現(xiàn)實生活中存在大量具有周而復始、循環(huán)往復特點的周期運動變化現(xiàn)象，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么就可以考慮借助三角函數(shù)來描述．本節(jié)通過幾個具體實例，說明三角函數(shù)模型的簡單應用．5.7三角函數(shù)的應用學習目標了解y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中參數(shù)的物理意義.會用三角函數(shù)模型解決簡單的實際問題.體會可以利用三角函數(shù)構建刻畫事物周期變化的數(shù)學模型．三角函數(shù)在物理中的應用問題１某個彈簧振子(簡稱振子)在完成一次全振動的過程中，時間t(單位:s)與位移y(單位:mm)之間的對應數(shù)據(jù)如下表所示．試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個振子的位移關于時間的函數(shù)解析式．振子的振動具有循環(huán)往復的特點，由振子振動的物理學原理可知，其位移y隨時間t的變化規(guī)律可以用函數(shù)y=Asin(ωt+φ

)來刻畫．根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點圖，如下圖所示．所以振子位移關于時間的函數(shù)解析式為由數(shù)據(jù)表和散點圖可知，振子振動時位移的最大值為20mm，因此A＝20；

現(xiàn)實生活中存在大量類似彈簧振子的運動，如鐘擺的擺動，水中浮標的上下浮動，琴弦的振動，等等．這些都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復的運動．在物理學中，把物體受到的力(總是指向平衡位置)正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”．在適當?shù)闹苯亲鴺讼迪拢喼C運動可以用函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈[0，＋∞)表示，其中A＞0，

ω＞0．描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數(shù)有關：簡諧運動可以用函數(shù)表示為：y=Asin(ωx+φ),x∈[0,＋∞)

,其中A＞0,ω＞0.

A就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；

ωx+φ稱為相位；x＝０時的相位φ

稱為初相．練習(第244頁)1．如圖所示的是某簡諧運動的圖象，試根據(jù)圖象回答下列問題：(1)這個簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少？(2)寫出這個簡諧運動的函數(shù)解析式．練習(第244頁)即最大偏角約為0.1203rad練習(第244頁)練習(第244頁)3．一臺發(fā)電機產(chǎn)生的電流是正弦式電流，電壓和時間之間的關系如圖所示．由圖象說明它的周期、頻率和電壓的最大值，并求出電壓U（單位：V）關于時間t（單位：s）的函數(shù)解析式．三角函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用勻速圓周運動、簡諧運動和交變電流都是理想化的運動變化現(xiàn)象，可以用三角函數(shù)模型準確地描述它們的運動變化規(guī)律．在現(xiàn)實生活中也有大量運動變化現(xiàn)象，僅在一定范圍內(nèi)呈現(xiàn)出近似于周期變化的特點，這些現(xiàn)象也可以借助三角函數(shù)近似地描述．函數(shù)“擬合”

一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情況，因此應當特別注意自變量的變化范圍．反思感悟解三角函數(shù)應用問題的基本步驟例2

海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．表5.7-2是某港口某天的時刻與水深關系的預報．時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m0：005.09：182.518：365.03：067.512：245.021：422.56：125.015：307.524：004.0(1)選用一個函數(shù)來近似描述這一天該港口的水深與時間的關系，給出整點時水深的近似數(shù)值（精確到0.001m）由上述關系式易得港口在整點時水深的近似值（表5.7-3）：時刻01234567891011水深/m5.0006.2137.1227.4977.2456.4285.2534.0143.0232.5292.6563.372時刻121314151617181920212223水深/m4.4975.7486.8127.4207.4206.8125.7484.4973.3722.6562.5293.023(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與洋底的距離），該船這一天何時能進入港口？在港口能呆多久?由計算器可得因此，貨船可以在零時30分左右進港，早晨5時45分左右出港；或在下午13時左右進港，下午18時左右出港．每次可以在港口停留5小時左右．(3)某船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船這一天在2：00開始卸貨，吃水深度以0.3m/h的速度減少，如果這條船停止卸貨后需0.4h才能駛到深水域，那么該船最好在什么時間停止卸貨，將船駛向較深的水域?在同一直角坐標系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖象，可以看到在6～8時之間兩個函數(shù)圖象有一個交點因此為了安全，貨船最好在6.6時之前停止卸貨，將船駛向較深的水域．反思感悟處理曲線擬合與預測問題時，通常需要以下幾個步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪出散點圖.(2)通過觀察散點圖，畫出與其“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線.(3)根據(jù)所學函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)解析式.(4)利用函數(shù)解析式，根據(jù)條件對所給問題進行預測和控制，以便為決策和管理提供依據(jù).

