2025年高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練14

一.選擇題（共16小題）

I.（2023?東城區(qū)校級模擬〉在空間宜角坐標(biāo)系。-八a中.正四面體的頂點(diǎn)A,8分別在x軸，y

軸上移動.若該正四面體的棱長是2,則|OP|的取值范圍是（）

A.[百一1,6+1]B.[1,3]C.fx/3-l,2]D.[1,G+1]

2.（2024?南湖區(qū)校級一模）正四面體的棱長為3,點(diǎn)M,N是它內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，P為正四面體表

面上的動點(diǎn)，當(dāng)線段MN最長時(shí)，的最大值為（）

95

A.2B.-C.3D.-

42

3.（2024?金安區(qū)校級模擬）正四面體/WC。棱長為6,AP=xAB+yAC+zAD,且x+y+z=l,以A為

球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)M,N,MA=AN,則+的最小值為（）

A.24B.25C.48D.50

4.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）設(shè)A,4.........4是空間中給定的〃個(gè)不同的點(diǎn)，則使之（麗;）=0成立

;=|

的點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.n

C.無窮多個(gè)D.前面的說法都有可能

5.（2024?皇姑區(qū)校級模擬）三核錐尸-A8C所有樓長都等于2,動點(diǎn)M在三棱錐尸-A6C的外接球上，

旦4力-6而=0,|尸團(tuán)的最人值為$,最小值為/,則s:/=（）

A.2B.y/2C.x/3D.3

6.（2024?贛州模擬）已知球O內(nèi)切于正四棱錐P-ABC。，PA=AB=2,“'是球O的一條直徑，點(diǎn)Q為

正四棱錐表面上的點(diǎn)，則QE?Q尸的取值范圍為（）

A.[0,2]B.[4-26,2]C.[0,4-aD.[0,4-2>/3]

7.（2024?重慶模擬）已知空間三點(diǎn)4（），2,3）,B（-2,I,6）,C（1,-1,5）,則以AB、AC為鄰邊

的平行四邊形的面積為（）

A.7B.7x/3C.V14D.—

2

8.（2024?南充模擬）已知正方形八46的邊長為1,則|A*+BC-CA1=（）

A.0B.&C.2D.272

9.（2023?江西模擬）已知點(diǎn)?在棱長為2的正方體表面上運(yùn)動，是該正方體外接球的一條直徑，則

刀的最小值為（）

A.—2B.—3C.—1D.0

10.（2023?德陽模擬）已知7,7,/表示共面的三個(gè)單位向量，Z1J,那么（『+E）-（j+q的取值范圍

是（）

A.[-3,3]B.[-2,2]C.[V2-1,也+1]D.[1-V2,1+&]

11.（2024?朝陽區(qū)一模）在棱長為1的正方體ABC。-A4G。中，E,F,G分別為棱AA,,BC,CC,

的卡點(diǎn)，動點(diǎn)”在平面EFG內(nèi)，且。"=1.則下列說法正確的是（）

A.存在點(diǎn)〃，使得直線OH與直線FG相交

B.存在點(diǎn)H,使得直線D〃_L平面￡P(guān)G

C.直線耳”與平面曰P所成角的大小為（

D.平面aG被正方體所截得的截面面積為短

2

12.（2024?安慶二模）如圖，在長方體ABCO-ABCR中，AB=2AD=2AA1,點(diǎn)E是棱4?上任意一點(diǎn)

（端點(diǎn)除外），貝M）

B.空間中與三條直線AR，EC,8修都相交的直線有且只有I條

C.過點(diǎn)石與平面RAE和平面D4EC所成角都等于工的直線有且只有1條

8

D.過點(diǎn)E與三條棱AB,AD,你所成的角都相等的直線有且只有4條

13.（2024?金東區(qū)校級模擬）已知矩形ABC￡＞，AB=\,BC=6沿對角線AC將△ABC折起，若二面

角5—AC—。的余弦值為-，，則Z?與。之間距離為（）

3

A.IB.x/2C.GD.—

2

14.（2024?東西湖區(qū)校級模擬）如圖所示是一個(gè)以為直徑，點(diǎn)S為圓心的半圓，其半徑為4,F為線

段AS的中點(diǎn)，其中C,D,E是半圓圓周上的三個(gè)點(diǎn)，且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段，若將該

