試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁上海市徐匯區(qū)2025-2026學年高三上學期學習能力診斷卷（一模）數(shù)學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、填空題1．設(shè)復數(shù)z=2+i（其中i2．設(shè)集合A=?2,3．函數(shù)f(x)4．若冪函數(shù)y=xa的圖象經(jīng)過35．設(shè)向量a=(?1,?26．相關(guān)部門在上海市隨機調(diào)查了10戶居民六月份的用電量（單位：kW·h），從小到大排列依次為31、74、78、99、101、107、127、131、208、223，則這10戶居民用電量的第75百分位數(shù)為．7．已知1+2x108．一個底面積為1的正四棱柱的所有頂點都在同一球面上，若該球的表面積為4π，則該正四棱柱的高為9．從20名男生和18名女生中選取5人組成一個宣傳小組，其中男生和女生都不少于2人的選法有種．10．設(shè)fx=x?2,?x≥0?11．某城市核心區(qū)域可看作一個平面，市中心為點O，城市有兩個交通樞紐站點A、B，其中站點A在市中心O的正東方向，距離O點4公里，站點B在市中心O的正北方向，距離O點也是4公里．為了動態(tài)調(diào)整交通信號，相關(guān)部門計劃在距離中心O點2公里的位置，設(shè)置一個移動數(shù)據(jù)采集點C，通過監(jiān)測∠ACB的大小來優(yōu)化信號．當∠ACB12．已知數(shù)列an滿足：a1=0，對任意的正整數(shù)n均有an?an?1∈二、單選題13．已知x為實數(shù)，則“x2是有理數(shù)”是“x是有理數(shù)”的（

A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要14．用簡單隨機抽樣的方法抽取某個品種的小麥樣本13株，測得麥穗長度（單位：cm），以其整數(shù)部分作為“莖”，小數(shù)部分作為“葉”繪制莖葉圖如圖所示．用該樣本數(shù)據(jù)估計此品種小麥麥穗長度平均為（

）（結(jié)果精確到0.1cmA．9.9cm B．9.8cm C．9.7cm15．設(shè)P為橢圓x225+y216=1上一動點，M、N分別為圓A．7.5 B．9.5 C．11.5 D．13.516．已知n∈N，集合Pn=xx=x1,?x2,?x3,??,?xn,?xi∈A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題三、解答題17．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a(1)若cos2C=(2)若內(nèi)角C的對邊c=6，求角A的正弦值及△A18．某校高三年級學生參加了一次時政知識競賽，為了了解本次競賽的成績情況，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本進行統(tǒng)計，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：40,?50、50,?(1)求實數(shù)m的值；若年級準備選取80分及以上的學生進入下一輪競賽，已知該校高三年級有1000名學生，估計該校高三年級參加下一輪競賽的人數(shù)；(2)王老師抽取了10名參加競賽的學生，他們的分數(shù)為：x1、x2、x3、?、x10．已知這10個分數(shù)的平均數(shù)x=91，標準差s=5，若剔除其中的19．如圖，已知BD是⊙O的直徑，點C是⊙O上異于B、D的一點．設(shè)過點C的直線AC垂直于(1)若C為BD中點，E為線段AC的中點，F(xiàn)為線段AD上一點，且EF//平面BCD(2)記二面角A?BD?C的平面角為θ20．已知拋物線Γ:y2=2

