page22025學(xué)年北京市通州區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名及考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=A.12 B.55 C.255

2.如圖，A，B，C是⊙O上的點(diǎn)，如果∠BOC=120°，那么∠BACA.90° B.60° C.45°

3.關(guān)于函數(shù)y=?2x2，y=13A.開(kāi)口向上 B.都有最低點(diǎn)

C.y隨x增大而增大 D.對(duì)稱(chēng)軸是y軸

4.如圖，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與射線OM交于點(diǎn)A，再以A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)B，畫(huà)射線OB，則cos∠AOB=（

）

A.22 B.12 C.32

5.如果二次函數(shù)y=a(x?A.(?1,3) B.(0,

6.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，DC切⊙O于點(diǎn)C，如果∠A=30°，OD=4A.6 B.4 C.23 D.

7.為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識(shí)，某消防大隊(duì)進(jìn)行了消防演習(xí)．如圖，架在消防車(chē)上的云梯AB可伸縮，也可繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，其底部B離地面的距離BC為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時(shí)，底部B到EF的距離BD為10m，若∠ABD=α，則此時(shí)云梯頂端A離地面的高度AE的長(zhǎng)是（

）A.10tanα+2 B.10tanα

8.如圖，已知⊙O及⊙O外一定點(diǎn)P，嘉嘉進(jìn)行了如下操作后，得出了四個(gè)結(jié)論：

①點(diǎn)A是PO的中點(diǎn)；

②直線PQ，PR都是⊙O的切線；

③點(diǎn)P到點(diǎn)Q、點(diǎn)R的距離相等；

④連接PQ，QA，PR，RO，OQ，則S△PQA=A.只有①正確 B.只有②正確

C.①②③正確 D.①②③④都正確

二、填空題

9.如圖，D、E是△ABC邊AB、AC上的兩點(diǎn)，且DE?//?BC，DE:BC=

10.已知一個(gè)扇形的半徑長(zhǎng)為6，圓心角為120°

11.已知⊙O的直徑為8cm，如果在⊙O所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P且OP=5cm，那么點(diǎn)

12.如圖，在△ABC中，AB=AC，中線AD與高線BE相交于點(diǎn)O，寫(xiě)出一個(gè)與△AOE

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1=ax2?2ax(a>0)和直線y2=

14.圖1為一個(gè)裝有液體的圓底燒瓶(厚度忽略不計(jì))，側(cè)面示意圖如圖2，其液體水平寬度AB為16cm，豎直高度CD為4cm，則⊙O的半徑為_(kāi)__________________cm．

15.已知二次函數(shù)y=ax2+bxx…??0123y…50???0

關(guān)于x的一元二次方程ax

16.小明同學(xué)想利用“∠A=30°，AB=6cm，BC=5cm”，這三個(gè)條件作△ABC．他先作出了∠三、解答題

17.計(jì)算：sin2

18.已知二次函數(shù)y=?（1）寫(xiě)出此函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸；（2）請(qǐng)你判斷點(diǎn)P(（3）如果點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y22<

19.如圖，在△ABC中．∠BAC=90°，AD是△ABC的中線，如果AB=6

20.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，分別過(guò)點(diǎn)A、B作AE?//?BD．BE?//?AC．AE和BE交于點(diǎn)E（1）求證：四邊形AEBO是矩形；（2）連接EC，當(dāng)∠ABD=60°．

21.如圖，在△ABC中，AB=AC．

求作：射線AE，使得AE?//?BC．

小靖同學(xué)的作法如下：

①以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，延長(zhǎng)BA交⊙A于點(diǎn)D；

②作∠ABC的角平分線交⊙A于點(diǎn)E；

③作射線AE．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明

證明：連接DC，∵AB=AC，∴點(diǎn)C在⊙A上．

∵BD是⊙A的直徑，∴∠BCD=______(______)（填推理依據(jù)）

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．∴DE?=CE?，

∴∠DAE=∠CAE(______)

22.在矩形ABCD中，AB=8，點(diǎn)G為邊AD上一點(diǎn)，AG=6，CE⊥BG于點(diǎn)（1）求證△ABG（2）求證E是BG的中點(diǎn)．

