2025年高考數(shù)學壓軸訓練24

一.選擇題（共9小題）

1.（2024?阜陽模擬）在二項式的展開式中，下列說法正確的是（）

2x

A.常數(shù)項為"B.各項的系數(shù)和為64

4

C.第3項的二項式系數(shù)最大D.奇數(shù)項二項式系數(shù)和為-32

2.（2024?博白縣模擬）文娛晚會中，學生的節(jié)目有5個，教師的節(jié)FI有2個，如果教師的節(jié)目不排在第

一個，也不排在最后一個，并且不相鄰，則排法種數(shù)為（）

A.720B.1440C.2400D.2880

3.（2024?南京模擬）有5個人到南京、鎮(zhèn)江、揚州的三所學校去應聘，若每人至多被一個學校錄用，每

個學校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（）

A.300B.360C.390D.420

4.（2024?石家莊模擬）現(xiàn)將四名語文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學教師分配到三所不同學校，每個學

校三人，要求每個學校既有心理教師又有語文教師，則不同的安排種數(shù)為（）

A.216B.432C.864D.1080

5.（2024?西安二模）老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至

少分得一本，則不同的分法有（）

A.248種B.168種C.360種D.210種

6.（2024?安徽模擬）將I到50這50個正整數(shù)平均分成4、3兩組，每組各25個數(shù)，使得4組的中位數(shù)

比3組的中位數(shù)小1,則共有（）種分法.

A.匿B.以

C.D.（3>

7.（2024?貴州模擬）在（工一步）6的展開式中，下列說法錯誤的是（）

A.二項式系數(shù)之和為64

B.各項系數(shù)之和為工

64

c.二項式系數(shù)最大的項為°a

2

D.常數(shù)項為空

16

8.（2024?莆田模擬）用數(shù)字0,1,2,3,5組成沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)，把這些偶數(shù)從小到大排列得

到一個數(shù)列｛%｝，則a25-（）

A.32150B.25310C.32510D.25130

9.（2024?涼山州模擬）五名同學彝族新年期間去邛海濕地公園采風觀景，在觀鳥島濕地門匚五名同學排

成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（）

A.12和1B.24種C.48種D.96種

二.多選題（共6小題）

10.（2024?長沙三模）瑞士數(shù)學家Betikndli于17世紀提出如下不等式：Vx>-1>有

（l+x）r>l+n:,r>l,請運用以卜知識解決如下問題：若〃，則以下不等式正

（l+x）r<l+rr,（）</-<]

確的是（）

A.aa+bh>\B.ab^ba>1C."'+//'>，+/D.aa+bh<ah+b（,

11.（2024?曲靖模擬）下列命題正確的是（）

A.展開式中f的系數(shù)為1

X

B.展開式的常數(shù)項等于20

x

C.（x+,）6展開式的二項式系數(shù)之和為64

x

D.a-!）,展開式的系數(shù)之和為64

x

12.（2024?九江三模）已知二項式;嚴，貝I"）

A.展開式中亡尸的系數(shù)為45

B.展開式中二項式系數(shù)最大的項是第5項

C.展開式中各項系數(shù)之和為1

D.展開式中系數(shù)最大的項是第5項或第7項

13.（2024?河南模擬）關于（夕7尸的展開式，下列判斷正確的是（）

A.展開式共有7項

B.展開式的各二項式系數(shù)的和為128

C.展開式中含父的項的系數(shù)為-49

D.展開式的常數(shù)項為1

14.（2024?福建模擬）已知正整數(shù)x,〃，其中x的因數(shù)不包含3,若（x+3）"的展開式中有且只有6項能

被9整除，則〃的取值可以是（）

A.6B.7C.8D.9

15.(2023?云南模擬)已知(1一2%嚴3=4)+4\+。2/+-+%02/26，貝U()

A.展開式中所有項的系數(shù)和為-1

B.展開式中二項系數(shù)最大項為第1012項

C.5+與+烏+...+縹=7

D.4+2a2+3a3+...+2023a=2023

三,填空題（共6小題）

16.（2024?黃浦區(qū)校級三模）用1~9這九個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位數(shù)中，各個數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)

的奇數(shù)共有個.

17.（2024?南開區(qū)模擬）在（X-的展開式中,戶的系數(shù)為

18.（2024?越秀區(qū)校級一模）若（66-3）60>0）的展開式中含x的項的系數(shù)為60,則片+人的最小值

為

19.（2024?紹興模擬）。-2月5展開式中工4）,的系數(shù)為.

20.（2024?陜西模擬）（2孫？+乂6的展開式中，不含字母y的項為.

21.（2024?陽江模擬）（。+#（17產(chǎn)"展開式中—24的系數(shù)為-2023,則。的值為一.

