線性代數(shù)復習要點

第一部分行列式

1.排列的逆序數(shù)

2.行列式按行（列）展開法則

3.行列式的性質及行列式的計算

行列式的定義

1.行列式的計算:

?n?12…?ln

?21

=2(-1)62，工”2口明

aa

①（定義法）?nln2nn

思考題：用定義計算行列式

012

01

D二

003-2

01

解：用樹圖分析3r(2134)=1

1r(2143)=2

327(2413)=3

31M2431)=4

故Z?=-3+2-12+9=-4

②（降階法）行列式按行（列）展開定理:

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和.

推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.

可//1++，ttlnAjn=｛噤:

③（化為三角型行列式）上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.

^11***

0h22**

=b]lb22dMi

0*

00^nt

AA*A0

=1川|B|

④若4與8都是方陣（不必同階），則0B-0B*B

0A*A

B0Bo=(?l)mn|4||8|

0000?lnn(n-1)

0002na2n-10

=(-1)2a\na2n-anl

0000

anl0000

⑤有關副對角線:

x\X

?2n

X1XnI[(勺f)

1</<t<n

xx…x曾”n-

?范德蒙德行列式:

I(x/-Xj)=(Xn-Xn_1)(XM-XN_2)---(XM-XI)(Xn_1-Xn_2)(Xn_1-Xn_3)--

-%1—X7）（x^-X|）（X7—X））,

證明用從第n行開始，自下而上依次的由下一行減去它上一行的Xi倍，按第一列展開，反復上述操作即可。

bb-b

ab-b

bab=[a4-(n-l)b|(?-b)n'

hh

⑦?！鋈诵凸?

⑧（升階法）在原行列式中增長一行一列，保持原行列式不變的措施.

⑨（遞推公式法）對n階行列式0”找出°”與0n.l或0"-1,0〃.2之間的一種關系——稱為遞推公式，其中

°”,Dn.1,Dn.2等構造相似，再由遞推公式求出0”的措施稱為遞推公式法.

（拆分法）把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再運用行列式的性質將原行列式寫成兩行列式之和,

使問題簡化以例計算.

⑩（數(shù)學歸納法）

n

|AE-4|=Ar+y（-l）“nT

2.對于九階行列式1川，恒有：H,其中又為A階主子式；

3.證明⑷=°的措施：

①、Ml=-Ml；

②、反證法；

③、構造齊次方程組力％二°，證明其有非零解：

④、運用鐵，證明

⑤、證明0是其特性值.

4.代數(shù)余子式和余子式的關系:Mv=（-?+%&=（-?+恤

第二部分矩陣

1.矩陣的運算性質

2.矩陣求逆

3.矩陣的秩的性質

4.矩陣方程的求解

/?11?12…?ln

?21?22…?2n

1.矩陣的定義由帆X數(shù)排成的m行"列的表‘『I『"稱為帆矩陣.

記作：4=xn或'mxn

①同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等.

②矩陣相等：兩個矩陣同型，且對應元素相等.

③矩陣運算

a.矩陣加（減）法：兩個同型矩陣，對應元素相加（減）.

b.數(shù)與矩陣相乘：數(shù)人與矩陣人的乘積記作九或。入，規(guī)定為人從=（九%）.

C.矩陣與矩陣相乘：設4=（a“）mxs,8=（d/）sxn,則C=48=（%）mxn,

b2j

cq=（an，ai2,,al5）/=atlblf+ai2b2f+“+aisbs）

\bs］（

注：矩陣乘法不滿足：互換律、消去律，即公式48=34

AB=0=>/1=?；?=。不成立.

a.分塊對角陣相乘/=（儂產(chǎn)=［包包|=［

b.用對角矩陣力?乘一種矩陣,相稱于用力的對角線上的各元素依次乘此矩陣的⑥向量;

?1o0力12…bin?1。12…

0。2031人22…82n。2b21a2b22…a2b2n

pml^m2b；am^mlam^m2

C.用對角矩陣力@乘一種矩陣,相稱于用力的對角線上的各元素依次乘此矩陣的例向量.

