【經(jīng)濟數(shù)學基礎12】期末復習輔導

一、課程的考核說明

本課程的考核對象是中央廣播電視大學財經(jīng)類高等?？崎_放教育金融、工商管理、會計學等專業(yè)的學

生.

本課程的考核形式為形成性考核和期末考試相結合的方式.考核成績由形成性考核作業(yè)成績和期

末考試成績兩部分組成，其中形成性考核作業(yè)成績占考核成績的30時期末考試成績占考核成績的70機

經(jīng)濟數(shù)學基礎課程參考教材是由李林曙、黎詣遠主編的、高等教育出版社出版的“新世紀網(wǎng)絡課程建

設工程一一經(jīng)濟數(shù)學基礎網(wǎng)絡課程”的配套文字教材：

經(jīng)濟數(shù)學基礎網(wǎng)絡課程學習指南

經(jīng)濟數(shù)學基礎一一微積分

經(jīng)濟數(shù)學基礎一一線性代數(shù)

考核說明中的考核知識點與考核要求不會超出課程教學大綱與參考教材的范圍與要求.微積分和線

性代數(shù)各部分在期末試卷中所占分數(shù)的百分比與它們在教學內(nèi)容中所占的百分比大致相當，微積分約占

60%,線性代數(shù)約占40%。

試題類型分為單項選擇題、填空題和解答題。單項選擇題的形式為四選一，即在每題的四個備選答案

中選出?個正確答案：填空題只要求直接填寫結果，不必寫出計算過程和推理過程；解答題包括計算題、

應用題或證明題等，解答題要求寫出文字說明，演算步驟或推證過程.三種題型分數(shù)的百分比為：單項選

擇題15乳填空題15%,解答題70%。

期末考試采用閉卷筆試形式，卷面滿分為100分，考試時間為90分鐘。

二、微分學部分復習

第1章函數(shù)

1.理解函數(shù)概念。

理解函數(shù)概念時，要掌握函數(shù)的兩要素（（定義域和對應關系，這要解決下面四個方面的問題：

（1）掌握求函數(shù)定義域的方法，會求初等函數(shù)的定義域和函數(shù)值。函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義

的自變量的變化范圍。學生要掌握常見函數(shù)的自變量的變化范圍，如分式的分母不為0,對數(shù)的真數(shù)大于

0,偶次根式下表達式大于0,等等。

（2）理解函數(shù)的對應關系的含義：表示當自變量取值為時，因變量的取值為

。例如，對于函數(shù)，表示運算：

（）2+ln（）+24）

于是，,。

（3）會判斷兩函數(shù)是否相同。

從函數(shù)的兩個要素可知，兩個函數(shù)相等，當且僅當他們的定義域相同，對應規(guī)則相同，而與自變量

或為變量所用的字母無關。

（4）了解分段函數(shù)概念，掌握求分段函數(shù)定義域和函數(shù)值的方法。

2.掌握函數(shù)奇偶性的判別，知道它的幾何特點。

判斷函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，可以用定義去判斷，即

（1）若，則為偶函數(shù)；

（2）若，則為奇函數(shù)。

也可以根據(jù)一些已知的函數(shù)的奇偶性，再利用“奇函數(shù)土奇函數(shù)、奇函數(shù)X偶函數(shù)仍為奇函數(shù)；偶函

數(shù)士偶函數(shù)、偶函數(shù)X偶困數(shù)、奇函數(shù)X奇函數(shù)仍為偶函數(shù)”的性質(zhì)來判斷。

3.了解復合函數(shù)概念，會對復合函數(shù)進行分解。

4.知道初等函數(shù)的概念,牢記常數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)（正弦、余弦、