四,解答題（共4小題）

22.（2024?浙江模擬）最近的一次數(shù)學競賽共6道試題，每題答對得7分，答錯（或不答）得。分.賽后

某參賽代表隊獲團體總分161分，且統(tǒng)計分數(shù)時發(fā)現(xiàn)：該隊任兩名選手至多答對兩道相同的題目，沒有三

名選手都答對兩道相同的題目.試問該隊選手至少有多少人？

23.（2024?順慶區(qū)校級模擬）已知數(shù)列［a,,｝的首項為1,記

nnn2ny

F(x,n)=(I-x)+a2C\x(\-x)~'+a3Cy(1-x)~+.?.+anC^x-(1-x)'+〃￡了”.

(I)若數(shù)列｛《J是公比為3的等比數(shù)列，求產(chǎn)(-1,2020)的值：

(2)若數(shù)列｛q｝是公差為2的等差數(shù)列，

①求證：kC：=心；

②求證：/2020）是關于x的一次多項式.

24.（2024?黔南州二模）1799年，哥廷根大學的高斯在其博士論文中證明了如下定理：任何復系數(shù)一元〃

次多項式方程在復數(shù)域上至少有一根（〃.」）.此定理被稱為代數(shù)基本定理，在代數(shù)乃至整個數(shù)學中起著基

礎作用.由此定理還可以推出以下重要結(jié)論：〃次復系數(shù)多項式方程在復數(shù)域內(nèi)有且只有〃個根（重根按

…，％，若方

重數(shù)計算).對于〃次復系數(shù)多項式/(X)=X"+4T￡“+-+〃/+%，其中4”，'n-2

程/。)=0有〃個復根七，修....乙，則有如下的高階韋達定理:

!>，=，*，

1-1

E與弓=《-2，

速kJn

n

Ex//=-4e

\&<j<kn

%占…X”=(-1)”《)?

(1)在復數(shù)域內(nèi)解方程V+4=0；

(2)若三次方程F+如2+Z?x+c=O的三個根分別是玉=1-i,x2=1+/,芻=2(，為虛數(shù)單位)，求a,b?

c的值；

(3)在“..4的多項式J(t)=x"+…+%x+/中，已知a,i=-1,a{=-n'a,/=a,a為非零實

數(shù)，且方程/(x)=0的根恰好全是正實數(shù)，求出該方程的所有根(用含〃的式子表示).

25.(2024?鼓樓區(qū)校級模擬)設［2x+l)8的第〃項系數(shù)為q.

(I)求知的最大值.

4

X“2i+1

(2)若⑶表示x的整數(shù)部分，S3—,求STS］的值.

2

2025年高考數(shù)學壓軸訓練24

參考答案與試題解析

一.選擇題（共9小題）

1.（2024?阜陽模擬）在二項式（6--1）6的展開式中，下列說法正確的是（）

2x

A.常數(shù)項為"B.各項的系數(shù)和為64

4

C.第3項的二項式系數(shù)最大D.奇數(shù)項二項式系數(shù)和為-32

【答案】A

【考點】二項式定理

【專題】轉(zhuǎn)化思想；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學運算；計算題；綜合法

【分析】直接利用二項式的展開式，賦值法和組合數(shù)以及二項式系數(shù)的和判斷A、8、C、。的結(jié)論.

1163r

【蟀答】解：根據(jù)（6一一）6的展開式通項為卻|=。1（一一）「7^,（/=0,I,2,3,4,5,6）,

2x2

當〃=2時，常數(shù)項為優(yōu)（；尸=：，選項入正確；

令x=l,得各項的系數(shù)和為（1—2）6=-5■，選項8錯誤；

264

展開式共7項，二項式系數(shù)最大應為第4項，故選項C錯誤；

16

依題意奇數(shù)項二項式系數(shù)和為C：+c：+C；+C：=，2以=32,選項O錯誤.

2i=o

故選：A.

【點評】木題考查的知識點：二項式的展開式，組合數(shù)，賦值法.主要考查學生的運算能力，屬于中檔題.

2.（2024?博白縣模擬）文娛晚會中，學生的節(jié)目有5個，教師的節(jié)目有2個，如果教師的節(jié)目不排在第

一個，也不排在最后一個，并且不相鄰，則排法種數(shù)為（）

A.720B.1440C.2400D.2880

【答案】B

【考點】部分元素不相鄰的排列問題

【專題】定義法；對應思想；數(shù)學運算；排列組合

【分析】先將學生節(jié)目進行全排列，再根據(jù)題意將教師節(jié)目插入除首尾以為的4個空中，從而可解.

【辭答】解：根據(jù)題意，先將學生節(jié)目進行全排列共有&=120種排法，

又教師的節(jié)目不排在第一個，也不排在最后一個，并且不相鄰,

則將教師的2個節(jié)目插入到中間4個空中，

則共120x4：=1440種方法.

故選：B.