0alb”a2b12ambln'

0。1道1。2822QmbZn

al^mlai^mi

d.兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應元素相乘.

mnmnmnmn

④方陣的幕的性質：AA=A^f(4)=(^)

⑤矩陣的轉置：把矩陣4的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做人的轉置矩陣，記作4丁.

a.對稱矩陣和反對稱矩陣：A是對稱矩陣

力是反對稱矩陣<=>4=?47.

b.分塊矩陣的轉置矩陣避F\7_(ATCT\

D)={BTDT)

(AUA21…An\

?伴隨矩陣：42n…Annl,4/為I川中各個元素的代數(shù)余子式.

44*=4*4=|川￡|4"1=網(wǎng)"二|4-"=|4廣1.

(A丫=(網(wǎng)4")(與’=((-1)*4|8

分塊對角陣的伴隨矩陣：‘刃"*⑶夕人")[(.1嚴網(wǎng)4#

(4-W)TQ=s*)

矩陣轉置的性質：(4T)r=A(4B)7=14T=MI

矩陣可逆的性質：(AJ)'A(4B)〃=-“4-1l=M|-“4-1)”=(/)T=44

(屋)*=(4*)

伴隨矩陣的性質：(A*)*=\A\n-2.4(48)*=B*A*=Mln\A?I)#=G*)」=；

1

n若r(4)=n

r(A*)=1若r(4)=n-1\AB\=\A\\B\=|胖*=A(無條件恒成立)

0若r(4)<n-1

r(A)與r(A*)的關系

若r(A)=n,則⑶不等于0,A*=MM,可逆，推出r(A*)=na

若r(A)=n-2,則Ml等于。目因此n-1階子式全為。，因此A*=U,即r(A*)=0

若r(A)=n-l,則I川等于0且存在n-1階子式不為0,因此A*不等于0,r(A*)不小于等于1

又由于AA*=MlE=0,r(A)+r(A*)不不小于等于n,r(A*)不不小于等于n-r(A)=1

就可以得到r(A*)=1

2.逆矩陣的求法方陣4可逆V=>|A|/O.

A-l=—（a分?=一-一（d~4主…換位

①伴隨矩陣法Ml@z"引ad-bcl-c副??變號

初等行變換,

②初等變換法6%）-（E%?1）

③分塊矩陣的逆矩陣

⑤配措施或者待定系數(shù)法（逆矩陣的定義48=84=￡=4-=8）

3.行階梯形矩陣可畫出一條階梯線，線的下方全為。；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎

線背面的第一種元素非零.當非零行的第一種非零元為1,且這些非零元所在列的其他元素都是。時,

稱為行最簡形矩陣

4.初等變換與初等矩陣對換變換、倍乘變換、倍加（或消法）變換

初等變換初等矩陣初等矩陣的逆初等矩陣的行列式

n”(3%E(iJ)E(iJ)T=E(i,j)|E(SI=-1

.1

nXk(Gxk)E(?A))E[i(A)]T=E[i4)]\E[iW\\=k

〃+0xk(G+qxk)E@j⑻)|E同(A)]|=l

?矩陣的初等變換和初等矩陣的關系：

①對〃施行一次初等@變換得到的矩陣,等于用對應的初等矩陣?乘&

②對A施行一次初等0變換得到的矩陣,等于用對應的初等矩陣?乘4

注意：初等矩陣是行變換還是列變奏，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣.

5.矩陣的秩有關力矩陣秩的描述:

①、r（4）=r,4中有，階子式不為0,r+1階子式（存在的話）所有為0；

②、r（4）<r,A的廠階子式所有為0；

③、r(4)>r,4中存在7階子式不為0；

?矩陣的秩的性質:

①4H0or(4)2l；4=0cr(4)=O；Owr("mxn)wnibt(m,n)

②r(4)=r(4r)=r{ArA)

③r(kA)=r(7l)其中々工0

④若4mxn，%xs，若Ng=。={鬣霜翻看機”0的解

⑤r(4B)wmin{r(4),r(B)}

⑥若P、Q可逆，則=r(/M)=r(/!Q)=r(/MQ).即：可逆矩陣不影響矩陣的秩.

o4x=o只有零解

r(AB)=r⑻

rC^mxn)=n=>"赤什+七十、山+自J=。=3=。

4在矩陣乘法中有左消去律=4c=8=c

⑦若I；

若r(%x$)=〃={疆猛源%有右消去律.

