第21章一元二次方程能力提升測試卷（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）單項選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．用配方法解一元二次方程x2+4xA．x+22=1C．x-22【答案】A【分析】本題考查的是解一元二次方程，先移項，再在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方即可．【詳解】解：x2x2x2x+2故選：A．2．在寬為20m，長為32m的矩形田地中央修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，把矩形田地分成四個相同面積的小矩形田地，作為良種試驗田，要使每小塊試驗田的面積為135m2，設(shè)道路的寬為xA．(32-x)(20-xC．1432-x【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，屬于簡單題，平移道路形成新的矩形是解題關(guān)鍵．將陰影部分推至左上角，計算空白部分面積即可．【詳解】如下圖，將道路推至左上角，形成新矩形田地，∵道路的寬為x米，∴新矩形田地長為(32-x)m∵每小塊試驗田的面積為135m2，即新矩形面積為∴(32-x整理得14故選：C．3．若關(guān)于x的一元二次方程m-1xA．m<54 B．m<54且m≠1 C【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的定義以及判別式的應(yīng)用，根據(jù)題意得出m-1≠0，【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程m-∴m-1≠0，∴m≤54且故選：D．4．若x=2025是關(guān)于x的方程ax2+bx+1=0的一個根，則關(guān)于A．2023 B．2024 C．2025 D．2027【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解，由關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有一個根為2025，可得出關(guān)于x+2【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+∴關(guān)于x+2的一元二次方程ax+22即x+2=2025解得：x=2023故選：A．5．對于任意實數(shù)a，b，定義新運算“Δ”：aΔb=a2-2ab-b2，例如：2A．27 B．-3 C．-2【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，新定義下的實數(shù)運算；由(x+3)Δ2=0得：【詳解】解：∵(x∴(x整理得：x2∵m，n是方程(x即m，n是方程x2∴m+∴1m故選：A．6．電影《哪吒2》于2025年1月29日上映，第一天票房約5億，以后每天票房按相同的增長率增長，第三天票房約6億，若把增長率記作x，則方程可以列為（

A．51+x=6C．5+51+x=6【答案】B【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，由第一天的票房及以后每天的增長率，可得出第二、三天的票房，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得：5(1+故選：B．7．已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2-6A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10【答案】B【分析】本題考查等腰三角形的定義，解一元二次方程．求出一元二次方程的解，根據(jù)方程的兩根為等腰三角形的腰和底的長，分類討論求解即可．【詳解】解：x2x-x-2=0或∴x1當(dāng)腰為2，底為4時，因為2+2=4，不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去，當(dāng)腰為4，底為2時，三角形的周長為4+4+2=10．故選：B．8．對于實數(shù)m、n定義運算“☆”為m☆n=m2-4+mn，例如：A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，先根據(jù)新定義運算法則列出方程，再由根的判別式進行判斷即可．【詳解】解：∵m☆n=∴x2-4+3∴Δ∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．9．若一元二次方程x2+x-3=0A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，掌握整體代入法是解題的關(guān)鍵；根據(jù)m是方程x2+x【詳解】解：∵一元二次方程x2+x∴m2∴m2∴2025-m故選：A．10．如圖，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，點P從點A出發(fā)，以2m/s的速度沿AC邊向點C勻速運動，同時另一點Q從點C出發(fā)，以A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為方程，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)運動時間為t秒，則有AP=2t，∴PC∴12∴12解得t=20或5∴t=20s或5s時，故選：D．