正切和余切）的解析表達式、定義域、主要性質(zhì)及圖形。

基本初等函數(shù)的解析表達式、定義域、主要性質(zhì)及圖形在微積分中常要用到，一定要熟練掌握。

5.了解需求、供給、成本、平均成本、收入和利潤函數(shù)的概念。

6.會列簡單應用問題的函數(shù)表達式。

第2章極限、導數(shù)與微分

1.掌握求簡單極限的常用方法。

求極限的常用方法有

（1）利用極限的四則運算法則；

（2）利用兩個重要極限；

（3）利用無窮小品的性質(zhì)（有界變量乘以無窮小量還是無窮小最）；

（4）利用連續(xù)函數(shù)的定義。

2.知道一些與極限有關的概念

（1）知道數(shù)列極限、函數(shù)極限、左右極限的概念，知道函數(shù)在某點極限存在的充分必要條件是該點

左右極限都存在且相等；

（2）了解無窮小量的概念，了解無窮小量與無窮大量的關系，知道無窮小量的性質(zhì)；

（3）了解函數(shù)在某點連續(xù)的概念，知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念，了解?“初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)”

的結論；會判斷函數(shù)在某點的連續(xù)性，會求函數(shù)的間斷點。

3.理解導數(shù)定義。

理解導數(shù)定義時，要解決下面幾個問題：

（1）牢記導數(shù)定義的極限表達式；

（2）會求曲線的切線方程：

（3）知道可導與連續(xù)的關系（可導的函數(shù)一定連續(xù)，連續(xù)的函數(shù)不一定可導）。

4.熟練掌握求導數(shù)或微分的方法。

具體方法有：

（1）利用導數(shù)（或微分）的基本公式

（2）利用導數(shù)（或微分）的四則運算法則

（3）利用復合函數(shù)微分法

（4）利用隱函數(shù)求導法則

5.知道高階導數(shù)概念，會求函數(shù)的二階導數(shù)。

第3章導數(shù)的應用

1.掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，掌握極值點的判別方法，會求函數(shù)的極值。

通常的方法是利用一階導數(shù)的符號判斷單調(diào)性，也可以利用已知的基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷。

2.了解一些基本概念。

（1）了解函數(shù)極值的概念，知道函數(shù)極值存在的必要條件，知道函數(shù)的極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系;

（2）了解邊際概念和需求價格彈性概念：

3.熟練掌握求經(jīng)濟分析中的應用問題（如平均成本最低、收入最大和利潤最大等），會求幾何問題

中的最值問題。掌握求邊際函數(shù)的方法，會計算需求彈性。

三、微分學部分綜合練習

一、單項選擇題

1.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）.

(A)y=xsinx(B)y=x2+x

(C)y=2x-2-x(D)y=xcosx

正確答案:A

2.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是().

(A)y=xsinx(B)y=x3-x

(C)y=ex+e~x(D)y=x1x

正確答案：B

3.下列各函數(shù)對中，()中的兩個函數(shù)相等.

A..…B.

正確答案:D

4.下列結論中正確的是().

(A)周期函數(shù)都是有界函數(shù)

(B)基本初等函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)

(C)奇函數(shù)的圖形關于坐標原點對稱

(D)偶函數(shù)的圖形關于坐標原點對稱

正確答案:C

5.下列極限存在的是().

A.B.C.D.

正確答案:A

6.已知，當()時，為無窮小量.

A???B???C???D.

正確答案：A

7.函數(shù)在x=0處連續(xù)，則k=().

A.-2B.-lC.1D.2

正確答案：B

8.曲線在點(處的切線斜率是().

(A)1(B)2(C)；

(D)-1

正確答案:D

9.若，則..)....

A.0B.1C.4D.-4

正確答案:C

10.下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減少的是().

(A)cosx(B)2-x(C)2X(D)x2

正確答案：B

11.下列結論正確的是().

(A)若，則必是的極值點

(B)使不存在的點，一定是的極值點

(C)是的極值點，且存在，則必有

(D)是的極值點，則必是的駐點

正確答案:c

12.設某商品的需求函數(shù)為，則當時，需求彈性為().

A.B.-3C.3D.

正確答案：B

二、填空題

I.函數(shù)的定義域是

應該填寫：

2.函數(shù)的定義域是

應該填寫：

3.若函數(shù).則

應該填寫：

4.若函數(shù)，則

應該填寫：

5.設，則函數(shù)的圖形關于對稱.

應該填寫:y軸

6.已知需求函數(shù)為，則收入函數(shù)=

應該填寫：

7.

應該填寫：1

8.已知，若在內(nèi)連續(xù)，則

應該填寫：2

9.曲線在處的切線斜率是

應該填寫：

10.過曲線上的一點(0,1)的切線方程為.