【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題.

3.（2024?南京模擬）有5個人到南京、鎮(zhèn)江、揚州的三所學校去應聘，若每人至多被一個學校錄用，每

個學校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（）

A.300B.360C.390D.420

【答案】C

【考點】排列組合的綜合應用

【專題】數(shù)學運算：綜合法；整體思想：排列組合

【分析】由排列、組合及簡單計數(shù)問題，結(jié)合分類加法計數(shù)原理及平均分組問題求解.

【蟀答】解：當5個人中有3個人被錄用，

則不同的錄用情況種數(shù)是=60；

當5個人中有4個人被錄用，

則不同的錄用情況種數(shù)是《里■大=180；

當5個人中全部被錄用，

則不同的錄用情況種數(shù)是斗W+與=150,

則不同的錄用情況種數(shù)共有60+180+150=390.

故選；C.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分類加法計數(shù)原理及平均分組問題，屬中檔

題.

4.（2024?石家莊模擬）現(xiàn)將四名語文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學教師分配到三所不同學校，每個學

校三人，要求每個學校既有心理教師又有語文教師，則不同的安排種數(shù)為（）

A.216B.432C.864D.1080

【答案】B

【考點】排列組合的綜合應用

【7題】定義法；對應思想；數(shù)學運算；排列組合

【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合分組分配列式計算得解.

【解答】解：求不同的安排種數(shù)需要分成3步，把3名心理教師分配到三所學校，有A；種方法，

再把4名語文教師按2:1:（1分）成3組，并分配到三所學校，有C；A；種方法,

最后把2名數(shù)學教師分配到只有1名語文教師的兩所學校，有封種方法，

由分步乘法計數(shù)原理得不同的安排種數(shù)為A：&=432.

故選：B.

【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題.

5.（2024?西安二模）老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至

少分得一本，則不同的分法有（）

A.248種B.168種C.360種D.210種

【答案】D

【考點】人員及物品分配問題

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算

【分析】由排列、組合及簡單計數(shù)問題，結(jié)合分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理求解?.

【解答】解：老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一

本，

當甲分2本，乙分I本，丙分3本時，

不同的分法有C：C：=60種；

當甲分2本，乙分2本，丙分2本時，

不同的分法有=90種；

當甲分2木，乙分3木，閃分I木時，

則不同的分法有=60種，

即不同的分法共有60+90+60=210種.

故選：D.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理，屬

中檔題.

6.（2024?安徽模擬）將1到50這50個正整數(shù)平均分成4、A兩組，每組各25個數(shù)，使得力組的中位數(shù)

比3組的中位數(shù)小1,則共有（）種分法.

A.B.

c.盤CD.（Gif

【答案】D

【考點】簡單組合問題；排列組合的綜合應用

【專題】計算題：排列組合；數(shù)學運算；綜合法；方程思想

【分析】根據(jù)題意，由中位數(shù)的定義分析可得甲組的中位數(shù)為25,而此時乙組的中位數(shù)是26,

【解答】解：根據(jù)題意，將1,2,3,…，50這50個正整數(shù)分成甲、乙兩組，每組各25個數(shù),

使得甲組的中位數(shù)比乙組的中位數(shù)小I,

由中位數(shù)的定義，甲組的中位數(shù)為25,而此時乙組的中位數(shù)是26,

在小于25的24個數(shù)中選12個，分到A組，剩下12個分到8組，

在大于25的24個數(shù)中選12個，分到4組，剩下12個分到4組，

共有（C/2種分組方法.

故選：D.

【點評】本題考查排列組合的應用，涉及中位數(shù)的定義，屬于中檔題.

7.（2024?貴州模擬）在（工一今成的展開式中，下列說法錯誤的是（）

A.二項式系數(shù)之和為64

B.各項系數(shù)之和為

c.二項式系數(shù)最大的項為2S*-

D.常數(shù)項為"

【答案】C

【考點】二項式定理

【專題】綜合法；二項式定理；數(shù)學運算：轉(zhuǎn)化思想；計算題

【分析】由題意先求出〃的值，利用二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷各個選項是否

正施，從而得出結(jié)論.

【解答】解：（x——!尸）6的展開式中，二項式系數(shù)之和為2°=可,故A正確：

令x=l,

根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得當r=3時，展開式中二項式系數(shù)最大，

即展開式的第4項的二項式系數(shù)最大，故。錯誤；

根據(jù)通項公式為鴛=《?尸.（一古廠—乂-權/二令6-3=0,求得r=4,

可得展開式中常數(shù)項為7；=亡故。正確.

216

故選：c.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

8.（2024?莆田模擬）用數(shù)字0,I,2,3,5組成沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)，把這些偶數(shù)從小到大排列得

到一個數(shù)列{%},則叼5=（）

A.32150B.25310C.32510D.25130

【答案】C

【考點】部分位置的元素有限制的排列問題

【專題】綜合法；排列組合；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；計算題

【分析】由分類加法計數(shù)原理及排列數(shù)公式求解即可.