半國圍成一個(gè)以S為頂點(diǎn)的圓錐的側(cè)面，則在該圓錐中下列結(jié)果正確的是（）

B.SA_L平面CE/

C.SD//平面CEFD.點(diǎn)。到平面CEF的距離為2G

15.（2024?衡陽縣校級模擬）已知在平行四邊形AVBC中，V4=VB=2且NAVB=60°,把三角形沿

對角線旗折疊，使得代=|,得到三棱錐V-ABC，如圖所示，則卜.列說法中正確是（I

B.直線與直線VC不垂直

C.直線VC與平面ABC所成角的正弦值等于史

6

D.二棱錐V-ABC外接球的表面枳為色）

II

16.（2024?建鄴區(qū)校級模擬）在長方體/WC￡）-A4GQ中，A4,=3,/W=4）=4,則異面直線AB與

的距離為（）

A.-B.—C.&D.2夜

55

二,多選題（共3小題）

17.（2024?朝陽區(qū)校級模擬）已知正方體ABCD—ABCR邊長為2,動點(diǎn)M滿足

AM=xAB+yAD+zA\（x..0,y..0,z..0）,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)x=y=I,z=g時(shí)，則直線AM_L平面耳8。

B.當(dāng)工=工,2=0,），￡［0』］時(shí)，SM+MO的最小值為

4

C.當(dāng)x+），=l,Z€［O,1］時(shí)，AM的取值范圍為［&,2夜］

D.當(dāng)x+>，+z=l,且4例=4叵時(shí)，則點(diǎn)”的軌跡長度為逋萬

“33

18.（2024?民樂縣校級一模）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.對空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A,B,C,若O戶=xa4+），OA+zOC.,其中X,y,zwR且

x-），+z=l,則P,A,B,C四點(diǎn)共面

B.已知4=（1,-1）,b=（d,\）,不與。?的夾角為鈍角，則d的取值范圍是d<l

c.若cE共線，Wa\-\b\=ia+b\

D.若/；共線，則一定存在實(shí)數(shù)％使得方=而

19.（2023?蕉城區(qū)校級模擬）已知空間單位向量而，PB,PC兩兩夾角均為60。，PA=2PE,BC=2BF,

則下列說法中正確的是（）

A.P、A、B、C四點(diǎn)可以共面B.PA（BC+AC）=--

2

C.\EF\=^-D.cos<AF,CP>=^

三,填空題（共4小題）

20.（2024?海珠區(qū)校級模擬）在空間直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)4占，y,zj和點(diǎn)仇巧，力，z?）兩點(diǎn)之間

的"直角距離"d（A,B）■再-電I+1）1-）‘21+1ZI-z?I.若A和3兩點(diǎn)之間的距離是下>,則A和B兩點(diǎn)之

間的“直角距離”的取值范圍是—.

21,（2024?廣州模擬）已知A,M,N是棱長為1的正方體表面上不同的三點(diǎn)，則而?麗的取值范圍

是—.

22.（2024?中山市校級模擬）已知正四面體人-AC。的棱長為2,若球。與正四面體的每一條棱都相切，

點(diǎn)尸為球面上的動點(diǎn)，且點(diǎn)尸在正四面體面A8的外部（含正四面體面AC。表面）運(yùn)動，則從?尸月的

取值范圍為

23.（2024?拉薩一模）已知x,ywR,空間向量力=（21,x）,5=（4,y,-1）.若〃//5，則2x+j=.

四.解答題（共2小題）

24.（2024?安徽模擬）一般地，〃元有序?qū)崝?shù)對（q,%,…，4）稱為〃維向量.對于兩個(gè)〃維向量&=（q,

a2...,an）,b=（/?（,b?,…b"）,定義兩向量的數(shù)量積為d=￡〃也，向量力的模Id|=Ja…片,

/=1

且|@-而I取最小值時(shí)，/稱為a在日上的投影向量.

（1）求證：.在。上的投影向量為《4f%,+…+*1；；

么+么+…+年

（2）某公司招聘時(shí)對應(yīng)聘者的語言表達(dá)能力（四）、邏輯推理能力（⑸）、動手操作能力（四）進(jìn)行測評，每

門總分均為io分，測評結(jié)果記為一個(gè)三維向量￡=（片，人，四）而不同崗位對于各個(gè)能力需求的比重各

不相同，對于每個(gè)崗位均有一個(gè)事先確定的“能力需求向量”日=（4,6）（4—0,〃工0）將A在日上

的投影向量的模稱為該應(yīng)聘者在該崗位的“適合度”.其中四個(gè)崗位的“能力需求向量”如下：

崗位能力需求向量

會計(jì)

a}=(1,2>2)

技工a=(1,2,3)

推銷員切=(4,2.0)

售后維修員&=(2,193)

（I）應(yīng)聘者小明的測評結(jié)果為,8=（6,7,8）,試分析小明最適合哪個(gè)崗位.