⑧分⑷=P4與唯一畸》等價?噴T)為矩陣4的等價原則型

⑨r(4±S)<r(^)+r(B),max{r(i4),r(F)}^r(4,F)^r(A)+r(B)

⑩r(o=(fi8)=r(A)+r(B)『(2工?、?「⑻

?求矩陣的秩：定義法和行階梯形陣措施

6矩陣方程的解法(I川工0)：設法化成(，MX=8或(//)X4=B

初等行變袂(〃)的解法：構造

(。的解法：構造(48)->(航X)

(〃)的解法：將等式兩邊轉置化為//'=標'，

用(1)的措施求出X7；再轉置得X

第三部分線性方程組

1.向量組的線性表達

2.向量組的線性有關性

3.向量組的秩

4.向量空間

5.線性方程組的解的鑒定

6.線性方程組的解的構造（通解）

<1）齊次線性方程組的解的構造（基礎解系與通解的關系）

（2）非齊次線性方程組的解的構造（通解）

1.線性表達：對于給定向量組“，01，。2,若存在一組數(shù)的，比,…，〃唯得口=Ma】+k2a2+???+%斯,

則稱夕是―???丹的線性組合，或稱稱口可由口%，……的線性表達.

線性表達的鑒別定理:

而由心,。2，"”的線性表達

由九個未知數(shù)m個方程的方程組構成九元線性方程:

a1ix1+a12x2+-+a1?xn=b1

。21町+。22》2+-+a2nx?=b2

+-+%“吊1=b”

①、有解

,

/功

③、（所有按列分塊，其中):

④、由必+。2%2+“+%f=6（線性表出）

⑤、有解的充要條件:?4）=r（4夕）$九（九為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）

2.設4mxm"nxs/的列向量為21。2,…,。巴^的列向量為角，/^，…/s,

Q11812…如斗

(?ba2.,',.?n)I?=(cm，"s)

則48:『xso晶bn2…bns)

o"，=q,(i=1,2,”；s)

o由為＞U=q的解

0—《1，魚，???fis)=(4"1，"2，…/*￡)=(Cl，C”；Cs)

U>C1，C2,…,g可由%，。2，…，斯線性表達.

即：C的列向量能由4的列向量線性表達，B為系數(shù)矩陣.

同理：C的行向量能由8的行向量線性表達，4為系數(shù)矩陣.

即:

向量方能由線性方程組

向量組4Ax=b㈡取肉=躍4防

線性表示有解

向量組方能矩陣方程組

由向量組/AX=B㈡軀⑶=優(yōu)/,小

線性表示有解

匚＞覆為《雙石

向量組）與

向量組3㈡《㈤=々勿=￡（4萬）

等價

3.線性有關性

定義：給定向量組/：勺…如果存在不全為零的實

數(shù)A＞卷…,*■，使得

才為1+為/+???+”K（零向量）

則稱向量組/是線性相關的，否則稱它是線性無關的.

向量組加元齊次線性方程組

401,0],???,%＞㈡&=0Q陽）＜加

線性相關有非零解

鑒別措施:

對丁響量組%%,…，%，3+后2%+-+3%=0

的線性相關性等價于齊次線性方程組

%.+可2&+—+4空冽=0

。21占+。22k2+…+。2m心=。

4￡+421+-+0加七=0

是否有非零解.

（1）齊次線件R和組仃北零解=向員組線性相關;

（2）齊次線性方程組只鼻b=向量組線性無關.

法2

關于向量組%,里，???，/，設矩陣

A=（ala2...as）

⑴7,（4）Vwu＞向量組%%a加線性相關;

⑵-4）=加。向量組%里,…,4線性:無關.

