第七章立體幾何與空間向量7.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識(shí)回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1基本事實(shí)的應(yīng)用考點(diǎn)2空間位置關(guān)系的判斷0102考點(diǎn)3異面直線所成的角03課時(shí)作業(yè)第三部分1．理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義．2．了解四個(gè)基本事實(shí)、三個(gè)推論和等角定理，并能應(yīng)用它們解決問題．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識(shí)回顧第分部一1．“四個(gè)”基本事實(shí)基本事實(shí)1：過______________的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．基本事實(shí)2：如果一條直線上的______在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有____過該點(diǎn)的公共直線．基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線____．教材回扣不在一條直線上兩個(gè)點(diǎn)一條平行2．“三個(gè)”推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條____直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條____直線，有且只有一個(gè)平面．3．空間中直線與直線的位置關(guān)系相交平行任何相交平行4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系a∩α＝Aa∥αa?α10無數(shù)α∥β0無數(shù)α∩β＝l5.等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角__________．6．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.相等或互補(bǔ)關(guān)于唯一性的常用結(jié)論(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．教材拓展1．判斷（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）(1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過點(diǎn)A的任意一條直線．(

)(2)直線與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種．(

)(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．(

)(4)兩兩相交的三條直線共面．(

)基礎(chǔ)檢測(cè)××××2．（人教A版必修第二冊(cè)P147例1改編）如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，C1D1的中點(diǎn)，則直線AF與BE所成角的余弦值為(

)B3．（人教A版必修第二冊(cè)P128T1改編）下列說法正確的是(

)A．四邊形一定是平面圖形B．不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面C．梯形不一定是平面圖形D．平面α和平面β一定有交線解析：四邊形不一定是平面圖形，也可能是空間四邊形，故A錯(cuò)誤；不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故B正確；梯形中，有一組對(duì)邊平行，可以確定一個(gè)平面，故梯形一定是平面圖形，故C錯(cuò)誤；若平面α和平面β平行，則其沒有交線，故D錯(cuò)誤．故選B.B4．（人教A版必修第二冊(cè)P132T9改編）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則(

)A．B1D與A1E相交，且B1D＝A1EB．B1D與A1E相交，且B1D≠A1EC．B1D與A1E是異面直線，且B1D＝A1ED．B1D與A1E是異面直線，且B1D≠A1ED互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1基本事實(shí)的應(yīng)用【例1】已知在正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；【證明】如圖所示，連接B1D1.因?yàn)镋F是△C1D1B1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．(2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線；【證明】在正方體ABCD--A1B1C1D1中，連接A1C，如圖所示，設(shè)A1，C，C1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β.因?yàn)镼∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P是α與β的公共點(diǎn)，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線．(3)DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)．【證明】因?yàn)镋F∥BD且EF<BD，所以DE與BF相交，設(shè)交點(diǎn)為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)．規(guī)律總結(jié)共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)共面：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi)．(2)共線：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．(3)共點(diǎn)：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．(1)四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．考點(diǎn)2空間位置關(guān)系的判斷【例2】（多選）如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論中，正確的有(

