課程基本信息課例編號2020QJ08SXRJ038學科數(shù)學年級八年級學期秋季課題等腰三角形的綜合運用（第一課時）教科書書名：義務教育教科書數(shù)學八年級上冊出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月教學人員姓名單位授課教師唐娟北京師范大學附屬實驗中學指導教師崔佳佳北京市西城區(qū)教育研修學院教學目標教學目標：進一步理解和掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定,并能綜合運用這些知識判斷三角形形狀和求三角形邊角等有關(guān)計算。在例題探究過程中培養(yǎng)學生觀察、分析和歸納能力，并體驗轉(zhuǎn)化和方程等思想的應用。教學重點：等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合運用教學難點：結(jié)合等腰三角形、角平分線、中垂線等知識，來解決三角形有關(guān)邊角問題的計算.教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動5分鐘知識回顧同學們，大家好，本節(jié)課我們將學習等腰三角形的綜合運用（第一課時），首先一起回顧等腰三角形的定義，判定和性質(zhì)。1.等腰三角形【定義】有兩條邊相等的三角形是等腰三角形?！拘再|(zhì)】①等邊對等角；②三線合一；③對稱軸有1條或3條.【判定】①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；(定義)②等角對等邊.2.特殊的等腰三角形：等邊三角形【定義】三邊都相等的三角形是等邊三角形.【性質(zhì)】①三邊都相等；②三個角都是60°；③三線合一；=4\*GB3④對稱軸有3條.【判定】①三邊都相等的三角形是等邊三角形（定義）；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.以上判定方法都是可以彼此推導的。下面我們將通過幾個例題來進一步復習等腰三角形判定和性質(zhì)的運用。18分鐘知識運用一、運用等腰三角形的判定進行三角形形狀的判斷例已知三角形△ABC的三邊長為a,b,c,(1)∠A=70°,∠B=40°,則三角形的形狀為_________;(2)∠A:∠B:∠C=1:1:2,則三角形的形狀為_________;(3)當滿足(a-b)(b-c)(c-a)=0時,則三角形的形狀為_________;(4)當滿足(a-b)+(b-c)+(c-a)=0時,則三角形的形狀為________.教師提問：當三角形的內(nèi)角或邊分別滿足以上條件時，我們將如何來判斷三角形形狀呢？下面我們來逐一分析！主要步驟：(1)∵∠A=70°,∠B=40°根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠C=180°-∠A-∠B=70°∵∠A=∠C∴△ABC是等腰三角形(2)∵∴∠A=∠B=45°,∠C=45°×2=90°根據(jù)“等角對等邊”和直角三角形定義，得∴△ABC是等腰直角三角形(3)∵(a-b)(b-c)(c-a)=0，∴a-b，b-c，c-a中至少有一個為0即a-b=0，或b-c=0，或c-a=0∴a=b或b=c或a=c∴△ABC是等腰三角形(4)∵(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，(a-b)，(b-c)，(c-a)均具有非負性∴(a-b)=0，且(b-c)=0，且(c-a)=0∴a=b且b=c且a=c∴△ABC是等邊三角形【設計意圖】讓學生體驗如何分析題目中已有條件進行角或邊計算，然后利用等腰（等邊）三角形的判定方法，進行三角形形狀的判斷的過程，鍛煉學生對三角形內(nèi)角和定理的靈活運用和對判定方法的理解和運用?！窘夂蠓此肌恳话愕?，判斷三角形形狀的關(guān)鍵在于要先求出三角形的三個內(nèi)角度數(shù)或三條邊長，或找到角（邊）所滿足的重要數(shù)量關(guān)系，然后再利用等腰（等邊）三角形的判定方法，進行三角形形狀的判斷。二、運用等腰三角形的判定和性質(zhì)進行邊角等有關(guān)計算及證明例如圖，在△ABC中，∠A=40°,AB=AC,AB的垂直平分線DE交AC于點D,求∠DBC=______教師提問：請問題目中有哪些已知的邊角條件和特殊三角形圖形？教師提出：已知∠A=40°，AB=AC,AB的垂直平分線DE交AC于點D.教師追問：根據(jù)“AB的垂直平分線DE”，你能得出什么結(jié)論？教師提出：首先得出∠AED=90°，AE=BE.