(1)若點E4,?4在拋物線(2)若準線l:x=?1，點P為拋物線Γ準線l上的一個動點，過點P作圓M:x2?4x+y2+3=(3)若點F到準線l的距離為2，過拋物線Γ的準線l上一點Q作圓N:x?m2+y2=1m>0的兩條切線l1、l2，且l1、l221．已知函數(shù)y=fx的定義域為D，若其導函數(shù)y=f′x(1)設(shè)f1x=lnx，f2x(2)已知數(shù)列bn是公差為dd>0的等差數(shù)列，且bn的各項都為正數(shù)，若定義在0,?(3)已知“S函數(shù)”y=Fx的定義域為R，不等式Fx>0的解集為答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《上海市徐匯區(qū)2025-2026學年高三上學期學習能力診斷卷（一模）數(shù)學試卷》參考答案題號13141516答案BBDC1．5【分析】利用復數(shù)模的計算公式求解即可.【詳解】復數(shù)z=2+i（其中故答案為：52．1【分析】利用集合交集的定義求解即可.【詳解】由于集合A=?2故答案為：13．[【分析】化簡得f(【詳解】由題得f(所以當sin(x+當sin(x+所以函數(shù)的值域為[?故答案為：[4．y【分析】將點的坐標代入函數(shù)表達式算出參數(shù)a即可得解.【詳解】由題意得33a=3a所以此冪函數(shù)的表達式為y=故答案為：y=5．?【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量投影的意義求解即得.【詳解】由向量a=(?1,所以a在b上的數(shù)量投影為a?故答案為：?6．131【分析】由百分位數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】因為10×所以第8個數(shù)131是第75百分位數(shù)，故答案為：1317．960【分析】利用二項式展開式的通項公式求解即可.【詳解】二項式1+2x由于1+則當r=3時，故答案為：9608．2【分析】求出正四棱柱底邊的邊長以及外接球半徑，分析可知該正四棱柱的外接球直徑即為該正四棱柱的體對角線長，即可得解.【詳解】設(shè)該正四棱柱底邊的邊長為a，高為h，則a2=1設(shè)該正四棱柱的外接球的半徑為R，則4πR2由題意可知，該正四棱柱的外接球直徑即為該正四棱柱的體對角線長，即2R=a因此該正四棱柱的高為2.故答案為：29．329460【分析】從男女共38中選出5人組成一個宣傳小組，要求男生和女生均不少于2人，分選出的5人為2男3女，和3男2女兩種情況討論即可.【詳解】從男女共38中選出5人組成一個宣傳小組，要求女生和男生均不少于2人，分為以下兩類情況：當選出的5人為2男3女時，不同選法共為C20當選出的5人為3男2女時，不同選法共為C20即從中選出5人組成一個宣傳小組，要求女生和男生均不少于2人的選法共有155040+故答案為：329460.10．-【分析】根據(jù)題目條件，令fx1=fx【詳解】已知分段函數(shù)f(x)=|x令fx對于x1<0，由f對于x≥0,因x2<x3，故x2=2x2故x2設(shè)gk=?k4h(k)=k此時h(k)綜上，x2x3故答案為：-11．0.54【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)出點C(x,y)，利用直線的夾角公式，表示出直線CA與CB的夾角的正切，再利用換元法令t=x+y以及直線x+y【詳解】

