決勝高考經(jīng)典一百題全解析第九章第九章導(dǎo)數(shù)壓軸（一）【百題9.1:虛設(shè)零點】（全國卷）證明:e解法一(虛設(shè)零點):設(shè)fx=e2x?則存在一個極小值點x0,故而所以fx解法二(變換主元):設(shè)gga在0,2ex單調(diào)遞減,在解法三(同構(gòu)法):將上式變?yōu)閑2x≥易得e2x入選理由:該題作為虛設(shè)零點的題型非常經(jīng)典,首先我們?nèi)菀着袛嗥渚哂幸粋€極小值點,進(jìn)而代入原不等式證明其恒成立,由于無法直接證明,所以采取了利用導(dǎo)函數(shù)恒等式進(jìn)行代換,然而這道題除了利用a2x0將指數(shù)函數(shù)e同時這也為我們虛設(shè)零點消元時指明方向,即代換掉函數(shù)中的超越因素:指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)。關(guān)于變換主元,我們會在后面的技巧中詳細(xì)解答,此處僅為提供其他思路。另外,關(guān)于用虛設(shè)零點來描述單調(diào)性,在該題中的體現(xiàn)是:fx在0,x【百題9.2:同構(gòu)法】（全國卷）fx=aex解法一(同構(gòu)法):aee(第二步:簡單構(gòu)造)elneln設(shè)gx即glna求導(dǎo)易得a≥解法二(虛設(shè)零點):f′當(dāng)0<a<當(dāng)a=當(dāng)a>1因此存在x0使得f運用基本不等式得2lna解法三(必要探路):將x=1代入aex又a?1≥lna,因此只需下證a≥1成立即可,即證ex入選理由:該道題考察的同構(gòu)法為經(jīng)典題型,是我們掌握新晉熱點的必備例題.知識鏈接:同構(gòu)法的應(yīng)用技巧:(1)指對分開,即指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)要分落在不等號的兩邊;(2)冪函數(shù)指數(shù)化或?qū)?shù)化,如x=eln【百題9.3:恒成立五大思考方向】(全國卷)fx=2當(dāng)我們遇到一道導(dǎo)數(shù)題時,最常用的兩種思路是:①分離參數(shù)+洛必達(dá)法則②分類討論法一(分離參數(shù)+洛必達(dá)法則)當(dāng)x=0當(dāng)x∈(0,π]時,由g′x?x在0,π2故存在x0∈π2,π使得limx→0g法二(分類討論)令g易知g′x在0,π當(dāng)g′π=?2?當(dāng)g′0=?存在x0使得gx在0,x0單調(diào)遞增,在這是傳統(tǒng)的幾種方法,但是如果當(dāng)傳統(tǒng)方法遇到障礙之后,我們應(yīng)該怎么辦?放棄嗎?顯然不是,畢竟十年寒窗苦讀,都是為了最后拿一個高分。那么接下來我們需要介紹三種神來之筆的解題思路:法三(放縮法):一般而言我們是順向放縮,或者雙向放縮如這道題(這道題的放縮方向不對喲):2x可得1?cosx≥a≥1,x≥這道題非常精彩,包括了放縮需要掌握的:參數(shù)放縮、恒等式放縮、雙向放縮、利用已知不等式放縮.由題意可得:xex其實這個不等式已經(jīng)是恒成立的,也是一個常用的放縮式,2010年全國卷考察過如果不知道這個式子的話我們可以進(jìn)行求導(dǎo)分析即可證其恒成立.法四(解題利器一端點效應(yīng)):gx=2sinx?xcosx法五(難題必備一必要探路):在這里簡單說一下,拋磚引玉=先猜后證=必要探路由fπ≥f′x在0,π設(shè)f′x0=0,則f又f0=0,又當(dāng)a≤0,x入選理由:這道題的五種方法既是恒成立求參數(shù)范圍的五種常見思考方向,也是我們對于導(dǎo)數(shù)壓軸問題當(dāng)中函數(shù)本身的一些思考路徑.【百題9.4:整數(shù)解問題】（合肥一模）是否存在正整數(shù)a,使得ex?ax≥x解(必要探路):易知ex?ax≥x2lnx對一切下證a=2gx在0,2單調(diào)遞減,2,+∞單調(diào)遞增,gx【同源練習(xí):虛設(shè)零點法】函數(shù)fx=lnx+ax?解:原式等價于a>xlnx設(shè)?x=x?lnx又?3<0,?4gxmin=x0lnx入選理由:整數(shù)解問題可以說是導(dǎo)數(shù)壓軸中的經(jīng)典入門問題,考的非常頻繁,而且其所用到的兩種方法——必要探路法、虛設(shè)零點法在高考中具有非常重要的作用。自導(dǎo)數(shù)這個知識點開始壓軸以來,直到2013年高考,首次出現(xiàn)虛設(shè)零點的經(jīng)典應(yīng)用,經(jīng)過2015年、2017年兩次變式的訓(xùn)練,在2019年達(dá)到了頂峰,虛設(shè)零點使我們解題的核心技巧.必要探路法在解難題方面顯得則尤為重要,如2019年浙江壓軸題.