填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分．）11．關(guān)于x的方程x2+3x-m=0的兩根為x1，【答案】-【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)x1+x2=-3，可得x1+2x1【詳解】解：∵方程x2+3x-m∴x又∵2x∴x解得：x1∴x∴-m∴m故答案為：-312．若關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+3=0的兩個根分別為-1，【答案】-【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握其計算方法是關(guān)鍵．根據(jù)題意，把-1代入得到m=4，在根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系“x【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+3=0的兩個根分別為∴-1解得，m=-4∴一元二次方程為x2∴a+故答案為：-413．《新課程標準》將勞動從綜合實踐活動課中獨立出來，勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程．某校積極實施，建設(shè)校園農(nóng)場．如圖，該矩形農(nóng)場長32m，寬20m，要求在農(nóng)場內(nèi)修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分作為試驗田，且使試驗田的面積為540m2．則道路的寬為【答案】2【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)，先將道路進行平移，然后根據(jù)矩形的面積公式列方程即可．【詳解】解：設(shè)道路寬為x，根據(jù)題意可得：(20-x解得(x解得x1故答案為：2．14．關(guān)于x的一元二次方程x2-2k-1x+k【答案】2或-【分析】此題考查主要了根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0【詳解】解：2k-1由題意得：m+n=2∵m2∴m+∴2k-1解得：k1=2，故答案為：2或-1三、解答題（本題共7小題，共58分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．（8分）用合適的方法解下列一元二次方程：(1)x2(2)2x【答案】(1)x1=7，(2)方程沒有實數(shù)根．【分析】本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：x2因式分解得x-即x-7=0，x解得x1=7，（2）解：2xa=2，b=-3，Δ=∴方程沒有實數(shù)根．16．（8分）靖州楊梅享有“江南第一梅”的美譽，靖州作為楊梅之鄉(xiāng)，當(dāng)?shù)卣疄榱税褩蠲肺幕?，打造成?dāng)?shù)芈糜蚊?，?dāng)?shù)卣啻闻e辦楊梅節(jié)活動．原來每盒楊梅進貨價為100元，經(jīng)過兩次降價后每盒進貨價為36元，并且每次降價的百分率相同．(1)請問每次降價的百分率為多少？(2)樸實水果店以36元每盒進貨了200盒楊梅，計劃以每盒標價50元出售．由于恰逢端午佳節(jié)，店鋪準備開展大促銷活動，所有商品一律八折．若要使200盒楊梅全部售出后的利潤不少于2000元，則至少需要在促銷活動開始前賣出多少盒？【答案】(1)40(2)120盒【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，正確理解題意列出方程和不等式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每次降價的百分率為x，根據(jù)原來每盒楊梅進貨價為100元，經(jīng)過兩次降價后每盒進貨價為36元，建立方程求解即可；（2）設(shè)需要在促銷活動開始前賣出m盒，則促銷活動中一共賣了200-m盒，根據(jù)利潤不低于2000【詳解】（1）解：設(shè)每次降價的百分率為x，由題意得，1001-解得x=0.4=40%或答：每次降價的百分率為40%（2）解：設(shè)需要在促銷活動開始前賣出m盒，則促銷活動中一共賣了200-m由題意得，50-36m解得m≥120∴m的最小值為120，答：至少需要在促銷活動開始前賣出120盒．17．（8分）已知關(guān)于x的方程：x2+2kx(1)求證：不論k為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若m、n是此方程的兩個根，當(dāng)k=1時，求代數(shù)式2025-【答案】(1)見解析(2)2015【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解的定義，正確變形、靈活應(yīng)用整體思想是解題關(guān)鍵；（1）證明方程的判別式大于0即可；（2）當(dāng)k=1時，原方程為x2+2【詳解】（1）證明：∵Δ=4=12>0，∴不論k為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：當(dāng)k=1時，原方程為x∵m、n是此方程的兩個根，∴m2∴m∴2025-=2025-=2025-2+4×=2015．