名?！稄?qiáng)基計(jì)劃》初升高銜接講義（下）TOC\o"1-3"\h\u第七講幾何定理 21.知識(shí)要點(diǎn) 22.例題精講 23.習(xí)題鞏固 44.自招鏈接 55.參考答案 6第八講幾何計(jì)算 181.知識(shí)要點(diǎn) 182.例題精講 183.習(xí)題鞏固 204.自招鏈接 225.參考答案 22第九講幾何不等式 381.知識(shí)要點(diǎn) 382.例題精講 383.習(xí)題鞏固 394.自招鏈接 415.參考答案 42第十講數(shù)論 521.知識(shí)要點(diǎn) 522.例題精講 523.同余的基本性質(zhì) 524.自招鏈接 545.參考答案 54第十一講組合 611.知識(shí)要點(diǎn) 613.例題精講 624.習(xí)題鞏固 63第十二講高斯函數(shù) 721.知識(shí)要點(diǎn) 722.例題精講 733.習(xí)題鞏固 734.自招鏈接 745.參考答案 74第七講幾何定理1.知識(shí)要點(diǎn)在幾何證明中有很多定理十分的有趣，在介紹這些定理之前，先介紹一下正弦定理與余弦定理.正弦定理與余弦定理是揭示三角形中邊角之間的數(shù)量關(guān)系的兩個(gè)重要定理，而三角形是最基本、最重要的幾何圖形，所以它們是聯(lián)系三角與幾何的紐帶.因此，正弦定理和余弦定理有著極廣泛的應(yīng)用，它們?cè)诖鷶?shù)方面主要用于解斜三角形、判定三角形形狀等等；在幾何方面主要用于計(jì)算、證明以及求解幾何定值與幾何最值等等.正弦定理：在三角形中，各邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等.這個(gè)表述等價(jià)于：在三角形中，各邊之比等于它所對(duì)的角的正弦之比.有，此式變形得.余弦定理：在三角形中，任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的兩倍.這個(gè)表述等價(jià)于：任何一角的余弦等于它的兩條夾邊的平方和減去對(duì)邊的平方的差除以?shī)A邊乘積的兩倍所得的商.有，，.變形得，，.以上的證明過(guò)程可以使用勾股定理來(lái)證明.2.例題精講（梅氏定理）如圖7-1，E、M分別為AB、AC上的任意一點(diǎn)，D為EM與BC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，求證：.（塞瓦定理）如圖7-3，在中，、與相交于點(diǎn)O.試證明：.若鈍角三角形的三邊分別為、2、x，試求x的取值范圍.證明：三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊距離的兩倍.證明：（斯德瓦爾特定理）如圖7-5，中，D是BC上任意一點(diǎn)，則有.證明斯坦納（Steiner）定理：若P為內(nèi)任意一點(diǎn)，作，交BC于點(diǎn)D，作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F.則.證明笛沙格定理：如圖7-7，平面上有兩個(gè)三角形、，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和、B和、C和）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線.證明阿波羅尼斯圓：如圖7-8，到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比（值不為1）的點(diǎn)E，位于將線段AB分成的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上.證明西姆松定理：（1）如圖7-11，從外接圓上任一點(diǎn)P向三邊AB、BC、CA所在直線引垂線，設(shè)垂足分別為點(diǎn)D、E、F，則點(diǎn)D、E、F共線.（2）由外一點(diǎn)P向其三邊AB、BC、CA所在直線引垂線，垂足為點(diǎn)D、E、F.若點(diǎn)D、E、F共線，則點(diǎn)P必在的外接圓上.3.習(xí)題鞏固證明海倫公式：，，a、b、c為三邊長(zhǎng).如圖，AM是的BC邊上的中線，求證：.證明：若G為的重心，P為所在平面上任意一點(diǎn).則.證明：平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對(duì)角線的平方和加對(duì)角線中點(diǎn)連線平方的4倍.如圖，四邊形ABCD的對(duì)邊AB與CD、AD與BC分別相交于點(diǎn)L、K，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)M，直線KL與BD、AC分別交于點(diǎn)F、G.求證：.在中，已知，求證：.若a、b、x、y是實(shí)數(shù)，且，.求證：.（請(qǐng)用幾何方法）如圖，已知AD、BE、CF是的三條高，點(diǎn)D在直線AB、BE、CF、CA上的射影分別是點(diǎn)M、N、P、Q.求證：M、N、P、Q四點(diǎn)共線.已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，且是直角，若從B作直線AC、AD的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，則直線EF平分線段BD.4.自招鏈接（托勒密定理）已知，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，求證：.某人在學(xué)習(xí)了三角形面積的海倫公式（若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，則它的面積，其中）以后，（1）他試圖用例子說(shuō)明，存在著兩個(gè)不全等，并且邊長(zhǎng)是正整數(shù)的等腰三角形，它們的周長(zhǎng)相等，而且面積相等.為了方便，他設(shè)定兩個(gè)等腰三角形的底邊邊長(zhǎng)之比為2.請(qǐng)你按上述思路給出一組滿足要求的例子.（2）兩個(gè)等邊三角形面積相等，它們一定全等；兩個(gè)等腰直角三角形也是如此.除此之外，請(qǐng)你考慮，能否以兩個(gè)三角形周長(zhǎng)相等，面積相等為前提，再附加一個(gè)有關(guān)三角形形狀特征的條件，從而推導(dǎo)出此時(shí)這兩個(gè)三角形必定全等？5.參考答案以下提供的是面積法證明梅氏定理（愛因斯坦稱為優(yōu)雅的證明，利用平行線的是丑陋的證明）.如圖7-2，連結(jié)AD、BM.，，.故.由和有公共底邊OA，而這兩個(gè)三角形OA上的高之比為.所以.同理，，. 三式相乘，化簡(jiǎn)得：.若x為最大邊，設(shè)鈍角為，，又，解得.又，所以.若2為最大邊，，又，解得.又因?yàn)?，?綜上，或.事實(shí)上，如圖7-4，AD、BE、CF分別為的三條高，D、E、F分別為垂足，H是垂心.O是的外心，M、N、L分別是BC、CA、AB的中點(diǎn)，則OM、ON、OL即為外心O到三邊的距離.取BH的中點(diǎn)P，連結(jié)PL、PM，則，，，.而，，則，，即四邊形PMOL為平行四邊形.（或連結(jié)PO，有）有，.同理，.如圖7-6所示，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E，則有，，.故.即.點(diǎn)評(píng)：由斯德瓦爾特定理可以得出很多有用的結(jié)論，比如上例，令本例中，則很快得出上例的結(jié)論以及中線長(zhǎng)的公式，一般地，只要的三條邊已知，BC上一點(diǎn)D的位置已知，則AD的長(zhǎng)度便可直接求出來(lái).另外，此結(jié)論用余弦定理證明也是很快的：在中，由余弦定理可知，.在中，由余弦定理可知，.故..運(yùn)用梅涅勞斯定理是證明三個(gè)沒有直接聯(lián)系的點(diǎn)共線的常用方法；假設(shè)：，，.因?yàn)橹本€AC割三角形，所以，即.所以 .同理，可得到：.同理可得到： .所以.所以G、E、D共線.證明逆定理可以使用同一法.首先證明阿波羅尼斯定理的逆定理：將線段AB分成（值不為1）的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比.如圖7-9，連結(jié)OE.不妨設(shè)，設(shè)，則，，，.所以圓的直徑為.圓的半徑，，，可得到.所以，對(duì)于上任意一點(diǎn)E有，，所以，所以.阿波羅尼斯定理的逆定理證明成立后，反過(guò)來(lái)再證明原來(lái)的定理可以使用反證法.設(shè)E不在圓上并且.如圖7-10，連結(jié)EC，則EC為三角形AEB的角平分線，如果EC或其延長(zhǎng)線與圓有另一個(gè)交點(diǎn)，則根據(jù)已證明的逆定理，所以是三角形的角平分線，于是很容易證明，該結(jié)論與值不為1矛盾.如果EC或其延長(zhǎng)線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則EC與圓相切，于是容易證明，同樣能得出矛盾.所以假設(shè)不成立.即滿足的點(diǎn)只能在CD為直徑的圓上.另解：運(yùn)用余弦定理可以直接得到原命題.已知：A、B、C、D共線，，O為CD中點(diǎn)，求證：.，其中.又因?yàn)?，，所?所以 .所以 .所以 .（1）如圖7-12，連結(jié)DE、EF、PB、PC.由，可知，D、B、P、E四點(diǎn)共圓，故.由，可知，P、E、C、F四點(diǎn)共圓，故.又，，可知，，故，從而可知，點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線.（2）由，可知，D、B、P、E四點(diǎn)共圓，故.由，可知，P、E、C、F四點(diǎn)共圓，故.又，故.又，，故，從而可知，A、B、P、C四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)P在的外接圓上.習(xí)題鞏固.