（II）已知小紅在會計(jì)、技工和某崗位A的適合度分別為團(tuán)w3（/zz.>0,z=l,2,3）.若能根據(jù)

這三個(gè)適合度求出小紅的測評結(jié)果，求證：會計(jì)、技工和崗位A的“能力需求向量”能作為空間中的一組

基底.

25.（2022?湖北模擬）如圖所示，在四棱錐--AbC。中，底面A3CD為正方形，Q4_L底面A3C。，PA=AB,

E,〃分別為線段相，4c上的動點(diǎn).

（I）若石為線段距的中點(diǎn)，證明：平面板J_平面PAC；

（2）若BE=6BF，且平面AEF與平面PAC所成角的余弦值為立，試確定點(diǎn)”的位置.

14

2025年高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練14

參考答案與試題解析

一.選擇題（共16小題）

I.（2023?東城區(qū)校級模擬）在空間直角坐標(biāo)系中.正四面體P-ABC的頂點(diǎn)A,8分別在x軸，y

軸上移動.若該正四面體的棱長是2,則IO尸|的取值范圍是（）

A.[75-1,6+1]B.[1,3]C.[6-1,21D.[1,G+1]

【答案】A

【考點(diǎn)】空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)

【專?題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，固定正四面體P-A4C的位置，則原點(diǎn)O在以A8為直徑的球面

上運(yùn)動，

原點(diǎn)。到點(diǎn)P的最近距離等于PM減去球的半徑，最大距離是PM加上球的半徑.

【解答】解：

如經(jīng)所示，若固定正四面體2-他。的位置，則原點(diǎn)O在以為直徑的球面上運(yùn)動，

設(shè)人4的中點(diǎn)為M,則QM=j2二一產(chǎn)二石:

所以原點(diǎn)O到點(diǎn)尸的最近距離等于減去球M的半徑，

最大距離是PM加上球M的半徑；

所以G-1領(lǐng)I|OP|石+1,

即|OP|的取值范圍是[6-1,6+1].

【點(diǎn)評】本題主要考查了點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離與應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題,

是淙合題.

2.（2024?南湖區(qū)校級一模）正匹面體的棱長為3,點(diǎn)V,/V是它內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，〃為正四面體表

面上的動點(diǎn)，當(dāng)線段MN最長時(shí)，的最大值為()

95

A.2B.-C.3D.-

42

【答案】C

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算：綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；球

【分析】設(shè)四面體的內(nèi)切球球心為O,G為ABCZ)的中心，石為CD的中點(diǎn)，連接AG,BE,則O

在AG上，連接笈。，根據(jù)題意求出內(nèi)切球的半徑，當(dāng)MN為內(nèi)切球的直徑時(shí)，MN最長，再化他

產(chǎn)點(diǎn).PN=(PO+OM)(PO+ON)可求得其最大值.

【蟀答】解：設(shè)正四面體A8CD的內(nèi)切球球心為O,G為ABCO的中心，石為CZ)的中點(diǎn)，連接AG,BE,

則O在AG上，連接80,則AO=3O.

因?yàn)檎拿骟w的棱長為3,所以BG=2B石=2x3x3=75,

332

所以AG={AB'-BG'=5^=屈,設(shè)內(nèi)切球的半徑為/?,

則(4G-r)2=/+8G2,(V6-r)2=r2+V32,解得廠=巫，

4

當(dāng)MN為內(nèi)切球的直徑時(shí)MN最長，此時(shí)OA/+OM=0,OMON=-(^-)2=~-,

PMPN=(PO+OM)[P6+ON)

7)3

=PO+PO(OM+ON)+OMON=PO-

因?yàn)镻為正四面體表面上的動點(diǎn)，所以當(dāng)P為正四體的頂點(diǎn)時(shí)，I的I最長，I附I的最大值為

瓜_旦=巫,所以和/.而的最大值為(婭)2一3=3.

