第十章計(jì)數(shù)原理、概率10.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識(shí)回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)2分步乘法計(jì)數(shù)原理0102考點(diǎn)3兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用03課時(shí)作業(yè)第三部分了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義，能利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識(shí)回顧第分部一1．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理①定義：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝______種不同的方法．②拓展：完成一件事，如果有n類不同方案，且第1類方案中有m1種不同的方法，第2類方案中有m2種不同的方法……第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_________________種不同的方法．教材回扣m＋nm1＋m2＋…＋mn(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理①定義：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_______種不同的方法．②拓展：完成一件事，如果需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_________________種不同的方法．2．運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是分類標(biāo)準(zhǔn)的確定，通常按有特殊要求的元素或有特殊要求的位置進(jìn)行分類，即以“符合要求”與“不符合要求”作為分類標(biāo)準(zhǔn)．m×nm1×m2×…×mn3．分類與分步都是數(shù)學(xué)思維中的“分解”策略，前者是“橫向分解”，分解為若干種滿足要求的類型；后者是“縱向分解”，將解決問題的方法分解為按一定順序進(jìn)行的小步驟．1．判斷(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(

)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(

)(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．(

)(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．(

)基礎(chǔ)檢測(cè)√××√2．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P11習(xí)題6.1T1改編)一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有6個(gè)小球，所有小球的顏色互不相同．從兩個(gè)口袋中取一個(gè)球，則不同的取法種數(shù)為____．解析：根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為4＋6＝10.103．(人教A版選擇性必修第三冊(cè)P8例7改編)如圖，為了迎接五一國(guó)際勞動(dòng)節(jié)，某學(xué)校安排同學(xué)們?cè)贏，B，C，D四塊區(qū)域植入花卉，現(xiàn)有4種不同花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域植入不同花卉，不同的植入方法有____種．解析：C區(qū)域有4種選擇，D區(qū)域有3種選擇，A區(qū)域有3種選擇，B區(qū)域有2種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的植入方法共有4×3×3×2＝72(種).724．中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡龍、牛和羊，乙同學(xué)喜歡龍和馬，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有____種．解析：第一種情況是甲選龍，乙只能選馬，丙有10種選法，第二種情況是甲選?；蜓颍子?種選法，乙也有2種選法，丙有10種選法，則共有2×2×10＝40(種)選法，所以共有10＋40＝50(種)選法．50互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理【例1】如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，那么稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等).所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為______．【解析】若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個(gè)位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個(gè)．若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個(gè)).若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個(gè))……若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個(gè)).所以所有凸數(shù)共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個(gè)).240規(guī)律總結(jié)使用分類加法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏．(2)分類時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】

(1)集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A．9 B．14C．15 D．21解析：當(dāng)x＝2時(shí)，x≠y，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1×7＝7.當(dāng)x≠2時(shí)，由P?Q，∴x＝y(tǒng)，∴x可從3，4，5，6，7，8，9中取，有7種方法．因此滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7＋7＝14.故選B.B(2)定義“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如116，431，則所有幸運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A．18 B．21C．35 D．36解析：按照百位數(shù)字進(jìn)行分類討論：當(dāng)百位數(shù)字是1時(shí)，后兩位相加為7，有8種；當(dāng)百位數(shù)字是2時(shí)，后兩位相加為6，有7種；當(dāng)百位數(shù)字是3時(shí)，后兩位相加為5，有6種；當(dāng)百位數(shù)字是4時(shí)，后兩位相加為4，有5種；當(dāng)百位數(shù)字是5時(shí)，后兩位相加為3，有4種；當(dāng)百位數(shù)字是6時(shí)，后兩位相加為2，有3種；當(dāng)百位數(shù)字是7時(shí)，后兩位相加為1，有2種；當(dāng)百位數(shù)字是8時(shí)，后兩位相加為0，有1種．總共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(種)，即所有幸運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為36.故選D.D考點(diǎn)2分步乘法計(jì)數(shù)原理【例2】

(多選)現(xiàn)安排高二年級(jí)A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工廠，則下列說法正確的是(

)A．共有43種不同的安排方法B．若甲工廠必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種C．若A同學(xué)必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種D．若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種ABD【解析】對(duì)于A，A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)有4種選法，則三名同學(xué)有4×4×4＝43(種)選法，故A正確；對(duì)于B，三人到4個(gè)工廠，有43＝64(種)情況，其中甲工廠沒有人去，即三人全部到乙、丙、丁三個(gè)工廠的情況有33＝27(種)，則甲工廠必須有同學(xué)去的安排方法有64－27＝37(種)，故B正確；對(duì)于C，若A同學(xué)必須去甲工廠，剩下2名同學(xué)安排到4個(gè)工廠即可，有42＝16(種)安排方法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有4×3×2＝24(種)，故D正確．故選ABD.規(guī)律總結(jié)1．利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．2．分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】

