第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)2.3函數(shù)的奇偶性、周期性數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識(shí)回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1函數(shù)奇偶性的判斷考點(diǎn)2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用0102考點(diǎn)3函數(shù)的周期性及應(yīng)用03課時(shí)作業(yè)第三部分1．了解函數(shù)的奇偶性、周期性的概念和幾何意義．2．掌握函數(shù)的奇偶性、周期性的簡(jiǎn)單應(yīng)用．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識(shí)回顧第分部一1．函數(shù)的奇偶性教材回扣奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且_______________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于____對(duì)稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于____對(duì)稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點(diǎn)2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且_____________，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)____的正數(shù)，那么這個(gè)________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小最小正數(shù)1．奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任意自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).教材拓展1．判斷（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）(1)函數(shù)y＝x2在(0，＋∞)上是偶函數(shù)．(

)(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則一定有f(0)＝0.(

)(3)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期．(

)(4)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù)．(

)基礎(chǔ)檢測(cè)××√×2．（多選）（人教A版必修第一冊(cè)P84例6改編）給出下列函數(shù)，其中是奇函數(shù)的有(

)A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5BC0互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1函數(shù)奇偶性的判斷【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：【解】顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x).綜上可知，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．規(guī)律總結(jié)判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法(2)圖象法(3)性質(zhì)法在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】

(1)（2024·天津卷）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(

)B(2)已知f(x)為R上的奇函數(shù)，g(x)為R上的偶函數(shù)，且g(x)≠0，則下列說法正確的是(

)A．f(x)＋g(x)為R上的奇函數(shù)B．f(x)－g(x)為R上的偶函數(shù)D考點(diǎn)2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用命題角度1利用函數(shù)的奇偶性求值（解析式）CCA(2)（2024·安徽安慶三模）已知函數(shù)f(x)＝ax|x|的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，8)，則關(guān)于x的不等式9f(x)＋f(4－x2)<0的解集為(

)A．(－∞，－4)∪(1，＋∞)B．(－4，1)C．(－∞，－1)∪(4，＋∞)D．(－1，4)C【解析】由題意知f(2)＝4a＝8，解得a＝2，所以f(x)＝2x|x|，其在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(－x)＝－2x|－x|＝－2x|x|＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，9f(x)＝f(3x)，所以不等式9f(x)＋f(4－x2)<0可化為f(3x)<－f(4－x2)＝f(x2－4)，于是3x<x2－4，即x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.故選C.規(guī)律總結(jié)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)求函數(shù)值或參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)值，或得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．(2)比較大小，利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，進(jìn)而利用其單調(diào)性比較大?。?3)解抽象函數(shù)不等式，先把不等式轉(zhuǎn)化為f(g（x)）＞f(h（x)）的形式，利用單調(diào)性把符號(hào)“f”脫掉，得到具體的不等式（組）.A(2)（2024·山西運(yùn)城三模）設(shè)函數(shù)f(x)＝log2|x|－x-2，則不等式f(x－2)≥f(2x＋2)的解集為(

)A．[－4，0]B．[－4，0）C．[－4，－1）∪(－1，0]D．[－4，－1)∪(－1，0)C考點(diǎn)3函數(shù)的周期性及應(yīng)用【例4】

(1)（2024·山東青島一模）若?x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，則f(2024)的值為(

)A．2 B．1C．0 D．－1B(2)設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則函數(shù)f(x)在[4，6]上的解析式是_______________________________．【解析】因?yàn)閒(x)是定義在R上以2為周期的奇函數(shù)且x∈[0，1）時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，設(shè)x∈[4，5），則x－4∈[0，1），所以f(x)＝f(x－4)＝log2(x－3)；設(shè)x∈（5，6]，則x－6∈(－1，0]，－（x－6)∈[0，1），故f(x)＝f(x－6)＝－f[－(x－6)]＝－log2(6－x＋1)＝－log2(7－x)，又f(5)＝f(1)＝f(－1)＝－f(1)，所以f(5)＝0.綜上可得，函數(shù)f(x)在[4，6]上的解析式是f(x)＝規(guī)律總結(jié)1．求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期的定義，求出函數(shù)的周期．2．利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】

(1)（2024·貴州六盤水三模）定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x＋3)＝f(1－x)，x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝mex－1，則f(31)＝(

)A．e＋1 B．e－1C．1－e D．－e解析：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(x＋3)＝f(1－x)＝－f(x－1)＝－f(x－4＋3)＝－f[1－(x－4)]＝－f(5－x)＝f(x－5)，故f(x)的周期為8，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝mex－1，則f(0)＝m－1＝0，所以m＝1，所以f(31)＝f(－1)＝－f(1)＝1－e.故選C.C(2)（2024·安徽合肥模擬）若定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足2f(x＋y)f(x－y)＝f(2x)＋f(2y)，且f(1)＝－1，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)＝(

