§7.3二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

【考試要求】1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組2了解二元一次不等式的幾何意義，

能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)

題，并能加以解決.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域

不等式表示區(qū)域

At+By+OO直線Ar+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組不包括________

成的平面區(qū)域包括________

不等式組各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的________

2.線性規(guī)劃中的基本概念

名稱意義

約束條件由變量x,y組成的________

線性約束條件由x,y的________不等式（或方程）組成的不等式組

目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù)解析式，如z=2x+3y等

線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的________解析式

可行解滿足線性約束條件的解________

可行域所有可行解組成的________

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得______________或________的可行解

在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的_______或

線性規(guī)劃問(wèn)題

________問(wèn)題

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（I）二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的交集.（）

（2）不等式AY+B-V+CO表示的平面區(qū)域一定在直線Ar+8.v+C=0的上方.（）

⑶點(diǎn)（方,）U），（工2,）2）在直線Ax+8y+C=O同側(cè)的充要條件是（4門+協(xié)1+。）（412+8）2+。＞0,

在異側(cè)的充要條件是（八用+砌，1+。（40+為2+。＜0.（）

（4）目標(biāo)函數(shù)z=ax+勿（AWO）中，z的幾何意義是直線ai+勿一z=0在），軸上的截距.（）

【教材改編題】

1.某校對(duì)高三美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績(jī)x不低于95分，文化課總分），高于380分,

體育成績(jī)z超過(guò)45分，用不等式表示就是（）

x295,x295,

A.<y2380,B.?y>380,

z>45,z245

r>95,，力95,

C：)>380,DZy>380,

.z>45z>45

X-y+1<0>

2.不等式組葉廠32。表示的平面區(qū)域（陰影部分）匙）

y—x—4W0,

3.已知實(shí)數(shù)x,），滿足"+l—4<0,則z=x+2y的最大值是（）

A.-1B.5C.8D.7

■探究核心題型

題型一二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域

介上

例1（1）（2022?成都模擬）在坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組pWx+2,所表示的平面區(qū)域的面積為

x近1

（）

3

A，2B.3C.1D.2

聽(tīng)課記錄：

x+y—220,

（2）（2023?西安模擬）已知不等式組，2x—y<0,表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)

&-），+220

數(shù)A的取值范圍是.

聽(tīng)課記錄：____________________________________________________________

思維升華平面區(qū)域的形狀問(wèn)題主要有兩種題型

（1）確定平面區(qū)域的形狀，求解時(shí)先作出滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀.

（2）根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問(wèn)題，求解時(shí)通常先作出滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對(duì)

參數(shù)進(jìn)行必要的討論.

跟蹤訓(xùn)練1⑴設(shè)x,y￡R,則“方+1一然一2y+1W0”是“x+yW4”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

eo,

（2）（2022?西安模擬）若不等式組，x+y22,所表示的平面區(qū)域被直線y=6+2分成面積相

等的兩個(gè)部分，則實(shí)數(shù)上的值為（）

A.1B.2C.3D.4

題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題

命題點(diǎn)1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值

x+y22,

例2（2022.全國(guó)乙卷）若■y滿足約束條件上+2〉W4,則z=2x—y的最大值是（）

j20,

A.-2B.4C.8D.12

聽(tīng)課記錄：__________________________________________________________________

命題點(diǎn)2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值

x+120,

例3（1）若實(shí)數(shù)x,），滿足約束條件何+），+120，則z=v[+二3的取值范圍是（）

y—2W0,

A.[—3,1）

B.（—8,—3]U（1,+8）

C.[一3,3]

D.(一8,-3]U[3,+8)

聽(tīng)課記錄：__________________________________________________________________

2x-yW0,

rb，-3W0,則(LiF+j2的最小值為()

1x20,

A.1B.'C.D.2

聽(tīng)課記錄：__________________________________________________________________

命題點(diǎn)3求參數(shù)值或取值范圍

21一戶0,

例4若實(shí)數(shù)x,y滿足且z=3x+y的最大值為8,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

jW—x+2m,

A.0B.1C.2D.3

聽(tīng)課記錄：__________________________________________________________________

思維升華常見(jiàn)的三類目標(biāo)函數(shù)

(1)微距型：形如z=or+力y.