4448

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：錐體和球體的關(guān)系，向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

3.(2024?金安區(qū)校級模擬)正匹面體/WC/)棱長為6,AP=xAB+yAC+zAD,1=1.x+31+z=1,以A為

球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)M,N,MA=AN,則尸A/QP//的最小值為（）

A.24B.25C.48D.50

【答案】D

【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯掛理；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】先由==力=36,再由MAMA",推出|4A/|=|4M=1,PM=PA+AM,

PN=PA+AZ,再由向量的數(shù)量積的計(jì)算公式得到PA/+麗2=74-72（.q+”+xz）,結(jié)合基本不等式,

即可求解結(jié)果.

【解答】解：法一：因?yàn)檎拿骟wABCZ）的校長為6,

所以前?/=|麗||前jcos60o=36,

同理可得ABAD=\AB||AD|cos600=36,AC-AD=|AC||-401^60°=36,

又因?yàn)橐訟為球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)M,N,MA=AN,

所以I人力|二|府|=1,

由AP=xAB+yAC+zAD,

則PM2+PN=(PA+AM)2+(PA+/W)2,

=PA+2PAAM+AM'+PA'+2PA-AN+AN',

=2(xAB+yAC+zAD)1+2,

=2(x2AB+VAC+z2AD+2vMB.AC+2yzADAC+IxzAB-AD)+2,

=2(36x2+36)3+36z2+36孫+36yz+36xz)+2,

=74-12{xy+yz+xz),

因?yàn)閤+y+z=1,所以1=d+＞；+z?+2xy+2yz+2xz..3cxy+A+xz),

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=2取等號,

3

此時(shí)xy+yz+xz,,

所以nV?+尸&2.74-24=50.

故PM，+PN*的最小值為50.

法二：由于x+），+z=l,所以點(diǎn)尸在平面BCD內(nèi)，

所以0面：+PM?=（PA+AM）2+（PA+AN）2=2PA+2PA-（4V/+AN）+AM1+W，

由于M4=AN,所以4M+AN=6,

由于A=l,所以|AA/|=|4"|=1,

當(dāng)點(diǎn)〃為點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影時(shí)，|即|最小，

由于棱長為6,

所以BP=2X立X6=2N/5,A8=6,

32

AP2=AB2-BP2=36-12=24,

所以尸面’+*..2x24+2=50.

故選：O.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能

力，屬于中檔題.

4.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）設(shè)A-A2........4是空間中給定的〃個(gè)不同的點(diǎn)，則使之（，麗）=0成立

;=|

的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.n

C.無窮多個(gè)D.前面的說法都有可能

【答案】A

【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算

【專題】綜合法；平面向量及應(yīng)用；對應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，表達(dá)出點(diǎn)"的坐標(biāo)，得到答案.

【解答】解：設(shè)4（而，y,4），M（x,y,z）,

由力（iMA；）=0得力—x,-y,zj-z）=6,

1=1/=1

所以力出而-x）=0,汽i（y,-y）=0,￡i（z「z）=0,

r=li=li=i

to;力之

所以x=±l—,y=臼一,z=3一,

nnn

所以滿足條件的點(diǎn)用的個(gè)數(shù)為1個(gè).

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.

5.（2024?皇姑區(qū)校級模擬）三楂錐尸-45C所有樓長都等于2,動點(diǎn)M在三棱錐Q-/WC的外接球上,

且人憶8府=0,|「廟|的最大值為S,最小值為/,則s：”（）

A.2B.V2C.GD.3

【答案】C

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

【專題】空間向量及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法

【分析】根據(jù)題意確定M點(diǎn)的軌跡，結(jié)合余弦定理求|史財(cái)|的取值范圍.

【解答】解：如圖：

過尸作?"J_平面A8C于”，則正四面體的外接球球心（也是內(nèi)切球球心）在線段?”上，沒為O,

設(shè)內(nèi)切球半徑為，，外接球半徑為A.則A”=2.2.sin60。=2，

____33

PH=R=哈而呼一叫苧』「

所以R=Q4=OP=逅，

2

r=OH=—.因?yàn)镸在尸-ABC的外接球上，且4M，BA/=0,

6

所以M在以AB為直徑的球面上，

取中點(diǎn)為E,則M在圓E上，圓石所在的平面與。石垂直.