在中，由余弦定理可得，代入上式可得.又，故，，，故.過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為點(diǎn)D.在中，由勾股定理可知，.同理，，.又，，，故.備注：本題就是三角形的中線長(zhǎng)公式，設(shè)a、b、c為三角形的三邊長(zhǎng)，、、分別為對(duì)應(yīng)邊上的中線，則有，，.本題只給出了一種情況，當(dāng)中或者為直角或鈍角時(shí)，同理可證.另外，可用余弦定理證明該結(jié)論：在中，由余弦定理可知，；在中，由余弦定理可知，.兩式相加即可得到結(jié)論.設(shè)BC的中點(diǎn)為M，連結(jié)AM、PM.設(shè)AM的三等分點(diǎn)分別為點(diǎn)N、G.則點(diǎn)G為的重心.由中線公式有，①，②.③①+②并代入③得：.又，，所以.又，同理，.將以上三式代入即得.點(diǎn)評(píng)：該結(jié)論前一個(gè)等式稱為卡諾定理，后一等式稱為萊布尼茲公式.要證明的結(jié)論是：.如圖，過(guò)點(diǎn)A、D分別作BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，易證，故，.由勾股定理可知，，.故.另解：在中，由余弦定理可知，.在中，由余弦定理可知，.兩式相加可得，.點(diǎn)評(píng)：如果設(shè)兩對(duì)角線的交點(diǎn)為點(diǎn)O，我們發(fā)現(xiàn)：在中，；在中，.故，即.也就是說(shuō)，用中線長(zhǎng)公式（或者斯德瓦爾特定理）也可很快證明.根據(jù)題意作圖，ABCD為任意四邊形，點(diǎn)E、F分別為BD、AC的中點(diǎn).該圖與我們前面講過(guò)的中線長(zhǎng)公式的圖形是一致的，于是可得，，同理.兩式相加可得，.在中，，于是有.故.從而可知，，得證.點(diǎn)評(píng)：本結(jié)論也稱為歐拉定理.對(duì)與點(diǎn)B，由塞瓦定理，得.對(duì)與截線AGC，由梅涅勞斯定理，得.由兩式可得.將結(jié)論變形為，把三角形和圓聯(lián)系起來(lái)，可聯(lián)想到托勒密定理，進(jìn)而構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形.如圖，作的外接圓，作弦，連結(jié)AD、CD.在圓內(nèi)接四邊形ADBC中，由托勒密定理，有.易證，，所以.兩端同除以，得.如圖，作直徑的圓，在AB兩邊任作和，使，，，.由勾股定理知a、b、x、y是滿足題設(shè)條件的.據(jù)托勒密定理，有.因?yàn)?，所?運(yùn)用西姆松定理解題最重要的是找對(duì)哪個(gè)點(diǎn)對(duì)于哪個(gè)三角形的西姆松線.點(diǎn)D對(duì)于的西姆松線是MNQ，點(diǎn)D對(duì)于的西姆松線是MNP，而M、N即可確定一條直線，故M、N、P、Q四點(diǎn)共線.作交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由西姆松定理有：F、E、G共線，又因?yàn)?，所以四邊形BFDG為矩形，所以對(duì)角線FG平分另一條對(duì)角線BD.自招鏈接由于待證結(jié)論實(shí)質(zhì)上是一種比例線段的組合形式，一般是通過(guò)（或構(gòu)造）相似三角形.為此，不妨把原式左端也化成線段兩兩乘積之和.證法1：幾何方法.如圖1，在BD上取一點(diǎn)P，使其滿足.因?yàn)椋?，從而有，?①又，，所以，從面有，即.②①+②，有 .即，故.證法2：代數(shù)證法.如圖2，設(shè)，，，，，.即證.在中，由余弦定理，有；在中，同理，有.因?yàn)?，所以，?整理，得；同理可得.于是，，故.即.（1）一組三角形邊長(zhǎng)為8、8、12；11、11、6.令兩個(gè)三角形邊長(zhǎng)分別為、，則有.由海倫公式及兩個(gè)三角形面積相等，有，整理得.不妨令聯(lián)立，解得令，則（2）附加條件：兩三角形為直角三角形.不妨設(shè)兩三角形邊長(zhǎng)分別為、，其中、為直角邊，設(shè)內(nèi)切圓半徑為、.由周長(zhǎng)相等、面積相等可得，可以推出，兩三角形內(nèi)切圓半徑相等.由內(nèi)切圓半徑相等可得，又由，可得又由面積相等，可得，聯(lián)立可得.可以解得或綜上，兩三角形全等.第八講幾何計(jì)算1.知識(shí)要點(diǎn)在自招試卷中，有不少的幾何計(jì)算問(wèn)題，一般需要用到全等，相似，勾股定理等課本知識(shí)，同時(shí)也會(huì)考查到面積法，弧長(zhǎng)等平時(shí)較少操練的章節(jié).本講我們講圍繞幾何計(jì)算展開學(xué)習(xí).2.例題精講如圖8-1，，點(diǎn)P、Q分別是邊OA、OB上的兩點(diǎn)，且.將沿PQ折疊，點(diǎn)O落在平面內(nèi)點(diǎn)C處.（1）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，求OQ的長(zhǎng).（2）當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，求OQ的長(zhǎng).我們知道，三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)，過(guò)三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交，兩交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)圖形.若有一個(gè)圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個(gè)三角形的“內(nèi)似線”.（1）等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為；（2）如圖8-6，中，，點(diǎn)D在AC上，且，求證：BD是的“內(nèi)似線”；（3）如圖8-7，在中，，，，點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上，且EF是的“內(nèi)似線”，求EF的長(zhǎng).將一個(gè)等腰三角形ABC劃分成兩個(gè)較小的等腰三角形，問(wèn)這樣的有幾種形狀？并將所有形狀都列出來(lái).如圖8-11，中，，BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)，，，…，，記，求.已知的兩條角平分線BD、CE交于點(diǎn)I，，.則的度數(shù)為.如圖8-15，在四邊形ABCD中，已知是等邊三角形，，，.求邊CD的長(zhǎng).如圖8-17，在四邊形ABCD中，，，，設(shè)直線AD與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)E，則的大小為.如圖8-19，三條直線l、m、n互相平行，且l、m間的距離為2，m、n間的距離為1，若正的三個(gè)頂點(diǎn)分別在l、m、n上，則正的邊長(zhǎng)是.如圖8-21，，則.如圖8-22，在中，，，四邊形CDEF、四邊形KLMN是的兩個(gè)內(nèi)接正方形.已知，.求的三邊長(zhǎng).3.習(xí)題鞏固沿一個(gè)卡紙立方體的邊緣按照?qǐng)D1中所示的虛線切開，然后展開，平放在桌面上的圖形是圖2中的（）.如圖，EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四邊形，、都是銳角，已知，，四邊形EFGH的面積為5，求正方形ABCD的面積.如圖，設(shè)P是ABCD內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P分別作AB、BC、CD、DA的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F、G、H.已知，，，，，，且，則四邊形的周長(zhǎng)為多少？在中，，，延長(zhǎng)BC到D使.求.已知是等邊三角形，它的高是4.若點(diǎn)P到邊AB、AC的距離分別是1、2.則點(diǎn)P到邊BC的距離是多少？在中，，，分別以AB、AC為邊向外部作正、，連結(jié)DE分別交AC、AB于點(diǎn)F、G.則的值為多少？在中，，，.則外接圓的半徑是多少？設(shè)的三邊分別為a、b、c，且.若，求的值.如圖，的網(wǎng)格中有25個(gè)格點(diǎn)，作出以這25個(gè)格點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形，其中直角三角形多少個(gè)？已知A、B是半徑為2的上的兩定點(diǎn)，，P是上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在上移動(dòng)一周時(shí)，的垂心移動(dòng)的路程為多少？（增加兩個(gè)特殊點(diǎn)，使的垂心H移動(dòng)的軌跡是封閉圖形）.如圖，已知，且.點(diǎn)D、E分別是AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，BD與CE相交于點(diǎn)P，使.求的最大值.4.自招鏈接如圖，在任意五邊形ABCDE中，點(diǎn)P、Q、R、S分別是AB、CD、BC、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是PQ、RS的中點(diǎn)，且.求MN.已知中，，于點(diǎn)D，若，.求的面積.5.參考答案（1）①當(dāng)時(shí)，，由折疊的性質(zhì)得：，，所以，所以，所以四邊形OPCQ是平行四邊形，所以四邊形OPCQ是菱形，所以.故答案為：.②當(dāng)時(shí)，分兩種情況：（?。┤鐖D8-2所示，設(shè)，因?yàn)椋允堑妊苯侨切?，所以，所?由折疊的性質(zhì)得：，，所以是等腰直角三角形，所以，所以，解得：，即；（ⅱ）如圖8-3所示.