應該填寫：

11.函數(shù)的駐點是

應該填寫：

12,需求量q對價格的函數(shù)為，則需求彈性為.

應該填寫：

三、微分計算題

1.已知，求.

解：由導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則得

yf=(2'sin/)'=(2)fsinx2+2、(sinx2)f

=1XIn2sinx2+Tcosx2(x2)z

=2'In2sinx2+2x2vcosx2

2.設，求.

解；y'=-sin2v2rIn2-2xcosx2

3.設，求.

解：由導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則得

y=(In2x)f+(e-3ry=-3e-3x

x

4.設y,求.

7

解因為y=X，+21nx

7-2

所以y'=-x4+-

4x

5.設，求.

解?：由導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則得

dy=d（esinA+tanx）

=d(esin')+d(tanx)

1

=eMntd(sinx)+——dx

COS-X

1

=es,nicosxdr+———dr

COS-X

=(esinrcosx+—^-)dr

COS-X

6.已知，求.

解：因為

J1

f\x)=2'In2cosx-2'sinx

1-x\+x

=2'[In2-cosx-sinx]-------

1-x2

2

所以dy=2'(In2?cosx-sinx)dx--------d.v

\-x~

7.設，求.

解：因為

所以dv=ydv=----]=--------7出

■⑵(2A--1)2_

8.設，求.

解：因為=

ln(l-0)

所以y（o）==0

(I-O)2

四、應用題

I.某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)

律為（為需求量，為價格）.試求：

（1）成本函數(shù)，收入函數(shù)；（2）產(chǎn)量為多少噸時利潤最大？

解（1）成本函數(shù)=60+2000.

因為，即，

所以收入函數(shù)==（）=.

（2）因為利潤函數(shù)=

-(60+2000)=40-2000

且=(40-2000=40-0.2

令=0,即40-0.2=0,得=200,它是在其定義域內(nèi)的唯一駐點.

所以，二200是利潤函數(shù)的最大值點，即當產(chǎn)量為200噸時利潤最大.

2.設生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為（萬元），其中為產(chǎn)量，單位：百噸.銷售百噸時的邊際收入為

（萬元/百噸），求：

⑴利潤最大時的產(chǎn)量；

⑵在利潤最大時的產(chǎn)量的基礎上再生產(chǎn)百噸，利潤會發(fā)生什么變化？

解：⑴因為邊際成本為，邊際利潤

L\x）=R\x）-C\x）=\0-2x

令，得可以驗證為利潤函數(shù)的最大值點.因此，當產(chǎn)量為百噸時利潤最大.……

⑵當產(chǎn)量由百盹增加至百噸時，利潤改變量為

AL=0-2x）d.r=（1Ox-x2）|^=-1（萬元）

即利潤將減少1萬元.

3.設生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位時的成本函數(shù)為：（萬元），求：

（D當時的總成本和平均成本；（2）當產(chǎn)量為多少時，平均成本最?。?/p>

解：⑴因為總成本、平均成本和邊際成本分別為：

C（x）=100+x2+6x

-、100/

C（zx）=-----+x+6,

x

所以，C（10）=100+lxl02+6x10=260

（2）C（x）=一一-+1

X

令，得（舍去），可以驗證是的最小值點，所以當時，平均成本最小.

4.生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為（萬元/百臺），邊際收入為（萬元/百臺），其中為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多

少時，利潤最大？從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)百臺，利潤有什么變化？

解:

令得（百臺），可以驗證是是的最大值點，即當產(chǎn)量為臺時，利潤最大.

L==j^（l20-6x）dr=（120x-3x2）|^=-12

即從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)百臺，利潤將減少萬元

5.已知某產(chǎn)品的邊際成本（萬元/百臺），為產(chǎn)量（百臺），固定成本為18（萬元），求⑴該產(chǎn)品

的平均成本.⑵最低平均成本.

解：（1）

平均成本函數(shù)3=色@=24-3+竺

qq

,令，解得唯一駐點（百臺）

因為平均成本存在最小值，口駐點唯一，所以，當產(chǎn)量為60（）臺時.可使平均成本達到最低.