法3

定理3向量組-2,…，。式口22）線性相關的充分必要條件

是該向量組中至少有?個向量可由其余向量線性表示.

推論

設仃〃個〃維同量%=@,可2，…，％）。=1,2,…

由%構成的〃階行列式

⑴。w0。向昂:組線性無關;

（2）。=0<=>向量組4,%,...,見線性相關.

噴線性有關性鑒別法（歸納）

向量組線性無關性的判定（重點、難點）

向量組/：對〃…,〃線性無關

小。如果4］勺+禹。2+…+尢4=0（零向量），貝4必有

房=傷=...=4^=0.

㈡心元齊次線性方程組Zr=0只有零解.

矩陣/=（醺/，…的秩等于向量的個數(shù)加.

向量組/中任何一個向量都不能由其余初一1個向量線

性表示.

.線性有關性的性質

①零向量是任何向量的線性組合，零向量與任何同維實向量正交.

②單個零向量線性有關；單個非零向量線性無關.

③部分有關,整體必有美；整體無關,部分必無關.（向量個數(shù)變動）

④原向量組無關，接長向量組無關；接長向量組有關，原向量組有關.（向量維數(shù)變動）

⑤兩個向量線性有關O對應元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關.

⑥向量組優(yōu)1"2,…,與中任歷來量々（1WY〃）都是此向量組的線性組合.

⑦若以1，2,…,線性無關，而外?！?線性有關，則網(wǎng)J?由%，1，°..，為線性表達,且表達法唯一

4.最大無關組有關知識

最大無關組

若在向鍛組4中找到，個向屆修.…，a,滿足

向量組的秩|向量組%，如，…，斯的極大無關組所含向

（1）4:al.a2,--.ar線性無關，

（2）.4中任一向屈都可由也收示，

則同尿組.4。是向尿組X的一個?大無關但量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩?記作r（a】，a2，Rn）

向量空間的基

設/為向H空間，若有r個向量%,即…,aeK且滿足

r矩陣等你從通過有限次初等變換化為民

①%,o2,…..線性無關;

②/中任響狀都可由％,%…,外線性及示

則稱向黃組叫…,0,就稱為向誠空間/的一個基.向量組等價|…，斯和A1，“2,…，“可以互相線

基礎解系

性表達.記作：（%以2，,,???n）=（Bl，/，…，Bn）

匕齊次線性方程組小■=（）的?組解向抬彳.曷,….曷滿足

⑴身之，…4線性無關;

（2）4r=0的任一解都可山配芻，…，與線性表示.①矩陣的行向量組的秩二列向量組的秩=矩陣的

則稱7.%…%稱為出?=0（由一個基礎解系.

秩.

行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).

②矩陣的初等變換不變化矩陣的秩，且不變化行（列）向量間的線性關系

③向量組*1，色，…，色可由向量組％以2,…,口嘴性表達，且6>%則61，魚，…人線性有關.

向量組價/2,…線性無關,且可由伍1。2,…，斯線性表達,貝（JS近幾

④向量組。1/2，?，色可由向量組…必噬性表達，且r（角，82，-/s）=r（S"2，"n）,則兩向量組等價；

⑤任歷來量組和它的極大無關組等價.向量組的任意兩個極大無關組等價.

⑥向量組的極大無關組不唯一，但極大無關組所含向量個數(shù)唯一確定.

⑦若兩個線性無關的向量組等價，則它們包括的向量個數(shù)相等.

⑧設A是6X〃矩陣，若r（4）=加，4的行向量線性無關；

5.線性方程組理論

線性方程組的矩陣式Ax=0向量式xia1+x2a2^-+xnan=fi

ttna12

a

A=a2122

\amlnm2

(1)解得鑒別定理

定理：，元線性方程組//=，

①無解的充分必要條件是久Z)〈成兒功；

②有唯一解的充分必要條件是K(㈤=々4方)=〃；

③有無限多解的充分必要條件是=魔4例v〃.