同（?。┑茫?；綜上所述：當(dāng)時(shí)，QQ的長(zhǎng)為，或.（2）當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，符合條件的點(diǎn)Q共有5個(gè)；①點(diǎn)C在的內(nèi)部時(shí)，四邊形OPCQ是菱形，；②當(dāng)點(diǎn)C在的一邊上時(shí)，是等腰直角三角形，或；③當(dāng)點(diǎn)C在的外部時(shí)，分兩種情況：（?。┤鐖D8-4所示，，則，由折疊的性質(zhì)得：.設(shè)，則，在中，由三角形內(nèi)角和定理得：，解得：，所以，作于點(diǎn)N，設(shè)，因?yàn)椋瑒t，，.因?yàn)?，所以，解得：，所?（ⅱ）如圖8-5所示，，作于點(diǎn)N，同①得：.綜上所述：當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，OQ的長(zhǎng)為或或，或或.（1）等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為3條；理由如下：過(guò)等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線，如8-8所示：則，，，所以MN、EF、GH是等邊三角形ABC的“內(nèi)似線”.故答案為：3.（2）因?yàn)?，，所以，，所?又因?yàn)?，所以，所以BD平分，即BD過(guò)的內(nèi)心，所以BD是的“內(nèi)似線”.（3）設(shè)D是的內(nèi)心，連結(jié)CD，則CD平分，因?yàn)镋F是的“內(nèi)似線”，所以與相似.分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，，所?作于點(diǎn)N，如圖8-9所示.則，DN是的內(nèi)切圓半徑，所以.因?yàn)镃D平分，所以.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所以，解得?②當(dāng)時(shí)，同理得：.綜上所述，EF的長(zhǎng)為.如圖8-10所示.設(shè)等腰三角形ABC分成與.不妨假設(shè)；于是，等腰三角形ABD中，只能有.這時(shí)，而有三種情況.（1）若時(shí)，則，為等腰直角三角形.（2）若時(shí)，設(shè)，則，，，由于，則.若，則，； 若，則，.（3）若時(shí)，設(shè)，，，顯然.由，得，.綜上所述，總共有4組解；所求三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為（45°，45°，90°）、（36°，36°，108°）、，（36°，72°，72°）.仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)與斯德瓦爾特定理非常相似，只是缺BC.從而可知，，故，從而有.也可以仿效前面幾個(gè)例題作垂線，也可求出.如圖8-12，作于點(diǎn)D，則. 從而可知，.答案：40°或60°.如圖8-13，在BC上截取，，連結(jié)、.當(dāng)點(diǎn)與不重合時(shí)，易證，.則.故.又，則，.當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，如圖8-14.同理，由，且，知.所以，.如圖8-16，以CD為邊向四邊形ABCD外作等邊，連結(jié)AE.由，，知，所以，所以.又，可知.所以，從而有，所以.如圖8-18，過(guò)點(diǎn)B作，過(guò)點(diǎn)D作，BF、DF交于點(diǎn)F，連結(jié)AF.因?yàn)?，，，所以四邊形BCDF是菱形，所以.因?yàn)椋?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)椋?所以三角形ABF是等邊三角形.所以，，所以.因?yàn)樗倪呅蜝CDF是菱形，，所以，所以.因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，所?如圖8-20，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，在AD右側(cè)作，并使，連結(jié)CE，交l于點(diǎn)F；過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G.因?yàn)?，，所?所以，即因?yàn)樗裕?因?yàn)椋?，所以，所?因?yàn)?，，所以，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以?所以，所以在中，，，所以.在中，，，所以.所以.所以，即正三角形ABC的邊長(zhǎng)是.設(shè)，，，.則，，；所以 .設(shè)正方形CDEF的邊長(zhǎng)為x，正方形KLMN的邊長(zhǎng)為y，則，.設(shè)，，，則.因?yàn)?，所?因?yàn)?，?因?yàn)椋?因?yàn)?，所?則 .所以.所以，.所以a、b是二次方程的兩根.因?yàn)?，所以?習(xí)題鞏固答案：D.如圖，在立方體的六個(gè)面中，只有ABCD和CDHG切開三條棱，保留一條棱連結(jié)，即只與一個(gè)面相連結(jié)，其他四個(gè)面切開兩條棱，保留兩條棱連結(jié)，即可與兩個(gè)面相連結(jié)，連結(jié)順序是.如圖，分別過(guò)點(diǎn)E、F、G、H作對(duì)邊的垂線，得矩形PQRT.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，，.由勾股定理，得，.又，，，，且，所以，得，解得，所以，即.如圖，分別連結(jié)PA、PB、PC、PD.因?yàn)?，，，，所以由勾股定理，得，，，，以上四式相加并整理，得，因?yàn)?，，，，，，所以，，因?yàn)?，所以，所?答案：80°.如圖，在邊CD上取點(diǎn)E，使，連結(jié)AE.則.故.易知.所以，.如圖1，設(shè)點(diǎn)P在的內(nèi)部，AH是的高，P到三邊的垂線分別為PD、PE、PF，并記的邊長(zhǎng)為a.由面積關(guān)系得，于是，，即.類似地，當(dāng)點(diǎn)P不在的內(nèi)部時(shí)，可知在圖2中的位置.因到AB、AC的距離之和小于4，所以，不是P.記到BC的距離分別為.則，，.解得，，.故點(diǎn)P到邊BC的距離可能是1、3、5、7.如圖，過(guò)E作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)EM交AB于點(diǎn)N，連結(jié)DN.則M是AC的中點(diǎn)，且.所以，N是AB的中點(diǎn).于是，. 又，得，，所以，四邊形ADNE是平行四邊形.因此，.令，則，，.在中，，.由得，則，即.所以，，故.如圖，設(shè)O是外接圓的圓心，作直徑AD，連結(jié)DB、DC.則.由，，則，.過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線，垂足為點(diǎn)F.設(shè)，.由勾股定理得.代入得.①在中，由勾股定理得，即.②由式①、②得，即.解得（負(fù)值舍去）.因?yàn)?，，所?即.兩邊平方并整理得或.又，且，則.答案：596.（1）當(dāng)直角三角形的兩直角邊均在網(wǎng)格線上時(shí)，每個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，該直角頂點(diǎn)處有個(gè)直角三角形.此時(shí)，共有個(gè)直角三角形.（2）當(dāng)直角三角形的兩直角邊不在網(wǎng)格線上時(shí).如圖，其中，（A）表示與A的地位相同的點(diǎn)，（B）、（C）、（D）與之類似.以四角頂點(diǎn)為直角的直角三角形不存在；以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形有（個(gè)）；以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角形有（個(gè)）；以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的直角三角形為（個(gè)）；以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的直角三角形有（個(gè)）；以點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形有（個(gè)）.綜上，所求三角形的個(gè)數(shù)為（個(gè)）.答案：.當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上，且為銳角三角形時(shí)，.當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，.當(dāng)為直角三角形時(shí)，垂心為A或B.當(dāng)點(diǎn)P在劣弧AB上時(shí)，.所以，H的軌跡為關(guān)于AB的對(duì)稱圓（增加兩個(gè)特殊點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)關(guān)于該圓的圓心的對(duì)稱點(diǎn)）.故的垂心H移動(dòng)的路程為.設(shè)，，則.因?yàn)椋?，，在中，由梅涅勞斯定理，得，則.同理， .所以 .因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以?令，則，從而.因?yàn)椋?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.自招鏈接如圖，連結(jié)BE，并取其中點(diǎn)為O，再連結(jié)PO、SO、RO、SQ、RQ、OQ.在中，由三角中位線定理得.在四邊形BCDE中，因R、Q、S、O分別為各邊的中點(diǎn)，易知四邊形RQSO為平行四邊形，其對(duì)角線RS、QO互相平分.