23.某學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)室有一種演示桌，收起時(shí)桌面與一支架的夾角∠CAB=20°，打開(kāi)時(shí)桌面與同一支架的夾角∠GDB=63°（桌面FG?//?EC），已知支架BA=BD=40cm，求桌面上升的高度約為多少？（桌面的厚度與前后移動(dòng)的距離等因素不用考慮）（參考數(shù)據(jù)：sin

24.如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，F(xiàn)是圓上一點(diǎn)，D是BF?的中點(diǎn)，連結(jié)CF交OB于點(diǎn)G，連結(jié)BC．

（1）求證：GE=（2）若AG=6，BG=

25.如圖，在△ABC中，AB=AC，O是AB的中點(diǎn)，到點(diǎn)O的距離等于12AB的所有點(diǎn)組成圖形G，圖形G與邊BC交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥（1）依題意補(bǔ)全圖形，判斷直線DE與圖形G的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)并加以證明；（2）CA延長(zhǎng)線交圖形G于點(diǎn)F，如果AE=3，AF=

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax（1）求此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸；（2）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)

27.在△ABC中，∠B=∠C=α(0°<α<45°)，AM⊥BC于點(diǎn)M，D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)（1）如圖1，如果點(diǎn)E在線段AC上，求證：ME⊥（2）如圖2，如果D在線段BM上，在射線MB上存在點(diǎn)F滿足DF=DC，連接AE,

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑是3．對(duì)于點(diǎn)P和⊙O，給出如下定義：過(guò)點(diǎn)C的直線與⊙O交于不同的點(diǎn)M，N，如果點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，我們把這樣的點(diǎn)P叫做關(guān)于MN的“弦中點(diǎn)”．（1）如圖1，已知點(diǎn)C(?2,0)；

①點(diǎn)P1(?2,0)，P2(?（2）如圖2，若C(?6,0)，一次函數(shù)y參考答案與試題解析2024-2025學(xué)年北京市通州區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.【答案】A【考點(diǎn)】求角的正切值【解析】此題考查了銳角三角函數(shù)，根據(jù)正切的意義進(jìn)行解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=1，BC2.【答案】B【考點(diǎn)】圓周角定理【解析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【解答】∵∠BOC與∠BAC是同弧所對(duì)的圓心角與圓周角，∠BOC=120°，

3.【答案】D【考點(diǎn)】y=ax2的圖象與性質(zhì)【解析】本題考查函數(shù)圖象性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)a值得函數(shù)圖象的開(kāi)口方向，從而判定A【解答】解：A．函數(shù)y=?2x2與y=?x2的開(kāi)口向下，函數(shù)y=13x2與y=3x2開(kāi)口向上，故此選項(xiàng)不符合題意；

B．函數(shù)y=?2x2與y=?x2的開(kāi)口向下，有最高點(diǎn)；函數(shù)y=13x2與y=3x2開(kāi)口向上，有最低點(diǎn)，故此選項(xiàng)不符合題意；

C．函數(shù)y=?2x2與y=?x2，當(dāng)4.【答案】B【考點(diǎn)】此題暫無(wú)考點(diǎn)【解析】根據(jù)作圖可以證明△AOB是等邊三角形，則∠【解答】解：連接AB，由圖可知：OA=OB，AO=AB，∴OA=AB=OB，即三角形OAB為等邊三角形，∴∠5.【答案】B【考點(diǎn)】y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)【解析】本題考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性解答即可；【解答】二次函數(shù)y=a(x?1)2+k的圖象得對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，

∵二次函數(shù)y6.【答案】C【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)含30度角的直角三角形勾股定理的應(yīng)用【解析】本題考查了切線的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，連接OC，由切線的性質(zhì)得∠OCD=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠【解答】解：連接OC，

∵DC切⊙O于點(diǎn)C，

∴∠OCD=90°，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠7.【答案】A【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-其他問(wèn)題【解析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，比較簡(jiǎn)單，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)∠ABD的正切可得AD=BD【解答】解：在直角三角形ABD中，tanα=ADBD，

∴AD=BD?tanα=10tan8.【答案】C【考點(diǎn)】證明某直線是圓的切線應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求證作垂線(尺規(guī)作圖)圓周角定理【解析】由第一步作圖痕跡可知直線MN是PO的垂直平分線，由此可判斷①正確；根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°，可判斷②正確；根據(jù)切線長(zhǎng)定理可判斷③正確；先證明△POQ?△POR，由此可得【解答】

