微專題4帶電粒子在組合場中的運(yùn)動(dòng)例1(1)E0Rqm(3)33Rtanπ13或33[解析](1)E-x圖像中圖線所圍成面積表示電勢差,由圖像可知UOP=E由動(dòng)能定理可得qUOP=12mv解得v=E(2)設(shè)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r,由洛倫茲力提供向心力得qvB=mv解得r=3R作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖甲所示設(shè)∠O1OP=θ,由幾何關(guān)系可知tanθ=r解得θ=π所以∠MOP=2π3,粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)過程所轉(zhuǎn)過的角度為θ0=3×2π-π-2π3=5π粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期為T=2π粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t0=θ0聯(lián)立解得t0=5π3(3)如圖乙所示設(shè)改變釋放位置后,粒子在磁場中第一次從S點(diǎn)回到電場區(qū)域,令∠SOP=θ',粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的圓弧所對圓心角為α,根據(jù)題意可知nθ'=N×2π,α=2π-(π-θ')粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為3t0,所以nα=3θ0即n(π+θ')=nπ+2Nπ=15π可得n+2N=15其中n和N均為正整數(shù)由題意可知θ'<23則nθ'=N×2π<n2π可得n>3N①當(dāng)n=13,N=1時(shí),θ1=2π由幾何關(guān)系可得tanθ12在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí),由洛倫茲力提供向心力得qv1B=mv在電場中加速時(shí),由動(dòng)能定理可得12·E0qR聯(lián)立解得x1=33Rtan②當(dāng)n=11,N=2時(shí),θ2=4π同理可得x2=33Rtan例2(1)mv0qL(2)2(3)(4+25)L[解析](1)作出粒子在第一象限勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示由幾何關(guān)系得r+rcos60°=3解得r=L由洛倫茲力提供向心力得qv0B1=mv解得B1=m(2)方法一:設(shè)粒子剛進(jìn)入第三象限磁場時(shí)的速度為v1,則v1=v0cos60°=v粒子在第一個(gè)磁場中運(yùn)動(dòng),有qv1B=mv解得r1=2L由幾何關(guān)系可知sinθ=L解得粒子出第一個(gè)磁場時(shí)與x軸負(fù)方向的夾角θ=30°則粒子剛進(jìn)入第一個(gè)電場區(qū)域時(shí)沿x軸負(fù)方向的分速度為v1x=v1cos30°=3沿y軸負(fù)方向的分速度為v1y=v1sin30°=v沿電場方向上,有v2x2-qE=ma粒子剛進(jìn)入第三象限中的第二個(gè)磁場區(qū)域時(shí)的速度大小為v2=v聯(lián)立解得v2=22v方法二:設(shè)粒子剛進(jìn)入第三象限磁場時(shí)的速度為v1,則v1=v0cos60°=v粒子從進(jìn)入第三象限到剛進(jìn)入第二個(gè)磁場區(qū)域,根據(jù)動(dòng)能定理有qEL=12mv22-解得v2=22v(3)方法一:設(shè)粒子在第三象限運(yùn)動(dòng)過程中,從右向左在第n個(gè)磁場區(qū)域中運(yùn)動(dòng)速度為vn,軌跡半徑為rn,有n-1qEL=12mvn2qvnB=mv解得vn=n2v0,rn=2n設(shè)粒子進(jìn)入第n個(gè)電場區(qū)域時(shí)速度方向與x軸負(fù)方向的夾角為αn,從第n個(gè)電場區(qū)域左邊界穿出時(shí)速度方向與x軸負(fù)方向的夾角為θn,粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí),垂直于電場方向的速度分量不變,有vn-1sinαn-1=vnsinθn-1由幾何關(guān)系可知rnsinαn-rnsinθn-1=L聯(lián)立得rnsinαn-rn-1sinαn-1=L可知r1sinα1、r2sinα2、r3sinα3、…、rnsinαn是一組等差數(shù)列,公差為L,可得rnsinαn=r1sinα1+(n-1)L=nL將rn=2nL代入,得sinαn=n由于sinαn≤1,故n≤4由于n>1,且n為整數(shù),故n的最大值為4,此時(shí)sinθ4=v4v5sinαr5=25L即粒子在第5個(gè)磁場區(qū)域中到達(dá)軌跡最左端,此時(shí)速度方向豎直向下,由幾何關(guān)系得軌跡最左端與第5個(gè)磁場區(qū)域右邊界距離為Δx=r5-r5sinθ4=25綜上,軌跡最左端離y軸最遠(yuǎn)的距離為xm=4×2L+Δx=4+25方法二:設(shè)在第n個(gè)磁場區(qū)域中離y軸的距離最遠(yuǎn),此時(shí)粒子速度方向沿y軸負(fù)方向,設(shè)為vy,則由動(dòng)量定理得∑qvxB·Δt=mΔvy求和得qBx磁=mvy由動(dòng)能定理得qEn-1L=12mvy2聯(lián)立解得x磁=2nL又知n-1L<x磁<解得4<n<3+22故n=5x磁=25L粒子離y軸最遠(yuǎn)的距離xm=x磁+4L=4+25例3(1)帶正電πmBt0(2)3πU[解析](1)由帶電粒子在左側(cè)電場中由靜止釋放后加速運(yùn)動(dòng)的方向可知粒子帶正電(或由帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的方向結(jié)合左手定則可知粒子帶正電).