又N為RS的中點(diǎn)，則N也是OQ的中點(diǎn).故.于是，.法一：如圖1，將沿直線AB翻折得，將沿直線AC翻折得，延長(zhǎng)EB、FC交于點(diǎn)G.因?yàn)椋?，，因?yàn)椋鶕?jù)平行線間的距離相等，易得.又，.設(shè).則，，可列方程：.解得：（其中不合題意，舍去.）所以的面積為：.法二：將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，延長(zhǎng)、DC交于點(diǎn)H，連結(jié).因?yàn)?，所以，，根?jù)平行線間的距離相等，得，且.所以.設(shè).則，，在中，由勾股定理得.解得（其中不合題意，舍去.）所以的面積為：.法三：正切和公式：.設(shè)，則，解方程得（其中不合題意，舍去.）所以的面積為：.第九講幾何不等式1.知識(shí)要點(diǎn)在自招考試中，求幾何最值的問(wèn)題頻頻出現(xiàn)，比如求最短距離、求某個(gè)角度的取值范圍、求面積的最大值等等.所有這些問(wèn)題都可以歸結(jié)為幾何不等式有關(guān)幾何不等式的性質(zhì)和定理如下：1.三角形兩邊之和大干第三邊，兩邊之差小于第三邊.2.三角形的外角大于任一不相鄰的內(nèi)角.3.同一三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角.4.兩點(diǎn)之間線段最短.5.兩邊對(duì)應(yīng)相等的三角形中，所夾的角越大，則它所對(duì)的邊越大6.兩邊對(duì)應(yīng)相等的三角形中，第三邊越大，則它所對(duì)的角越大7.直角三角形的斜邊大干任一直角邊可以看到，幾何不等式的基礎(chǔ)大多源于三角形，所以關(guān)于三角形的不等式是占絕大多數(shù)的，而很多包括四邊形、圓的問(wèn)題都可以化為三角形中的不等關(guān)系，因此三角形中的各種不等式是我們討論的一個(gè)重點(diǎn).另外需要注意的是，很多幾何不等式實(shí)際上是代數(shù)不等式，還有相當(dāng)一部分幾何不等武的證明過(guò)程用到了經(jīng)典的代數(shù)不等式，其中最常用的就是均值不等式.2.例題精講如圖9-1，矩形中，，若在、上各取一點(diǎn)、，使的值最小，求這個(gè)最小值.已知正三角形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)、、分別在、、上，，求的最大面積.在銳角的邊、、上各有一動(dòng)點(diǎn)、、，求證：的周長(zhǎng)達(dá)到最小當(dāng)且僅當(dāng)、、為的三條高.已知點(diǎn)是四邊形的邊的中點(diǎn)，且，證明：.如圖9-7，設(shè)的外心為.在其邊和上分別取點(diǎn)和，使得.證明：的周長(zhǎng)不小于邊之長(zhǎng).如圖9-9，在的邊上取一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).求證：如圖9-10所示，在中，、、的對(duì)邊分別為、、，如果，求證：.求證：在凸四邊形，有.證明Ptolemy定理（托勒密定理）：對(duì)于一般的四邊形，有，當(dāng)且僅當(dāng)是圓內(nèi)接四邊形時(shí)等號(hào)成立.3.習(xí)題鞏固如圖所示，設(shè)，為上一點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，為上任意一點(diǎn)，是上任意一點(diǎn)，求折線的長(zhǎng)度的最小值.已知平面內(nèi)的任意四點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線，試問(wèn)：是否一定能從這樣的四個(gè)點(diǎn)中選出三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，使得這個(gè)三角形至少有一個(gè)內(nèi)角不大于？試證明你的結(jié)論.如圖，點(diǎn)、、分別在、、上，若分別記、、為、、，證明：，當(dāng)且僅當(dāng)、、共點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.如圖，在的邊上依次有點(diǎn)、，邊上依次有點(diǎn)、求證：.如圖，在中，、、的平分線分別交外接圓于點(diǎn)、、.證明：.設(shè)四邊形四邊依次為、、、，則其面積不大于，其中.取到最大值時(shí)，僅當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓.設(shè)點(diǎn)為邊長(zhǎng)為1的正三角形內(nèi)一點(diǎn)，則、、中至少有一條其長(zhǎng)度不超過(guò).已知點(diǎn)是四邊形的邊的中點(diǎn)，且，證明：.如圖，已知中，，為內(nèi)一點(diǎn).求證：.如圖所示，在四邊形中，，，求證：（1）；（2）.4.自招鏈接已知為內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)至三邊、、的距離分別為、、，求當(dāng)取最小值時(shí)點(diǎn)的位置.中，為三角形的重心，過(guò)的直線交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn).若的面積為1，求的面積的最大值與最小值.5.參考答案如圖9-2，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上的點(diǎn)處.此時(shí)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，即的最小值為.設(shè)和交于點(diǎn)，連結(jié)，則的面積等于.因?yàn)?，則.設(shè)，則，.所以，解得.所以，故的最小值是..如圖9-3，設(shè)，，，則，.，于是問(wèn)題變?yōu)榍蟮淖钚≈?，展開后約去，即求的最大值.由不等式知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的面積達(dá)到最大值.如圖9-4，設(shè)點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)、，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則.這里為的高，為的外接圓半徑.又由對(duì)稱性，除了外，、也分別必須垂直于、時(shí)方能達(dá)到.顯然，要證題設(shè)的不等式，應(yīng)當(dāng)把、、三條線段首尾連結(jié)成一條折線，然后再與線段比較要實(shí)現(xiàn)這一構(gòu)想，折線之首端應(yīng)與點(diǎn)重合，尾端應(yīng)與點(diǎn)重合，這可由軸對(duì)稱來(lái)實(shí)現(xiàn).如圖9-6，以為對(duì)稱軸，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，則，，即，由此.再以為對(duì)稱軸，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)、，則，，即，由此.而，所以.注意到，因此，而，所以是等邊三角形，.由于兩點(diǎn)之間以直線段為最短，所以，即.如圖9-8，注意到，則在內(nèi)部可取點(diǎn)和，使得，.從而，，且.連結(jié)，則，故.因此，.由知，且.又由得，所以.從而，即，所以.上式表明二次方程有實(shí)根，從而其判別式非負(fù)，即，故.另解：對(duì)于，可以配方得，即得結(jié)論.注意到，所以等價(jià)于.如圖9-11所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，則.過(guò)點(diǎn)作的平行線，過(guò)點(diǎn)作的平行線，兩線交于點(diǎn)，連結(jié)，則四邊形為平行四邊形.則，.因?yàn)?，，，故，則，，即，.從而，在中，.而，故，即.如圖9-12，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)、、，令，，，則由余弦定理得，，而，，所以.同理可得，，于是有.因?yàn)椋?說(shuō)明：（1）當(dāng)時(shí)，，且有四邊形為平行四邊形.因此我們有結(jié)論：平行四邊形的四邊長(zhǎng)平方和等于對(duì)角線長(zhǎng)的平方和.反過(guò)來(lái)，若四邊形的四邊長(zhǎng)平方和等于對(duì)角線長(zhǎng)的平方和，則此四邊形為平行四邊形(2)運(yùn)用余弦（或正弦）定理得到幾何線段的不等式，是其思路之一.如圖9-13，作線段，且.則有，可得，所以，所以.①又因?yàn)?所以，所以.即.得到.當(dāng)且僅當(dāng)在上時(shí)，此時(shí)，即、、、四點(diǎn)共圓.習(xí)題鞏固構(gòu)造點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則.在中，，，，解得，即折線的長(zhǎng)度的最小值為12.一定可以從中選出三點(diǎn)符合題意.根據(jù)內(nèi)角的大小，分凸四邊形或凹四邊形分類討論即可.設(shè)，，，則，，，所以.又有，故，于是命題得證.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由塞瓦逆定理知，此時(shí)必有、、共點(diǎn).設(shè).而，即，所以.如圖，連結(jié)、、、、、.因?yàn)椋?，，所以、、相交于一點(diǎn)，即為的內(nèi)心，則，，.在中，因?yàn)?，所?同理可證，.將這三個(gè)式子相加并整理，得.①因?yàn)?，，，所?②式得.如圖，連結(jié)、，交于點(diǎn)，設(shè)，則由四邊形的余弦定理，得.又，兩式平方后相加，得，即.由托勒密不等式，有，故.由托勒密定理知，僅當(dāng)內(nèi)接于圓時(shí)，面積取最大值.