(2)距離型：形如z=(A—a)2+(y—b)2.

(3)斜率型：形如2=三^.

工十憐4,

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2021.全國(guó)乙卷)若-)，滿足約束條件，L3W2,則z=3x+y的最小值為

jW3,

()

A.18B.10

C.6D.4

3—)，+220,

(2)(2022?西寧模擬)如果點(diǎn)P(x,y)在平面區(qū)域?x-2y+lW0,上，則/+尸+2)，的最小值

2W0

是(

49

~-

A.55

C.1D.2

x+廠2W0,

（3）（2023?呼和浩特模擬）已知心），滿足y一2），一2忘0,若z=_y一以取得最大值的最優(yōu)解不

、2x-y+220,

唯一，則。的值為.

題型三實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問(wèn)題

例5（2022?銀川模擬）快遞行業(yè)的高速發(fā)展極大地滿足了人們的購(gòu)物需求，也提供了大量的就

業(yè)崗位，出現(xiàn)了大批快遞員.某快遞公司接到甲、乙兩批快件，基本數(shù)據(jù)如表：

體積（立方分米/件）重量（千克，件）快遞員工資（元/件）

甲批快件20108

乙批快件102010

快遞員小馬接受派送任務(wù)，小馬的送貨車載貨的最大容積為350立方分米，最大載重量為250

千克，小馬一次送貨可獲得的工資最多為（）

A.150元B.170元

C.180元D.200元

聽(tīng)課記錄：________________________________________________________________________

思維升華解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟

（1）轉(zhuǎn)化——設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題；

（2）求解——解這個(gè)純數(shù)學(xué)妁線性規(guī)劃問(wèn)題：

（3）作答——將線性規(guī)劃問(wèn)題的答案還原為實(shí)際問(wèn)題的將案.

跟蹤訓(xùn)練3某企業(yè)在“精準(zhǔn)扶貧”行動(dòng)中，決定幫助一貧困山區(qū)將水果運(yùn)出銷售.現(xiàn)有8輛

甲型車和4輛乙型車，甲型車每次最多能運(yùn)6噸且每天能運(yùn)4次，乙型車每次最多能運(yùn)10

噸且每天能運(yùn)3次，甲型車每天的費(fèi)用為320元，乙型左每天的費(fèi)用為504元.若需要一天

內(nèi)把180噸水果運(yùn)輸?shù)交疖囌?，則通過(guò)合理調(diào)配車輛，運(yùn)送這批水果的費(fèi)用最少為（）

A.2400元B.2560元

C.2816元D.4576元

§7.3二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

【考試要求】I.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組2了解二元一次不等式的幾何意義，

能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)

題，并能加以解決.

-落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域

不等式表示區(qū)域

Ax+By+OO直線Ar+8)，+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組不包括邊界

Av+By+OO成的平面區(qū)域包括邊界

不等式組各個(gè)不等式袤示的平面區(qū)域的公共部分

2.線性規(guī)劃中的基本概念

名稱意義

約束條件由變量x,y組成的不等式(組)

線性約束條件由x,y的二也不等式(或方程)組成的不等式組

目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù)解析式，如Z=2Y+3.V等

線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式

可行解滿足線性約束條件的解化」1

可行域所有可行解組成的集合

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所展示的平面區(qū)域的交集.(J)

⑵不等式Ax+8.y+C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ar+8.v+C=0的上方.(X)

(3)點(diǎn)(1|,”)在直線Ai+8y+C=0同側(cè)的充要條件是(Ari+8yi+C)(AH+8y2+C)>(),

在異側(cè)的充要條件是(4片+By+C)(A￥2+B.y2+C)vO.(V)

(4)目標(biāo)函數(shù)z=ax+b.vSWO)中，z的幾何意義是直線ax+〃y—z=0在y軸上的極距.(X)

【教材改編題】

1.某校對(duì)高三美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績(jī)x不低于95分，文化課總分y高于380分,

體育成績(jī)z超過(guò)45分，用不等式表示就是（）

x295,x295,

A.<y2380,B?y>380,

z>45,z245

r>95,95,

C;)>380,D.<>>380,

.z>45.z>45

答案D

解析“不低于”即“2”，“高于”即“>"，“超過(guò)”即“>”，

所以x295,)，>38O,z>45.