【百題9.5:局部極值點類型一:局部最值法】(鄭州一模)已知fx=x?e解:x?ex=進(jìn)而可得gt≥0?【同源練習(xí)】(八省聯(lián)考)已知函數(shù)gx=ex+sin解:設(shè)fx=gx入選理由:局部探究函數(shù)的一些性質(zhì)是我們在解難題時的重要利器.知識鏈接:(1)局部最值法:當(dāng)最值點非端點時,那么最值點必然是一個極值點.（2）指對換元法:若x+lnx=【百題9.5:局部極值點-類型二:某處極值點】（福建質(zhì)檢）已知fx=x+3解法一（全局最值與局部分析）:設(shè)gx=f又因為g0=0,所以0是g所以存在δ>0,使得當(dāng)x∈?δ且當(dāng)x∈0,δ時設(shè)?x=設(shè)φx=x所以,φx在?δ,δ單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈當(dāng)x∈0,δ時,所以2a≥limx→0u所以limx所以2a≥1,即另一方面,當(dāng)a≥12m則m當(dāng)m所以當(dāng)x∈0,+∞時,m′′′x當(dāng)x∈?∞,0時,m′′′x所以m′′x≤m′′0=m′x<0,所以mx在0,+∞單調(diào)遞減,當(dāng)?∞,0單調(diào)遞增,所以mx≤m0=0解法二(連鎖反應(yīng)):設(shè)gx=fg所以當(dāng)x∈0,+∞時,g′′′x當(dāng)x∈?∞,0時,g′′′x>①當(dāng)a≥12時,因為g′′xx∈0,+∞時,g′x<0,所以g以gx在?∞,0單調(diào)遞增,所以gx②當(dāng)0<a<所以g′′0?g′′所以g′′x在?∞,0恰有一個零點x1,且當(dāng)x∈x1調(diào)遞增,所以當(dāng)x∈x1,0時,gx∈x1,0③當(dāng)a≤0時,當(dāng)x∈0,+∞時,g增,所以g′x>g′0=gx≤0矛盾,不符合題意;綜上,a解法三:設(shè)gx=fg所以當(dāng)x∈0,+∞時,g′′′x<0g′′′x>0,所以g′′①當(dāng)a≥12時,因為g′′所以當(dāng)x∈0,+∞時,g′x當(dāng)x∈?∞,0時,g′x所以gx≤g②當(dāng)0<a<則?′所以?′x在1,+∞所以?x在1,+∞單調(diào)遞增,所以?x≥?1=e?因為g′′0=1?2a>所以g′′x在0,+∞恰有一個零點x1,且當(dāng)x∈0,x1時,g′′x>0,所以g′x在0當(dāng)a≤0時,gx≥x+3e?解法四:由fx≤ax2設(shè)gx①當(dāng)a≥1(這種解法的缺陷正是在于此,學(xué)生如何知道a≥所以g設(shè)?x則?所以?′x在?∞,+∞單調(diào)遞增.又因為?′0=0,所以當(dāng)x∈0,+∞時,?′x>0,所以?x在0,+∞②當(dāng)0<a<g′′xΔ所以φx恰有兩個零點x1,x2,且xφx<0.所以當(dāng)x∈0,xg所以gx在0,x2單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈0,當(dāng)a≤0時,gx≤3?2x綜上,a的取值范圍為12【同源練習(xí)】(全國卷)fx=2+x+a解:若a≥0,當(dāng)x>這與x=0是若a<0,設(shè)函數(shù)由于當(dāng)x<min1,故?x與fx符號相同.又故x=0是fx的極大值點,當(dāng)且僅當(dāng)x?若6a+1>0,則當(dāng)0故x=0不是?x的極大值點.若6a+1故當(dāng)x∈x1,0所以x=0不是?x的極大值點.若6a則當(dāng)x∈?1,0時,?所以x=0是?x的極大值點,從而x=0入選理由:這類問題要求的導(dǎo)數(shù)分析能力較高,是提升我們水平的重要例題.【百題9.6:變量消元】（長郡中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)fx=ax?ax?2ln解法一(自變量互相表示):由Δ=4?4a此時設(shè)方程f′x=0的兩根為因為x1x2由2ee2+1所以S=由ax12代入上式得S=令x12=t,所以1e因為g′t=從而g1<gt<解法二(自變量表示參數(shù)):由Δ=4?4a此時設(shè)方程f′x=0即則x1=1又因為ax所以S==令1?a2所以S=?則S′=?4?2?1解法三(引入第三變量):由法二得S=令x1x2由t+1得2<t+1t設(shè)gt則g′t=故g1<入選理由:求導(dǎo)之后,如果導(dǎo)函數(shù)是一元二次函數(shù),那么除了分類討論以外,最重要的就是根與根、根與參數(shù)之間的關(guān)系,因此這類題目也可以稱為韋達(dá)定理類導(dǎo)數(shù)題,這道題從三種角度系統(tǒng)分析了這類關(guān)系.而一般的分類討論需要注意的是:二次項系數(shù)、判別式與0的關(guān)系、根的正負(fù)等.如果不是一元