【蟀答】解：數(shù)字1在萬位的偶數(shù)（0,2為個位）有用個=12個；

數(shù)字2在萬位的偶數(shù)（0為個位）有A；=6個；

數(shù)字3在萬位，0在千位的偶數(shù)（2為個位）有&=2個：

此時共12+6+2=20個偶數(shù)，

隨后5個偶數(shù)從小到大為3052,31502,31520,32150,32510,所以第25個數(shù)是32510,

即知=32510.

故選：C.

【點評】本題主要考查簡單的計數(shù)問題，考查運算求解能力，屬于中檔題.

9.（2024?涼山州模擬）五名同學彝族新年期間去邛海濕地公園采風觀景，在觀鳥島濕地門「五名同學排

成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（）

A.12和1B.24種C.48種D.96種

【答案】B

【考點】部分元素不相鄰的排列問題

【專題】對應思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算

【分析】甲和乙相鄰利用捆綁法，丙和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的一人共“2人”

排列，再插空排丙和丁.

【蟀答】解：甲和乙相鄰，捆綁在一起有A；=2和、

再與丙和丁外的1人排列有8=2種，

再排丙和丁有&=6種,

故共有6?用?A；=2x2x6=24種排法.

故選：B.

【.點評】本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，考查運算求解能力，屬于中檔題.

二,多選題（共6小題）

10.（2024?長沙三模）瑞士數(shù)學家為而防Bem。山i于17世紀提出如下不等式：Vx>-1,有

(l+x)r>1+rv,r>l

請運用以上知識解決如卜.問題：若0<〃<10<Z?<1?a=b,則以卜不等式正

(1+x)r<1+rr,0<r<1

確的是（）

A.a（,+bh>1B.ah+ba>\C.af,+bh>+haD.aa+bh<ah+b"

【答案】ABC

【考點】二項式定理

【專題】轉(zhuǎn)化思想；構造法；定義法；導數(shù)的綜合應用；邏輯推理；數(shù)學運算

【分析】選項人中，根據(jù)題意得出/>1,所>1,求和即可；

22

選項8中，根據(jù)題意得出/>—仁，,根據(jù)同向不等式相加，求解即可；

a-bb+a

選項C、D,不等式廢+從〉d+口,可化為-父>/-優(yōu)，構造函數(shù)〃（x）=f-x"，利用導數(shù)判斷函

數(shù)的單調(diào)性，求解即可.

【釋答】解：對于A,因為后一工>一加2,所以廢>,，則才+/>_1+4=1；

e222

對于8,因為非=/2———,同理〃則〃+少>，二+/_=］；

（1/1+心_］）"a+bb+aa+bb+a

aaa

對于C,要證明a“+戶>"+",也即證明廿一（>要-地，只要證明3％<1時,h（x）=xb-犬在區(qū)間出,

1）上單調(diào)遞減.

求導數(shù)，得/7'（l）=加1-辦“7=欣"（2--），由2一尸=0，得X=（2）R,且a/T>0,

aaa

結(jié)合辱函數(shù)y=4”的性質(zhì)得:當xN昌士時，心）,0,心）在區(qū)間心）次內(nèi)）上單調(diào)遞減，即x=（2啟

aaci

時，函數(shù)以x）取得最大值，從而只需證明此（與片，變換得：紇/尸o4（_L嚴，因為

aabb

az,

（l）^=（|+l-l）-<14-（l-l）（o-Z?）=2+/?-a<2,故得證；

綜上，若0<8<avl,不等式a"+W'>W"成立，選項C正確，。錯誤.

故選：ABC.

【點評】本題考杳了函數(shù)與不等式的應用問題，也考查了推理與運算能力，是難題.

11.（2024?曲靖模擬）下列命題正確的是（）

A.（x-L）6展開式中f的系數(shù)為1

x

B.（x+L），展開式的常數(shù)項等于20

C.（x+3“展開式的二項式系數(shù)之和為64

x

D.*-』）6展開式的系數(shù)之和為64

x

【答案】ABC

【考點】二項式定理

【專題】數(shù)學運算；計算題；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；二項式定理：邏輯推理

【分析】根據(jù)給定二項式，利用展開式的通項公式計算可判斷選項A,B；根據(jù)二項式系數(shù)之和為2”可判

斷選項C;令x=l,可得所有項系數(shù)之和進而判斷選項。.

