數(shù)學(xué)1.1數(shù)學(xué)觀察信息提取整體感知信息提取是學(xué)生從復(fù)雜材料中辨識、篩選、整合關(guān)鍵信息,并將其與已有知識體系建立關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵能力.作為思維過程的首要環(huán)節(jié),它不僅是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ),更是應(yīng)對多元化學(xué)習(xí)場景及未來挑戰(zhàn)的關(guān)鍵能力.信息提取能力主要包括閱讀理解能力、數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象能力.閱讀理解能力涵蓋了對數(shù)學(xué)敘述的透徹理解以及對數(shù)學(xué)問題的全面分析.主要包括:從數(shù)學(xué)的角度審視題目信息,利用題目中的條件聯(lián)想到相關(guān)的數(shù)學(xué)知識,以及將待解決或難以解決的問題轉(zhuǎn)化為更易處理或已有解決方案的問題.數(shù)學(xué)抽象能力是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象,得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并用數(shù)學(xué)語言予以表征.數(shù)學(xué)抽象能力是數(shù)學(xué)發(fā)展的靈魂,它貫穿于數(shù)學(xué)的創(chuàng)造、發(fā)展和應(yīng)用的整個過程,是形成理性思維的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)抽象能力展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的核心特質(zhì),使數(shù)學(xué)成為一個高度概括、表述精確、結(jié)論普遍適用、層次分明的系統(tǒng).直觀想象能力涉及運用幾何直觀和空間想象來感知對象的形狀及其演變,以及利用空間結(jié)構(gòu)(特別是圖形)來解答數(shù)學(xué)難題的技能.主要包括:借助空間視角理解事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路.高考通過文字、圖形、表格等多種方式呈現(xiàn)試題,加大了試題信息的廣度和容量,皆在考查學(xué)生從不同的材料中篩選、分類、概括、連接和轉(zhuǎn)述關(guān)鍵信息的能力.高考命題越來越注重對學(xué)生信息獲取與處理能力的評估,學(xué)生只有具備出色的信息提取能力,才能自信地面對未來的高考挑戰(zhàn).第一節(jié)閱讀理解能力能力闡釋閱讀理解能力是在閱讀的實踐中逐漸形成和發(fā)展的,它通過閱讀的成果和速度得以展現(xiàn),是一種能夠獨立地獲取數(shù)學(xué)知識、信息和解決問題的能力.它包括對由符號、字母、數(shù)字或文字所表達的數(shù)學(xué)關(guān)系式、命題、問題以及圖表、圖象、幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征的觀察;對相關(guān)定義、公理、定理、公式、性質(zhì)、法則等數(shù)學(xué)事實的聯(lián)想;以及將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,簡化復(fù)雜問題,尋找解題策略.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域,學(xué)生學(xué)習(xí)的核心已從知識應(yīng)用、數(shù)學(xué)運算、題型解析轉(zhuǎn)變?yōu)殚喿x理解、信息處理、語言表達和批判性思維這四項關(guān)鍵技能.這表明,提升學(xué)生的閱讀能力已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵.教師在教學(xué)過程中應(yīng)當恰當引導(dǎo)學(xué)生運用觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化等策略,以增強他們的語言轉(zhuǎn)換技能、數(shù)學(xué)概括技能和數(shù)學(xué)閱讀推理技能,進而幫助學(xué)生提升綜合素養(yǎng).能力表現(xiàn)數(shù)學(xué)是一門科學(xué),更是一種語言,數(shù)學(xué)教學(xué)同樣也是數(shù)學(xué)語言的教學(xué).數(shù)學(xué)閱讀是閱讀主體對數(shù)學(xué)材料信息加工的過程,是一種包含認知、理解、吸收和應(yīng)用的復(fù)雜的過程.進行數(shù)學(xué)閱讀理解的思維路徑如下:下面通過一個示例闡述數(shù)學(xué)閱讀理解的表現(xiàn):示例:(2024新高考Ⅱ卷,18)某投籃比賽分為兩個階段,每個參賽隊由兩名隊員組成,比賽具體規(guī)則如下:第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次,若3次都未投中,則該隊被淘汰,比賽成績?yōu)?分;若至少投中一次,則該隊進入第二階段,由該隊的另一名隊員投籃3次,每次投中得5分,未投中得0分,該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成,設(shè)甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽,求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率;(2)假設(shè)0<p<q,(ⅰ)為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大,應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?(ⅱ)為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大,應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?第一步:通讀互譯,掌握概貌先通讀,將題目中的文字語言和符號語言進行互譯:文字語言符號語言讀懂比賽規(guī)則兩人參賽,每人參加某一個階段的比賽如何才能進入第二階段比賽第一階段:3次都未投中,被淘汰;至少投中一次,進入第二階段比賽成績的得分總和即第二階段的得分總和第二步:精讀抽象,模式識別①確定題目中需要解決的問題.在參加第一階段人員確定的前提下,該隊的得分情況分析.根據(jù)對立事件的求法和獨立事件的乘法公式即可得到答案.②利用信息和條件對題目進行整體分析,識別模型.通過對題意的充分閱讀和理解,明確比賽成績的得分依據(jù),再進行對比計算.(ⅰ)首先各自計算出P甲=[1-(1-p)3]q3,P乙=[1-(1-q)3]p3,再作差因式分解即可判斷.(ⅱ)首先得到X和Y的所有可能取值,再按步驟列出分布列,計算出各自期望,再次作差比較大小即可.第三步:聯(lián)想遷移,推理轉(zhuǎn)化充分發(fā)揮想象力、判斷力和創(chuàng)新力,抓住問題的主要矛盾,精選問題中的關(guān)鍵變量,進行“化繁為簡”,借助圖形、數(shù)表以及已有數(shù)學(xué)知識建立起條件和結(jié)論之間的關(guān)系,推理遷移.本題第二問的關(guān)鍵是計算出甲、乙分別參加第一階段比賽的相關(guān)概率和期望,采用作差法并因式分解從而比較出大小關(guān)系,最后得到結(jié)論.第四步:再讀審視,調(diào)整完善(1)甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分,則甲第一階段至少投中1次,乙第二階段也至少投中1次,所以比賽成績不少于5分的概率P=(1-0.63)(1-0.53)=0.686.(2)(ⅰ)若甲先參加第一階段比賽,則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為P甲=[1-(1-p)3]q3,若乙先參加第一階段比賽,則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為P乙=[1-(1-q)3]p3.因為0<p<q,所以P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]=(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0,所以P甲>P乙,故應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