)A．直線AM與CC1是相交直線B．直線BN與MB1是異面直線C．AM與BN平行D．直線A1M與BN共面BD【解析】M，C，C1三點(diǎn)在平面CDD1C1內(nèi)，點(diǎn)M不在直線CC1上，點(diǎn)A不在平面CDD1C1內(nèi)，A，M，C，C1四點(diǎn)不共面，根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與CC1是異面直線，故A錯(cuò)誤；B，N，B1三點(diǎn)在平面BCC1B1內(nèi)，B1不在直線BN上，點(diǎn)M不在平面BCC1B1內(nèi)，B，N，M，B1四點(diǎn)不共面，根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與MB1是異面直線，故B正確；如圖，取DD1的中點(diǎn)E，連接AE，EN，又N為C1C的中點(diǎn)，則有AB∥EN，AB＝EN，所以四邊形ABNE是平行四邊形，所以AE∥BN，AM∩AE＝A，則AM與BN不平行，故C錯(cuò)誤；連接MN，BA1，CD1，因?yàn)镸，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，所以MN∥D1C，由正方體的性質(zhì)可知，A1B∥D1C，所以MN∥A1B，則有A1，B，M，N四點(diǎn)共面，所以直線A1M與BN共面，故D正確．故選BD.規(guī)律總結(jié)判斷空間直線的位置關(guān)系一般有兩種方法一是構(gòu)造幾何體（如長(zhǎng)方體、空間四邊形等）模型來判斷．二是排除法．特別地，對(duì)于異面直線的判定常用到結(jié)論：“經(jīng)過平面外一點(diǎn)A和平面內(nèi)一點(diǎn)B的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．”【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（多選）如圖，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么下列結(jié)論正確的是(

)A．MA∥BD B．MA與BD異面C．MA與BD相交 D．MA⊥BDBD解析：因?yàn)锽D?平面ABCD，MA∩平面ABCD＝A，A?BD，所以可知MA與BD異面，即A錯(cuò)誤，B正確，C錯(cuò)誤；如圖，連接AC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，又因?yàn)镸C⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥MC，又因?yàn)镸C∩AC＝C，MC?平面AMC，AC?平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又因?yàn)镸A?平面AMC，所以MA⊥BD，即D正確．故選BD.考點(diǎn)3異面直線所成的角CC規(guī)律總結(jié)異面直線所成角的求法方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解補(bǔ)形法在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上一個(gè)幾何體，在這兩個(gè)幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】

(1)（2024·河北保定二模）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝4AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(

)CD課時(shí)作業(yè)46第分部三1．（5分）下列說法正確的是(

)A．若空間兩直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線異面B．與兩條異面直線都相交的兩直線可能是異面直線，也可能是相交直線C．空間三點(diǎn)確定一個(gè)平面D．過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直B解析：若空間兩直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行或異面，故A錯(cuò)誤；與兩條異面直線都相交的兩直線若交于不同的四個(gè)點(diǎn)，則兩直線為異面直線，若交于三個(gè)點(diǎn)，則兩直線為相交直線，故B正確；由平面的基本性質(zhì)可知，空間不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，故C錯(cuò)誤；在空間中，過直線外一點(diǎn)，有無數(shù)條直線與已知直線垂直，故D錯(cuò)誤．故選B.2．（5分）在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，若EF與HG相交于一點(diǎn)M，則M(

)A.一定在直線AC上B．一定在直線BD上C．可能在直線AC上，也可能在直線BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上解析：由于ABCD是空間四邊形，故AB，BC確定平面ABC，CD，DA確定平面ACD.∵E∈AB，F(xiàn)∈BC，G∈CD，H∈DA，∴EF?平面ABC，GH?平面ACD，∵EF∩GH＝M，∴M∈平面ABC，M∈平面ACD，∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴M∈AC.故選A.A3．（5分）若直線l不平行于平面β，且直線l?β，則下列說法正確的是(

)A．β內(nèi)存在與l平行的直線B．β內(nèi)所有直線都與l異面C．l與β有交點(diǎn)D．β內(nèi)所有直線都與l相交解析：由直線l不平行于平面β，且直線l?β，得直線l與平面β相交，則l與β有交點(diǎn)，C正確；平面β內(nèi)不存在直線與l平行，否則l∥β，與已知矛盾，因此β內(nèi)所有直線都與l異面或相交，A，B，D錯(cuò)誤．故選C.C4．（5分）（2024·山東日照一模）已知l，m是兩條不同的直線，α為平面，m?α，下列說法中正確的是(