【解答】解：對于選項A：由（x-L）6展開式的通項為&產(chǎn)C：產(chǎn)'（一3'=（-1）'禺產(chǎn)，（==0,1,2廣.,6）,

xx

令6-2r=6,解得，=0,所以含f的項為工=（-1）?；?=16,此時系數(shù)為1,故A正確；

對于選項8：由（x+’F展開式的通項為7；+i=C；e'dy=Qe2'G=0,l,2L.,6）,

XX

令6-2〃=0,解得r=3,所以常數(shù)項為q=C%°=20,故8正確：

對于選項C：由“+'）6可知〃=6,所以二項式系數(shù)之和為于=64,故C正確；

x

對于選項。：令X=l,可得所有項系數(shù)之和為（1-1）6=0,故。錯誤.

故選：ABC.

【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題.

12.（2024?九江三模）已知二項式尸，則（）

y

A.展開式中fy-2的系數(shù)為45

B.展開式中二項式系數(shù)最大的項是第5項

C.展開式中各項系數(shù)之和為1

D.展開式中系數(shù)最大的項是第5項或第7項

【答案】AD

【考點】二項式定理

【專題】綜合法；數(shù)學運算；二項式定理；整體思想

【分析】由已知結(jié)合二項展開式式系數(shù)及系數(shù)的性質(zhì)檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：因為心=4”，(二)'=(一1八品，。-，二，

y

A：令10-尸=8,即廠=2,展開式中丁尸的系數(shù)為4=45,正確；

B：展開式共II項，故二項式系數(shù)最大的項為第6項，錯誤；

C：令x=y=l,則展開式各項系數(shù)和為0,錯誤；

D：當，?為奇數(shù)時，系數(shù)為負，當，?為偶數(shù)時，系數(shù)為正，

故展開式中，r=4或r=6系數(shù)最大項為第5或第7項，正確.

故選：AD.

【點評】本題主要考查了二項展開式系數(shù)及展開式系數(shù)的性質(zhì)的應用，屬『中檔題.

13.(2024?河南模擬)關于(⑺-4的展開式，下列判斷正確的是()

A.展開式共有7項

B.展開式的各二項式系數(shù)的和為128

C.展開式中含V的項的系數(shù)為-49

7

D.展開式的常數(shù)項為例

【答案】BD

【考點】二項式定理

【專題】數(shù)學運算；二項式定理；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；計算題；綜合法

【分析】根據(jù)二項式展開式的性質(zhì)判斷4,二項式系數(shù)和為判斷8,寫出展開式的通項，即可判斷C,令

x-O,可得展開式中常數(shù)項，即可判斷。.

【解答】解：對于A,因為〃=7,故展開式共有7+1=8項，故A錯誤；

對于B,展開式的各二項式系數(shù)的和為2?=128,故〃正確；

7rrr7r

對于C,展開式的通項公式為：rr^=C；(y/7)-(-x)=C；(-l)(y/7)-x\(^

故含3的項的系數(shù)為C(-1)5(J7尸=747,故C錯誤；

對于。，令；v-O,展開式的常數(shù)項為(b-0)7=7:故。正確.

故選：BD.

【點評】本題考兗的知識點：二項式的展開式，賦值法，組合數(shù),主要考查學生的運算能力，屬于中檔題.

14.(2024?福建模擬)已知正整數(shù)x,〃，其中x的因數(shù)不包含3,若(x+3)"的展開式中有且只有6項能

被9整除，則〃的取值可以是()

A.6B.7C.8D.9

【答案】AB

【考點】二項式定理

【專題】數(shù)學運算；二項式定理；計算題；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；綜合法

【分析】利用二項式定理及其通項公式分類討論計算即可.

【解答】解：易知（X+3）"的展開式的第4+1項為C""3（鼠，。，

即當〃..2時必能被9整除，即至少有〃-1項可被9整除，

故轉(zhuǎn)為研究當k=0,1時是否滿足題意，

當〃=0時，該項為。：％"=父，由于尤的因數(shù)不含3,故無法被9整除；

當2=1時，該項為。：產(chǎn)1乂3=3，廣1

若〃為3的倍數(shù)，則該項可被9整除；

若&=1時該項可被9整除，則共有〃項可被9整除，

此時〃=6,為3的倍數(shù)，成立，

若4=I時該項不可被9整除，則共有〃-1項可被9整除，

此時〃=7,符合題意.

綜上，〃可以為6或7.

故選：AB.

【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，整除問題的應用，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題.

15.（2023?云南模擬）已知（1-2產(chǎn)"”印+即入+小產(chǎn),則（）

A.展開式中所有項的系數(shù)和為-1

B.展開式中二項系數(shù)最大項為第1012項

「4+生+%,%023_1

。y25-2^?*2^T__

D.4+2a2+36+…+2023a2023=2023

【答案】AC

【考點】二項式定理

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；二項式定理；數(shù)學運算

【分析】A.令x=l進行求解..

B.展開式中二次系數(shù)最大值的預有兩項.

C.令1=0或4=」進行求解.

2

。.先對等式兩邊對x求導數(shù)，然后令x=l進行計算即可.