又根據(jù)“垂直平分線上任意一點，到線段兩端點距離相等”，可以得出AD=BD.教師提問：題目中有哪些特殊的三角形圖形呢？教師提出：因為AB=AC，AD=BD,根據(jù)等腰三角形定義，我們得出△ABC,△ADB為等腰三角形。我們來看下本題目的問題，求∠DBC的度數(shù)，如何來求呢？方法一：∠DBC=∠ABC-∠ABD=方法二：∠DBC=180°-∠C-∠BDC=均使用到等腰三角形性質(zhì)：等邊對等角.變式:如圖，在△ABC中，∠ABC=120°，點D，E分別在AC和AB上，且AE=ED=DB=BC,若∠A的度數(shù)為,則用的代數(shù)式表示∠C為____，∠A=____°.教師提問：請問題目中有哪些已知的邊角條件和特殊三角形圖形？教師提出：題中已知∠ABC=120°，和AE=ED=DB=BC.教師追問：你能從“AE=ED=DB=BC”得到什么結(jié)論呢？教師提出：可以得出三個等腰三角形△AED，△BDE，△BCD，也可以根據(jù)“等邊對等角”，找到一些角之間的相等關(guān)系，例如根據(jù)AE=ED得出∠A=∠EDA，根據(jù)ED=DB得出∠BED=∠EBD,根據(jù)DB=BC得出∠BDC=∠C.教師提問：但這些角等于多少度呢？和已知角∠ABC之間是什么關(guān)系呢？教師提出：好的，我們一起看下問題，若∠A的度數(shù)為x°,如何用x的代數(shù)式表示∠C？教師提示：根據(jù)剛才分析，我們可以嘗試用x表示出上面這些角.主要步驟∵AE=ED∴設∠A=∠ADE=∴∠BED=∠A+∠ADE=∵ED=DB∴∠EBD=∠BED=∵∠BDC=∠EBD+∠A=∵DB=BC∴∠C=∠BDC=在△ABC中∵∠A+∠ABC+∠C=180°∴++=180°∴=15∴∠A=15°【設計意圖】借助本題及變式，帶領(lǐng)學生一起體驗和歸納等腰三角形中求角問題的一般方法。題目由易到難，由特殊到一般，鍛煉學生分析問題和解決問題的能力。【解后反思】一般地，求等腰三角形中角的度數(shù)問題，我們主要依據(jù)“等邊對等角”性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和外角和性質(zhì)，由已知角逐步推導計算出未知角的度數(shù)?；蛘弑匾獣r，通過合理設元，利用方程的思想求解出未知角的度數(shù)。下面我們來完成一道三角形求邊長問題例如圖,△ABC是等邊三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分別為D,E.若AB=8,則BD=_____,BE=_____.

教師提問：請問題目中有哪些已知條件和哪些特殊三角形圖形？教師提出：如圖△ABC是等邊三角形，我們可以得到三條邊相等，三個內(nèi)角均為60°。教師提問：AD⊥BC，同學們你可以得出什么結(jié)論？教師提出：∠ADC=90°，教師追問：還有嗎？教師提出：AD三線合一，所以AD是高線，也是角平分線和中線，所以∠BAD=∠CAD=30°，BD=CD。DE⊥AB可以推出∠BED=90°.教師提問：我們來看下問題，若AB=8,求BC長？教師提出：根據(jù)上面的分析，BC=AB=8,而D為BD中點，所以BD=1/2BC=4。教師追問：如何來求DE呢？教師提出：我們來觀察△BDE，發(fā)現(xiàn)∠BDE=30°，而BE恰好是這個直角三角形30°所對的直角邊，所以根據(jù)：直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊一半“，得出BE=1/2BD=2主要步驟：∵△ABC為等邊三角形∴BC=AC=AB=8,∠B=∠C=∠BAC=60°∵AD⊥BC∴BD=BC=4∵DE⊥AB∴∠DEB=90°∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=30°∴BE=BD=2【設計意圖】本題主要考查等邊三角形的“三線合一”性質(zhì)和直角三角形中的性質(zhì)(直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊一半)在求邊長問題中的綜合運用，鞏固性質(zhì)的理解和運用。2分鐘課堂小結(jié)本節(jié)課，我們進行了以下知識的學習回顧等腰三角形和等邊三角形定義、性質(zhì)和判定；學習運用等腰或等邊三角形的判定知識進行三角形形狀的判斷；學習綜合運用等腰或等邊三角形的判定和性質(zhì)進行三角形邊角等有關(guān)問題的計算及證明.課后作業(yè)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120