/一元一次不等式組與一元一次方程方程綜合應用-浙教版數(shù)學2025-2026學年八年級上冊培優(yōu)訓練一、選擇題1．對于x，符號[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如[3.14]=3，[?7.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．已知關于x的不等式組x>mx≤4至少有三個整數(shù)解，關于y的方程A．1 B．0 C．?1 D．?23．已知關于x的一元一次方程mx-2=-3x有整數(shù)解，且關于y的不等式組?2yA．-9 B．9 C．-12 D．124．若整數(shù)a使得關于x的不等式組6?2xA．6 B．5 C．3 D．2二、填空題5．若一元一次方程的根是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關聯(lián)方程”.若方程12?12x6．已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[5.7]=5，[?π]=?47．如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解，那么稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的關聯(lián)方程.若方程13x?1=0是關于x的不等式組三、解答題8．已知關于x，y的方程組2（1）若x+y=3，求實數(shù)m的值；（2）若3<x-y<6，化簡：|m-3|-|5m-12|.9．已知關于x的方程k-2x=3(k-2)的解為非負數(shù)，且關于x的不等式組x?2(10．定義：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的“相伴方程”，例如：方程2x﹣6＝0的解為x＝3，不等式組x?2>0x<5的解集為2＜x＜5．因為2＜3＜5，所以稱方程2x（1）下列方程是不等式組x+1>0x<2①x﹣1＝0②2x+1＝0③﹣2x﹣2＝0（2）若關于x的方程2x﹣k＝2是不等式組3x?6>4?x（3）若方程2x+4＝0，2x?13=?1都是關于x的不等式組(m11．為了節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計量，將居民的每月生活用水水價分為三個等級：一級：20噸及以下，二級：大于20噸，不超過30噸，三級：30噸以上.以下是小青家水費發(fā)票的部分信息：（居民生活水費＝自來水費＋污水處理費）（1）從以上信息可知，水費的收費標準（含污水處理費）：每月用水20噸及以內為元/噸，每月用水20～30噸（含30噸）為元/噸，30噸及以上為元/噸.（2）隨著氣溫的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所繳的水費為55.20元，請你計算小青家該月份的用水量為多少噸？（3）為了提倡節(jié)約用水，小青家打算將水費控制在不少于48元，不超過74元，那么用水量應該如何控制？12．生活中的數(shù)學某學校組織七、八年級學生進行研學活動，由學生會通過調研獲取信息供學校參考制定出行方案.經(jīng)學生會調查，得到以下信息.信息1某旅游公司只有60座客車14輛，45座客車25輛可供租用45座客車60座客車載客量（人/輛）4560租金（元/輛）250300信息2七年級若每位老師帶40名學生，則還剩10名學生沒老師帶；若每位老師帶41名學生，則恰好完成分配.信息3八年級師生如果租用45座的客車n輛，那么還有30人沒有座位；如果租用60座的客車可少租2輛，且正好坐滿.任務1（1）參加此次活動的七年級師生共有▲人；任務2（2）求參加此次活動的八年級師生共有多少人；任務3（3）學校計劃此次研學活動由七八年級師生共同租用兩種客車，要使每位師生都有座位，且每輛客車恰好坐滿，總費用不超過4800元，你能得出哪幾種不同的租車方案？請直接寫出具體的租車方案.

答案解析部分一、選擇題1．對于x，符號[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如[3.14]=3，[?7.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【知識點】不等式組和一元一次方程的綜合應用【解析】【解答】解：∵∴2≤解得：13整數(shù)有7，8，共2個，故選：B.【分析】根據(jù)已知得出2≤22．已知關于x的不等式組x>mx≤4至少有三個整數(shù)解，關于y的方程A．1 B．0 C．?1 D．?2【答案】D【知識點】一元一次不等式組的含參問題；不等式組和一元一次方程的綜合應用【解析】【解答】解：∵不等式組x>∴m<2解方程y?2m=6∵方程的解y為正數(shù)，∴2m∴m>?3∴m的取值范圍為：?3<m∴整數(shù)m的值為：?2，?1，0，1，∴整數(shù)m的值之和為：?2+(?1)+0+1=?2，故答案為：D．【分析】首先根據(jù)不等式組至少有三個整數(shù)解，可知整數(shù)解為4，3，2……，所以確定m<2；再根據(jù)方程y?2m=6解的情況確定m>?3．從而確定m的取值范圍為?3<3．已知關于x的一元一次方程mx-2=-3x有整數(shù)解，且關于y的不等式組?2yA．-9 B．9 C．-12 D．12【答案】A【知識點】已知一元一次方程的解求參數(shù)；一元一次不等式組的含參問題；不等式組和一元一次方程的綜合應用【解析】【解答】解：解方程mx-2=-3x.移項，得mx+3x=2.合并同類項，得(m+3)x=2.系數(shù)化為1，得x∵該方程有整數(shù)解，

∴m+3=±1或±2，

∴符合條件的整數(shù)m有-5，-4，-2，-1.解不等式組?2y<4,4?∵該不等式組有且只有4個整數(shù)解，∴2<8?m∴所有滿足條件的整數(shù)m的和是-5+(-4)=-9.故選：A.

