概率論與數(shù)理記錄必考知識點

一.隨機事件和概率

1、隧機事件及其概率

運算律名稱體現(xiàn)式

互換律A+B=B+AAH=BA

結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C(AB)C=A(BC)=ABC

分派律A(B±C)=AB±ACA+(8C)=(A+4)(4+C)

德摩根律A+B=ABAB=A+B

2、概率的定義及其計算

公式名稱公式體現(xiàn)式

求逆公式P(A)=l-P(A)

加法公式P(A+=P(A)+P(B)~P(AB)

P(小)=3

條件概率公式

1P(A)

乘法公式P(AB)=P(A)尸(4A)P(AB)=P(B)P(AfB)

.

全概率公式P(B)=ZP(4)P(B|A)

1=1

貝葉斯公式P(A,忸尸8

(逆概率公式)2尸(4)3臼兒)

1=1

伯努力概型公式P“(k)=Cp"p)i,k=OJ,…〃

Q(A8)=P(4)P(8)；P(^\A)=P(B)：P(.A)=P(Bp)；P(B|A)+P(B|A)=1；

兩件事件互相獨立對應(yīng)

公式P(B\A)+P(^A)=\

二、隨機變量及其分布

1、分布函數(shù)性質(zhì)

P(X<b)=F(b)P(a<X<b)=F(Z?)-尸(a)

2、離散型隨機變量

分布名稱分布律

0-1分布B(l,p)產(chǎn)=-A;=0,1

二項分布“(〃,〃)p(x=k)=c3a,左=

泊松分布尸(㈤P(X=k)=e~A—,1=0,1,2,…

k\

幾何分布G(〃)P(X=4)=(1-p)ip,A=0,1,2,…

P(X=k)=w"W/=//+…

超幾何分布”(MAO?)以

3..持續(xù)型隨機變量

分布名稱密度函數(shù)分布函數(shù)

1,0,x<a

----,a<x<bx-a/.

均勻分布U(4,。)fM=<b-a戶(x)=,---,a<x<b

b-a

、0,其他\,x>h

Ae-z\x>00,x<0

指數(shù)分布EWfM?尸(x)=?

.0,其他1-e",x>0

_(x-〃.

正態(tài)分布N3/)f(X)=―e2b-O0<x<+coe2/d/

-co

1-二7"I

原則正態(tài)分布N(0,l)(p[x}=.—e2-oo<x<-i-coe2a>dt

?！狾O

三、多維隨機變量及其分布

1、離散型二維隨機變量邊緣分布

Pi-=P(X=%)=Z0(X=Xj,Y=.yy)=￡/1p.j=P(y=力)=ZP(X=xhY=yj)=￡ptj

j/??

2、離散型二維隨機變量條件分布

也=P(X=xjy=巧)=")；工丁=魯，，=］，2…

［一J))1?J

P(X=2,丫=力)=Pij

p^.=P(Y=yj\X=xi)=

P(X=xi)P,

3、持續(xù)型二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)戶(?“)=「r'/("/)小”，

4、持續(xù)型二維隨機變量邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)

J\u,v)dvdu密度函數(shù)：fxM=(/(X,v}dv

-8J-8

4(>)=「f/(?.v^dudv/7(),)=f/(u,y)du

J-00J-8J-DO

5、二維隨機變量的條件分布

fy\x(小)=<>，<+€0/x|y(力)=<x<田

四、隨機變量的數(shù)字特性

I、數(shù)學(xué)期望

離散型隨機變量：E(X)=￡44持續(xù)型隨機變量：E(X)=

xf(x)dx

k=\

2、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

(1)F(C)=CC為常數(shù)E[E(X)]=E(X)E(CX)=CE(X)

⑵E(X±Y)=E(X)±E(Y)E(aX±b)=aE(X)±b￡(C,X[+…C〃X〃)=GE(X1)+?-CnE(Xn)

(3)若XY互相獨立則：E(XY)=E(X)E(Y)

(4)l￡(Xr)J2^E2(X)E2(n

3、方差:D(X)=￡(X2)-E2(X)

4、方差的性質(zhì)

(1)D(C)=O9Q(X)|=0D(aX±b)=a2D(X)D(X)<E(X-C)2

⑵。(X土y)=Q(X)+Q(y)±2Qv(X,F)若XY互相獨立則：D(X±Y)=D(X)+D(Y)