設(shè)為的重心，則.分別以、、為圓心，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓，將分為如圖所示的6個(gè)區(qū)域.當(dāng)點(diǎn)在區(qū)域Ⅰ時(shí)，顯然有.同樣地，在區(qū)域Ⅱ、Ⅲ時(shí)，分別有，.當(dāng)點(diǎn)在區(qū)域Ⅳ時(shí)，，至少有一個(gè)成立.同樣地，在區(qū)域Ⅴ時(shí)，，至少有一個(gè)成立，在區(qū)域Ⅵ時(shí)，，至少有一個(gè)成立.綜上所述，、、中至少有一條不超過(guò).同例4.將三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，通過(guò)兩點(diǎn)之間線段最短得證.（1）以為對(duì)稱軸將翻折到的位置，則由可知在上，且，.將平移到的位置，則由可知在的延長(zhǎng)線上，且，，因此是一個(gè)等腰梯形，所以，于是.（2）由（1）可得，即，而由及勾股定理可得，故.自招鏈接顯然有，而由柯西不等式.即有.上式右邊即為最小值，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，即點(diǎn)是的內(nèi)心.設(shè)，由為三角形重心可得..因?yàn)?，可得?則.根據(jù)的取值范圍，可得，所以最小值為，最大值為.即的面積的最大值為，最小值為.第十講數(shù)論1.知識(shí)要點(diǎn)由于數(shù)論在中考中涉及的考點(diǎn)幾乎沒有，同學(xué)們接觸極少，所以當(dāng)它出現(xiàn)在自招考試中往往會(huì)造成大范圍失分.反之，對(duì)數(shù)論較為熟悉的同學(xué)也因此能在自招考試中取得優(yōu)勢(shì).數(shù)論涉及的考點(diǎn)比較廣，其中整除、同余、奇偶性、質(zhì)數(shù)合數(shù)、完全平方數(shù)及一元二次方程整數(shù)根問(wèn)題等在自招中出現(xiàn)得比較頻繁.數(shù)的整除特征：1.一個(gè)數(shù)的末位能被2或5整除，這個(gè)數(shù)就能被2或5整除；一個(gè)數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個(gè)數(shù)就能被4或25整除；一個(gè)數(shù)的末三位能被8或125整除，這個(gè)數(shù)就能被8或125整除.2.一個(gè)各位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除；一個(gè)數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除.3.如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)能被11整除.4.如果一個(gè)整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個(gè)數(shù)能被7、11或13整除.2.例題精講用數(shù)字6、7、8各兩個(gè)，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能被168整除.這個(gè)六位數(shù)是多少？如果甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90，乙、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是105，甲、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是126，那么甲數(shù)是多少？方程的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是_.若正整數(shù)n使得是由同一個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)，則符合條件的n為_.3.同余的基本性質(zhì)若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：，左邊的式子叫做同余式.同余具有下面的性質(zhì)：（1）自反性 ；（2）對(duì)稱性 ；（3）傳遞性 ，.設(shè)a、b、c、d是整數(shù)，并且，則（1）；（2）；（3）.試求除以17的余數(shù).完全平方數(shù)常用性質(zhì)1.主要性質(zhì)（1）完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0、1、4、5、6、9.不可能是2、3、7、8.（2）在兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù).（3）完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù).（4）若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)，則p能被a整除.2.一些重要的推論（1）任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù).（2）一個(gè)完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù).（3）自然數(shù)的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96.（4）完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)（1、5、9）時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù).（5）完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（0、4）時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù).（6）完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字為6時(shí)，其十位數(shù)字必為奇數(shù).（7）凡個(gè)位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個(gè)“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個(gè)位數(shù)字為1、4、9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù).有一個(gè)四位數(shù)，它是一個(gè)完全平方數(shù)，求a.設(shè)正整數(shù)n至少有4個(gè)不同的正約數(shù)，且是n的最小的4個(gè)正約數(shù)，它們滿足.求所有這樣的n.正整數(shù)n恰好有4個(gè)正因數(shù)（包括1和n）已知其中兩個(gè)因數(shù)之和是另兩個(gè)因數(shù)之和的六倍.求n的值.求所有的整數(shù)數(shù)組，使得已知質(zhì)數(shù)p使得恰有30個(gè)正因數(shù).則p的最小值為多少？有四個(gè)數(shù)，每三個(gè)數(shù)的積被第四個(gè)數(shù)除后余一，求這四個(gè)數(shù).習(xí)題鞏固試求被7除的余數(shù).使得整除的正整數(shù)n共有多少個(gè)？若n為正整數(shù)，且滿足，則n的可能值有多少個(gè)？方程的所有不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為多少？已知正整數(shù)x、y.求的解.一個(gè)三位數(shù)是它的各位數(shù)字之和的29倍.則這個(gè)三位數(shù)是多少？設(shè)，，，其中，a、b、c是質(zhì)數(shù)，且滿足，.問(wèn)：a、b、c能否構(gòu)成三角形的三邊？如果能，求出三角形的面積；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.已知a、b是整數(shù)，c是質(zhì)數(shù)，且.則有序數(shù)對(duì)有多少組？若a、b均為質(zhì)數(shù)，且，則的末位數(shù)字是多少？設(shè)x為正整數(shù)，且，則使能被12整除的共有多少個(gè)？已知p為大于5的質(zhì)數(shù)，且m為除以120的余數(shù).則的個(gè)位數(shù)字是多少？對(duì)正整數(shù)n，記.若，則M的正因數(shù)中共有完全立方數(shù)多少個(gè)？4.自招鏈接已知某個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且在數(shù)值上該三角形的周長(zhǎng)等于其面積的整數(shù)倍.問(wèn)：這樣的直角三角形有多少個(gè)？方程的正整數(shù)解共有多少組？5.參考答案例題精講因?yàn)?，所以組成的六位數(shù)可以被8、3、7整除.能夠被8整除的數(shù)的特征是末三位組成的數(shù)一定是8的倍數(shù)，末兩位組成的數(shù)一定是4的倍數(shù)，末位為偶數(shù).在題中條件下，驗(yàn)證只有688、768是8的倍數(shù)，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍數(shù)，由數(shù)的整除性質(zhì)4知形式的數(shù)一定是7、11、13的倍數(shù)，所以768768一定是7的倍數(shù)，□□□688的□不管怎么填都得不到7的倍數(shù).至于能否被3整除可以不驗(yàn)證，因?yàn)檎?的數(shù)的規(guī)律是數(shù)字和為3的倍數(shù)，在題中給定的條件下，不管怎么填數(shù)字和都是定值.所以768768能被168整除，且驗(yàn)證沒有其他滿足條件的六位數(shù).對(duì)90分解質(zhì)因數(shù)：.