X-y+1<0>

2.不等式組，-2。表示的平面區(qū)域（陰影部分.）

答案D

解析將點(diǎn)（0,0）代入x—丁+1<0不成立，

則點(diǎn)（0,0）不在不等式工一），+1<（）所表示的平面區(qū)域內(nèi)，

將點(diǎn)（0,0）代入x+y—320不成立，

則點(diǎn)（00）不在不等式x+y—320所表示的平面區(qū)域內(nèi)，

所以表示的平面區(qū)域不包括原點(diǎn)，排除A,C；

工一丁+1<0不包括邊界，用虛線表示，工+），-320包括邊界，用實(shí)線表示，故選D.

y—x—4W0,

3.已知實(shí)數(shù)x,），滿足"+L4W0,則z=x+2y的最大值是（）

j.l,

A.-1B.5C.8D.7

答案C

解析作出可行域，如圖陰影部分（含邊界）所示,

z=x+2y即為產(chǎn)一5+水平移直線尸—p知直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)z最大.

x—y+4=0,fx=O,

由）?，八解得），即A（0,4）,

x+y—4=0,ly=4,

此時(shí)Zmax=0+2X4=8.

■探究核心題型

題型一二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域

劃，

例1（1）（2022?成都模擬）在坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組＜3Sx+2,所表示的平面區(qū)域的面積為

（）

3

A，2B.3C.1D.2

答案B

解析由不等式組可得其表示的平面區(qū)域如圖陰影部分（含邊界）所示，

丫=1

由二9得41,1）；

得5(1,3)；

y=x+2,

由f一得。(一1,1)；

ly=H，

；.OA=?BC=2yf2,OC=小,

XOC1BC,OA//BC,

???陰影部分面積S=4OA+80.OC=：X3啦X啦=3.

x+y—220,

(2)(2023?西安模擬)已知不等式組，2x-><0,表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)

&->+220

數(shù)A的取值范圍是.

答案(一1,2)

x+y-220,

解析畫不等式組，2x—)W0,表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，

用一)1+220

￡r-y+2=0

直線履一y+2=0與y軸的交點(diǎn)為(0,2),要使平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，

由圖得上(-1,2).

思維升華平面區(qū)域的形狀問(wèn)題主要有兩種題型

(1)確定平面區(qū)域的形狀，求解時(shí)先作出滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀.

(2)根據(jù)平面區(qū)域的形狀求湃參數(shù)問(wèn)題，求解時(shí)通常先作出滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對(duì)

參數(shù)進(jìn)行必要的討論.

跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)x,y￡R,則“爐十9一2)，+1<0”是“x+)W4”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析F+V—^—Zy+lWO可表示為(工一1尸+。-1)2《1,

即(X,y)在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上及其內(nèi)部，

x+yW4表示(x,y)在直線x+y=4上及其左下方，

如圖所示，

由圖象知，“$+產(chǎn)一2r—2y+lW0”是“x+）W4”的充分不必要條件.

x20,

（2）（2022?西安模擬）若不等式組卜+）。2,所表示的平面區(qū)域被直線），=履+2分成面積相

,3x+yW5

等的兩個(gè)部分，則實(shí)數(shù)Z的值為（）

A.IB.2C.3D.4

答案A

解析作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分（含邊界）所示.