【分析】根據(jù)“一元一次方程mx-2=-3x有整數(shù)解”得到參數(shù)m可能的值，再根據(jù)“不等式組?2y4．若整數(shù)a使得關于x的不等式組6?2xA．6 B．5 C．3 D．2【答案】D【知識點】一元一次不等式組的特殊解；已知一元一次方程的解求參數(shù)；不等式組和一元一次方程的綜合應用【解析】【解答】解：解不等式6-2x>0，得x<3.

解不等式2(x+a)≥x+3，得x≥3-2a，

∴3-2a≤x<3.∵不等式組至少有4個整數(shù)解，

∴3-2a≤-1，

解得a≥2.解方程1-3(y-2)=a，

得y∵該方程有非負整數(shù)解，

∴7?a3≥0,

解得a≤7，

∴2≤a≤7，

故選：D.

【分析】先根據(jù)不等式組有4個整數(shù)解，得出參數(shù)a的取值范圍，再根據(jù)參數(shù)方程有非負整數(shù)，得出參數(shù)a的正確取值范圍，最后取參數(shù)的整數(shù)解即可.二、填空題5．若一元一次方程的根是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關聯(lián)方程”.若方程12?12x【答案】0≤m<0.5【知識點】不等式組和一元一次方程的綜合應用【解析】【解答】解：由12?12x=12x，得x=0.5；由故答案為：0≤m<0.5.【分析】解不等式組得出m<6．已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[5.7]=5，[?π]=?4【答案】?【知識點】不等式組和一元一次方程的綜合應用【解析】【解答】解：由題意知x-1<[x]≤x，由3x?6[x]=10得[x]=3x?106，于是x?1<3x?106≤x

得?103≤x<?43，以下對x的范圍進行分類討論

①當?103≤x<?3時；[x]=-4，3x-6(-4)=10，得x=?7．如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解，那么稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的關聯(lián)方程.若方程13x?1=0是關于x的不等式組【答案】1≤n<3【知識點】已知二元一次方程的解求參數(shù)；不等式組和一元一次方程的綜合應用【解析】【解答】解：解方程13x?1=0,得x=3.

∵x=3是不等式組x?2≤n,2n?2x三、解答題8．已知關于x，y的方程組2（1）若x+y=3，求實數(shù)m的值；（2）若3<x-y<6，化簡：|m-3|-|5m-12|.【答案】（1）解：2①+②，得5x+5y=5m+15，

∴x+y=m+3.∵x+y=3，

∴m+3=3，

∴m=0（2）解：②-①，得x-y=5m-9.∵3<x-y<6，

∴3<5m-9<6，∵125<∴|m-3|-|5m-12|=3-m-5m+12=15-6m【知識點】已知二元一次方程組的解求參數(shù)；不等式組和一元一次方程的綜合應用【解析】【分析】⑴先解帶參數(shù)方程組，再結合條件作答.

⑵當題目中既涉及方程(組)又涉及不等式(組)時，需要分別求出滿足方程(組)和不等式(組)條件的參數(shù)的取值范圍，然后兩者結合取公共解即可，最后化簡絕對值即可.9．已知關于x的方程k-2x=3(k-2)的解為非負數(shù)，且關于x的不等式組x?2(【答案】解：解方程k-2x=3(k-2)，得x=3-k.∵方程的解為非負數(shù)，∴3-k≥0，

