shù)在z=2i處。3.泰勒級(jí)數(shù)是函數(shù)在z=0處的冪級(jí)數(shù)展開式，收斂于|z|<R。例如，f(z)=exp(z)的泰勒級(jí)數(shù)展開式為∑_{n=0}^∞z^n/n!。4.奇點(diǎn)是函數(shù)不解析的點(diǎn)，分為可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)。例如，f(z)=1/z在z=0處有極點(diǎn)。五、討論題1.w=1/z在z=0處有極點(diǎn)，是本性奇點(diǎn)，因?yàn)槁謇始?jí)數(shù)中所有負(fù)次冪項(xiàng)的系數(shù)不為0。2.w=sqrt(z)在z=0處有分支點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在z=0處不可導(dǎo)，且存在多個(gè)分支。3.留數(shù)