由圖可知，可行域?yàn)椤鰽BC及其內(nèi)部，

因?yàn)橹本€〉=履+2過(guò)△ABC的頂點(diǎn)。（0,2）,

所以要使直線,，=履+2將可行域分成面積相等的兩部分,

則直線y=履+2必過(guò)線段A8的中點(diǎn)。.

x+y=2,

由,

3x+y=5,

又8（0,5）,所以A8的中點(diǎn)喏，；）,

將D的坐標(biāo)代入直線y=h+2,

113

得寧=彳2+2,解得女=L

題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題

命題點(diǎn)1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值

x+），22,

例2（2022?全國(guó)乙卷）若X,），滿足約束條件r+2）W4,則z=2x-y的最大值是（）

）20，

A.-2B.4C.8D.12

答案C

解析方法一由題意作出可行域，如圖陰影部分（含邊界）所示,

轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x—y為y=2x—zt

上下平移直線y=2r-z,可得當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)（4,0）時(shí)，直線截距最小，z最大,

所以Zmax=2X4—0=8.故選C.

x+y=2,x=0,

方法二由得

x+2y=4,J=2,

此時(shí)z=2XO—2=—2；

x+y=2,x=2,

由,得,

尸0，)=0,

此時(shí)z=2X2-0=4；

x+2），=4,fx=4,

由；得八

［），=0,ly=0,

此時(shí)z=2X4—0=8.

綜上所述，z=2x—y的最大值為8.

命題點(diǎn)2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值

x+120,

例3（1）若實(shí)數(shù)-），滿足約束條件包+），+120，則z=Vv+一3的取值范圍是（）

y—2W0,

A.[-3,1)

B.(—8,—31U(I,+8)

C.[—3,3]

D.(一8,-3]U[3,+8)

答案B

x+120,

解析作出約束條件4120,表示的可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示.

2W0

其中點(diǎn)A(—1,0),|

目標(biāo)函數(shù)2==表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）與定點(diǎn)P（0,—3）確定的直線/的斜率k,

過(guò)點(diǎn)P的直線4）平行于直線x—y—2=0,其斜率為1,過(guò)點(diǎn)P的直線八經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（-1,0）,其

斜率為一3,

直線/從直線4）（不含直線!o）繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線-含直線3的位置，則上W—3或心＞1,

y+3

所以z=七一的取值范圍是（-8,-3]U（I,4-00）.

2x-yW0,

x+y—3W0,則（%一?產(chǎn)+產(chǎn)的最小值為（）

1x20,

A.1B.,C.D.2

答案B

解析結(jié)合題意作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分（含邊界）所示,

而a—ip+y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與(1,0)的距離的平方，

2

又(1,0)到直線2x~y=0的距離為近，

4

故(工-1)2+)2的最小值為

命題點(diǎn)3求參數(shù)值或取值范圍

3一憐0,

例4若實(shí)數(shù)x,y滿足卜2x，旦z=3x+),的最大值為8,則實(shí)數(shù)E的值為()

jW-x+2/〃，

A.0B.1C.2D.3

答案C

2t—y20,

解析畫出不等式組上表示的可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，0(0,0),

jW-x+2m

Jim4m\

⑼，長(zhǎng)尹—y

3x+v=0

由圖中直線斜率關(guān)系知，

當(dāng)直線)，=—3x+z向上平移時(shí)，依次經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,B,A

故經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z有最大值4/〃，由4〃?=8,得〃1=2.

思維升華常見(jiàn)的三類目標(biāo)函數(shù)

(1)截距型：形如z=ax+by.

(2)距離型：形如z=(x—〃)2+(y—〃)2

(3)斜率型：彩如2=上*

工+>24,

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2021.全國(guó)乙卷)若x,)，滿足約束條件,x—yW2,則z=3x+y的最小值為

、)W3,

()

A.18B.10C.6D.4

答案C

解析方法一（數(shù)形結(jié)合法）作出可行域如圖中陰影部分（含邊界）所示，作出直線），=—3心

并平移，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直設(shè)y=-3x+z在），軸上的截距最小,

即z最小.

x+v^41

解方程組C'得/即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,3）.從而z=3x+y的最小值為3X1+3

），=3）=3,

=6.

方法二（代點(diǎn)比較法）畫圖易知，題設(shè)不等式組對(duì)應(yīng)的可行域是封閉的三角形區(qū)域，所以只

需要比較三角形區(qū)域三個(gè)頂點(diǎn)處的z的大小即可.