不妨以O(shè)為坐標原點，OA為x軸，OB為y軸建立平面直角坐標系，則：A4,0，B0,kCA=結(jié)合圖象，易知當∠ACB最大時，點C位于第一象限，且α則兩直線夾角θ的正切值公式為：tan則：kC1+又因為C在圓x2+y因此，tanθ令t=x+y，則x+y?t=即圓心到直線l的距離d=|t由于點C(x,y)在第一象限的圓O故tanθ由于3t?1是關(guān)于t的減函數(shù)(分母增大，整體減小)，因此當t=22時，當t=x+y=22CA=(cosα又因為sin2解得sinα故答案為：0.54.12．6【分析】根據(jù)題目條件列出a1到a10，要使不等式恒成立，a1+a【詳解】由題可知：a1則：a1a4a7a9要使不等式恒成立，a1+a當k=6時，取a1+a當k=7時，取a1+aa8當k=7時，取a1+aa8+a當k=8時，取a1+a2+當k=9時，取a1+a2+綜上：k的最大值為6.故答案為：613．B【分析】利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合特殊值法判斷可得出結(jié)論.【詳解】若x2是有理數(shù)，不妨取x=2，則x即“x2是有理數(shù)”不能推出“x若x為有理數(shù)，則存在p、q∈Z且q≠0，使得故“x2是有理數(shù)”?“x所以“x2是有理數(shù)”是“x故選：B.14．B【分析】利用平均數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，抽取的13株小麥的麥穗長度分別為：7.8、8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.7、9.8、10、10.2、10.6、11.2、11.7，單位：cm，用該樣本數(shù)據(jù)估計此品種小麥麥穗長度平均為x=故選：B.15．D【分析】由題可得兩個圓心恰好是橢圓的焦點，結(jié)合橢圓的定義，再根據(jù)圓外一點到圓上點的距離最小值為點到圓心距離減半徑，圓外一點到圓上點的距離最大值為點到圓心距離加半徑，求出PM【詳解】橢圓的兩個焦點坐標為F1?3圓C1的半徑r1=1，圓由橢圓的定義可得PF當橢圓上動點P與焦點連線與圓相交于M,N時，PM當橢圓上動點P與焦點連線的反向延長線與圓相交于M,N時，PM所以7≤故選：D.16．C【分析】先通過a的全1結(jié)構(gòu)，確定a?b對應(yīng)b中1的個數(shù)，得fm【詳解】由a=1,1,…,故fm為Pn中分量1的個數(shù)為m的向量個數(shù)，即對于命題①：當n=3時，對于命題②：當n=2k（k由二項式定理，m=02而2n?1=22k?1，取k故命題②不成立.故選：C17．(1)10(2)sinA=【分析】（1）利用二倍角的余弦公式求出sinC（2）利用余弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得出sinA的值，再利用正弦定理可求得R【詳解】（1）由二倍角余弦公式可得cos2C=因為C∈0,π，所以故△ABC（2）在△ABC中，a=4由余弦定理可得cosA故A為銳角，且sinA由正弦定理可得2R=a18．(1)m=0.005；(2)平均數(shù)為91，方差為25【分析】（1）在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為1，可求得m的值；結(jié)合頻率分布直方圖可計算得出該校高三年級參加下一輪競賽的人數(shù)；（2）利用平均數(shù)和方差公式可求得剩余8個分數(shù)的平均數(shù)與方差.【詳解】（1）在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為1，即m+2m80分及以上的學生所占的比例為0.02+故估計該校高三年級參加下一輪競賽的人數(shù)為1000×（2）不妨設(shè)x9=96，x故剩余8個分數(shù)的平均數(shù)為x=因為原數(shù)據(jù)的方差為s2所以x1故剩余8個分數(shù)的方差為s′19．(1)證明見解析，1(2)θmin=arctan2，【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理得到EF//CD得到F到平面BCD的距離即為E到平面（2）過C作CH⊥BD，垂足為H，確定∠AHC即為二面角A【詳解】（1）EF//平面CD在平面BCD又EF,C所以EF在三角形ACD中，因為E為線段所以F為線段AD因為EF//平面所以F到平面BCD的距離即為E到平面又AC⊥平面BC所以E到平面BC又△B所以S△所以三棱錐F?BC（2）過C作CH⊥B因為AC⊥平面BCD，所以BD⊥AC，又所以BD⊥平面ACH，又所以BD所以∠AHC即為二面角A在直角三角形ACtanθ又CH為C到B所以CH≤CO=所以tanθ=2CH即θmin=arctan2，當且僅當20．(1)4(2)2(3)存在，且定值為16【分析】（1）將點E的坐標代入拋物線Γ的方程，求出p的值，可得出該拋物線的標準方程，可求出其焦點F的坐標，再利用斜率的斜率公式可求出直線EF（2）設(shè)點P?1,t，由題意可知，切線PA、PB的斜率都存在，設(shè)這兩條切線的斜率分別為k1、k2，設(shè)過點P的切線方程為y?t=kx（3）設(shè)點Q?1,q，設(shè)過點Q的切線的方程為y?q=kx+1，因為圓心Nm,0到切線的距離為1，可得出m+12?1k2+2qm+1k+【詳解】（1）將點E的坐標代入拋物線Γ的方程可得2p×4故拋物線Γ的標準方程為y2=4故直線EF的斜率為k（2）圓M的標準方程為x?22+y因為拋物線Γ的準線方程為x=?1，即?p2=?設(shè)點P?1,t，由題意可知，切線PA、P不妨設(shè)過點P的切線方程為y?t=由題意知，圓心M到直線kx?y+k整理可得8k依題意，k1、k2是關(guān)于k的方程所以Δ=36t2?易知直線PA的方程為y?t=k1x+1所以ST當且僅當t=0時，等號成立，故ST（3）若點F到準線l的距離為2，即p=2，故拋物線Γ的方程為其準線l的方程為x=?1圓N的圓心為Nm,0

由題意可知，過點Q的切線的斜率存在，設(shè)過點Q的切線方程為y?q=因為圓心Nm,0到切線的距離為1整理可得m+設(shè)切線l1、l2的斜率分別為k3則k3、k4為關(guān)于k的方程故k3+k將直線l1的方程與拋物線Γ的方程聯(lián)立y=k由韋達定理可得t1t2故t=16q2因為m>0，解得故當m=2時，即存在定圓N:x?2221．(1)函數(shù)y=f1x為“S函數(shù)”，函數(shù)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“S函數(shù)”的定義判斷即可；（2）要證gbn+3?gbn+2<gb（3）利用反證法，假設(shè)Fx不是減函數(shù)，分兩種情況討論，F(xiàn)x為增函數(shù)、Fx不單調(diào)，結(jié)合“S函數(shù)”的定義分析函數(shù)Fx的單調(diào)性，分析函數(shù)【詳解】（1）函數(shù)f1x=lnx的定義域為0函數(shù)f2x=ex的定義域為R故函數(shù)y=f1x為“S函數(shù)”，函數(shù)（2）因為數(shù)列bn是公差為d所以bn+1=b要證gb