數(shù)學(xué)源于生活,該題以某比賽的參賽成績?yōu)檩d體,通過數(shù)學(xué)抽象、建模的過程考查離散型隨機變量分布列的相關(guān)知識,對數(shù)學(xué)閱讀理解能力、數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)運算能力要求較高.從近幾年高考題來看,高考數(shù)學(xué)對閱讀理解能力的考查已從隱性要求發(fā)展為顯性測評維度.預(yù)計未來考試可能會進一步增加動態(tài)數(shù)據(jù)、多模態(tài)信息的考查.因此,學(xué)生在日常練習(xí)中要注重“慢讀題,快建?！币庾R,迅速抓住問題的關(guān)鍵,運用所學(xué)知識進行推理和轉(zhuǎn)化,從而高效求解,鍛煉從復(fù)雜情境中抽象數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心能力.此外,還應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)與實際生活、科技發(fā)展的緊密聯(lián)系,以增強跨學(xué)科的綜合應(yīng)用能力.能力評價水平質(zhì)量描述水平一能夠理解數(shù)學(xué)概念、符號和規(guī)則的深層含義,明確數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論,并能在熟悉的情境中將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.在交流過程中,能夠明確所討論問題的內(nèi)涵,并有條理地表達自己的觀點水平二能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識與相關(guān)數(shù)學(xué)命題聯(lián)系起來,通過對條件和結(jié)果的深入分析,探索并構(gòu)建論證的邏輯路徑,選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行證明,并能用精確的數(shù)學(xué)語言清晰表述整個論證過程水平三能夠在復(fù)雜的情境下,運用數(shù)學(xué)的視角識別恰當?shù)难芯繉ο?并將其轉(zhuǎn)化為具有意義的數(shù)學(xué)問題高考鏈接高中數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)是現(xiàn)代教育不可或缺的一環(huán).基于核心素養(yǎng)的培養(yǎng),通過數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)的實踐,能夠提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和學(xué)科素養(yǎng),同時培養(yǎng)他們的思維能力,并激發(fā)對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣.重視思維方法和實踐能力的培養(yǎng),能夠調(diào)動學(xué)生的積極性,使數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)達到預(yù)期的實踐效果.在高考中,常在函數(shù)、向量、數(shù)列、統(tǒng)計與概率等知識模塊中進行閱讀理解的考查.近3年的高考中,閱讀理解試題的分布情況如下:關(guān)鍵能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全國甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全國甲卷全國乙卷閱讀理解數(shù)學(xué)觀察6,78,11,13

4,6,8理774,191,13理10數(shù)學(xué)聯(lián)想19198,11

理3,理1111,211220理3,文3數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化8,111819

11,164,10,14理5,文8,文11,理151.1數(shù)學(xué)觀察數(shù)學(xué)觀察是人們?nèi)嫔钊胝J識各類事物的重要途徑,也是學(xué)生在日常學(xué)習(xí)過程中必須培養(yǎng)的一種能力.在新高考從能力立意向價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變的背景下,通過觀察題目中符號、字母、數(shù)字或文字所表示的數(shù)學(xué)關(guān)系式、命題、問題及圖表、圖象、幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點,找到解題方向、提出猜想并驗證猜想,已成為解決部分高考題目的關(guān)鍵方法.

