9.6事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式

【鞏固強化】

1.在某次考試中，甲、乙通過的概率分別為0?7,0?4若兩人考試相互獨立，則甲未通過

而乙通過的概率為（B）

A.0.28B.0.12C.0.42D.0.16

解：甲未通過的概率為0J,則甲未通過而乙通過的概率為O?3XO,4=0.1Z故選B.

P(4)=-P(B)=-/、

2.若事件4與6相互獨立，\1則P(4+8)=(c)

17311

A.ZB.五C.5D.不

P(AB)=P(4)P(B)=-X-=-

解：因為事件力與B相互獨立，所以54'.所以

P（A+8）=P（A）+P（B）==J

3464故選C.

3.某工廠有A,B兩條生產(chǎn)線，需要維護的概率分別為ON,0.25,且A,B兩條生產(chǎn)線是

否需要進行維護是相互獨立的，則至多有一條生產(chǎn)線需要維護的概率為（A）

A.0.95B.0.45C.0.55D.0.05

解：（方法一）由題意，得至多有一條生產(chǎn)線需要維護的概率為

0.2X0.7S+0.8x0.25+0.8X0.75=0.95.

（方法二）由題意，得至多有一條生產(chǎn)線需要維護的概率為1-02X0.25=0,9S,故選A.

4.長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有'UY

的學(xué)生每天玩手機超過2h,這些人的近視率約為6。孜現(xiàn)從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名

學(xué)生，則他每天玩于機超過2h的概率為（A）

4133

A.5B.5C.5D.20

解：從“該校學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生他是近視”記為事件4,且P（4）=0?3,“從該校

學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生他每天玩手機超過2h”記為事件由題，可知

/、P（S|4）=^=—=-

P“B）=0.6X04=O.N.則所求概率為「儲）03§.故選A

5.甲、乙兩人進行羽毛球比賽，連續(xù)比賽三局，各局比賽結(jié)果相互獨立.設(shè)甲在第一、第

ill

二、第三局比賽中獲勝的概率分別為4,S,3,則甲恰好連勝兩局的概率為（B）

1S72

A.9B.整C.36D.弓

解：甲恰好連勝兩局有前兩局獲勝、第三局失利和第一局失利、后兩局獲勝兩種情況.故所

P=lxix（l-^）+（1=-_

求概率4sl"IJ339故選B.

6.【多選題】已知甲箱中冰墩墩和雪容融分別有36個、9個，乙箱中冰墩墩和雪容融分別

有20個、10個.現(xiàn)從兩箱中隨機取出1個吉祥物，用41，月2分別表示取出的吉祥物來自甲

箱和乙箱，用8加8公分另］表示取出的是冰墩墩和雪容融，則（ABC）

/8認）=：

A.Al和42互為對立事件

c.P（AM）力

D.42和81相互獨立

32

解：由題，可知甲箱中的吉祥物數(shù)量占兩箱總數(shù)的5,乙箱中的吉祥物數(shù)量占兩箱總數(shù)的三

事件41和左，顯然互為對立事件，故A正確.

p(82l%)=^^=^^="

「⑶)?3,故E正確.

…）飛得吟氣故C正確.

因為小="合矣?、檫?

?,所以P(4)P(8i)￥「(4%),

故D錯誤?故選ABC.

7.甲、乙二人進行射擊游戲，甲、乙射擊命中目標與否是相互獨立事件.規(guī)則如下：若射

擊一次命中，則原射擊人繼續(xù)射擊；若射擊一次不中，就由對方接替射擊.已知甲、乙二人

1空

射擊一次命中的概率均為3,且第一次由甲開始射擊，貝!第4次由甲射擊的概率為三.

解：根據(jù)題意，第4次由甲射擊共有4種情況：

（甲，甲，甲，甲），（甲，甲，乙，甲），（甲，乙，甲，甲），（甲，乙，乙，甲）.

r一I-I十一人一人一十一人一人一十一人一人一——?

故所求概率為⑺3333333?327故填

8.有3臺車床加工同一型號的零件.第1臺加工的次品率為6%，第2,3臺加工的次品率

均為5伙，加工出來的零件混合放在一起，已知第1,2,3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%

30%,49K

（1）求任取一個零件是第1臺車床生產(chǎn)出來的次品的概率；

解：由題意，得任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為6%X25%=1.5%.