設(shè)粒子在磁場內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v,半徑為r,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB=mv2粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周所用的時(shí)間Δt=3t0-2t0粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T=2Δt又知T=2πr聯(lián)立解得q=πm(2)設(shè)金屬板間的電場強(qiáng)度為E,粒子在金屬板間運(yùn)動(dòng)的加速度為a,則有E=U0a=qEmt0~2t0內(nèi),粒子在金屬板間的電場內(nèi)做兩個(gè)對稱的類平拋運(yùn)動(dòng),在垂直于金屬板方向的位移等于在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的直徑,即y=2r在垂直于金屬板方向有y=2×12at在沿金屬板方向有π3D=vt0聯(lián)立解得D=3πU0t08(3)由(1)(2)可知y=2由對稱性可知,3t0~4t0內(nèi),粒子第二次進(jìn)入金屬板間的電場內(nèi),粒子在豎直方向的位移仍為y,由于y<D,故粒子不會(huì)碰到金屬板t=4t0后,粒子進(jìn)入左側(cè)電場,先減速到速度為零,后反向加速,并在t=6t0時(shí)刻第三次進(jìn)入金屬板間的電場內(nèi),此時(shí)粒子距上板的距離為h=D-y=D3,注意到h=y2粒子第一次、第二次進(jìn)出金屬板間的電場過程中,電場力做功為0,粒子第三次進(jìn)入金屬板間的電場后,電場力做功為qEh,設(shè)粒子在左側(cè)電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)電場力做功為W左,根據(jù)動(dòng)能定理有W左=12mv2電場力對粒子做的總功為W=W左+qEh 聯(lián)立解得W=(π【跟蹤訓(xùn)練】1.C[解析]粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí),由洛倫茲力提供向心力,有qvB=mv2r,解得r=mvqB=R,根據(jù)左手定則可知,粒子在第1個(gè)圓形磁場中做逆時(shí)針方向的圓周運(yùn)動(dòng),由于粒子運(yùn)動(dòng)半徑等于圓形磁場的半徑,根據(jù)幾何關(guān)系可知,粒子入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、圓形磁場圓心、軌跡圓圓心構(gòu)成菱形,故所有粒子射出第1個(gè)圓形磁場的速度方向均沿y軸正方向,粒子進(jìn)入電場后先做勻減速直線運(yùn)動(dòng),再反向做勻加速直線運(yùn)動(dòng),返回磁場時(shí)的速率與射出時(shí)相等,同理,粒子第二次射出磁場的位置均在兩個(gè)圓形磁場的切點(diǎn),所有粒子在第1個(gè)圓形磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為T2,粒子在第2個(gè)圓形磁場中的運(yùn)動(dòng)沿順時(shí)針方向,運(yùn)動(dòng)規(guī)律與在第1個(gè)圓形磁場中的運(yùn)動(dòng)相似,最終所有粒子均到達(dá)M點(diǎn),運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,所有粒子從O點(diǎn)射出到最終被接收屏接收的過程中在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為t1=4×2va=4×2vqEm=8BRE,所有粒子從O點(diǎn)射出到最終被接收屏接收的過程中在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為t2=2T=2×2πR2.ABD[解析]根據(jù)題意可知,在0.5t0~t0時(shí)間內(nèi),粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),且轉(zhuǎn)了14圓周,在t0~1.5t0時(shí)間內(nèi),粒子在電場中向下做減速運(yùn)動(dòng)到速度為零,在1.5t0~2t0時(shí)間內(nèi),粒子在電場中向上做加速運(yùn)動(dòng)到速度為v,在2t0~2.5t0時(shí)間內(nèi),粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),轉(zhuǎn)了14圓周,粒子回到極板中線,速度平行于極板中線,接下來粒子周期性地重復(fù)以上運(yùn)動(dòng),粒子在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,粒子運(yùn)動(dòng)周期為T=2.5t0-0.5t0=2t0,故粒子射出極板的時(shí)刻可能為t=0.5t0+nT=(0.5+2n)t0(n=1,2,3,…),當(dāng)n=1時(shí),t=0.5t0+T=2.5t0,故A正確;設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為