(1)41藺2是Ax=。的解用1+42也是它的解，

力通過初等行變題矗嬴嘉赫峨熱微耀鱉齊次方程組

(1)將增廣矩陣(4

,，榔西t微飆墨囂X』的解

⑵當"4b)=r(A)=/,<??時，/

應的〃一，?個變景作為自由兀；(5)"1司2是4%=俏勺兩個解詞1?〃2是其導出組4M=。的解

零，第省好;瑞陛幡牖累解得忑鬻慧囂

(3)令所有自由元力

分別令一心身前覿獷+硼密跳鄉(xiāng)麒：*：片：：：：：*：0

(4)不計最后一列，

(2)線性為犍細斕觸也=0的基礎解系；

⑶喇高踹埼渣修筑建歌翁熱口通解

x=%+2烏+k2a2+...+kn_ran_r

其中攵綠黑勺嫖；辨颼常數(shù).

②"1刀2L，%都是4%=。的解;

③s=〃-r(4)=每個解向量中自由未知量的個數(shù).

(4)求非齊次線性方程組Ax=b的通解的環(huán)節(jié)

(5)其他性質

一種齊次線性方程組的基礎解系不唯一.

4若"'是4彳="的一種解，門怎…也是配=。的一種解司*線性無關

V4M=0與8%=o同解（AB列向量個數(shù)相似）w（8）=『⑷=，?⑻，且有成果：

①它們的極大無關組相對應,從而秩相等；

②它們對應的部分組有同樣的線性有關性；

③它們有相似的內在線性關系.

V矩陣A版xn與%xn的行向量組等價o齊次方程組4%=。與同解oPA=8（左乘可逆矩陣P）.

矩陣41nxn與由xn的列向量組等價oAQ=8（右乘可逆矩陣Q）.

第四部分方陣的特性值及特性向量

1.施密特正交化過程

2.特性值、特性向量的性質及計算

3.矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化

1.①|原則正交基兒個，嘴線性無關的向量，兩兩正交，每個向量長度為L

n

?E（a￡）=力i陽+。202+”+0君”

②闞量司目肺胴品就目麻吼E*郵的內積|3

③團招1而到（a，*）=0.記為：aLR

n

in_,_rt-l|a||=\/（?^）=y??=V?i+避+…+?n

④恤量卜，二（就iftL?口的長度|

⑤區(qū)I是單位向旬||?||=7位於=1.即長度為1的向量.

2.內積的性質：①正定性：3。）20,且3。）==。

②對稱性：（a*）=（Ra）

③線性性：（01+%0）=（。1/）+3/）

（kaf）=k（af）

3.①設4是一種〃階方陣，若存在數(shù)入和〃維非零列向量七使得

Ax-Axt

則稱a是方陣A的一種特性值，X為方陣A的對應于特性值人的一種特性向量.

②國的特性矩麗版-川=。（或％?川=0）.

③同的特性多頊司ME-川=</>（入）（或以?罔=奴入））.

④是矩陣A的特性多項式=。（4）=°

=tvA

⑤網(wǎng)二人也…〃1,口乂稱為矩陣A的圈

?上三角陣、下三角陣、對角陣的特性值就是主對角線上的〃各元素.

⑦若網(wǎng)=0,則入=0為A的特性值,且ar=。的基礎解系即為屬于a=°的線性無關的特性向量.

82，…，bn)

2

⑧r（A）=1=4一定可分解為A='、A=+a2h2+???+anbn)A從而4的特性值

為：入1=trA=albl+做力2+…+力%久2=23=",=兒=0

⑥（aiezL,?！保?1為4各行的公比，（%為2,…力n）為4各列的公比.

⑨若4的所有特性值入管2,???，〃，/（A）是多項式，則：

①若4滿足/（4）=0=4的任何一種特性值必滿足八人）二°

②f（4）的所有特性值為/〔'D/az'i/an'i/wiu/aD/azA/an）.

⑩A與才，有相似的特性值，但特性向量不一定相似.

4.特性值與特性向量的求法

（1）寫出矩陣A的特性方程伊-入團=0,求出特性值乙.