在"OE中,0尸二逅，

2

OE=y/OA2-AE2

PE=M,

過。作OGJ.PE于G,則G為正M43的中心，且OG=OH=r,

旦

所以在RtAOEG中，NOGE=90。，所以5皿/尸￡：。=變=車=立.

OE丘3

T

設(shè)NPEM=c（,則當(dāng)點(diǎn)尸，O,E,"共面時(shí)，a取得最值，即NPO磁hTT-ZPOE,

所以-且融osa近，

33

在“而中，由余弦定理：PM2=EP-+EM2-2EP-EM-coscr=4-2x/3cosa.

所以2領(lǐng)PM?6,

所以s=>/6,/=叵,

S:z=V3.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查空間直線與平面位置關(guān)系的判斷及其應(yīng)用等知識，屬于中檔題.

6.（2024?贛州模擬）已知球O內(nèi)切于正四棱錐P-ABCZ）,PA=AB=2,EF是球O的一條直徑，點(diǎn)Q為

正四棱錐表面上的點(diǎn)，則。后,Q/7'的取值范圍為（）

A.10,21B.[4-2>/3,2]C.[0,4-x/3]D.[0,4-2@

【答案】A

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)尊；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；邏輯推理；平面向量及應(yīng)用

【分析】根據(jù)給定條件，利用體枳法求出球O半徑，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.

【解答】解：令”是正四楂錐P-/WCO底面正方形中心，則物，平面A8CQ,而AH=6,

則尸"=」抬2-4"2=&,正四棱錐夕一A4C/)的體積V=1X22X&=±2,

33

正四棱錐P-ABCD的表面積S=4x@x2?+2?,

4

顯然球O的球心O在線段尸〃上，設(shè)球半徑為，則即「里=瓜-叵,

3S2

在APQ4中，Z/>4O<45°=ZAPO,于是O4>OP,又所是球O的一條直徑，

因比Q^Q尸=Q3-O//,

222

顯然O”領(lǐng)DOAO,則(。巨QQ.=0，(QE-QF)tnax=AO-OH=AH=2f

所以QEQ戶的取值范圍為[0,2].

故選:A.

【點(diǎn)評】本題考查的知以點(diǎn)：正四棱錐的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

7.(2024?重慶模擬)已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),則以AB、AC為鄰邊

的平行四邊形的面積為()

A.7B.7x/3C.Vl4D.—

2

【答案】B

【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面

【專題】轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；解三角形；三角函數(shù)的求值；綜合法

【分析】利用向量求出兩向量夾角的余弦值，確定夾角的度數(shù)，利用正弦定理求出SMM，即可求出平行四

邊形面積為2SM8一

【解答】解：因?yàn)?0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5),

所以4月=(-2,—1,3),AC=(l,-3.2),

所以|而|=9，|AC|=V14,

ABAC-2xl+(-l)x(-3)+2x31

所以cos/8AC=

\~AB\\AC\X/T4-V142

所以Nfi4C=60°,

平行四邊形面積為2sA詠，在A48C中由正弦定理有：S^HC=-\AB\\AC\^n^BAC,設(shè)平行四邊形的

面積為S,

所以S=45?疝160。=76.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，三角形的面積公式，主要考查學(xué)生的

理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

8.（2024?南充模擬）已知正方形A3CD的邊長為1,則|/VUBC-CA|=（）

A.0B.x/2C.2D.2x/2

【答案】D

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

【專題】綜合法；平面向量及應(yīng)用：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】直接利用向量的線性運(yùn)尊和向量的模求出結(jié)果.

【解答】解：正方形ABCD的邊長為1,所以正方形的對角線長為3，

AB+BC-CA=AC-CA=2AC,

故|A8+BC-G4|=2|A€j=2>/2.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的模，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于

中檔題.

9.（2023?江西模擬）已知點(diǎn)?在棱長為2的正方體表面上運(yùn)動，是該正方體外接球的一條直徑，則

雨?麗的最小值為（）

A.-2B.-3C.-1D.0

【答案】A

【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

【專?題】綜合法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；空間向量及應(yīng)用；球

【分析】首先利用球和正方體的關(guān)系求出正方體的外接球的直徑，進(jìn)一步利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)

算求出結(jié)果.