由第一步作圖痕跡可知直線MN是PO的垂直平分線，因此點(diǎn)A是PO的中點(diǎn)，

故①正確；

∵PO是⊙A的直徑，

∴∠PQO=∠PRO=90°，

∴PQ⊥OQ，PR⊥OR，

∴直線PQ，PR都是⊙O的切線，

故②正確；

直線PQ，PR都是⊙O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可知PQ=PR，

故③正確；

∵PQ=PR，OQ=OR，PO=PO，

二、填空題9.【答案】1【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】通過(guò)證明△ADE【解答】解：∵DE?//?BC，

∴△ADE∽△ABC，

10.【答案】12π【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算【解析】本題考查扇形面積公式，理解扇形面積與相應(yīng)圓面積的比就是扇形圓心角占整個(gè)周角360°【解答】解：∵一個(gè)扇形的半徑長(zhǎng)為6，圓心角為120°，

∴這個(gè)扇形的面積為120360×π×11.【答案】外【考點(diǎn)】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【解析】本題主要考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)和圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直徑求出半徑，即可判斷出點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．【解答】解：∵⊙O的直徑為8cm，

∴⊙O的半徑為4cm，

∵OP=5cm，

故點(diǎn)P在12.【答案】△ADC或△BOD或△【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形進(jìn)行判定即可．【解答】解：∵AB=AC，AD為中線，

∴AD⊥BC

∵BE為高線，

∴∠ADC=∠AEB=90°

∵∠DAC=∠OAE

∴△ADC∽△AOE；

∵∠AOE=∠BOD，∠ODB=∠AEB=90°

∴△BOD∽△AOE；

∵∠OBD+∠BOD=90°

13.【答案】0【考點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集【解析】本題考查二次函數(shù)與不等式，根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定ax>ax2?【解答】解：∵拋物線y1=ax2?2ax(a>0)和直線y2=kx(k>0)14.【答案】10【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用利用垂徑定理求值【解析】本題考查垂徑定理，勾股定理．

由垂徑定理得到AD=12AB=8cm，設(shè)⊙O的半徑為xcm，則OA【解答】解：連接AO，

∵OC⊥AB，

∴AD=12AB=12×16=8cm，

設(shè)⊙O的半徑為xcm，則OA=OC=xcm，

∴OD=OC?15.【答案】x【考點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況【解析】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及與一元二次方程的關(guān)系是本題解題關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求解對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?1+3【解答】解：根據(jù)題意得：點(diǎn)(?1,0)，(3,0)均在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上，

∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?1+32=1，

由表格信息可得：當(dāng)16.【答案】33?【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形勾股定理的應(yīng)用【解析】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，分∠ACB【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，

∵∠A=30°，AB=6cm，

∴BD=12AB=3，

∴AD=AB2?BD2=33三、解答題17.【答案】3【考點(diǎn)】特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算零指數(shù)冪【解析】本題主要考查特殊角三角函數(shù)的混合運(yùn)算以及零指數(shù)冪，原式分別代入特殊角三角函數(shù)值，再計(jì)算零指數(shù)冪，最后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【解答】解：原式=222+318.【答案】開(kāi)口方向向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線：x點(diǎn)P(>【考點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)把y=ax^2+bx+c化成頂點(diǎn)式【解析】（1）將一般式化為頂點(diǎn)式，求解即可；（2）將x=3代入函數(shù)解析式，求出（3）根據(jù)二次函數(shù)的增減性，進(jìn)行判斷即可．【解答】（1）解：∵y=?x2+4x?（2）解：∵y=?x2+4x?7，

∴當(dāng)x=（3）解：∵拋物線的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，

∴當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而減小，

∵2<x119.【答案】cos∠【考點(diǎn)】求角的余弦值勾股定理的應(yīng)用直角三角形斜邊上的中線【解析】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，求角的余弦值，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握余弦的定義是解題關(guān)鍵．由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出BC=2AD=10，BD=AD=【解答】解：∵∠BAC=90°，AD是△ABC的中線，

∴BC=2AD=10，BD=AD=DC．

在Rt△ABC中，∠BAC=20.【答案】見(jiàn)解析tan∠【考點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)證明解直角三角形的相關(guān)計(jì)算證明四邊形是矩形【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形AEBO是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠AOB=90（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，求得OB=【解答】（1）解：∵AE?//?BD，BE?//?AC，