因?yàn)?26是甲的倍數(shù)，又126不是5的倍數(shù)，所以甲中不含因數(shù)5.如果乙也不含因數(shù)5，那么甲、乙的最小公倍數(shù)也不含因數(shù)5，但90是5的倍數(shù)，所以乙含有因數(shù)5.因?yàn)?05不是2的倍數(shù)，所以乙也不是2的倍數(shù)，即乙中不含因數(shù)2，于是甲必含有因數(shù)2.因?yàn)?05不是9的倍數(shù)，所以乙也不是9的倍數(shù)，即乙最多含有1個(gè)因數(shù)3.由于甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90，90中含有2個(gè)因數(shù)3，所以甲必含有2個(gè)因數(shù)3，那么.總結(jié)：兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)含有兩數(shù)的所有質(zhì)因子，并且這些質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)為兩數(shù)中此質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)的最大值.如，，則A、B的最小公倍數(shù)含有質(zhì)因子2、3、5、7、11，并且它們的個(gè)數(shù)為a、b中含有此質(zhì)因子較多的那個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù).即依次含有3個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)、1個(gè)，故.2016是4的倍數(shù)，一個(gè)平方數(shù)除以4的余數(shù)為0或者1，所以可以判斷x，y，z為2的倍數(shù).兩邊同時(shí)除以4，得.同理可得，、、為2的倍數(shù).兩邊同時(shí)除以4，得.不妨設(shè)，可得，，；，，；，，；所以，；；.根據(jù)排列組合與正負(fù)號(hào)，共組解.設(shè)，①則，得：.，因?yàn)?，所以?由n的大致范圍得：或36，代入得：，.同余：若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：，左邊的式子叫做同余式.因?yàn)?，所?從而，.由完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字特征：只能取0、1、4、5、6、9，故.因此，N的末兩位為.再由完全平方數(shù)末兩位特征：只有符合條件，即，6.當(dāng)時(shí)，非完全平方數(shù)，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合條件.故.顯然最小的是1，其次如果n為奇數(shù)則矛盾，所以是偶數(shù).于是第二小的數(shù)是2.于是剩下的兩個(gè)約數(shù)是一奇一偶.如果第三個(gè)為偶數(shù)，那么只能是4，否則若是大于4，那么p必定是比第三個(gè)還小的約數(shù).如果第三個(gè)是4，那么n是4的倍數(shù)，這和式子左邊除以4余數(shù)是2矛盾.所以第三個(gè)是奇數(shù).第四個(gè)是偶數(shù)，那么只能是第三個(gè)數(shù)的兩倍.于是我們得到.注意到，恰有四個(gè)正因數(shù)的正整數(shù)必為或（p、q為質(zhì)數(shù)，）.當(dāng)時(shí)，其全部正因數(shù)為1、p、、.由題設(shè)條件知，有，，滿足.上式右邊為p的倍數(shù)，故，或3.經(jīng)檢驗(yàn)，上式均不成立.當(dāng)時(shí)，其全部正因數(shù)為1、p、q、.顯然，.若，則，可得（或，因此或143.若，則，與p為質(zhì)數(shù)矛盾.若，則，與p為質(zhì)數(shù)矛盾.綜上：或143.如果，并且，則.所以式中所有不等號(hào)均為等號(hào)，這要求，，，，這是不可能的，從而或者.不妨設(shè)，則或.情形一：，此時(shí)，，故，可知，從而，故，于是，或.分別代入可求得，或.情形二：，此時(shí)，，即有，同上可知，即，因此，，或，對(duì)應(yīng)地，可求得或（當(dāng)時(shí)無(wú)解）綜上，結(jié)合對(duì)稱性，可知，，，，，或共7組解.當(dāng)或3時(shí)，不符合題意.所以.又，此時(shí)，.因?yàn)閜有兩個(gè)因數(shù)，所以有15個(gè)因數(shù).而，為使p最小，又是偶數(shù)，故只能是或.從而，（舍）或23.因此p的最小值為23.設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a、b、c、d，其實(shí)題目就一個(gè)條件：，，，.第一步：先證四個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)（這個(gè)還是比較容易發(fā)現(xiàn)的）設(shè)，則.所以a、b互質(zhì).同理，其他均兩兩互質(zhì).第二步：構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式，能被四個(gè)數(shù)共享.（這個(gè)技巧比較難想到）令，則，，，.由a、b、c、d兩兩互質(zhì)得：，即（表示為整數(shù)），很顯然a、b、c、d中不可能有1，不然就沒余數(shù)這回事了.又由兩兩互質(zhì)可知，這四個(gè)數(shù)都不相同.那么我們不妨設(shè)，則，故.第三步：用不等式解方程.（這個(gè)算基本功了）首先a不能太大，我猜是2，不信咱就證一下：若，則，矛盾！所以.那么方程化為.同理，b也不能太大.若，則，所以或4或5.討論一下：當(dāng)時(shí)，原方程化為：，構(gòu)造因式分解：，得：，或，.同理，當(dāng)，5時(shí)，原方程無(wú)整數(shù)解.綜上：這四個(gè)數(shù)分別為2、3、7、41或2、3、11、13.習(xí)題鞏固由于，故只需考慮除以6的余數(shù)即可.而無(wú)論n取什么正整數(shù)，除以6均余4..（其中為除以6余4后的商），而，故n有個(gè)..因?yàn)?，所?013有8個(gè)約數(shù)，而每個(gè)約數(shù)加1即為符合條件的n.答案:8個(gè).原方程化為.因?yàn)榕c的和能被3整除，而分解為兩個(gè)整數(shù)因數(shù)（包括負(fù)因數(shù)），這兩個(gè)整數(shù)因數(shù)的和也能被3整除，所以解的個(gè)數(shù)應(yīng)為.由. ①若，有.又，矛盾.所以.在式①中，由，有.因此，x只可取5、6、7中的數(shù).經(jīng)驗(yàn)算，只有兩組正整數(shù)解為，.設(shè)三位數(shù)為.則.因a、b、c為正整數(shù)，所以.而，則，.由，知，從而，，.所以，這個(gè)三位數(shù)為261.不能.由題意得：，，.因?yàn)椋?又x為整數(shù)，a為質(zhì)數(shù)，則或，.當(dāng)時(shí)，.進(jìn)而，，，與b、c是質(zhì)數(shù)矛盾.當(dāng)時(shí)，.進(jìn)而，，.因?yàn)?，所以a、b、c不能構(gòu)成三角形的三邊.由已知得.因與的奇偶性相同，所以上式左邊為偶數(shù).從而，c為偶質(zhì)數(shù)2.故，，，，，共6組.由條件知和必為一奇一偶.若是偶數(shù)，則，.此時(shí)，.由的末位數(shù)字為6，的末位數(shù)字為1，知的末位數(shù)字為9.若是偶數(shù)，則，.此時(shí)，.由的末位數(shù)字為1，的末位數(shù)字為6，知的末位數(shù)字為3.故的末位數(shù)字是9或3.注意到，由，得，又是奇數(shù)，故.而，于是，，12，24，36，48.故，13，25，37，49，共5個(gè).注意到.設(shè).顯然，.又p為大于5的質(zhì)數(shù)，故.所以除以120的余數(shù)總是1，即.所以.即的個(gè)位數(shù)字為9.注意到，.又一個(gè)完全立方數(shù)應(yīng)具有形式，且，，，.故這樣的n共有個(gè).自招鏈接設(shè)該直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a、b，且，那么結(jié)合勾股定理及條件，可設(shè)， ①其中k為正整數(shù).對(duì)①兩邊乘以2，移項(xiàng)后，兩邊平方，，化簡(jiǎn)整理，得，因式分解，得.注意到，、為正整數(shù)，且，故，.分別可求得，或.綜上，滿足條件的直角三角形恰有3個(gè)，它們的三邊長(zhǎng)為，和.注意到原方程關(guān)于a、b、c對(duì)稱.不妨設(shè).則.代入原方程得.當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得，；當(dāng)時(shí)，得（舍去）；當(dāng)時(shí)，c不為正整數(shù).綜上，當(dāng)時(shí)，原方程有三組正整數(shù)解，，.故原方程的正整數(shù)解共有（組）.第十一講組合1.知識(shí)要點(diǎn)組合問(wèn)題非?？简?yàn)同學(xué)們的思維能力，其中組合計(jì)數(shù)、概率等問(wèn)題是自招考試的高頻考點(diǎn)，抽屜原理、染色問(wèn)題、極端原理等偶爾也會(huì)出現(xiàn)．一、乘法原理一般地，如果完成一件事需要n個(gè)步驟（缺一不可），第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，第3步有m3種不同的方法……第n步有mn種不同的方法，則完成這件事一共有種不同的方法．乘法原理運(yùn)用的范圍：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立步驟來(lái)完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可，這樣的問(wèn)題可以使用乘法原理解決．