3000的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A．36 B．45C．32 D．54解析：因?yàn)?000＝23×3×53，所以3000的正因數(shù)為2α×3β×5γ，其中α＝0，1，2，3，β＝0，1，γ＝0，1，2，3，所以3000的不同正因數(shù)有4×2×4＝32(個(gè)).故選C.C考點(diǎn)3兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用命題角度1與數(shù)字有關(guān)的問題【例3】

(2024·河北邯鄲模擬)用0，1，2，3，4能組成沒有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A．212 B．213C．224 D．225D命題角度2與幾何有關(guān)的問題【例4】如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是____．【解析】如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么此直線與平面就構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．如圖所示，36①對(duì)于正方體的每一條棱，都有2個(gè)面與之構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12×2＝24(個(gè))；②對(duì)于正方體的每一條面對(duì)角線(如A1C1，則A1C1⊥平面BB1D1D)，均有一個(gè)對(duì)角面與之構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12×1＝12(個(gè)).綜上所述，正方體中的“正交線面對(duì)”共有36個(gè)．命題角度3涂色問題【例5】

(2024·安徽淮北二模)在3×3的方格中，每個(gè)方格被涂上紅、橙、黃、綠四種顏色之一，若每個(gè)2×2的方格中的四個(gè)小方格的顏色都不相同，則滿足要求的不同涂色方法的種數(shù)為____．72①若第三列的第一個(gè)方格涂A，第三列的第二個(gè)方格涂C，則第三列的第三個(gè)方格涂A或B，當(dāng)?shù)谌械牡谌齻€(gè)方格涂A時(shí)，第三行的第一、二個(gè)方格分別涂A，B；當(dāng)?shù)谌械牡谌齻€(gè)方格涂B時(shí)，第三行的第一、二個(gè)方格分別涂B，A.②若第三列的第一個(gè)方格涂C，第三列的第二個(gè)方格涂A，則第三列的第三個(gè)方格涂C或B，當(dāng)?shù)谌械牡谌齻€(gè)方格涂C時(shí)，第三行的第一、二個(gè)方格分別涂A，B；當(dāng)?shù)谌械牡谌齻€(gè)方格涂B時(shí)，第三行的第二個(gè)方格涂C，不合題意．所以，共有3類涂法，則共有24×3＝72(種)不同的涂色方法．規(guī)律總結(jié)1．在綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)應(yīng)注意：(1)一般是先分類再分步，在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理．(2)對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化．2．解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】

(1)(2024·河南信陽模擬)從0，1，2，5中取三個(gè)不同的數(shù)字，組成能被5整除的三位數(shù)，則不同三位數(shù)有(

)A．12個(gè) B．10個(gè)C．8個(gè) D．7個(gè)解析：能被5整除的三位數(shù)末位數(shù)字是0或5，當(dāng)末位數(shù)字為0時(shí)，有3×2＝6(個(gè))符合條件的三位數(shù)，當(dāng)末位數(shù)字為5時(shí)，有2×2＝4(個(gè))符合條件的三位數(shù)，因此一共有4＋6＝10(個(gè)).故選B.B(2)如圖所示，由連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有____個(gè)．解析：滿足條件的三角形有兩類：第一類，與正八邊形有兩條公共邊的三角形，有m1＝8(個(gè))；第二類，與正八邊形有一條公共邊的三角形，有m2＝8×4＝32(個(gè)).所以滿足條件的三角形共有8＋32＝40(個(gè)).40(3)如圖，給A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)涂色，現(xiàn)有五種不同的顏色可供選用，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有(

)A．1440種 B．1920種C．2160種 D．3360種B課時(shí)作業(yè)68第分部三1．(5分)在中華傳統(tǒng)文化里，建筑、器物、書法、詩歌、對(duì)聯(lián)、繪畫幾乎無不講究對(duì)稱之美．如圖所示的是清代詩人黃柏權(quán)的《茶壺回文詩》，其以連環(huán)詩的形式展現(xiàn)，20個(gè)字繞著茶壺成一圓環(huán)，無論順著讀還是逆著讀，皆成佳作．?dāng)?shù)學(xué)與生活也有許多奇妙的聯(lián)系，如2020年02月02日(20200202)被稱為世界完全對(duì)稱日(公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對(duì)稱的日期).數(shù)學(xué)上把20200202這樣的對(duì)稱數(shù)叫回文數(shù)，如11，242，5225都是回文數(shù)，則用0，1，2，3，4，5這些數(shù)字構(gòu)成的所有三位數(shù)的回文數(shù)中能被3整除的個(gè)數(shù)是(