5、協(xié)方差：Cov(X,Y)=E(X.Y)-E(X)E(Y)若XY互相獨立則：Cov(X,Y)=0

6、有關(guān)系數(shù)：0xy=mX,y)=ex，若XY互相獨立則：0xy=0即XY不有關(guān)

TwoVwo

7、協(xié)方差和有關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

⑴GMX,X)=Q(X)Cov{Xy)=Cov(Y,X)

⑵G?u(X|+X2，y)=Gn<X|,y)+G?i，(X2，y)Cbv(aX+c,bY+d)=abCbv(X,Y)

8、常見數(shù)學(xué)分布的期望和方差

分布數(shù)學(xué)期望方差

0-1分布B(l,p)PP(1-p)

二行分布8(幾p)叩(i-p)

泊松分布/\A)A

_1_i-p

幾何分布G(p)

Pp2

MM八MN—ni

超幾何分布〃(N,M,〃)n一n—(1-----)--------

NNNN—1

a+b9-。)2

均勻分布U(a,〃)

212

正態(tài)分布N(〃Q2)a2

11

指數(shù)分布E(㈤

77

五、大數(shù)定律和中心極限定理

1、切比雪夫不等式

若￡(X)=〃,D(X)=對于任意^>oWP{|X-E(X)|><}<駕^或P{|X—E(X)k《}21-零

2、大數(shù)定律：若X小?X〃互相獨立且〃->8時，E(X’)

ni=inf=i

]I

⑴若X1…X”互相獨立，E(X,)=x<,D(X/)=a?且丐吆M則：一￡Xj—一￡&Xj),(〃-8)

(2)若為…X”互相獨立同分布，且￡。,)=從則當(dāng)〃f8時：-YX,.—

3、中心極限定理

(1)獨立同分布的中心極限定理：均值為〃，方差為。2>。的獨立同分布時，當(dāng)n充足大時有：

工Xk-n〃

小2^------^N(0,l)

yJna

(2)拉普拉斯定理：隨機變量乙(〃=1,2…)?B(〃,p)則對任意x有：

limP{^n~np<x}=P—^/Ti//=(I)(x)

xtfJyj2%

>,Xk-np

⑶近似計算：P(a<±Xk<b)=P^<^r—4與史卜6(舁約—①(乍”)

hiyjnayjncrJsyjncyy/na

六、數(shù)理記錄

1、總體和樣本

總體X的分布函數(shù)FQ)樣本(X1,X,…X”)的聯(lián)合分布為F(xx--x)=nF@k)

~p2/1hi

2、記錄量

⑴樣本平均值:又=(2)樣本方差:

n=

(3)樣本原則差：5=J—y(X,-X)2(4)樣本A階原點距：A*=L^X"=1,2：

⑸樣本女階中心距：Bk=M?=-^(X,-X)\A:=2,3.--

n1=1

(6)次序記錄量：設(shè)樣本(X1,X2…X.)的觀測值(和巧??F),將不巧…天按照由小到大的次序重新排列，得到

工⑴0X(2)W…*々”)，記取值為勺)的樣本分量為X(j),則稱X(1/X(2)「…-X的為樣本(X1,X2…X”)的次序記

錄量。乂⑴=min(X],X2…X“)為最小次序記錄量；X<〃)=max(X「X2…X”)為最大次序記錄量。

3、三大抽樣分布

⑴/分布：設(shè)隨機變量長,犬2…X”互相獨立，且都服從原則正態(tài)分布N(OJ),則隨機變量

Z2=X；+X扛…X，所服從的分布稱為自由度為〃的42分布，記為1~/(〃)

2

性質(zhì)：①&/⑺]=/D[Z(/?)]=2〃②設(shè)X~/(附,y~/(〃)且互相獨立，則X+y?/(w+〃)

(2)f分布：設(shè)隨機變量X~N(0,l),y~#2(〃)，且X與Y獨立，則隙機變量：7=方之所服從的分布稱為自由度

的〃的/分布，記為

性質(zhì)：①EI?〃)]=0,D[/(〃)]=-^-,(〃>2)②lim/(〃)=N(0,l)=-^￡2M

n-2M-XCy/27r

(3)F分布：設(shè)隨機變量~/(〃,)，且U與V獨立，則隨機變量/(可,電)=與區(qū)所服從的分布稱為

匕/〃2

自由度(〃i，?2)的F分布，記為F~尸

性質(zhì)：設(shè)X~a〃7,〃)，則