我們可以簡(jiǎn)記為：“乘法分步，步步相關(guān)”．二、加法原理一般地，如果完成一件事有n類步驟（每一類中的任何一種方法都能獨(dú)立完成這件事情），第1類有m1，種不同的方法，第2類有m2種不同的方法，第3類有m3種不同的方法……第n類有mn種不同的方法，則完成這件事一共有種不同的方法．加法原理運(yùn)用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問(wèn)題可以使用加法原理解決．我們可以簡(jiǎn)記為：“加法分類，類類獨(dú)立”．三、排列在實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計(jì)算有多少種排法，就是排列問(wèn)題．在排的過(guò)程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)．根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同，指的是兩個(gè)排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同．如果兩個(gè)排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個(gè)排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．排列的基本問(wèn)題是計(jì)算排列的總個(gè)數(shù)．從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素的排列中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，我們把它記做或..四、組合一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)（m≤n）元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無(wú)關(guān)．如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)．才是不同的組合．從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素（m≤n）的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素的組合數(shù)．記作或.3.例題精講回答下列問(wèn)題：（1）在1～5的自然數(shù)可以組成的五位數(shù)共有幾個(gè)？（2）有3種染料給三行144列的方格網(wǎng)染色，一共有多少種染色方法（只列式，不計(jì)算）？至少取多少列方格，才能保證有兩列方格染色完全相同？（3）從十位同學(xué)中任意選取2名同學(xué)，一共有多少種選法？（4）爸爸、媽媽、客人和我四人圍著圓桌喝茶．若只考慮每人左鄰的情況，問(wèn)共有多少種不同的入座方法？（5）圖11-l中有六個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)都不在一條直線上．請(qǐng)問(wèn)：以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，一共可以連出多少個(gè)三角形？（6）某鐵路線上，在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間原有7個(gè)車站，現(xiàn)在新增加了3個(gè)車站，這樣需要增加幾種不同的車票？6人同時(shí)被邀請(qǐng)參加一項(xiàng)活動(dòng)．必須有人去，去幾個(gè)人自行決定，共有多少種不同的去法？小明的媽媽給了小明9塊一樣的糖，讓他在接下來(lái)的4天正好吃完，每天至少吃一塊，則小明有多少種不同的吃糖方案？4個(gè)人進(jìn)行籃球訓(xùn)練，互相傳球接球，要求每個(gè)人接球后馬上傳給別人，開始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，第五次傳球后，球又回到甲手中，問(wèn)有多少種傳球方法？游樂園的門票1元1張，每人限購(gòu)1張．現(xiàn)在有10個(gè)小朋友排隊(duì)購(gòu)票，其中5個(gè)小朋友只有1元的鈔票，另外5個(gè)小朋友只有2元的鈔票，售票員沒有準(zhǔn)備零錢．問(wèn)有多少種排隊(duì)方法，使售票員總能找得開零錢？給定一個(gè)15×15的方格表，將其中有公共邊的方格稱為相鄰的．將某些相鄰方格的中心用線段相連，得到一條不白交的閉折線．現(xiàn)知該折線關(guān)于方格表的一條對(duì)角線對(duì)稱．證明：折線的長(zhǎng)度不大于200．物體A和B放在坐標(biāo)平面上同時(shí)移動(dòng)，且每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，A從（0，0）開始移動(dòng)每次以相同的可能性向右或向上移動(dòng)，物體B從（5，7）開始移動(dòng)，每次以相同的可能性向左或向下移動(dòng)，問(wèn)兩物體相遇的可能性是多少？攝影師給8名同學(xué)照相，有兩人合影，也有三人合影，若任意兩名同學(xué)都恰好合影一次，問(wèn)最少要拍多少?gòu)堈掌?？某同學(xué)在暑假里做數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，每天至少做一題，每星期至多做12題，一共做了7個(gè)星期，求證：該同學(xué)在連續(xù)的若干天里恰好做了12道題．平面上有20個(gè)點(diǎn)，在他們之間已連了n線段，若任意三點(diǎn)之間都至少有一條線段．求n的最小值．20個(gè)紅球、17個(gè)白球，重量都是正整數(shù)．紅球與白球重量之和相等，且都小于340．證明：一定可以取出一些紅球和一些白球，使得這些紅球重量之和等于這些白球重量之和（不能全取）．4.習(xí)題鞏固某件工作需要鉗工2人和電工2人共同完成．現(xiàn)有鉗工3人、電工3人，另有1人鉗工、電工都會(huì)．從7人中挑選4人完成這項(xiàng)工作，共有多少種方法？平面上10個(gè)兩兩相交的圓最多能將平面分割成多少個(gè)區(qū)域？在圖中（單位：厘米）：（1）一共有幾個(gè)長(zhǎng)方形？（2）所有這些長(zhǎng)方形面積的和是多少？有11名外語(yǔ)翻譯人員，其中5名是英語(yǔ)翻譯員，4名是日語(yǔ)翻譯員，另外兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通．從中找出8人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作．問(wèn)這樣的分配名單共可以開出多少?gòu)?？假如電子?jì)時(shí)器所顯示的十個(gè)數(shù)字是“0126093028”這樣一串?dāng)?shù)，它表示的是1月26日9時(shí)30分28秒．在這串?dāng)?shù)里，“0”出現(xiàn)了3次，“2”出現(xiàn)了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出現(xiàn)1次，而“4”、“5”、“7”沒有出現(xiàn)．如果在電子計(jì)時(shí)器所顯示的這串?dāng)?shù)里．“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”這十個(gè)數(shù)字都只出現(xiàn)一次，稱它所表示的時(shí)刻為“十全時(shí)”．那么2016年一共有幾個(gè)這樣的“十全時(shí)”？從1，2，…，2011中選取n個(gè)數(shù)，使得其中任意兩數(shù)的差都不等于4或7．求n的最大值．7名學(xué)生參加演出，學(xué)校為他們安排了m次演出，每次由其中3名同學(xué)同時(shí)登臺(tái)演出，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，使得7名學(xué)生中，任意兩名同臺(tái)演出的次數(shù)一樣多，且使m最小．求證：任意9個(gè)整數(shù)中，必有5個(gè)整數(shù)，它們的和被5整除．有紅、黃、藍(lán)卡片各6張，分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6．從中選取6張，要求三色俱全，且數(shù)字1、2、3、4、5、6各一張，則不同的選法有多少種？5.自招鏈接在右圖中，不包含☆的長(zhǎng)方形有個(gè)．第二季“中國(guó)好聲音”楊坤組某一學(xué)員和那英組某一學(xué)員進(jìn)行一對(duì)一PK，9位專業(yè)評(píng)委依次給兩位學(xué)員投票，最終楊坤組學(xué)員拿到5票，那英組學(xué)員拿到4票．請(qǐng)問(wèn)在依次投票的過(guò)程中，楊坤組學(xué)員得票數(shù)一直嚴(yán)格大于那英組學(xué)員得票數(shù)的概率是多少？6.參考答案（1）根據(jù)乘法原理，5×5×5×5×5=3125．共有3125個(gè)．（2）根據(jù)乘法原理，．抽屜原理，從最壞的情況考慮取到的第一個(gè)是列．（3）．（4）4個(gè)相異元素的環(huán)形排列問(wèn)題，共有種不同的入座方法．（5）因?yàn)槿我馊齻€(gè)點(diǎn)都不在一條直線上；所以以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，一共可以連出個(gè)三角形．（6）原來(lái)有車站7+2=9，現(xiàn)在有車站9+3=12．考慮每?jī)蓚€(gè)站點(diǎn)之間的往返車票起始站和終點(diǎn)站互異，所以新增的車票種類為種．（法一）可以分為一人去、兩人去、三人去、四人去、五人去、六人去六種情況，每種情況都是組合問(wèn)題．