)A．8 B．10C．11 D．13B解析：當(dāng)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)位上的數(shù)都相同時(shí)，有111，222，333，444，555，共有5個(gè)；當(dāng)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)位上的數(shù)有兩個(gè)相同時(shí)，有141，252，303，414，525，共有5個(gè)．所以滿足題意的回文數(shù)共有10個(gè)．故選B.2．(5分)有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小旗各一面，從中選用1面、2面或3面升上旗桿，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，則可表示不同的信號(hào)種數(shù)為(

)A．6 B．12C．14 D．15解析：掛一面旗時(shí)，可表示3種不同的信號(hào)；掛兩面旗時(shí)，可表示3×2＝6(種)不同的信號(hào)；掛三面旗時(shí)，可表示3×2×1＝6(種)不同的信號(hào)，所以共可表示3＋6＋6＝15(種)不同的信號(hào)．故選D.D3．(5分)高二某班級(jí)4名同學(xué)要參加足球、籃球、乒乓球比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，其中甲同學(xué)不能報(bào)名足球，乙、丙、丁三位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目都不相同，則不同的報(bào)名方式的種數(shù)為(

)A．54

B．12C．8

D．81解析：由甲同學(xué)不能報(bào)名足球，可得甲有2種報(bào)名方式，乙、丙、丁三位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目都不相同，可得乙有3種報(bào)名方式，丙有2種報(bào)名方式，丁只有1種報(bào)名方式，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有2×3×2×1＝12(種)報(bào)名方式．故選B.B4．(5分)現(xiàn)有4名志愿者去3個(gè)社區(qū)參加志愿活動(dòng)，每名志愿者可自由選擇其中的1個(gè)社區(qū)，不同選法的種數(shù)是(

)A．34 B．43C．12 D．7解析：依題意，每名志愿者都有3種不同的選法，所以4名志愿者共有3×3×3×3＝34(種)不同的選法．故選A.A5．(5分)如圖，要讓電路從A處到B處只有一條支路接通，不同的路徑條數(shù)為(

)A．5 B．7C．8 D．12解析：要讓電路從A處到B處只有一條支路接通，不同的路徑條數(shù)為2×1＋2×3＝8.故選C.C6．(5分)求正整數(shù)的正因數(shù)時(shí)可將其改寫成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，例如12＝31×22，12的正因數(shù)只需分別從{30，31}，{20，21，22}中各選一個(gè)元素相乘即可，則2025的正因數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A．8 B．10C．15 D．16解析：因?yàn)?025＝52×34，所以2025的正因數(shù)只需分別從{50，51，52}，{30，31，32，33，34}中各選一個(gè)元素相乘即可，有3×5＝15(種)取法，即有15個(gè)正因數(shù)．故選C.C7．(5分)用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有(

)A．48個(gè) B．24個(gè)C．18個(gè) D．12個(gè)解析：根據(jù)題意，三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字必須為1或3，有2種情況，百位數(shù)字不能為0，有3種情況，十位數(shù)字在剩下的3個(gè)數(shù)字中任選1個(gè)，有3種情況，則共有2×3×3＝18(種)情況，即有18個(gè)符合題意的三位奇數(shù)．故選C.C8．(5分)用4種不同的顏色給如圖所示的4塊區(qū)域上色，要求相鄰2塊涂不同的顏色，則不同的涂法種數(shù)為(

)A．24 B．48C．96 D．120解析：首先給D涂色有4種涂法，再涂A有3種涂法，第三步涂B有2種涂法，最后涂C有2種涂法，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知一共有4×3×2×2＝48(種)涂法．故選B.B9．(6分)(多選)某市地鐵按照乘客乘坐的站數(shù)實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價(jià)如下表，現(xiàn)有小明、小華兩位乘客同時(shí)從首站乘坐同一列地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個(gè)站下地鐵的可能性相同，則下列結(jié)論正確的是(

)BCD站數(shù)x0<x≤33<x≤66<x≤9票價(jià)/元234A．若小明、小華兩人共花費(fèi)5元，則小明、小華下地鐵的方案共有9種B．若小明、小華兩人共花費(fèi)5元，則小明、小華下地鐵的方案共有18種C．若小明、小華兩人共花費(fèi)6元，則小明、小華下地鐵的方案共有27種D．若小明、小華兩人共花費(fèi)6元，則小明比小華先下地鐵的方案共有12種(同一站下地鐵不分先后)解析：兩人共花費(fèi)5元分為兩類：小明花費(fèi)2元，小華花費(fèi)3元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有3×3＝9(種)，同理，小明花費(fèi)3元，小華花費(fèi)2元時(shí)，兩人下地鐵的方案也是9種，所以共有18種方案，A不正確，B正確．兩人共花費(fèi)6元分為三類：小明花費(fèi)2元，小華花費(fèi)4元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有3×3＝9(種)；小明花費(fèi)3元，小華花費(fèi)3元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有3×3＝9(種)；小明花費(fèi)4元，小華花費(fèi)2元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有3×3＝9(種)，共有27種方案，C正確．小明比小華先下地鐵有兩類：小明花費(fèi)2元，小華花費(fèi)4元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有9種；小明和小華均花費(fèi)3元，小明比小華先下地鐵僅有3種方案，所以共有12種方案，D正確．故選BCD.10．(6分)(多選)用n種不同的顏色涂圖中的矩形A，B，C，D，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方案總種數(shù)記為s(n)，則(