（2）求任取一個零件是次品的概率；

［答案］由題設(shè)，得任取一個零件是次品的概率為

6%X25%+5%X30%+5%X45%-5.25%.

（3）若取到的零件是次品，求零件是第2臺車床加工的概率.

S%x3O%_2

［答案］由條件概率.得取到的零件是次品，則是第2臺車床加工的概率為57

【綜合運用】

9.某知識問答競賽需要三人組隊參加，比賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個階段，每個階段比

賽中，若一支隊伍中至少有一人通過，則這支隊伍通過此階段.已知甲、乙、丙三人組隊參

加，若甲通過每個階段比賽的概率均為3,乙通過每個階段比賽的概率均為5,丙通過每個階

段比賽的概率均為Z且三人每次通過與否互不影響，則這支隊伍進入次賽的概率為＜B）

2241”

A.2鷲B,有C.D.

解：“至少有一人通過”的對立事件為“三人全部未通過”，則這支隊伍通過每個階段比賽

i-￡x-x-=19(

的概率為3515所以他們連續(xù)通過初賽和復(fù)賽的概率為（竊32S,即進入

決賽的概率為記.故選B.

10.北方的冬天室外溫度極低，若輕薄保暖的石墨烯發(fā)熱腴能用在衣服上，將會大大地方便

1

人們的出行.某科研人員制作石墨烯發(fā)熱膜的過程分為三步，且第一步成功的概率為.，若第

79

一步成功，第二步失敗的概率為靛，若前兩步成功，第三步失敗的概率為莉，則這位科研人

員在一次工作中成功制作出石墨烯發(fā)熱膜的概率為（B）

63127117

A.訴B.訴C.前D.前

解：記事件月：表示“制作石墨烯發(fā)熱膜笫1步時失敗"（I=h2,3）,

記事件B表示“成功制作出石墨烯發(fā)熱腴”.因為'"再京花，所以

汽8）=P（J］用詞=凡）p（用,葩）="（1-2）*（1一己=總

故選E.

11.【多選題】在國家憲法日來臨之際，某中學(xué)開展“學(xué)憲法、講憲法”知識競賽，一共設(shè)

置了7道題山其中5道是選擇題,2道是簡答題.現(xiàn)要求從中不放回地抽取2道題，則（BD）

A.恰好抽到一道選擇題、一道簡答題的概率是7

E（X）=U

B.記抽到選擇題的個數(shù)為X，則

5

C.在第一次抽到選擇題的條件下，第二次抽到簡答題的概率是百

2

D.第二次抽到簡答題的概率是7

C：=21

解：從7道題中不放回地抽取2道題共有（種；方法.

AC：C；=10

對于A,恰好抽到一道選擇題、一道簡答題有$（種）方法，所以恰好抽到一道選

擇題、一道簡答題的概率是“，故A錯誤.

對于B,易得*=0,1,2.

ic

P(X=0)=

警建,3。喑a

P(X=2)=￥=UE(X)=0xl+1X-+2X—=—=-

21.所以〃2ianL故B正確.

P(￡)=；

對于C,“第一次抽到選擇題”為事件昆“第二次抽到簡答題”為事件￡則7

2）=沁/貝門*翳言書“錯諛

對于D,“第一次抽到簡答題”為事件G,“第二次抽到簡答題”為事件下,所以第二次抽

P(GF)±P(CF)=ixi+ix-=-n

到簡答題的概率是''76767,故D正確.

故選BD.

12.［2022年新課標I［卷］在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的

年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.

解：平均年齡

X=($x0.001tISX0.002十25X0.012+3gx0,0k7+45X0.0ZJ+55X

0.09+65X0.017+75乂0.006+85X0.003y.10=47.9

(歲).

(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間120,70)的概率.

［答案］設(shè)4二〔一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)1所以

Pf4)=1-=1-{0X)01+0.002+0.006+0.002)X10-1-0.11=

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0,伙，該地區(qū)年齡位于區(qū)間4a50）的人II占該地

區(qū)總?cè)薎I的從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［4Q50）,求此人患這種疾

病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率,

精確到0.0001）.

［答案］

設(shè)8=｛任選一人年齡位于區(qū)間［＜as。）］,c