三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．具體地，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，先畫出相應的“散點圖”、觀察散點圖，然后進行函數(shù)擬合獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應的實際問題．實際問題通常涉及復雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術．練習(第248頁)乙點的位置將移至它關于

x軸的對稱點處.

練習(第248頁)2．自出生之日起，人的體力、情緒、智力等心理、生理狀況就呈周期變化．根據(jù)心理學家的統(tǒng)計，人體節(jié)律分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律三種．這些節(jié)律的時間周期分別為23天、28天、33天．每個節(jié)律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個階段．以上三個節(jié)律周期的半數(shù)為臨界日，這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律的臨界日．臨界日的前半期為高潮期，后半期為低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置），請根據(jù)自己的出生日期，繪制自己的體力、情緒和智力曲線，并總結(jié)自己在什么時候應當控制情緒，在什么時候應當鼓勵自己；在什么時候應當加強鍛煉，在什么時候應當保持體力．練習(第248頁)生物節(jié)律是自然進化賦予生命的基本特征之一,人類和一切生物都要受到生物節(jié)律的控制與影響。人體生物節(jié)律是指體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律。

每個人從他出生那天起一直到生命終結(jié),都存在著體力23天、情緒28天、智力33天的周期性波動規(guī)律,稱為人體生物節(jié)律。每一個周期中又存在著高潮期、低潮期和臨界期。由于它具有準確的時間性，因此，也稱之為人體生物鐘。在我們?nèi)粘Ｉ钪校腥藭X得自己的體力、情緒或智力有時很好，有時很壞，人從他誕生之日起，直至生命終結(jié)，其自身的體力、情緒和智力都存在著由強至弱、由弱至強的周期性起伏變化。人們把這種現(xiàn)象稱作生物節(jié)律，或生物節(jié)奏、生命節(jié)律等。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是生物體內(nèi)存在著生物鐘，它自動地調(diào)節(jié)和控制著人體的行為和活動。練習(第248頁)20世紀初，德國醫(yī)生菲里斯和奧地利心理學家斯瓦波達經(jīng)過長期臨床觀察，發(fā)現(xiàn)了人體生物節(jié)律。人體生物節(jié)律的發(fā)現(xiàn)，引起了人們比較廣泛的注意。1937年，國際上召開了首屆生物節(jié)律的國際會議。1960年，在美國召開的生物節(jié)律的國際會議，標志著生物節(jié)律學的研究已經(jīng)走上了一個新的階段。人體生物節(jié)律，其基本理論認為:人體生理狀況從體溫、血壓到各器官的新陳代謝及精神狀態(tài)，都有其周而復始的循環(huán)規(guī)律。這種規(guī)律是能夠測定的，現(xiàn)在一般采用電子計算機計算的方法。菲里斯和斯瓦波達發(fā)現(xiàn)，人體生物節(jié)律中的體力周期是23天，情緒周期是28天，智力周期是33天。練習(第248頁)生物節(jié)律(生物鐘)廣泛存在于大自然的各種生命活動中，是上億年內(nèi)生物在其發(fā)生和進化過程中，為了與環(huán)境變化相適應而逐漸形成的內(nèi)源性的與自然環(huán)境周期性變化相似的節(jié)律性的生命活動。從藍藻到人類，幾乎所有生物體的生理、代謝活動和行為過程都表現(xiàn)出以24小時為周期的晝夜節(jié)律性。人們最熟悉的晝夜節(jié)律是每天的睡眠一覺醒節(jié)律。人體生物節(jié)律一詞，代表人體內(nèi)的生理——生物循環(huán)。人體生物節(jié)律，是指人的體力、情緒和智力的周期循環(huán)。科學家對人體研究結(jié)果表明，人的體力循環(huán)周期為23天，情緒循環(huán)周期為28天，智力循環(huán)周期為33天。這三個近似月周期的循環(huán)，統(tǒng)稱為生物節(jié)律，在每一周期內(nèi)有高潮期、低潮期、臨界日和臨界期。練習(第248頁)人體生物節(jié)律理論認為，這些循環(huán)從人出生的那時刻開始，就分別按各自的周期循環(huán)變化，首先進入高潮期，然后經(jīng)過臨界日變換為低潮期，按正弦曲線的規(guī)律持續(xù)不斷地變化，一直到生命結(jié)束為止。當這些循環(huán)處于高潮期，人們的行為處于最佳狀態(tài)，體力旺盛，情緒高昂、智力開闊；當循環(huán)處于低潮期，體力衰減，耐力下降，情緒低落、心神不寧，反應遲鈍，智力抑制，工作效率低。特別是臨界期，體內(nèi)生理變化劇烈，各器官協(xié)調(diào)機能下降，容易發(fā)生錯誤行為。練習(第248頁)在開始時，三線起始點從同一個點開始。當三線起始點再次重合之時，