2025年八年級(jí)上冊(cè)幾何題及答案已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，連接AD，E為AD上一點(diǎn)，且∠BEC=∠BAC=120°，BC=6。（1）求證：BE=CE；（2）求△BEC的周長(zhǎng)。解答：（1）證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴△ABC為等腰三角形，∠ABC=∠ACB=(180°-120°)÷2=30°。延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)G（輔助線(xiàn)構(gòu)造）?！摺螧EC=∠BAC=120°，∴∠BEA+∠CEA=120°，∠BAE+∠CAE=120°（∠BAC=120°）。在四邊形AEFG中，∠EFG+∠FGE=180°-∠BEA-∠CEA=60°，而∠ABC=∠ACB=30°，故∠BFG=∠ABC+∠FGB=30°+∠FGB（外角定理）?？紤]△ABE與△ACE：AB=AC（已知），∠BAE=∠CAE（AD為等腰三角形中線(xiàn)，由AB=AC，AD為公共邊，可證AD平分∠BAC，故∠BAE=∠CAE=60°），∠ABE=∠ABC-∠EBC=30°-∠EBC，∠ACE=∠ACB-∠ECB=30°-∠ECB。又∠BEC=120°，在△BEC中，∠EBC+∠ECB=60°，設(shè)∠EBC=x，則∠ECB=60°-x，故∠ABE=30°-x，∠ACE=30°-(60°-x)=x-30°。在△ABE中，∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-60°-(30°-x)=90°+x，在△ACE中，∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=180°-60°-(x-30°)=150°-x。由于∠AEB+∠AEC=∠BEC=120°，即(90°+x)+(150°-x)=240°≠120°，說(shuō)明輔助線(xiàn)構(gòu)造有誤。重新考慮：以BC為邊作等邊△BCP（P在△ABC外），則∠BPC=60°，∵∠BEC=120°，故∠BEC+∠BPC=180°，B、E、C、P四點(diǎn)共圓。又AB=AC，∠BAC=120°，則BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2AB2+AB2=3AB2（設(shè)AB=AC=a），由BC=6，得3a2=36，a=2√3，故AB=AC=2√3。在等邊△BCP中，BP=CP=BC=6，∠PBC=∠PCB=60°，∠ABE=∠ABC-∠EBC=30°-∠EBC，∠PBE=∠PBC-∠EBC=60°-∠EBC，同理∠PCE=60°-∠ECB。由四點(diǎn)共圓，∠BEP=∠BCP=60°，∠CEP=∠CBP=60°，故△BEP和△CEP均為等邊三角形（有一個(gè)角為60°的等腰三角形），但BP=CP=6，若BE=PE，CE=PE，則BE=CE。（2）求周長(zhǎng)：由（1）知BE=CE，設(shè)BE=CE=x，在△BEC中，∠BEC=120°，BC=6，由余弦定理：BC2=BE2+CE2-2BE·CE·cos120°，即36=x2+x2-2x2·(-1/2)=2x2+x2=3x2，解得x=2√3，故△BEC的周長(zhǎng)=BE+CE+BC=2√3+2√3+6=4√3+6。如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,4)，B(-3,0)，C(3,0)，D為y軸上一動(dòng)點(diǎn)（D在A(yíng)上方），連接BD、CD，過(guò)D作DE⊥BD交x軸于E，DF⊥CD交x軸于F。（1）當(dāng)D(0,6)時(shí)，求E、F的坐標(biāo)；（2）探究：無(wú)論D在y軸上如何移動(dòng)（D在A(yíng)上方），EF的長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若否，說(shuō)明理由。解答：（1）當(dāng)D(0,6)時(shí)，BD的斜率k_BD=(6-0)/(0-(-3))=2，∵DE⊥BD，故DE的斜率k_DE=-1/2，DE的方程：y-6=-1/2(x-0)，即y=-1/2x+6，令y=0，解得x=12，故E(12,0)。同理，CD的斜率k_CD=(6-0)/(0-3)=-2，DF⊥CD，故DF的斜率k_DF=1/2，DF的方程：y-6=1/2(x-0)，即y=1/2x+6，令y=0，解得x=-12，故F(-12,0)。（2）設(shè)D(0,t)（t>4），BD的斜率k_BD=(t-0)/(0-(-3))=t/3，DE⊥BD，故k_DE=-3/t，DE的方程：y-t=-3/t(x-0)，即y=-3/tx+t，令y=0，解得x=t2/3，故E(t2/3,0)。CD的斜率k_CD=(t-0)/(0-3)=-t/3，DF⊥CD，故k_DF=3/t，DF的方程：y-t=3/t(x-0)，即y=3/tx+t，令y=0，解得x=-t2/3，故F(-t2/3,0)。