)A．若l與α不平行，則l與m一定是異面直線B．若l∥α，則l與m可能垂直C．若l∩α＝A，且A?m，則l與m可能平行D．若l∩α＝A，且l與α不垂直，則l與m一定不垂直解析：若l與α不平行，則l與α的位置關(guān)系為相交或直線在平面內(nèi)，又m?α，則l與m的位置關(guān)系為平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；若l∥α，則l與m可能垂直，B如圖所示，l∥l′，l′?α，l′⊥m，可知l⊥m，故B正確；若l∩α＝A，且A?m，m?α，則l與m異面，故C錯(cuò)誤；若l∩α＝A，且l與α不垂直，則l與m可能垂直，如圖，取α為平面ABCD，l＝AD1，m＝AB，符合題意，但l⊥m，故D錯(cuò)誤．故選B.5．（5分）（2024·陜西西安模擬）如圖，在正四棱錐P--ABCD中，E為PC的中點(diǎn)，且BE⊥PC，則異面直線BE與AC所成角的余弦值為(

)D6．（5分）如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，則與直線A1D1，EF，DC都相交的直線(

)A．有且僅有一條B．有且僅有兩條C．有且僅有三條D．有無數(shù)條D解析：如圖，在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與點(diǎn)M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與DC有且僅有1個(gè)交點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與DC有不同的交點(diǎn)E，而直線ME與這3條異面直線都有交點(diǎn)，故在空間中與三條直線A1D1，EF，DC都相交的直線有無數(shù)條．故選D.7．（6分）（多選）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD--A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是(

)A．B，B1，O，M四點(diǎn)共面B．A，M，O，A1四點(diǎn)共面C．A，O，C，M四點(diǎn)共面D．A，M，O三點(diǎn)共線BCD解析：如圖，連接AO，A1C1，AC，在矩形A1B1C1D1中，由O為對(duì)角線B1D1的中點(diǎn)，知A1C1∩B1D1＝O，則平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AO，由M∈平面AB1D1，M∈A1C，A1C?平面ACC1A1，則M∈AO.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1?平面ABB1A1，由AO∩平面ABB1A1＝A，所以BB1與MO異面，故A錯(cuò)誤；由A可知M∈AO，故A，M，O，A1四點(diǎn)共面，A，O，C，M四點(diǎn)共面，A，M，O三點(diǎn)共線，故B，C，D正確．故選BCD.8．（6分）（多選）在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有(

)BD解析：對(duì)于A，如圖，連接GM，∵G，M為所在棱的中點(diǎn)，∴GM∥AB，又AB∥HN，∴GM∥HN，故直線GH，MN共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，故直線GH，MN是異面直線，故B正確；對(duì)于C，如圖，連接GM，∵G，M為所在棱的中點(diǎn)，∴GM∥AB，又AB∥HN，∴GM∥HN，故直線GH，MN共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，G，M，N三點(diǎn)共面，但H?平面GMN，故直線GH，MN是異面直線，故D正確．故選BD.9．（5分）已知異面直線l1，l2所成角的大小為45°，直線OA∥l1且OB∥l2，則∠AOB＝________________．解析：由題意知OA∥l1，OB∥l2，且異面直線l1，l2所成角為45°，則∠AOB為異面直線l1，l2所成的角或其補(bǔ)角，所以∠AOB＝45°或135°.45°或135°(1)四邊形EFGH為梯形；證明：如圖，連接EF，HG，因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，(2)直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．證明：由(1)知四邊形EFGH為梯形，且EH，F(xiàn)G是梯形的兩腰，所以EH，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．設(shè)交點(diǎn)為P，如圖，因?yàn)镋H?平面ABD，所以P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，故點(diǎn)P是直線EH，BD，F(xiàn)G的公共點(diǎn)，即直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．12．（17分）如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，AB的中點(diǎn)．(1)求證：E，F(xiàn)，C，D1四點(diǎn)共面；解：證明：如圖，連接EF，CD1，A1B.在△A1AB中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，AB的中點(diǎn)，則EF∥A1B，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，A1D1∥A