【解答】解：令x=l,得所有項系數(shù)和為(1-2)的=-1,故A正確，

?.?〃=2023,.?.展開式中有2024項，則展開式中二項系數(shù)最大項為第1012項或1013項，故8錯誤，

令.丫=0得，4=1,令人舊得(]_2xg嚴=%+?+?+…+黑=0,

???安雜…+舞=/=一，故。正確，

20222022

等式兩邊對x求導數(shù)得一2x2023(1-2A)=%+2a2x+36/+…+2023a2o2_,x,

令丫=1得q+2/+3勾+…+20234g=-4046?故。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法以及求導數(shù)法進行計算是

解決本題的關鍵，是中檔題.

三,填空題(共6小題)

16.(2024?黃浦區(qū)校級三模)用1~9這九個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位數(shù)中，各個數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)

的奇數(shù)共的84()個.

【考點】數(shù)字問題

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學運算

【分析】由排列、組合及簡單計數(shù)問題，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理及分類加法計數(shù)原理求解.

【解答】解：用1~9這九個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位數(shù)中，各個數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)可分為2

類：

①當數(shù)位上數(shù)字為奇數(shù)且個數(shù)為2時，

則有用=720個；

②當數(shù)位上數(shù)字為奇數(shù)且個數(shù)為4時，

則有8=120個，

則各個數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有720+120=840個.

故答案為：840.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分步乘法計數(shù)原理及分類加法計數(shù)原理，屬

中檔題.

17.(2024?南開區(qū)模擬)在(x-±)s的展開式中，『的系數(shù)為—竺

2.v2

【答案】—.

2

【考點】二項式定理

【專題】綜合法：數(shù)學運算；計算題：轉(zhuǎn)化思想；二項式定理：邏輯推理

【分析】直接利用二項式的展開;弋和組合數(shù)的應用求出結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)二項式的展開式&=(7；?(一/產(chǎn)(r=0,1,2,3,4,5),

當r=2時,/的系數(shù)為C；.(-手號.

故答案為：

2

【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題.

18.(2024?越秀區(qū)校級一模)若3&-?)6s>0)的展開式中含x的項的系數(shù)為60,則/+〃的最小值為

2粒

【答案】2丘.

【考點】二項式定理

【專題】數(shù)學運算：轉(zhuǎn)化思想；二項式定理；轉(zhuǎn)化法

【分析】求出通項公式，利用項的系數(shù)得到方程，求出/A=2,進而由基本不等式求出最小值.

【解答】解：二項展開式的通項為7；+i=(-l)'C"”x*=(-iyC；a6-,yx3-7r=0,L2,---,6),

令3-「=1得r=2,

24242

/.T3=(-l)C-abx=15abx,依題意得，15a/=60(/?>0),

a2b=2>

2炳=2&,當且僅當/=/,,即〃=±啦2=&時，等號成立.

.?./+〃的最小值為2&.

故答案為：2夜.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

19.(2024?紹興模擬)(x-2y)5展開式中;6,的系數(shù)為_-式_.

【答案】-10.

【考點】二項式定理

【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計算題；二項式定理；數(shù)學運算：邏輯推理

【分析】根據(jù)二項式定理計算即可.

【解答】解：設的通項為卻=。；尸(-2)，),n&=G?(-2)，產(chǎn)了，

當,.=1時，7；=C；-（-2）'x4y=-10.r4y.

故答案為：-10.

【點評】本題考查的知識要點：二項式的展開式，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

20.（2024?陜西模擬）（2，4+與的展開式中，不含字母），的項為_60/_.

【答案】60x2.

【考點】二項式定理

【專題】函數(shù)思想；綜合法；數(shù)學運算；二項式定理

【分析-】利用二項式定理，可得⑵9尸+_1）6的展開式中，不含字母）,的項.

【辭答】解：（2不，2+工）6的展開式中，不含字母）,的項為0：（3*2冷，2）2=15*4/=60工2.

故答案為：60/.

【點評】本題考查二項式定理，考查運算求解能力，考查數(shù)學運算核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

21.（2024?陽江模擬）（4+工）（1-幻2024展開式中/024的系數(shù)為_2023,則a的值為1.

【答案】1.

【考點】二項式定理

【專?題】數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；二項式定理；轉(zhuǎn)化法

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項式定理，即可求解.

【解答】解：（1-刈2儂展開式的通項公式為（7=44（-1）”,，

（a+x）（l-X）2024展開式中―24的系數(shù)為-2023,

則囂+LC囂（一仆=一2023,即a-2024=-2023,解得a=l.

故答案為：1.

【點評】本題主要考查二項式定理，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題.