(2)最低平均成本為C(6)=2x6-3+二=12(萬元/百臺)

6

6.生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元/百臺)，邊際收入為(萬元/百臺)，其中x為產(chǎn)量，問

(1)產(chǎn)量為多少時，利潤最大？

(2)從利潤最大時的產(chǎn)審再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？(較難)(熟練掌握)

解(1)L\x)=R\x)-C\x)=(100-2x)-8x=100-1Ox

令〃(x)=0得x=10(百臺)

又是的唯一駐點，根據(jù)問題的實際意義可知存在最大值，故是的最大值點，即當產(chǎn)量為10(百

臺)時，利潤最大.

(2)L=J：Z/(x)dx=J：(100—10x)dx=(100x—5/)m=一20

即從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤將減少20萬元.

三、積分學部分復習

第1章不定積分

1.理解原函數(shù)與不定積分概念。

這里要解決下面幾個問題：

(1)什么是原函數(shù)？

若函數(shù)的導數(shù)等于，即，則稱函數(shù)是的原函數(shù)。

(2)原函數(shù)不是唯一的。

由于常數(shù)的導數(shù)是0,故都是的原函數(shù)(其中是任意常數(shù))。

(3)什么是不定積分？

原函數(shù)的全體(其中是任意常數(shù))稱為的不定枳分，記為=。

(4)知道不定積分與導數(shù)(微分)之間的關系。

不定積分與導數(shù)(微分)之間互為逆運算，即先積分，再求導，等于它本身：先求

導，再積分，等于函數(shù)加上一個任意常數(shù)，即

(J/(x)dx)r=/(x),d(Jf(x)dx)=/(x)dx,

f=f(x)+c,jd/,(x)=/(x)+c

2.熟練掌握不定積分的計算方法。

常用的枳分方法有

(1)運用積分基本公式直接進行積分；

(2)第一換元積分法(湊微分法)；

(3)分部積分法，主要掌握被積函數(shù)是以下類型的不定枳分：

①幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘；

②呆函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘；

③幕函數(shù)與正(余)弦函數(shù)相乘；

第2章定積分

1.了解定積分的概念，知道奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分結果.

要區(qū)別不定積分與定積分之間的關系。定積分的結果是一個數(shù)，而不定積分的結果是一個表達式。

奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分有以下結果：

若是奇函數(shù)，則有

若是偶函數(shù)，則有

2.熟練掌握定積分的計算方法。

常用的積分方法有

（1）運用積分基本公式直接進行積分；

（2）第一換元積分法（湊微分法）；

注意：定積分換元，一定要換上、下限，然后直接計算其值（不要還原成原變量的函數(shù)）.

（3）分部積分法，主要掌握被積函數(shù)是以下類型的定積分：

①轅函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘；

②基函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘；

③累函數(shù)與正（余）弦函數(shù)相乘；

3.知道無窮限積分的收斂概念，會求簡單的無窮限積分。

第3章積分應用

1.掌握用定積分求簡單平面曲線圍成圖形的面積。

（1）求平圖形面積的一般步驟：

（2）畫出所圍平面圖形的草圖；

求出各有關曲線的交點及邊界點，以確定積分上下限：

利用定積分的幾何意義（即上述各式），確定代表所求的定積分。

2.熟練掌握用不定積分和定枳分求總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)或其增量的方法。

3.了解微分方程的幾個概念：微分方程、階、解（通解、特解）線性方程等；掌握簡單的可分離變量的

微分方程的解法，會求一階線性微分方程的解。

四、線性代數(shù)部分復習

第1章行列式

1.了解或理解一些基本概念

（1）了解〃階行列式、余子式、代數(shù)余子式等概念；

（2）了解n階行列式性質(zhì)，尤其是：

性質(zhì)1行列式。與其轉(zhuǎn)置行列式0T相等；

性質(zhì)2若將行列式的任意兩行（或列）互換，則行列式的值改變符號；

性質(zhì)3行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式記號的外面；

性質(zhì)5若將行列式的某一行（或列）的倍數(shù)加到另一行（或列）對應的元素上，則行列式的值不變.