【解答】解：由題意知：正方體的外接球的球心為O，

正方體的外接球的直徑AB=6+22+22=,

則O為■的中點(diǎn)，

所以。印=-。后，

且I1=|g=6

^PAPB=(0A-0P)(0B-0P)=0A0B-(0A+0B)0P+0P=0P-3,

_2

由于|O戶=1,

所以方.PB的最小值1-3=-2.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：正方體和球的關(guān)系，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積，主要考查學(xué)生的理

解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題卻易錯(cuò)題.

10.(2023?德陽模擬)已知：，J,2表示共面的三個(gè)單位向量，那么G+E)?(j+E)的取值范圍

是()

A.[-3,3]B.[-2,2]C.[V2-1,&+1]D.[1-42,1+72]

【答案】。

【考點(diǎn)】空間向量單位正交基底及其表示空間向量

【專題】計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用

【分析】運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0,及向量模的公式，和向量數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的值

域，即可計(jì)算得到.

【解答】解：由f_L/，則7?了=0,

又7，j為單位向量,則i7+，i=Jr2+v+2r.了=3.

則(7+2)-(j+E)=:j+(，+/)/+^

=(7+/)?R+1=|f+j|cos<f+j,k>+1=>/2cos<f+/,^>+1,

由一1領(lǐng)上os<f+/,1>1,

則(7+E)-(7+E)的取值范圍是[1-3,1+&].

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量及直的條件，考杳余弦函數(shù)的值域，考查運(yùn)

算能力，屬于中檔題.

II.(2024?朝陽區(qū)一模)在棱長為1的正方體ABC。-ABCA中，E,F,G分別為棱BC,CC1

的中點(diǎn)，動點(diǎn)”在平面EAG內(nèi)，且。，=1.則下列說法正確的是()

A.存在點(diǎn)〃，使得直線。，與直線尸G相交

B.存在點(diǎn)“，使得直線O〃_L平面EFG

C.直線用“與平面石FG所成角的大小為巴

D.平面EFG被正方體所截得的截面面積為主叵

2

【答案】C

【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角

【專題】立體幾何；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想

【分析】取尸G的3點(diǎn)連接ZW,可求得|。仞|=逑＞1,可知不存在點(diǎn)H,使得直線與直絞尸G

4

相交，進(jìn)而可判斷A,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A4,DC,DD.所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間

直角坐標(biāo)系，利用空間向量知識可判斷C。，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可判斷。.

【解答】解：連接OF,DG,所以|。r|=|OG|=走,|FG|=立，取FG的中點(diǎn)連接。M,

22

2/?

所以點(diǎn)。到線段尸G的最短距離大于1,所以不存在點(diǎn)H，使得直線。，與直線FG相

4

交，

故A不正確；

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以八4,DC,DD、所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則E(l,0,)，F(xiàn)(-,L0),G(0,l,-),0(0,0,0),

222

所以而=(」」,」，EG=(T1,0),海=(1,0」),

222

設(shè)平面EFG的法向量為"=(x,)，，z),

所以巴"=。,即卜*y-%°,

,九=。［r+)，=0

令x=l,貝ijy=l,z=l?所以"=(1,1,1),

所以點(diǎn)O到平面E"G的距離為匹史=3=立＜1,而。"=1,所以不存在點(diǎn)”，使得直線O〃_L平

I乃I2V32

面EAG,故“不正確；

因?yàn)?。?(1,1,1),所以。耳_L平面加'G,連接。4交EG于點(diǎn)0,所以O(shè)為。耳的中點(diǎn)，DO=BQ=§,

所以NB1H0為直線與平面日七所成角，

因?yàn)椤?=1,在RtAODH中，sinZDHO=—=—,

DH2

所以NQ〃0=工，因?yàn)?Z\OB內(nèi)與RtAODH全等，所以NB】HO=NDHO=%,故C正確；

33

延長GF交的延長線于N,連接EN交AB于P,連接PF，取Dg的中點(diǎn)K,RA的中點(diǎn)J,連接KG,

EJ,KJ,

則KG//EP,EJ//GF,KJ//PF,平面E/G被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長為立，

2

所以截面面積為6xL也x"=迫，故。不正確.

2244

【點(diǎn)評】本題主要考查了利用空間向量證明線面垂直，以及求直線與平面所成的角，考查了正力體的結(jié)構(gòu)

特征，屬于中檔題.