)A．0 B．－1C．2 D．1D課時(shí)作業(yè)8第分部三1．（5分）（2024·北京大興區(qū)三模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在(－∞，0)上是減函數(shù)的是(

)A．f(x)＝tanx B．f(x)＝ex＋e－xBB2．（5分）（2024·安徽淮北二模）若函數(shù)f(x)＝ax＋ln(ex＋1)是偶函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)a的值為(

)3．（5分）（2024·河北保定二模）若函數(shù)y＝f(x)－1是定義在R上的奇函數(shù)，則f(－1)＋f(0)＋f(1)＝(

)A．3 B．2C．－2 D．－3解析：設(shè)F(x)＝f(x)－1，則F(x)＋F(－x)＝0，即f(x)－1＋f(－x)－1＝0，即f(x)＋f(－x)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝2.因?yàn)镕(0)＝f(0)－1＝0，所以f(0)＝1，f(－1)＋f(0)＋f(1)＝2＋1＝3.故選A.A4．（5分）已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意的x1，x2∈[0，＋∞），且x1≠x2，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，則(

)A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)AB6．（5分）（2024·吉林長(zhǎng)春模擬）已知函數(shù)f(x)＝|3x－3－x|，則不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集為(

)AA．函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)C．f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞減D．函數(shù)f(x)的最小值為－4CD8．（6分）（多選）已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(2－x)＝f(x)，則(

)A．4是f(x)的一個(gè)周期B．f(6)＝0C．f(1)＝f(3)D．f(x－2)為偶函數(shù)AB9．（5分）（2024·陜西榆林三模）已知函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，且最大值為1，則函數(shù)y＝2f(x)＋1的最大值和最小值的和為__．解析：奇函數(shù)如果存在最值，則最大值和最小值之和為0，所以函數(shù)f(x)最大值和最小值之和為0，則函數(shù)y＝2f(x)＋1的最大值和最小值之和為2.210．（5分）（2024·湖北武漢模擬）已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，f(5.5)＝4，g(x)＝(x－1)f(x)，若g(x＋1)是偶函數(shù)，則g(－0.5)＝__.解析：因?yàn)間(x＋1)＝xf(x＋1)，g(x＋1)是偶函數(shù)，y＝x為奇函數(shù)，所以y＝f(x＋1)為奇函數(shù)，所以f(1－x)＝－f(1＋x)，即f(－x)＝－f(x＋2)，因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)y＝f(x)的周期為4，由函數(shù)g(x＋1)是偶函數(shù)，可得g(－x＋1)＝g(x＋1)，即g(－x)＝g(x＋2)，所以g(－0.5)＝g(2.5)＝1.5f(2.5)＝1.5f(－2.5)＝1.5f(－2.5＋4×2)＝1.5f(5.5)＝6.611．（16分）設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x).當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；解：證明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求f(x)的解析式．解：∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0，2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4].(1)求a；(2)求不等式2[f(x)]2≤f(－x)的解集．13．（5分）（2024·山東青島三模）定義[x]表示不超過x的最大整數(shù)．例如：[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，則(

)A．[x]＋[y]＝[x＋y]B．f(x)＝x－[x]是周期函數(shù)C．f(x)＝x－[x]是偶函數(shù)D．f(x)＝x－[x]是增函數(shù)B解析：對(duì)于A，取x＝1.1，y＝1.9，則[x]＋[y]＝1＋1＝2，[x＋y]＝3，顯然[x]＋[y]≠[x＋y]，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)f(x)是以1為周期的函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，f(x)＝x－[x]，因?yàn)閒(0.1)＝0.1－0＝0.1，f(－0.1)＝－0.1－(－1)＝0.9，所以f(0.1)≠f(－0.1)，所以f(x)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，f(0.1)＝0.1，f(1.1)＝0.1，所以f(0.1)＝f(1.1)，所以f(x)不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選B.14．（5分）（2024·浙江紹興三模）已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，都有f(f（x＋y)）＝f(x)＋f(y)成立，且f(0)＝1，則(

)A．f(x＋1)為奇函數(shù)B．f(x)＋1為奇函數(shù)C．|f(x＋1)|為偶函數(shù)D．|f(x)－1|為偶函數(shù)D解析：令x＝y(tǒng)＝0，則f(f（0)）＝f(0)＋f(0)，f(0)＝1，所以f(1)＝2，令y＝－x，則f(f（0)）＝f(x)＋f(－x)，即f(1)＝f(x)＋f(－x)，所以2＝f(x)＋f(－x)，所以函數(shù)