∴四邊形AEBO是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，

∴∠AOB（2）∵∠AOB=90°，∠ABD=60°，

∴sin∠ABO=AOAB，cos∠ABO=BOAB，

∴AO=32AB=23×32=3，BO=21.【答案】圖見(jiàn)解析90°【考點(diǎn)】尺規(guī)作圖——作角平分線等腰三角形的性質(zhì)：三線合一半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證【解析】（1）按照所給作法以及角平分線的尺規(guī)作圖法補(bǔ)全圖形即可；（2）由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠BCD=90°，由相等的圓周角所對(duì)的弧相等可得DE?【解答】（1）解：使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）如下：

（2）證明：連接AE，DC，

∵AB=AC，∴點(diǎn)C在⊙A上．

∵BD是⊙A的直徑，∴∠BCD=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）（填推理依據(jù)）

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．∴DE?=CE?，

22.【答案】見(jiàn)解析見(jiàn)解析【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定勾股定理的應(yīng)用利用矩形的性質(zhì)證明【解析】（1）由平行線的性質(zhì)得∠AGB=∠CBE（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BE的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，BC=AD，AD∥BC，

∴∠AGB=∠CBE．

（2）∵AG=6，DG=73，

∴BC=AD=6+73=253，BG=23.【答案】桌面上升的高度約為22cm【考點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算解直角三角形的應(yīng)用-其他問(wèn)題【解析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．

做輔助線，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FG于點(diǎn)M，交EC于點(diǎn)N，由三角函數(shù)求出BN、【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FG于點(diǎn)M，交EC于點(diǎn)N，

∵FG?//?EC，

∴BM⊥EC，在Rt△ANB中，∠ANB=90°，BA=40，

∴sin∠NAB=NBAB，

∴sin20°=NB40，

∴NB=sin24.【答案】證明見(jiàn)解析CD【考點(diǎn)】利用垂徑定理求值圓周角定理全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）勾股定理的應(yīng)用【解析】（1）利用ASA證明△CEG?△CEB（2）連結(jié)OC，求出直徑AB的長(zhǎng)，即得半徑OC=OB=5，求出OG，由(1)知GE=【解答】（1）解：證明：∵D是BF?的中點(diǎn)，

∴∠FCD=∠BCD，即∠GCE=∠BCE，

∵CD⊥AB，

∴∠（2）解：如圖，連結(jié)OC，

∵AG=6，BG=4，

∴AB=6+4=10，

∴OC=OB=12AB=5，

∴OG25.【答案】補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析，直線DE與圖形G(⊙O)只有一個(gè)公共點(diǎn)，或直線DEDE【考點(diǎn)】證明某直線是圓的切線勾股定理的應(yīng)用利用垂徑定理求值【解析】（1）由題意得圖形G是以點(diǎn)O為圓心，12AB為半徑的圓；連接OD，可證直線DE與（2）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AF于點(diǎn)G．可得AG=12AF【解答】（1）解：補(bǔ)全圖形；

結(jié)論：直線DE與圖形G(⊙O)只有一個(gè)公共點(diǎn)，或直線DE與⊙O相切

證明：連接OD，

∵OB=OD，

∴∠BDO=∠B，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，∠BDO=∠C，

∴DO?//?CA（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AF于點(diǎn)G．

∴AG=12AF=2

∵DE⊥AC，DO⊥DE，

∴四邊形DOGE是矩形，

∴DO=EG=5，26.【答案】此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x?【考點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)已知拋物線上對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)求對(duì)稱(chēng)軸【解析】（1）先求出二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,c（2）先根據(jù)(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x?1)【解答】（1）解：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)，

當(dāng)x=0時(shí)，y=c（2）解：由(1)可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x?1)2+k(a>0)，

∵這個(gè)二次函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，

∴y1=ax1?12+k，y227.【答案】見(jiàn)解析見(jiàn)解析【考點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解與三角形中位線有關(guān)的證明【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)可知：DM=DE，∠MDE=2α，進(jìn)而得∠DEM=∠DME；根據(jù)∠MDE=∠（2）延長(zhǎng)FE到點(diǎn)N，使EN=FE，連接CN、AN,可推出DE?//【解答】（1）解：證明：∵線段DM繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE．

∴DM=DE，∠MDE=2α，

∴∠DEM=∠DME，

∵∠MDE=∠DEC+∠C=2α，∠C=α，

∴