12.（2024?安慶二模）如圖，在長方體ABCO-AgGR中，AB=2AD=2AA,,點(diǎn)石是棱至上任意一點(diǎn)

（端點(diǎn)除外卜則（）

B.空間中與三條直線A。，EC，4%都相交的直線有且只有1條

C.過點(diǎn)E與平面QAE和平面D4EC所成角都等于（的直線有且只有1條

D.過點(diǎn)E與三條棱A3,AD,朋所成的角都相等的直線有且只有4條

【答案】D

【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角

【專題】邏輯推理：數(shù)形結(jié)合；綜合法；立體幾何

【分析】當(dāng)后為的中點(diǎn)時(shí)判斷人；作圖判斷4；利用角平分面的特征判斷C：建立空間直角坐標(biāo)系,

分析判斷。.

【解答】解：對于4,當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，連接Z）E,則==即有EC_LD￡,

而。RJL平面A8CD,ECu平面A8CD,則ECJ.DR,

又。耳［。。=。，DE,ORu平面。RE,因此EC_L平面。而REU平面。RE,則ECJLRE,

故A錯(cuò)誤；

對于8,連接8。，BR,BBJiCCJIDD\,平面BORe與直線EC交于K,點(diǎn)K在線段80上，不含端

點(diǎn)，

則直線RK與直線網(wǎng)相交，同理直線4〃與直線網(wǎng)相交,因此直線D、K、4E分別與三條直線4,0,,EC,

都相交，故8錯(cuò)誤；

對于C,/^_1_平面丹。24，而4〃u平面AORA，則43_LAO|,又A?_LAD,于是ND4q是二面角

。一月￡一。的平面角，且NZ）A4=匹，

顯然ZDAD,的平分線與平面.AE和平面/M反?所成角都等于-,過點(diǎn)E與此直線平行的直線符合要求,

這樣的直線只有1條；

半平面。①后與半平面/M￡C的反向延長面所成二面角的角平分面與平面。m后和平面DAEC所成角都等

工34

于一，

8

在比角平分面內(nèi)過點(diǎn)E與平面RAE和平面DAEC所成角都等于工的直線有2條,

8

因出過點(diǎn)花與平面和平而OAW所成角都等干工的直線有3條，故C錯(cuò)誤：

18

對于。，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

直線AB,AD,例的方向向量分別為(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),

設(shè)過點(diǎn)E?的直線/方向向量為g=(x,y,z),由直線/分別與直線回，AD,44,所成角都相等，

得/川:/川=,口，于是|x|=|y|=|z|,

+y-+z'W+y~+z~y]x~+y+z~

不妨令|x|二l，有。=(1，1,1)或〃=(—l,1,1)或〃=(1,-1,1)或〃=(1,1,-1),

顯然使得|x|=ly|=|z|=l成立的向量。有8個(gè)，其余4個(gè)分別與上述4個(gè)向量共線，

所以過點(diǎn)七與三條棱AB,AD,A4,所成的角都相等的直線有且只有4條，故。正確.

故選：。.

【點(diǎn)評】本題考查空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，直線與平面所成角，屬于中檔題.

13.（2024?金東區(qū)校級模擬）已知矩形ABC。，AB=\,BC=6沿對角線AC將△ABC折起，若二面

角4-AC—。的余弦值為-'，則〃與。之間距離為（）

3

A.1B.V2C.y/3D.—

2

【答案】C

【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角

【專題】轉(zhuǎn)化思想：向量法；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】過力和。分別作AE_L人C，。產(chǎn)J_AC，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，利用向量數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即

可.

【解答】解：過8和。分別作BEJ.AC,。尸JLAC,

?.2=1,BC=6

：.AC=2,

???-ABBC=-ACBE,

22

...BE=DF=—，

2

則4E=C尸=1,EPEF=2-\=\,

2

?.?二面角A-AC-/）的余弦值為-』，

3

/.cos<EB,FD>=--,

3

,/BD=BE+EF+FD,

BD=（I3E+EF+FD）2=B^+EF2+FD+2BEEF+2FDHE+2EFFD=-+\+--2\EB\\Fb\con<EB，

44

初＞/_2x旦旦（」）占上3

222322

則方|=J5,

即“與。之間距離為由,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查空間兩點(diǎn)間距離的計(jì)算，利用向量數(shù)量積與長度之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本

題的關(guān)鍵，是中檔題.