第一種情況有6種去法；第二種情況有種去法；第三種情況有種去法；第四種情況有種去法；第五種情況有種去法；第六種情況有種去法．根據(jù)加法原理，共有6+15+20+15+6+1=63種不同的去法．（法二）每個(gè)人都有去或不去兩種可能，因此共有26種可能，但必須有人去，即所有人都不去的情況必須排除，因此有種．插板法：9塊一樣的糖有8個(gè)間隔，要分成4份，需要3個(gè)問(wèn)隔，所以有種方案．設(shè)第n次傳球后，球又回到甲手中的傳球方法有an種．可以想象前次傳球，如果每一次傳球都任選其他三人中的一人進(jìn)行傳球，即每次傳球都有3種可能，由乘法原理，共有（種）傳球方法．這些傳球方法并不是都符合要求的，它們可以分為兩類，一類是第次恰好傳到甲手中，這有種傳法，它們不符合要求，因?yàn)檫@樣第n次無(wú)法再把球傳給甲；另一類是第次傳球，球不在甲手中，第n次持球人再將球傳給甲，有an種傳法．根據(jù)加法原理，有．由于甲是發(fā)球者，一次傳球后球又回到甲手中的傳球方法是不存在的，所以．利用遞推關(guān)系可以得到：，，，．這說(shuō)明經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法有60種．本題也可以列表求解．由于第n次傳球后，球不在甲手中的傳球方法，第n+1次傳球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次傳球后，球不在甲手中的傳法共有多少種．第n次傳球傳球的方法球在甲手中的傳球方法球不在甲手中的傳球方法130329363276214812160524360183從表中可以看出經(jīng)過(guò)五次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法共有60種．與類似題目找對(duì)應(yīng)關(guān)系．要保證售票員總能找得開零錢，必須保證每一位拿2元錢的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人數(shù)多，先將拿1元錢的小朋友看成是相同的，將拿2元錢的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在圖11-2中，每條小橫線段代表1元錢的小朋友，每條小豎線段代表2元錢的小朋友，因?yàn)閺腁點(diǎn)沿格線走到B點(diǎn)，每次只能向右或向上走，無(wú)論到途中哪一點(diǎn)，只要不超過(guò)斜線，那么經(jīng)過(guò)的小橫線段都不少于小豎線段，所以本題相當(dāng)于求右圖中從A到B有多少種不同走法．使用標(biāo)數(shù)法，可求出從A到B有42種走法．但是由于10個(gè)小朋友互不相同，必須將他們排隊(duì)，可以分成兩步，第一步排拿2元的小朋友，5個(gè)人共有5！=120種排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120種排法，所以共有5！×5！=14400種排隊(duì)方法．這樣，使售票員能找得開零錢的排隊(duì)方法共有42×14400=604800種．因?yàn)殚]折線不自交，可知它恰好經(jīng)過(guò)對(duì)角線方格上的兩個(gè)中心點(diǎn)．（因?yàn)殚]所以有2個(gè)，因?yàn)椴蛔越凰灾荒転?個(gè)．）那么可以得到這條閉折現(xiàn)一定不經(jīng)過(guò)其他的13個(gè)對(duì)角線方格的中心點(diǎn)．將15×15的方格表黑白二染色，對(duì)角線染黑色，則黑色小方格一定比白色小方格多一個(gè)．又因?yàn)檎劬€上的中心點(diǎn)所在的小方格是黑白交替出現(xiàn)的，所以閉折曲線上的黑點(diǎn)和白點(diǎn)個(gè)數(shù)是相等的．如果閉折線不經(jīng)過(guò)13個(gè)黑點(diǎn)，那么他必然不經(jīng)過(guò)12個(gè)白點(diǎn)．所以閉折線經(jīng)過(guò)的中心點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多不超過(guò)；也就是說(shuō)，折線的長(zhǎng)度不大于200．因?yàn)閺腁到B的距離為12，所以要移動(dòng)6次，物體A和B才能相遇．在6次移動(dòng)中，不同的移動(dòng)方式有種．其中A和B能相遇的移動(dòng)方式有．故A和B相遇的可能性為．設(shè)3人合影的有x張，兩人合影的有y張，則．因?yàn)槊績(jī)扇硕记『煤嫌耙粡?，所以每人至多可?張合影．故等則x≤8，所以．將8人編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8；8張三人合影為：（1，2，4），（2，3，5），（3，4，6），（4，5，7），（5，6，8），（6，7，9），（7，8，2），（8，1，3）；4張二人合影為：（1，5），（2，6），（3，7），（4，8）；顯然這12張照片滿足條件，所以最少要拍12張．設(shè)前n天做了an；那么，．上面這98個(gè)數(shù)不同的取值最多96種．所以其中必有兩數(shù)相等．不妨設(shè)，則．這表明從第（i+1）天開始，到第j天這連續(xù)若干天里恰好做了12道題．設(shè)A點(diǎn)連出的線段數(shù)最少，且為k條（0≤k≤19）；將20個(gè)點(diǎn)分為兩組，一組為A點(diǎn)和所有與A相連的k個(gè)點(diǎn)，共（k+1）個(gè)點(diǎn)；另外一組為余下的點(diǎn)，為是個(gè)點(diǎn)；對(duì)于第一組的（k+1）個(gè)點(diǎn)，因?yàn)锳點(diǎn)連出的最少為k，所以他們連出的最少為；對(duì)于第二組的是個(gè)點(diǎn)，他們都不和A點(diǎn)相連，那么如果選取A點(diǎn)和他們其中的兩個(gè)點(diǎn)，那么這三點(diǎn)之間至少有一條直線，于是第二組的是個(gè)點(diǎn)必須兩兩相連，共有條線．兩者相加最少為．所以．整理得：當(dāng)且僅當(dāng)k=9時(shí)取“=”．下面構(gòu)造一種方法證明90是可以的：20個(gè)點(diǎn)分為2組，每組10個(gè)點(diǎn)．同組的兩兩相連，不同組的不連．共連滿足題意；綜上：n的最小值為90．對(duì)20個(gè)紅球、17個(gè)白球的重量做排序，，記，由已知條件知．考慮共340個(gè)元素，由抽屜原理，它們模339必有兩個(gè)是同余的，不妨設(shè)，那么．又因?yàn)?，，所以，也就是得到了，命題得證．習(xí)題鞏固分兩類情況討論：（1）都會(huì)的這1人被挑選中，則有：①如果這人做鉗工的話，則再按乘法原理，先選一名鉗工有3種方法，再選2名電工也有3種方法，所以有33=9種方法．②同樣，這人做電工，也有9種方法．（2）都會(huì)的這一人沒有被挑選，則從3名鉗工中選2人，有3種方法，從3名電工中選2人，也有3種方法，一共有33=9種方法．所以，根據(jù)加法原理，一共有9+9+9=27種方法．先考慮最簡(jiǎn)單的情形，為了敘述方便，設(shè)平面上k個(gè)圓最多能將平面分割成ak個(gè)部分．從圖1中可以看出，，，，，…可以發(fā)現(xiàn)ak滿足下列關(guān)系式：．實(shí)際上，當(dāng)平面上的個(gè)圓把平面分成個(gè)區(qū)域時(shí)，如果再在平面上出現(xiàn)第k個(gè)圓，為了保證劃分平面的區(qū)域盡可能多，新添的第k個(gè)圓不能通過(guò)平面上前個(gè)圓之間的交點(diǎn)．這樣，第k個(gè)圓與前面?zhèn)€圓共產(chǎn)生個(gè)交點(diǎn)，如圖2：這個(gè)交點(diǎn)把第k個(gè)圓分成了段圓弧，而這段圓弧中的每一段都將所在的區(qū)域一分為二，所以也就是整個(gè)平面的區(qū)域數(shù)增加了個(gè)部分．所以，．那么，故10個(gè)圓最多能將平面分成92部分．（1）一共有（個(gè)）長(zhǎng)方形；（2）所求的和是（平方厘米）．針對(duì)兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通人員（以下稱多面手）的參與情況分成三類：（1）多面手不參加，則需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出4人，有種選擇，需從4名日語(yǔ)翻譯員中選出4人，有1種選擇．由乘法原理，有種選擇．（2）多面手中有一人參加，有2種選擇，而選出的這個(gè)人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：①如果參加英文翻譯，則需從5名英語(yǔ)翻譯員中再選出3人，有選擇，需從4名日語(yǔ)翻譯員中選出4人，有1種選擇，由乘法原理，有種選擇；②如果參加日文翻譯，則需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出4人，有種選擇，需從4名日語(yǔ)翻譯員中再選出3名，有種選擇，由乘法原理，有種選擇．根據(jù)加法原理，多面手中有一人參加，有種選擇．（3）多面手中兩人均參加，有一種選擇，但此時(shí)又分三種情況：①兩人都譯英文，②兩人都譯日文，③兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種．情況①中，還需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出2人，有種選擇，需從4名日語(yǔ)翻譯員中選4人，有1種選擇．由乘法原理，有種選擇．情況②中，需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出4人，有種選擇，還需從4名日語(yǔ)翻譯員中選出2人，有種選擇．根據(jù)乘法原理，共有種選擇．情況③中，兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種，有兩種安排即兩種選擇，剩下的需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出3人，有種