（2）根據(jù)（％—4E）"二°得到A對應于特性值乙的特性向量.

設同％=0的基礎解系為-其中門=??1乃）

則A對應于特性值乙的所有特性向量為的匕+稼2+”+%-r/n-r,

其中"通2，“陽tF為任意不全為零的數(shù).

②⑷與同正交麗P-^P=B（P為正交矩陣）

③力可以相似對角正從與對角陣力相似.（稱力是從的麗原則形|）

6.相似矩陣的性質：

①ME-用=ME-團,從而4B有相似的特性值,但特性向量不定相似.

③a是A有關癡的特性向量,P%是8有關癡的特性向量.

②行4=trB

③網(wǎng)=1即從而48同步可逆或不可逆

④r(i4)=r⑻

⑤若4與8相似，則。的多項式/?)與8的多項式/(4)相似.

7.矩陣對角化的鑒定措施

①〃階矩陣A可對角化(即相似于對角陣)的充足必要條件是A有〃個線性無關的特性向量.

這時,P為人的特性向量拼成的矩陣，P-為對角陣,主對角線上的元素為4的特性值.

設々為對應于4的線性無關的特性向量,則有：

%

P-1AP=面.

*

②4可相似對角化o"-『(AE-4)=k，，其中也為人的重數(shù)恰有衣線性無關的特性向量.

當乙=°為A的重的特性值時，4可相似對角化的重數(shù)=〃-『5)=4刀=。基礎解系的個數(shù).

③若八階矩陣A有幾個互異的特性值=4可相似對角化.

8.實對稱矩陣的性質：

①特性值全是實數(shù),特性向量是實向量；

②不一樣特性值對應的特性向量必然正交：

?：對于一般方陣，不一樣特性道對應的特性向量線性無關；

③一定有，一線性無關的特性向量,若A有重的特性值，該特性值4的重數(shù)="?r(4E~A\

④必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為原則形；

⑤與對角矩陣協(xié)議，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為原則形：

⑥兩個實對稱矩陣相似o有相似的特性值.

9.正交矩陣AAr=E

正交矩陣的性質：①」；

②AAT=ArA=E.

③正交陣的行列式等于1或-1;

④A是正交陣，則不，4,也是正交陣；

⑤兩個正交陣之積仍是正交陣；

@A的行（列）向量都是單位正交向量組.

10.

求正交矩陣T,把實對稱矩陣.4化為對角陣的方法：

1.解特征方程|以一；1萬|=0,

求出對稱陣$的全部不同的特征值乙,4，…，4

2.對每個特征值4,求出對應的特征向量，

即求齊次線性方程組（/-^E）x=0的基礎解系。

3.將屬于每個4的特征向量先正交化，再單位化。

這樣共可得到〃個兩兩正交的單位特征向量小,柩,,小

4.以…，力為列向量構成正交矩陣T=（"1，/，…，％）

有L/T=A

u.施密特正交規(guī)范化

為"2"3線性無關，

81=。1

（“2，角）

正交化（PI-PI）

（。3，。1）（。3，夕2）

角二03-前瓦/一詼而色

“1"2A3

單位化廊i%=||而一兩

技巧：取正交的基礎解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一種解向量正交，再把第二個解向量

代入方程，確定其自由變量.

第四部分二次型

1.二次型及其矩陣形式

2.二次型向原則形轉化的二種方式

3.正定矩陣的鑒定

/,(xx,-；x)=，￡aijXiXf=(xx,

b2nb2=XTAX

<=1/=1

1.①二次型

其中4為對稱矩陣，無=（打/2，”浦丁

②14因B脅回CTAC=B,（48為實對稱矩陣,C為可逆矩陣）

③怔慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項項數(shù)P負慣性指數(shù)|二次型的規(guī)范形中負項項數(shù)「-P

符號差2p-r（r為二次型的秩）

④兩個矩陣協(xié)議o它們有相似的正負慣性指數(shù)o他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等.

⑤兩個矩陣協(xié)議的充足條件是：。與B等價

⑥兩個矩陣協(xié)議的必要條件是