)A．s(3)＝12 B．s(4)＝36C．s(5)＝120 D．s(6)＝600解析：當(dāng)n＝3時(shí)，分四步：第一步，涂C處，有3種涂色方案；第二步，涂D處，有2種涂色方案；第三步，涂A處，有2種涂色方案；第四步，涂B處，有1種涂色方案．所以不同的涂色方案總種數(shù)為3×2×2×1＝12，所以s(3)＝12，故A正確．當(dāng)n＝4時(shí)，分四步：第一步，涂C處，有4種涂色方案；第二步，涂D處，有3種涂色方案；第三步，涂A處，有3種涂色方案；AD第四步，涂B處，有2種涂色方案．所以不同的涂色方案總種數(shù)為4×3×3×2＝72，所以s(4)＝72，故B錯(cuò)誤．當(dāng)n＝5時(shí)，分四步：第一步，涂C處，有5種涂色方案；第二步，涂D處，有4種涂色方案；第三步，涂A處，有4種涂色方案；第四步，涂B處，有3種涂色方案．所以不同的涂色方案總種數(shù)為5×4×4×3＝240，所以s(5)＝240，故C錯(cuò)誤．當(dāng)n＝6時(shí)，分四步：第一步，涂C處，有6種涂色方案；第二步，涂D處，有5種涂色方案；第三步，涂A處，有5種涂色方案；第四步，涂B處，有4種涂色方案．所以不同的涂色方案總種數(shù)為6×5×5×4＝600，所以s(6)＝600，故D正確．故選AD.11．(6分)(多選)現(xiàn)有4個(gè)興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說法正確的是(

)A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為30B．每組選1名組長(zhǎng)的選法種數(shù)為3024C．若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335D．若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法種數(shù)為35ABC解析：對(duì)于A，選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為6＋7＋8＋9＝30，故A正確；對(duì)于B，每組選1名組長(zhǎng)的選法種數(shù)為6×7×8×9＝3024，故B正確；對(duì)于C，2人需來自不同的小組的選法種數(shù)為6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335，故C正確；對(duì)于D，依題意，若不考慮限制，每名學(xué)生有4種選法，共有43種選法，若第一組沒有人選，每名學(xué)生有3種選法，共有33種選法，所以不同的選法種數(shù)為43－33＝37，故D錯(cuò)誤．故選ABC.12．(5分)已知直線方程ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角．那么這樣的直線的條數(shù)是____．43(1)當(dāng)c＝0時(shí)，a有3種取法，b有3種取法，排除2個(gè)重復(fù)的(3x－3y＝0，2x－2y＝0與x－y＝0為同一條直線)，故這樣的直線有3×3－2＝7(條)；(2)當(dāng)c≠0時(shí)，a有3種取法，b有3種取法，c有4種取法，且其中任意兩條直線均不相同，故這樣的直線有3×3×4＝36(條).從而，符合要求的直線有7＋36＝43(條).13．(5分)(2024·河南鄭州三模)設(shè)a1，a2，a3，…，a7是1，2，3，…，7的一個(gè)排列，且滿足|a1－a2|≥|a2－a3|≥…≥|a6－a7|，則|a1－a2|＋|a2－a3|＋…＋|a6－a7|的最大值是____．解析：要使|a1－a2|＋|a2－a3|＋…＋|a6－a7|的值最大，又|a1－a2|≥|a2－a3|≥…≥|a6－a7|，所以排列可以為1，7，2，6，3，5，4，則|a1－a2|＋|a2－a3|＋…＋|a6－a7|的最大值是6＋5＋4＋3＋2＋1＝21.2114．(8分)一個(gè)同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N*)等份，種植紅、黃、藍(lán)三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．(1)如圖1，圓環(huán)分成3等份，分別為a1，a2，a3，則有__種不同的種植方法；解析：先種植a1部分，有3種不同的種植方法，再種植a2，a3部分．因?yàn)閍2，a3與a1的顏色不同，a2，a3的顏色也不同，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的種植方法有3×2×1＝6(種).6(2)如圖2，圓環(huán)分成4等