14.（2024?東西湖區(qū)校級模擬）如圖所示是一個(gè)以/W為直徑，點(diǎn)S為圓心的半圓，其半徑為4,F為線

段AS的中點(diǎn)，具中C,。，石是半圓圓周上的二個(gè)點(diǎn)，且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段，若將該

半圓圍成一個(gè)以S為頂點(diǎn)的圓錐的側(cè)面，則在該圓錐中下列結(jié)果正確的是（）

B.SA上平面CEF

C.S。//平面CMD.點(diǎn)。到平面C￡E的距離為

【答案】C

【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何

【分析】對于A，作出圖形，結(jié)合已知數(shù)據(jù)容易判斷；對于3,假設(shè)SA_L平面CE/L推出矛盾即可判斷；

對于C,由線面平行的判定可以判斷；對于。，點(diǎn)。到直線R）的距離即為。到平面。律的距離，由此

容易判斷選項(xiàng).

【解答】解：選項(xiàng)A,該半圓圍成的圓錐，如圖所示，

s

設(shè)圓錐底面半徑為r,則2獷二4產(chǎn)，

.,.r=2?

,-.CE=4,

??,/為4s的中點(diǎn)，O為AS的中點(diǎn)，

.\FO//SD,RFO=2=-CE,

2

二.NC莊=90。，△（?律為等腰直角三角形，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)3,若SXJ■平面。砂，則NAAO=90。，直角ACE/中，AO=OF=AF=2,

.?.乙4回0=60。，選項(xiàng)5錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,\FOHSD,EOu平面C￡7"S。仁平面CM,

;.SD//平面CEF,選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)。，\'CE-LAD,CELSO,

.?.CE_L平面SA。，

平面C￡『_L平面SAO,

D到直線尸。的距離即為D到平面CEF的距離，

又?：F。/ISD，

二.D到宜線和的距離等于O到直線SO的距離，為百，選項(xiàng)0錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查線面垂直，線面平行以及點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，考查空間想象能力以及運(yùn)算求解能力，

屬于中檔題.

15.（2024?衡陽縣校級模擬）已知在平行四邊形AVSC中，g=VB=2且NAVB=60°,把三角形必18沿

對角線折疊，使得VC=I,得到三棱錐V-ABC，如圖所示，則下列說法中正確是（?

V

A.點(diǎn)V到平面ABC的距離為遮

3

B.直線AB與直線VC不垂直

C.直線MC與平面ABC所成角的正弦值等于￡

D.三棱錐V-ABC外接球的表面積為竺萬

H

【答案】。

【考點(diǎn)】直線與平面所成的角

【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象；空間角

【分析】利用空間向量的數(shù)量積判斷A的正誤；利用面積法判斷A的正誤；通過數(shù)量積的求夾角，判斷C

的正誤；求解球的半徑，然后求解表面積，判斷。的正誤.

【解答】解：由題意知四邊形川方。為菱形，△%小△C44為正三角形，如圖所示，

取的中點(diǎn)連接CM,則CMJ_A8①，過M點(diǎn)做也fe平面A8C,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接VM,則從(-1,0,0),4(1,0,0),C(0,V3,0),

MH=ylVM2-VH2=.I3--=—

在直角△中,

V366

則4月=(2,0,0),VC=ABVC=0,則4分_1_/，BPABA.VC,故“錯(cuò):

?.?必=VB=2,.?.VMJ.A6②，由勾股定理得CA/=M”=J5,

則A(-l,0,0),8(1,0,0),C(0,5/3,0),

在平面VCM內(nèi)，過V點(diǎn)做U"_LMC,由①②知AB_L平面VOW,:.VH±AB,

又4咐。知=加，則17/_L平面人AC,即切為點(diǎn)V到平面ABC的距離，取VC的中點(diǎn)石，連接ME,

???△KVQ為等腰三角形，ME=y/MC2-CE2=

則VH=VCME=—,故A錯(cuò);

22MC6

,”=(0,0,1)為平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)直線VC與平面48c所成角為

后

KOsin=|cos<//,VC>|=|,6|=—,故C錯(cuò);

336

36

?/.4(-1,0,0),8(1,0,0),C(0,石,0),V(0,—,—),

設(shè)三棱錐外接球的球心為0(尤，y,Z),則|Q4|=|OB|,

由空間兩點(diǎn)間距離公式可得

7(.r+l)2+(y-O)2+(z-O)2=7(^-l)2+(y-O)2+(z-O)2,整理得V+2x+l—2x+