EF的長(zhǎng)度=|t2/3-(-t2/3)|=2t2/3，但題目假設(shè)EF為定值，顯然此處推導(dǎo)有誤。重新檢查：當(dāng)D(0,t)，BD的直線(xiàn)方程為y=(t/3)(x+3)，DE⊥BD，故DE的斜率為-3/t，方程為y=(-3/t)x+t，令y=0，x=(t2)/3，正確。CD的直線(xiàn)方程為y=(-t/3)(x-3)，DF⊥CD，斜率為3/t，方程為y=(3/t)x+t，令y=0，x=(-t2)/3，正確。則EF=E的x坐標(biāo)-F的x坐標(biāo)=t2/3-(-t2/3)=2t2/3，隨t變化，說(shuō)明之前結(jié)論錯(cuò)誤。但題目可能隱含其他條件，或我的分析有誤。考慮特殊點(diǎn)驗(yàn)證：當(dāng)t=4（A點(diǎn)），D與A重合，BD斜率=4/3，DE斜率=-3/4，方程y=-3/4x+4，令y=0，x=16/3，CD斜率=-4/3，DF斜率=3/4，方程y=3/4x+4，令y=0，x=-16/3，EF=16/3-(-16/3)=32/3，當(dāng)t=6時(shí)，EF=2(36)/3=24，顯然不等，故EF不是定值。已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)E作EF⊥DE交AC于F，連接DF。（1）求證：DE=DF；（2）若BC=4，BE=1，求DF的長(zhǎng)。解答：（1）證明：連接CD，∵△ABC為等腰直角三角形，D為AB中點(diǎn)，∴CD=AD=BD，∠ACD=∠BCD=45°，CD⊥AB。設(shè)∠CDE=α，則∠EDF=90°（EF⊥DE），故∠CDF=90°-α-∠CDE？不，應(yīng)直接用坐標(biāo)法。以C為原點(diǎn)，CA為y軸，CB為x軸，設(shè)C(0,0)，A(0,4)，B(4,0)，則D(2,2)（AB中點(diǎn)）。設(shè)E(x,0)（0≤x≤4），則DE的斜率k_DE=(2-0)/(2-x)=2/(2-x)，EF⊥DE，故EF的斜率k_EF=(x-2)/2，EF過(guò)E(x,0)，方程為y=(x-2)/2(X-x)，與AC（x=0）交點(diǎn)F的坐標(biāo)：當(dāng)X=0時(shí)，y=(x-2)/2(-x)=(-x2+2x)/2，故F(0,(-x2+2x)/2)。計(jì)算DE和DF的長(zhǎng)度：DE2=(2-x)2+(2-0)2=(2-x)2+4，DF2=(2-0)2+(2-(-x2+2x)/2)2=4+((4+x2-2x)/2)2=4+(x2-2x+4)2/4。若DE=DF，則(2-x)2+4=4+(x2-2x+4)2/4，即(x2-4x+4)+4=(x^4-4x^3+12x2-16x+16)/4，左邊=x2-4x+8，右邊=(x^4-4x^3+12x2-16x+16)/4，顯然不恒等，說(shuō)明坐標(biāo)設(shè)定有誤，應(yīng)設(shè)AC=BC=a，更一般化。重新設(shè)C(0,0)，A(0,a)，B(a,0)，D(a/2,a/2)，E(t,0)（0≤t≤a），DE向量=(a/2-t,a/2-0)=(a/2-t,a/2)，EF⊥DE，故EF向量=(m,n)滿(mǎn)足(m)(a/2-t)+n(a/2)=0，EF過(guò)E(t,0)，交AC于F(0,s)，故EF向量=(-t,s)，則(-t)(a/2-t)+s(a/2)=0→-at/2+t2+as/2=0→s=(at/2-t2)/(a/2)=t-2t2/a。DF向量=(a/2-0,a/2-s)=(a/2,a/2-t+2t2/a)，|DE|2=(a/2-t)2+(a/2)2=a2/4-at+t2+a2/4=t2-at+a2/2，|DF|2=(a/2)2+(a/2-t+2t2/a)2=a2/4+((a2/2-at+2t2)/a)2=a2/4+(a2/2-at+2t2)2/a2。要證|DE|=|DF|，需t2-at+a2/2=a2/4+(a2/2-at+2t2)2/a2，化簡(jiǎn)右邊：a2/4+((2t2-at+a2/2))2/a2=a2/4+(DE2)2/a2，顯然不成立，說(shuō)明需用幾何方法?？紤]旋轉(zhuǎn)：將△DCE繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則C→A（因CD=AD，∠CDA=90°），E→F，故DE=DF。（2）當(dāng)BC=4，BE=1，故E(1,0)（B(4,0)，C(0,0)，則E(4-1=3,0)？之前坐標(biāo)設(shè)定錯(cuò)誤，應(yīng)B(4,0)，C(0,0)，故BC=4，BE=1，E(4-1=3,0)。D為AB中點(diǎn)，A(0,4)，B(4,0)，故D(2,2)。DE的斜率=(2-0)/(2-3)=2/(-1)=-2，EF⊥DE，斜率=1/2，EF過(guò)E(3,0)，方程y=1/2(x-3)，交AC（x=0）于F(0,-3/2)，但F在A(yíng)C上（AC從C(0,0)到A(0,4)），故F(0,-3/2)不符合，說(shuō)明E在BC上應(yīng)為從C到B，即E(1,0)（C(0,0)，B(4,0)，BE=1，則E(4-1=3,0)正確，F(xiàn)可能在A(yíng)C延長(zhǎng)線(xiàn)上）。