易知直線x+y=4與y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）,直線x+.y=4與x-y=2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,1）,

直線x—,，=2與y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5,3）,將這三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入z=3x+y可得z的值

分別為6,10,18,所以比較可知Zmin=6.

方法三（巧用不等式的性質(zhì)）因?yàn)閤+y24,所以3x+3.y212.①

因?yàn)閥W3,所以一2y2-6.②

于是，由①+②可得3x+3y+（-2y）212+（-6）,即3x+y26,

當(dāng)且僅當(dāng)x+），=4且），=3,即x=l,y=3時(shí)不等式取等號(hào)，易知此時(shí)不等式x—yW2成立.

2A—y+2>0,

（2）（2022.西寧模擬）如果點(diǎn)P（x,y）在平面區(qū)域，x—2y+lW0，上，則2y的最小值

.x+y—2W0

是（）

49

A.gB.gC.1D.2

答案A

'2x-y+220,

解析如圖，作出<x—2y+lW0,表示的可行域，即圖中△ABC區(qū)域（包含邊界），

.x+y—2W0

O2\x

x+y-2=()

而x2+＞2+2_）=/+（），+1）2—1,設(shè)點(diǎn)。（0,—1）,

則/+）2+2），表示的是點(diǎn)P（x,y）和點(diǎn)Q（0,—1）的距離的平方減去1,

x—2y+1=0,

由圖可知，聯(lián)立1,c解得4（1,1）,而B（—1,0）,

x+j—2=0,

則BQ=、12+]2=啦,A0r[+22=小,

又Q到直線AB的距離d=#多

且￥^＜也＜小，

所以當(dāng)PQ_LA8時(shí)，PQ最小，

則x2+，+2y的最小值為（3坐）2—1=,.

x+y—2W0,

（3）（2023呼和浩特模擬）已知X,），滿足一—2廠2W0,若z=y一必取得最大值的最優(yōu)解不

2A—yI22，

唯一，則〃的值為.

答案一1或2

解析作出可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示，

\Z+y-2=（）

2r+2="；

l:y-ax=O

作直線/：y—ax=0,由z=y—or,得y=ar+z,a是斜率，z是縱截距，直線向上平移，z

增大，

因此要使最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線/與48或AC平行，

所以a=—\或4=2.

題型三實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問(wèn)題

例5（20224艮川模擬）快遞行業(yè)的高速發(fā)展極大地滿足了人們的購(gòu)物需求，也提供了大量的就

業(yè)崗位，出現(xiàn)了大批快遞員.某快遞公司接到甲、乙兩批快件，基本數(shù)據(jù)如表：

體積（立方分米/件）重量（千克/件）|快遞員工資（元/件）

甲批

20108

快件

乙批102010

快件

快遞員小馬接受派送任務(wù)，小馬的送貨車載貨的最大容積為35()立方分米，最大載重量為250

千克，小馬一次送貨可獲得的工資最多為()

A.150元B.170元

C.18()元D.200元

答案B

解析設(shè)一次派送甲批快件x件、乙批快件)，件，

20x4-10><35(),

則x,y滿足｛10x+20)，W250,

.x,)，￡N,

2r+yW35,

即“+2yW25,

N,

小馬派送完畢獲得的工資z=8x+10y(元),

畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示,

2x+y=35,x=!5,

由'解得

x+2y=25,尸5,

易知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)M(15,5)處取得最大值，

故Zmax=8X15+10X5=170(元).

所以小馬一次送貨可獲得的工資最多為170元.

思維升華解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟

(1)轉(zhuǎn)化——設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題；

(2)求解——解這個(gè)純教學(xué)的線性規(guī)劃問(wèn)題；

(3)作答——將線性規(guī)劃問(wèn)題的答案還原為實(shí)際問(wèn)題的答案.