四,解答題（共4小題）

22.（2024?浙江模擬）最近的一次數(shù)學競賽共6道試題，每題答對得7分，答錯（或不答）得0分.賽后

某參賽代表隊獲團體總分161分，且統(tǒng)計分數(shù)時發(fā)現(xiàn)：該隊任兩名選手至多答對兩道相同的題目，沒有三

名選手都答對兩道相同的題目.試問該隊選手至少有多少人？

【答案】7.

【考點】排列組合的綜合應用

【專?題】邏輯推理；排列組合；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想

【分析】利用圖表列舉所有情況，結(jié)合排列組合公式計算求解即可.

【解答】解：設該隊有〃名選手，分別記為4，記6道題的編號依次為1,2,…，6,以編

號為行、選手為列作一個6.172的方格表，

如果選手q(i=l,2,〃)答對第J(/=l,2,6)題，就將方格表中第/行第i列的小方格(川)的中心染成紅

點，

,11,

我們的問題就是在6x〃的方格表中，不存在“橫”6點矩形；和“縱”6點矩形L--；的情況，且

至少有23個紅點時，求〃的最小值.

如第1列有6個紅點，那么，后面各列至多有2個紅點，

因為C：=15>9,于是，取第2至10列，其中第2至9列每列有2個紅點，第1。列I個紅點(如圖)滿

足題設，這說明〃的最小值不大于10.

1nZai0506%08%J」

???

????

?????

?????

????

??

我們發(fā)現(xiàn)，可通過將第1列中某點移到此點所在行的其他列中來減少圖6的列數(shù)，

如作移動(6,1)->(6,2),可同時作移動(4,10)-(6,3),(3,9)-(6,4),(5,9)->(6,7),這

樣便得到有23個紅點的圖甲,

圖甲圖乙

下而證明：〃的最小值大于6.

對于一個恰有6列的力格表，由抽屜原理知至少有一列紅點數(shù)不少于4,不妨設第1歹U,且第1列的前4

行的小方格的中心是紅點，

如果某列有2個紅點，則稱其為某列上的一個紅點“行對”，這樣在前4行中，除第1列外的5列中每列

只能有一個行對.于是，前4行中總共有C：+5=ll個行對.

考慮最后兩行：若第1列還有紅點，那么，有紅點的這一行不能再有其他的紅點，如第1列還有2個紅點，

這時能增加9個行對，6x6方格表中共有11+9=2,個行對；

如第1列還有I個紅點，不妨設第1列第5行的小方格有紅點，

這時即使第6行除第1列外的其他小方格都有紅點，那么，可增加C：+5x2=14個行對,6乂6方格表中共

有11+14=25個行對；

如第1列沒有其他的紅點，那么，在最后兩行中最多還有兩個行對，這兩個行對占去了兩列，在余下的三

列中，每列最多有1個紅點，

于是，可增力口行對2x5+3x2=16個，這時，6x6方格表中最多有11+16=27個行對.這說明27是可能

的行對總數(shù)的最大值，

設第i列的紅點數(shù)為毛（，=1.2,…，6）,且￡>：=女，則所有行對的總數(shù)汽C；427,

r-li-l'

即之心口2K54,

r=1r=l

由柯西不等式有￡菁2之毛）=1公,

1=16j=i6

所以勺Wk+54,

6

解得3歷0ZK3+3歷，

由左為正整數(shù)知匕21,這說明6x6方格表中紅點個數(shù)最多為21個，

又當〃,,5時，方格表中紅點總數(shù)不大于4r5=2。個，這說明〃的最小值不小于7.

綜上，該代表隊至少有7名選手.

【點評】本題考查排列組合的應用，屬于難題.

23.（2024?順慶區(qū)校級模擬）已知數(shù)列｛凡｝的首項為1,記

尸x）"+生￡、（1一％尸+a,C>2（l-xr2+…+.

（I）若數(shù)列｛q｝是公比為3的等比數(shù)列，求產(chǎn)（-1,2020）的值；

（2）若數(shù)列｛《｝是公差為2的等差數(shù)列，

①求證：kC：="端；

②求證：尸（x,2020）是關于x的一次多項式.

【考點】二項式定理

【專題】數(shù)學運算；計算題；轉(zhuǎn)化思想：二項式定理；邏輯推理；證明題

【分析】(I)等比數(shù)列結(jié)合二項式定理可解決該問題；

(2)①利用組合數(shù)公式解決；

②利用二項式定理和①結(jié)論解決.

【解?答】解：(1)由題意=3""，廣(X

ri)=(1-x)n+(3x)(1-x)n-l+C^(3.r)2(l-x)n~2+...+C；(3x)n=(1+2x)n,

F(-l,2020)=(l-2)202°=l：

n\〃(〃一力

(2)①證明：kC：=k

kl(n-ky.(k-1)!(〃一&)!