解得k≤3.x解不等式①，得x≥-1.解不等式②，得x≤k.∵不等式組有解，

∴k≥-1，

∴-1≤k≤3，∴所有符合條件的整數(shù)k的和為-1+0+1+2+3=5【知識點】一元一次不等式組的含參問題；不等式組和一元一次方程的綜合應用【解析】【分析】先求含參數(shù)方程的解，根據(jù)題意確定參數(shù)k的取值范圍；再求不等式組的解，結合題意得出k的特殊解.10．定義：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的“相伴方程”，例如：方程2x﹣6＝0的解為x＝3，不等式組x?2>0x<5的解集為2＜x＜5．因為2＜3＜5，所以稱方程2x（1）下列方程是不等式組x+1>0x<2①x﹣1＝0②2x+1＝0③﹣2x﹣2＝0（2）若關于x的方程2x﹣k＝2是不等式組3x?6>4?x（3）若方程2x+4＝0，2x?13=?1都是關于x的不等式組(m【答案】（1）①②（2）解：解不等式組3x?6>4?x解方程2x﹣k＝2得：x＝2+k∵關于x的方程2x﹣k＝2是不等式組3x∴52＜2+解得：3＜k≤4，即k的取值范圍是3＜k≤4；（3）解：解方程2x+4＝0得x＝﹣2，解方程2x∵方程2x+4＝0，2x?13所以分為兩種情況：①當m＜2時，不等式組為x>1此時不等式組的解集是x＞1，不符合題意，舍去；②當m＞2時，不等式組的解集是m﹣5≤x＜1，所以根據(jù)題意得：m>2解得：2＜m≤3，所以m的取值范圍是2＜m≤3．【知識點】不等式組和一元一次方程的綜合應用【解析】【解答】解：（1）解不等式組x+1>0x<2解①x﹣1＝0得，x=1，符合“相伴方程”的定義，符合題意；解②2x+1＝0得，x=-12解③﹣2x﹣2＝0得，x=-1，不符合“相伴方程”的定義，不符合題意；故填：①②

【分析】（1）逐一解出一元一次不等式組和一元一次方程檢驗是否符合“相伴方程”定義；

（2）用含k的式子表示一元一次方程2x﹣k＝2的解，直接解出不等式組3x?6>4?xx?1?411．為了節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計量，將居民的每月生活用水水價分為三個等級：一級：20噸及以下，二級：大于20噸，不超過30噸，三級：30噸以上.以下是小青家水費發(fā)票的部分信息：（居民生活水費＝自來水費＋污水處理費）（1）從以上信息可知，水費的收費標準（含污水處理費）：每月用水20噸及以內為元/噸，每月用水20～30噸（含30噸）為元/噸，30噸及以上為元/噸.（2）隨著氣溫的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所繳的水費為55.20元，請你計算小青家該月份的用水量為多少噸？（3）為了提倡節(jié)約用水，小青家打算將水費控制在不少于48元，不超過74元，那么用水量應該如何控制？【答案】（1）1.8；2.4；3.5（2）解：設月用水量為x噸．∵當0≤x≤20時，水費為：1.8x當20<x≤30時，水費為：36+2.4(x-20)當x>30時，水費為：60+3.5(x-30)∵小青家2月份繳水費55.20元∴36<55.20<60∴20<x≤30∴36+2.4(x–20)=55.2∴x=28∴小青家該月份的用水量為28噸.（3）解：設月用水量為a噸由題意得36+2解得a∴25≤∴用水量應該控制在25噸至34噸之間（含25元和34噸）【知識點】不等式組和一元一次方程的綜合應用【解析】【解答】解：(1)根據(jù)題意得：每月用水20噸及以內為1.3-0.5=1.8(元/噸)；

每月用水20~30噸(含30噸)為19÷10+0.5=2.4(元/噸)；

30噸及以上為15÷5+0.5=3.5(元/噸).

故答案為：1.8，2.4，3.5.

【分析】(1)利用單價=自來水費的單價+污水處理費的單價，即可求出結論；

(2)設小青家該月份的用水量為x噸，由36<55.2<60，可得出20<x<30，利用2024年2月份小青家所繳的水費=36+2.4×用水量超過20噸的部分，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；

(3)設小青家該月份的用水量為y噸，分水費為48元及水費為74元兩種情況，求出y的值，再結合“小青家打算將水費控制在不少于48元，不超過74元”，即可確定結論.12．生活中的數(shù)學某學校組織七、八年級學生進行研學活動，由學生會通過調研獲取信息供學校參考制定出行方案.經(jīng)學生會調查，得到以下信息.信息1某旅游公司只有60座客車14輛，45座客車25輛可供租用45座客車60座客車載客量（人/輛）4560租金（元/輛）250300信息2七年級若每位老師帶40名學生，則還剩10名學生沒老師帶；若每位老師帶41名學生，則恰好完成分配.信息3八年級師生如果租用45座的客車n輛，那么還有30人沒有座位；如果租用60座的客車可少租2輛，且正好坐滿.任務1（1）參加此次活動的七年級師生共有▲人；任務2（2）求參加此次活動的八年級師生共有