跟蹤訓(xùn)練3某企業(yè)在“精準(zhǔn)扶貧”行動(dòng)中，決定幫助一貧困山區(qū)將水果運(yùn)出銷售.現(xiàn)有8輛

甲型車和4輛乙型車，甲型車每次最多能運(yùn)6噸且每天能運(yùn)4次，乙型車每次最多能運(yùn)10

噸且每天能運(yùn)3次，甲型車每天的費(fèi)用為320元，乙型主每天的費(fèi)用為504元.若需要一天

內(nèi)把180噸水果運(yùn)輸?shù)交疖囌?，則通過(guò)合理調(diào)配車輛，運(yùn)送這批水果的費(fèi)用最少為()

A.2400元B.2560元

C.2816元D.4576元

答案B

0WyW4,

解析設(shè)甲型車X輛，乙型車J輛，運(yùn)送這批水果的費(fèi)用為Z元，則〈一

24x+3QyE80,

、x￡N,)，￡N,

畫出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示.

目標(biāo)函數(shù)z=320x+504y,

作直線320x+504)，-0并平移，結(jié)合實(shí)際情況分析可得當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(8,0)時(shí)，z取得最小值,

即Zmin=8X320+0X504=2560（元）.

課時(shí)精練

生基礎(chǔ)保分練

1.(2023?銅川模擬)已知點(diǎn)A(l,-2),B(—1.4)在直線x+2y—〃=0的同側(cè)，則實(shí)數(shù)b的取值

范圍為()

A.b>-3B.*-3或/?7

C.-3V0<7D.b<3或b>7

答案B

解析因?yàn)辄c(diǎn)A(l,-2),8(—1,4)在直線x+2y—b=()的同側(cè)，

所以(1一4一加(一1+8—〃)>0,即(。+3)出-7)>0,解得X-3或。>7.

2.已知『一尸=1的兩條漸近線與直線工=4圍成三角形區(qū)域，那么表示該區(qū)域的不等式組是

()

x-y^0,x—

A.<x+憐。，B《x+yWO,

0WxW4、0WxW4

x—）W0,x—jWO,

Dqf0,

C.x+yWO,

04W40WxW4

答案A

解析由于f—V=1的兩條漸近線方程為x+y=O和X—y=0,故表示與直線X=4圍成的

卜一冷0,

三角形區(qū)域?yàn)閎+y2O,

y20,

3.（2023?咸陽(yáng)模擬）不等式組），20,表示的可行域的面積為（）

7x-5><14

A.6B.7C.12D.14

答案B

解析作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分（含邊界）所示.

由圖可知，可行域的面積為:X2X7=7.

3x+y—720,

4.（2023?寶雞模擬）已知x,y滿足約束條件"?一2y+8W0,且z=2r+y,貝火）

A.z有最大值，也有最小值

B.z有最大值，無(wú)最小值

C.z有最小值，無(wú)最大值

D.z既無(wú)最大值，也無(wú)最小值

答案C

解析作出可行域如圖中陰影部分（含邊界）所示，為一個(gè)開(kāi)放區(qū)域.由z=2x+y,得），=—2x

+z,作出直線了=一2丫并平移，由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最小

值，無(wú)最大值.

5.不等式（工一2y+1）（工十），-3）W0在直角坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域（用陰影部分表示），應(yīng)是下

列圖形中的（）

x+v-3=0x+y-3=0

Vx-2v+l=0

答案C

x—2y+120,x—2y+1WO,

解析(x—2y+l)(x+y—3)W0等價(jià)于，或

x+y—3W0,t+y—32o,

即不等式表示的區(qū)域是同時(shí)在兩直線的上方部分或同時(shí)在兩直線的下方部分，只有選項(xiàng)C符

合題意.

工20,

6.不等式組4x+)W3,表示的平面區(qū)域?yàn)?。，直線），=h一1與區(qū)域。有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

j2x+1

A?的取值范圍為（）

A.（0,3]B.[-1,1]

C.（一8,3JD.[3,+8)

答案D

解析直線），=履一1過(guò)定點(diǎn)M（0,-1）,

由圖可知，當(dāng)直線y=H—I經(jīng)過(guò)直線y=x+I與直線x+y=3的交點(diǎn)C（l,2）時(shí)，A最小，此

時(shí)ACM=3,因此女23,即k￡[3,+8）.