②證明：?.?數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列，.??q=2〃-I.則

n

F(x,〃)=4c：(1一x)"+a2cM1-+…+aW?(D+an+lC：x

=C：(l-x)"+(1+2)C：X(1-x)n-l+(1+4C>2(1-x)n-2+…+(1+2/?)C；；Z

二C(1-x)"+C>(1-x)n-'+C；x2(1-x)"-2+...+c；父1+[2C>(1-+2x2(1-x)n~2+...+C；：xn]

由二項式定理知，C；；(l-x)w+C：x(l-x尸+(17廣+…+C；；xn=l(l-x)+xY=1.

又=〃Gt；，，C：X(l7嚴+C*2(17廠2+…+〃

=初小】嵐17嚴+爐a7)”“十…十y二國

=閡。3(1尸+c^xd-xr2+…+c*]

=nx[(l-x)+x]n~]=nx,

所以F(x,n)=1+2ztr,/.F(x,2020)=I+4040x是關于x的一次多項式.

【點評】本題考查二項式定理、等差等比數(shù)列、組合數(shù)公式、一次函數(shù)、轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學運算能力及

推理能力，屬于難題.

24.(2024?黔南州二模)1799年，哥廷根大學的高斯在其博士論文中證明了如下定理：任何復系數(shù)一元〃

次多項式方程在復數(shù)域上至少有一根(幾』).此定理被稱為代數(shù)基本定理，在代數(shù)乃至整個教學中起著基

礎作用.由此定理還可以推出以下重要結(jié)論：〃次復系數(shù)多項式方程在復數(shù)域內(nèi)有且只有〃個根(重根按

重數(shù)計算).對于〃次復系數(shù)多項式f(x)=x"+4"_]-+…+4工+g,其中凡〃"_2，…，4)cC，若方

程/。)=0有〃個復根內(nèi)，%....工，則有如下的高階韋達定理:

E七弓=q-2，

|§）<7/I

<

l?J<j<kn

入工2…七=（一）"%?

（1）在復數(shù)域內(nèi)解方程f+4=（）：

（2）若三次方程V+G?+〃x+c=O的三個根分別是內(nèi)=1-i,x2=1+/,凡=2（，為虛數(shù)單位），求a,b,

c的值；

（3）在〃..4的多項式/（x）=x"+…+4%+41中，已知/_]=T，q=/=〃，”為非零實

數(shù)，且方程/。）=0的根恰好全是正實數(shù)，求出該方程的所有根（用含〃的式子表示）.

【答案】（1）x=±27；

（2）a=4,b=6?c=T；

⑶—.

【考點】類比推理；二項式定理；復數(shù)的運算

【專題】綜合法；邏輯推理；數(shù)學運算；二項式定理；數(shù)系的擴充和復數(shù)；轉(zhuǎn)化思想；計算題

【分析】（I）根據(jù)題意直接解方程即可；

（2）根據(jù)題意結(jié)合韋達定理分析運算求解；

（3）根據(jù)題意結(jié)合韋達定理可得玉+…+七,=1，結(jié)合不等式可得'+'+…+’..〃2,由

,砧…k+*…+???+%七…匕=（T嚴（-〃七）可得_L+_L+…+_L=〃2,結(jié)合不等式成立條件分析

"2…Z=（T）Z百々4

求解.

【解答】解：（1）由f+4=0,可得f=_4,解得x=±2i.

x1+x2+x5=-a

（2）由題意可知：-xtx2+x2xy+xrv3=b,

XyX2X3=-C

4=-a

將5=1—,x2=1+/,占=2代入可得,6=。，

4=-c

所以a=4,b=6,c=-4.

(3)設。=(4，〃2「、可)，〃=S也，…也)，

49a、9...cin9b、,b],???，b,>0,

因為ia$l”I訓5|,當且僅當及/序時,等號成立，

可得|a}b]+a2b2+…+cinbn\,,Qa；+a：+…+a；?Qb；+b?+…+b：,

即afy+a/+…+。也,荷+a；+…+a；?Jb；+片+…+8,當且僅當烏"二生二…二色"時，等號成立,

~'瓦b2btl

因為方程/(x)=x"+q+…+〃/+《)=()的根恰好全是正實數(shù)，

2

設這〃個正根分別為芭，x2,...?x“且a”_[=-l,a]=-na,/=a，

X1+x2+??-+=1

由題意可知：-XjX2?.?XH+X)...XH_,Xn4-...+X2Xy...xn=(-1)1(一〃%),

、%占…X”=(T)"a

因為X[+占+…+X"=1，且X，X2?...?兒均為正數(shù)，

皿111/、/1?、

則—++???H----=(X|+X2+,?，+-%)(-----H+???+)

玉占X1t玉X2X.

當且僅當工='=…=L=L時，等號成立,

王SX”〃

又因為內(nèi)“2??”10-1+內(nèi)-+…+=2*3…X”_[]??]_(~~1)(