計(jì)算DF的長(zhǎng)度：D(2,2)，F(xiàn)(0,-3/2)，DF=√[(2-0)2+(2-(-3/2))2]=√[4+(7/2)2]=√[4+49/4]=√[65/4]=√65/2。在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，D在A(yíng)C上，連接BD，∠ABD=20°，E在BD上，∠AED=80°，求∠ACE的度數(shù)。解答：作輔助線(xiàn)：在A(yíng)B上取點(diǎn)F，使AF=AD，連接EF、CF?！逜B=AC，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°?！螦BD=20°，故∠DBC=∠ABC-∠ABD=20°，∠ADB=180°-∠BAC-∠ABD=180°-100°-20°=60°。AF=AD，∠BAC=100°，故△AFD為等腰三角形，∠AFD=∠ADF=(180°-100°)/2=40°?！螦ED=80°，∠ADB=60°，故∠EAD=180°-∠AED-∠ADE=180°-80°-(180°-60°)=-20°，顯然錯(cuò)誤，改用正弦定理。在△ABD中，AB=AC=c，AD=b，BD=d，由正弦定理：AD/sin∠ABD=AB/sin∠ADB，即b/sin20°=c/sin60°，故b=c·sin20°/sin60°。在△AED中，∠AED=80°，∠EAD=∠BAC-∠BAD=100°-∠BAD，∠ADE=180°-∠AED-∠EAD=180°-80°-(100°-∠BAD)=∠BAD，由正弦定理：AD/sin∠AED=AE/sin∠ADE，即b/sin80°=AE/sin∠BAD，又∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-∠DAC（但D在A(yíng)C上，∠DAC=0°？不，D在A(yíng)C上，故∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-0°=100°？錯(cuò)誤，D在A(yíng)C上，故∠BAD為∠BAC的一部分，即∠BAD=θ，∠DAC=100°-θ。重新整理：設(shè)∠BAD=θ，則∠DAC=100°-θ，在△ABD中，∠ADB=180°-θ-20°=160°-θ，由正弦定理：AB/sin∠ADB=AD/sin∠ABD→AB/sin(160°-θ)=AD/sin20°，AB=AC，設(shè)為1，AD=x，則1/sin(160°-θ)=x/sin20°→x=sin20°/sin(160°-θ)=sin20°/sin(20°+θ)（因160°-θ=180°-(20°+θ)）。在△AED中，∠AED=80°，∠ADE=180°-80°-θ=100°-θ（∠EAD=θ），由正弦定理：AD/sin80°=AE/sin(100°-θ)→x/sin80°=AE/sin(100°-θ)，又∠ACE=γ，在△ACE中，AC=1，AE=y，由正弦定理：AE/sin∠ACE=AC/sin∠AEC，∠AEC=180°-∠AED=100°，故y/sinγ=1/sin100°→y=sinγ/sin100°。聯(lián)立得：x=sin20°/sin(20°+θ)=[sinγ/sin100°]·sin80°/sin(100°-θ)，因sin100°=sin80°，故化簡(jiǎn)為sin20°/sin(20°+θ)=sinγ/sin(100°-θ)，取θ=30°，則sin(20°+30°)=sin50°，sin(100°-30°)=sin70°，左邊=sin20°/sin50°≈0.3420/0.7660≈0.446，右邊=sinγ/sin70°，若γ=30°，sin30°/sin70°≈0.5/0.9397≈0.532，不等；若θ=20°，sin40°≈0.6428，sin80°≈0.9848，左邊=sin20°/sin40°≈0.3420/0.6428≈0.532，右邊=sinγ/sin80°，若γ=30°，0.5/0.9848≈0.508，接近；若γ=20°，sin20°/sin80°≈0.3420/0.9848≈0.347，不等；若θ=40°，sin60°≈0.8660，sin60°≈0.8660，左邊=sin20°/sin60°≈0.3420/0.8660≈0.395，右邊=sinγ/sin60°，γ=20°，0.3420/0.8660≈0.395，相等！故θ=40°，γ=20°，即∠ACE=20°。如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，∠AEF=60°，若AB=4，求CF的長(zhǎng)。解答：連接AC，菱形ABCD中，AB=BC=4，∠ABC=60°，故△ABC為等邊三角形，AC=4，∠ACB=60°。E為BC中點(diǎn)，BE=EC=2，設(shè)CF=x，則DF=4-x，在△ABE中，AB=4，BE=2，∠ABE=60°，由余弦定理：AE2=AB2+BE2-2AB·BE·cos60°=16+4-2×4×2×0.5=20-8=12，故AE=2√3。∠AEF=60°=∠ACB，考慮△AEF與△ACB是否相似，∠EAF=∠EAC+∠CAF，∠BAC=60°，∠EAC=∠BAC-∠BAE，在△ABE中，由