工一憐0,

2x+3W6,則唔的最大值是（）

人I1

1x+y22,

73

A，2B.3C.2

答案D

解析如圖所示,

x-y=O,

由‘得41』）,

x+y=2,

2x+y=6,

得8(2,2),

—y=0,

3+y=6,

由‘得C(4,-2),

x+y=2,

卜一戶0,

所以平面區(qū)域，2Y+），W6,是由點(diǎn)8（2,2）,C（4,—2）圍成的三角形區(qū)域,

[x+y22

而堯表示點(diǎn)P（一1，-2[與可行域內(nèi)的點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率，所以宙的最大值是幻/>=

人I1I1

1+23

T+7=2

x+y+2<0,

8.若變量x,），滿足「一），+420,且的最大值為一1,則〃的值為（）

A.0B.1C.-1D.2

答案C

解析畫出不等式組表示的千面區(qū)域，如圖陰影部分（含邊界）所示，

令z=2x一y，則y=2x—z.

因?yàn)?x-y的最大值為一1,所以〃一），=一1與陰影部分的交點(diǎn)為陰影區(qū)域的一個(gè)頂點(diǎn)，由

圖象可知，當(dāng)直線2x—y=-1經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，z取得最大值，

\2x-y=-l[x=~1,

由t解得

卜+)，+2=0,卜=一1,

故a=—\.

9.已知點(diǎn)(IJ)在直線x+2y+〃=0的下方，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是.

答案(-8,-3)

解析因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在直線工+2y+》=0的下方，

所以1+2+X0,解得加一3.

%—)，+220,

10.已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組，2x+y—5W0,則z=x2+/的最大值為

J》I?

答案10

x—)1+220,

解析根據(jù)約束條件1"+)，一5<0,畫山可行域，如圖中陰影部分(合邊界)所示，

)21，

z=f+尸是指可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(%,y)與定點(diǎn)(0,0)之間的距離的平方，

由圖可知，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的平方最大，

由[Ly+2=。，

⑵+y一5=0,

x=l,

得.所以P(l,3),

1)=3,

故Zmax=12+32=10.

x+yNO,

11.(2022?銀川模擬)若實(shí)數(shù)x,y滿足條件，x—y+120，則僅一3丁|的最大值為

04Wl,

答案5

解析由約束條件作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，

A—1,

聯(lián)立,八解得A(l,-1),

Lv+y=O,

x=1

聯(lián)立二c解得8（1,2）.

U—y+l=O,

令z=x—3y,即），=U，由圖可知，當(dāng)直線y=U過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小,

z有最大值4；過(guò)點(diǎn)8時(shí)，直線在），軸上的截距最大，z有最小值一5.

所以|x—3y|的最大值為5.

JH出

^^9.#],2"少=0

:一;弋）

12.現(xiàn)某小型服裝廠鎖邊車間有鎖邊工10名，雜工15名，有7臺(tái)電腦機(jī)，每臺(tái)電腦機(jī)每天

可給12件衣服鎖邊：有5臺(tái)普通機(jī)，每臺(tái)普通機(jī)每天可?給10件衣服鎖邊.如果一天至少有

100件衣服需要鎖邊，用電腦機(jī)每臺(tái)需配鎖邊工1名，雜工2名，用普通機(jī)每臺(tái)需要配鎖邊

工I名，雜工1名，用電畫機(jī)給一件衣服鎖邊可獲利8元，用普通機(jī)給一件衣服鎖邊可獲利

6元，則該服裝廠鎖邊車間一天最多可獲利元.

答案780

解析設(shè)每天安排電腦機(jī)劉普通機(jī)各x,），臺(tái)，

則一天可獲利z=12X8x+10義6y=96x+60v,

”+戶10,

2x+）W15,

線性約束條件為〈⑵+10.v2100,畫出可行域（圖略），可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)（5,5）時(shí)，znm

04W7,

、0v）W5,

=780.

過(guò)綜合提升練