[思維路徑]

學(xué)友聊齋

[思維路徑]

學(xué)友聊齋例3

(2023新高考Ⅱ卷,19)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c),當c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.[思維路徑]

學(xué)友聊齋能

力訓(xùn)

練A組

基礎(chǔ)性題組題號選題理由1通過分析折線統(tǒng)計圖,可以計算出平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù);仔細觀察折線圖的變化,并結(jié)合方差的意義來進行判斷2閱讀題意,把握考點,然后數(shù)形結(jié)合,觀察圖象,即可得出結(jié)論3觀察函數(shù)解析式特點,結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,利用排除法求解4通過觀察條件式的結(jié)構(gòu)特點,準確選擇兩角和公式進行計算5審清端點取值以及所求問題,根據(jù)補集的含義即可得到答案(注:☆表示題目難度)1.☆(2025遼寧遼陽一模,多選題)為了豐富校園文化生活,展現(xiàn)學(xué)生的才藝風(fēng)采,激發(fā)學(xué)生的藝術(shù)創(chuàng)造力和表現(xiàn)力,某校舉行了“綻放青春,藝路有你”才藝大賽.甲、乙兩名同學(xué)才藝表演結(jié)束后,6位評委對甲、乙進行打分(滿分10分),得到如圖所示的折線統(tǒng)計圖,則(

BCD

)A.甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)B.甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)C.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)D.甲得分的方差大于乙得分的方差[解題過程]

甲、乙的得分從小到大排列如下,甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,甲得分的中位數(shù)為8.9,乙得分的中位數(shù)為8.6,甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù),故C正確;甲得分的眾數(shù)為8.9,乙得分的眾數(shù)為8.6,甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù),故B正確;

5.☆(2025上海卷,1)已知全集U={x|2≤x≤5,x∈R},集合A={x|2≤x<4,x∈R},則?UA=

{x|4≤x≤5,x∈R}

.

[解題過程]

根據(jù)補集的含義知?UA={x|4≤x≤5,x∈R}.B組

綜合性題組題號選題理由1通過閱讀理解,掌握解題的關(guān)鍵點,精確觀察圖象,運用弧長公式計算地球的半徑2通過觀察已知和問題的聯(lián)系,根據(jù)全概率公式和對立事件的概率公式求值即可3觀察等式特點,對其恰當變形,通過構(gòu)造新數(shù)列,求通項公式4借助圖形,觀察幾何關(guān)系,利用平行四邊形性質(zhì)、三角函數(shù)定義和余弦定理、中線向量表達式等進行判斷求解5考查正切兩角和與差公式,通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個已知式的關(guān)聯(lián)點,即可求解

C組

應(yīng)用性題組題號選題理由1務(wù)必明確集合A中元素所應(yīng)滿足的范圍2分析并觀察條件與問題之間的聯(lián)系,確立二者之間的突破點,進而解決最值問題3仔細閱讀題目,準確識別切入點,掌握關(guān)鍵要素,運用雙曲線的定義以及a,b,c之間的關(guān)系進行求解4觀察函數(shù)解析式,分析求導(dǎo)后式子的結(jié)構(gòu),代值運算即可求解5在處理概率統(tǒng)計問題時,必須進行徹底的閱讀、深入的理解,并準確地把握題目的意圖,仔細觀察其中的關(guān)系

[解題過程][方法1]由題意可知,f(x)的定義域為(-b,+∞).令x+a=0,解得x=-a;令ln(x+b)=0,解得x=1-b.若-a≤-b,當x∈(-b,1-b)時,可知x+a>0,ln(x+b)<0,此時f(x)<0,不合題意;若-b<-a<1-b,當x∈(-a,1-b)時,可知x+a>0,ln(x+b)<0,此時f(x)<0,不合題意;若-a=1-b,當x∈(-b,1-b)時,可知x+a<0,ln(x+b)<0,此時f(x)>0;當x∈[1-b,+∞)時,可知x+a≥0,ln(x+b)≥0,此時f(x)≥0,可知若-a=1-b,符合題意;若-a>1-b,當x∈(1-b,-a)時,可知x+a<0,ln(x+b)>0,此時f(x)