2.掌握行列式的計算方法

化三角形法：利用行列式性質(zhì)化成上（或下）三角行列式，其主對角線元素的乘枳即為行列式的值。

降階法：利用性質(zhì)將行列式f勺一行（列）化成只有一個（或兩個）非零元素，然后按這零元素最多的

行（或列）化成低一階行列式，直至降到三階或二階行列式，最后直接計算。

3.知道克拉默法則.

第2章矩陣

1.了解或理解一些基本概念

（1）了解矩陣和矩陣相等的概念；

（2）了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角形矩陣和對稱矩陣的定義和性質(zhì)；

（3）理解矩陣可逆與逆矩陣概念，知道矩陣可逆的條件：

（4）了解矩陣秩的概念；

（5）理解矩陣初等行變換的概念。

2.熟練掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等運算，掌握這幾種運算的有關性質(zhì)；

3.熟練掌握用矩陣的初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣、行簡化階梯形矩際，熟練掌握用矩陣的初等行

變換求矩陣的秩、逆矩陣。

第3章線性方程組

1.了解線性方程組的有關概念:n元線性方程組、線性方程組的矩陣表示、系數(shù)矩陣、增廣矩陣、一般解。

2.理解并熟練掌握線性方程組的有解判定定理,熟練掌握用消元法求線性方程組的一般解.

五、課程綜合練習

單項選擇題

1.若函數(shù)，則（）.

A.-2B.-1C.-1.5D.1.5

正確答案:A

2,下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）.

A.B.

C.D.

正確答案:D

3.函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是（）.

A.B.C.D.

正確答案:A

4.曲線在點（0,1）處的切線能?率為（）.

A.B.C,D.

正確答案：B

5.設，則=（）.

A.B.C.D.

正確答案:C

6.下列積分值為0的是（）.

A.B.

C.D.

正確答案:C

7.設，，是單位矩陣，則=（）.

A.B.C.D.

正確答案:A

8.設為同階方陣，則下列命題正確的是..）.

A.若，則必有或

B.若，則必有,

C.若秩，秩，則秩

D.（AB）-'

正確答案：B

9.當條件..）成立時，元線性方程組有解.

A…B…C……D.

正確答案：D

蔣玉蘭：關于這題，上午我們一些輔導教師還在說難了點。因為按常規(guī)思維學生就理解成了非齊次線性方

程組了，所以容易錯選成B。

10.設線性方程組有惟一解，則相應的齊次方程組）.

A.無解B.只有0解C.有非。解D.解不能確定

正確答案:B

填空期

1.函數(shù)的定義域是.

應該填寫：

2.如果函數(shù)對任意xl,x2,當xlvx2時，有,則稱是單調(diào)減少的.

應該填寫：

3.已知，當時，為無窮小量.

應該填寫：

4.過曲線上的一點（0,1）的切線方程為

應該填寫：

5.若，則=.

應該填寫：

6.=.

應該填寫：

7.設，當時，是對稱矩陣.

應該填寫:0

8.設均為n階矩陣，其中可逆，則矩陣方程的解

應該填寫：

9.設齊次線性方程組，且=r<n,則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于

應該填寫:n-r

10?線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為

12010

%T042-11

0000J+1

則當=時，方程組有無窮多解.

應該填寫：-1

計算題

1.設，求....

解：因為=

所以/(0)=

U一⑺

2.設，求.

解：因為

sinyfx

所以dy二(42xe')dv

3.

解

=x(lnA-1)--cos2x+C

4.

解:

2A/1+lnx72(6-1)

I

5.設矩陣,，計算.

解：因為=

-

--6ror

+22—20

-4202

且BAT+C=

所以

6.設矩陣，求.

解:因為

01001-10100

01110010-5-31

00-1-6-4100164-1

100-4-31

010-5-31

00164-1

-4-31

即A-5-3

64

-4-3

所以A-1B=-5-3

64

7.求線性方程組的一般解.

解：因為系數(shù)矩陣

102-1102-1

A=-11—32—01-11

2-15-3j[0-11-1

102-1

■01-11

0000

所以一般解為（其中，是自由未知量）

8.當取何值時，線性方程組有解？并求一般解.

1111

解因為增廣矩陣X=21-42

-1051

1111]F10-5-1