18．（8分）數(shù)學(xué)興趣小組利用長方形紙板制作禮品盒，選擇長為60cm，寬為40(1)當(dāng)禮盒底面的長是寬的4倍時，求該長方體禮品盒的體積；(2)當(dāng)禮盒的側(cè)面ABCD的面積為750cm【答案】(1)4032(2)5【分析】本題考查了一元二次方程和一元一次方程的實際應(yīng)用，長方體的體積公式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)小正方形的邊長為x，則禮盒底面的長是1260-2x=30-x，寬為x（2）設(shè)剪去的小正方形的邊長為m，由題意得：30-m【詳解】（1）解：設(shè)小正方形的邊長為x，則禮盒底面的長是1260-2x由題意得：30-x解得：x=6∴長為30-6=24，寬為6，高為40-2×6=28，∴體積為：24×6×28=4032cm（2）解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為m，由題意得：30-m整理得：m2解得：m=5或m∴剪去的小正方形的邊長為5cm19．（8分）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計實體店背景下的網(wǎng)上銷售價格方案？如何設(shè)計實體店背景下的網(wǎng)上銷售價格方案？素材1某公司在網(wǎng)上和實體店同時銷售一種自主研發(fā)的小商品，成本價為50元/件．素材2該商品的網(wǎng)上銷售價定為70元/件，平均每天銷售量是200件，在實體店的銷售價定為90元/件，平均每天銷售量是100件．按公司規(guī)定，實體店的銷售價保持不變，網(wǎng)上銷售價可按實際情況進行適當(dāng)調(diào)整，需確保網(wǎng)上銷售價始終高于成本價．素材3據(jù)調(diào)查，網(wǎng)上銷售價每降低1元，網(wǎng)上銷售量平均每天多售出40件，同時實體店的銷售量受網(wǎng)上影響，平均每天銷售量減少5件．問題解決任務(wù)1計算所獲利潤當(dāng)該商品網(wǎng)上銷售價為60元/件時，求公司在網(wǎng)上銷售該商品每天的毛利潤與實體店銷售該商品每天的毛利潤各是多少元？任務(wù)2擬定價格方案公司要求每天的總毛利潤(總毛利潤=網(wǎng)上毛利潤+實體店毛利潤)達到8640元，求每件商品的網(wǎng)上銷售價下降多少元？任務(wù)3優(yōu)化價格方案當(dāng)每件商品的網(wǎng)上銷售價下降多少元時，該公司在網(wǎng)上銷售與實體店銷售的總毛利潤最大？【答案】任務(wù)1：網(wǎng)上毛利潤為6000元，實體店毛利潤為2000元；任務(wù)2：網(wǎng)上銷售價下降2元或8元；任務(wù)3：網(wǎng)上銷售價下降5元時總毛利潤最大【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．任務(wù)1：依據(jù)題意，當(dāng)網(wǎng)上售價降至60元/件時，下降幅度為：70-60=10(元)，從而網(wǎng)上銷量增加40×10=400件，則總銷量為200+400=600件，可得網(wǎng)上毛利潤為：(60-50)×600=10×600=6000(元)；又實體店銷量減少：5×10=50(件)，總銷量為100-50=50(件)，則實體店毛利潤為：(90-50)×50=40×50=2000(元)，進而得解；任務(wù)2：依據(jù)題意，設(shè)網(wǎng)上售價下降x元，總毛利潤為8640元，從而網(wǎng)上毛利潤為：(70-x-50)(200+40x)=(20-x)(200+40x)任務(wù)3：依據(jù)題意，由總利潤函數(shù)為：-40【詳解】解：任務(wù)1：由題意，當(dāng)網(wǎng)上售價降至60元/件時，下降幅度為：70-60=10(元)；網(wǎng)上銷量增加40×10=400件，∴總銷量為200+400=600件．∴網(wǎng)上毛利潤為：(60-50)×600=10×600=6000(元)．又實體店銷量減少：5×10=50(件)，總銷量為100-50=50(件)．∴實體店毛利潤為：(90-50)×50=40×50=2000(元)．任務(wù)2：由題意，設(shè)網(wǎng)上售價下降x元，總毛利潤為8640元，∴網(wǎng)上毛利潤為：(70-x∴實體店毛利潤為：(90-50)(100-5∴總利潤方程為：(20-x∴-40∴-40∴x=8或∴每件商品的網(wǎng)上銷售價下降2元或8元．任務(wù)3：依據(jù)題意，由總利潤函數(shù)為：-=-40∴當(dāng)x=5∴網(wǎng)上銷售價下降5元時總毛利潤最大20．（8分）【感知】把代數(shù)式通過配方等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式的非負性來增加題目的已知條件，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．①用配方法分解因式：a解：原式=②利用配方法求最小值：求a2解：a2+6a+5=a2+2a?3+32-32【應(yīng)用】根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）填空：x2-12x+________=（x（2）將x2-3x+66【探究】若M=5a2+9a+6，【答案】【應(yīng)用】（1）36，6；（2）x