2025-2026學(xué)年上期高二年級期中聯(lián)考試題數(shù)學(xué)學(xué)科命題人：任華麗審核人：胡啟志鄭州市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)考試時間：120分鐘分值：150分注意事項(xiàng)：本試卷分試題卷和答題卡兩部分.考生應(yīng)首先閱讀試題卷上的文字信息，然后在答題卡上作答（答題注意事項(xiàng)見答題卡）.在試題卷上作答無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，且，那么實(shí)數(shù)等于（）A.3 B.-3 C.9 D.-9【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用空間向量共線列式計(jì)算即可.【詳解】∵，，且，∴，解得，，∴．故選：D．2.如圖，在四面體中，點(diǎn)在棱上，且滿足，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，則用向量，，表示向量應(yīng)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量加法法則直接求解.【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)辄c(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，所以，所以．故選：A.3.下列說法中，正確的有（）A.過點(diǎn)且在、軸截距相等的直線方程為B.直線的傾斜角為C.直線在軸上的截距為D.過點(diǎn)并且傾斜角為的直線方程為【答案】C【解析】【分析】對直線是否過原點(diǎn)進(jìn)行分類討論，利用斜截式方程與截距式方程可判斷A選項(xiàng)；求出直線的斜率，進(jìn)而可得出所求直線的傾斜角，可判斷B選項(xiàng)；利用直線截距的定義可判斷C選項(xiàng)；求出所求直線的方程，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，若直線過原點(diǎn)，設(shè)該直線方程為，則，此時，所求直線的方程為，若直線不過原點(diǎn)，設(shè)所求直線方程為，則，可得，此時，所求直線方程為.綜上所述，過點(diǎn)且在、軸截距相等的直線方程為或，A錯；對于B選項(xiàng)，直線的斜率為，該直線的傾斜角為，B錯；對于C選項(xiàng)，直線在軸上的截距為，C對；對于D選項(xiàng)，過點(diǎn)并且傾斜角為的直線方程為，D錯.故選：C4.若點(diǎn)為圓的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)，由，可求得弦MN所在直線的斜率，點(diǎn)斜式求方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心．因?yàn)辄c(diǎn)為弦MN的中點(diǎn)，所以，又AP的斜率，所以直線MN的斜率為2，弦MN所在直線的方程為，即.故選：D5.已知方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次曲線表示雙曲線的基本要求可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】方程表示雙曲線，，解得：或，即的取值范圍為.故選：B.6.已知直線與曲線有兩個交點(diǎn)，則的取值范圍為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡得到，直線過定點(diǎn)，畫出圖像，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】，即，直線過定點(diǎn)，畫出圖像，如圖所示：當(dāng)直線與半圓相切時，，，.此時斜率為，根據(jù)圖像知.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.7.一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由圓與圓的位置關(guān)系及橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程可得結(jié)果.【詳解】設(shè)動圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓的方程配方得：，圓心，半徑為，圓同理化為，圓心，半徑為，當(dāng)動圓與圓相外切時，有①當(dāng)動圓與圓相內(nèi)切時，有②將①②兩式相加，得動圓圓心到點(diǎn)和的距離和是常數(shù)，所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為點(diǎn)、，長軸長等于的橢圓，故，，，.故選：A.8.已知橢圓為橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，連接并延長交橢圓于另一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意和橢圓的定義可得和的各邊邊長，再結(jié)合余弦定理列方程，求解即可.【詳解】如圖所示：由題意得，又，則，因?yàn)?，，則，，故，中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，化簡得，即，解得.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B.若，則是銳角C.已知向量組是空間的一個基底，則也是空間的一個基底D.若對空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面定理即可判斷A；根據(jù)，得到，即可判斷B；根據(jù)題意得到不共面，即可判斷C；根據(jù)即可判斷D.【詳解】對A，根據(jù)空間向量共面定理知：空間中三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，故A正確；對B，若，則，故B錯誤.對C，假設(shè)共面，則，因?yàn)橄蛄拷M是空間的一個基底，所以不存在實(shí)數(shù)，使得成立，故不共面，即也是空間的一個基底，故C正確.對D，因?yàn)椋?，所以四點(diǎn)共面，故D正確故選：ACD.10.下列選項(xiàng)正確的是（）A.若直線與平行，則與的距離為B.過點(diǎn)且和直線平行的直線方程是C.“”是“直線與直線互相垂直”的必要不充分條件D.直線的傾斜角的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】利用平行線間距離公式判斷A，舉反例判斷B，C，利用斜率的幾何意義判斷D即可.【詳解】對于A，因?yàn)橹本€與平行，所以，解得，此時直線為，即，由平行線間距離公式得與的距離為，故A正確，對于B，將點(diǎn)代入中，發(fā)現(xiàn)，故該點(diǎn)不在直線上，即過點(diǎn)且和直線平行的直線方程不可能是，故B錯誤，對于C，當(dāng)時，直線可化為，直線為，此時兩直線也互相垂直，所以“”不是“直線與直線互相垂直”的必要不充分條件，故C錯誤，對于D，直線的斜率為，則，當(dāng)時，的取值范圍是，當(dāng)時，的取值范圍為，故直線的傾斜角的取值范圍是，故D正確.故選：AD11.平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A，B的距離比值為一定值的點(diǎn)的軌跡是一個圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓，俗稱“阿氏圓”．已知平面內(nèi)點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，則下列命題正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡的方程是B.過點(diǎn)的直線被點(diǎn)的軌跡所截得的弦的長度的最小值是1C.直線與點(diǎn)的軌跡相離D.已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作點(diǎn)的軌跡的兩條切線，切點(diǎn)為C，D，則四邊形面積的最小值是3【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出點(diǎn)的軌跡方程，然后逐個分析每個命題中涉及到的直線與圓的位置關(guān)系、弦長公式計(jì)算以及四邊形面積即可.【詳解】對于A,設(shè)，已知，，且.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，.則.兩邊平方可得.展開整理得，配方可得，所以A選項(xiàng)正確.對于B,點(diǎn)到圓心的距離為.圓的半徑.根據(jù)弦長公式，當(dāng)最大弦長最小，最大為圓心到點(diǎn)的距離.所以弦長最小值為，所以B選項(xiàng)錯誤.對于C,圓心到直線的距離.因?yàn)椋▓A的半徑），所以直線與圓相離，C選項(xiàng)正確.對于D,四邊形的面積，因?yàn)?要使面積最小，則最小，即圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系.圓心到直線的距離..所以四邊形面積最小值，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)______【答案】【解析】【分析】結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)投影向量的概念求解.【詳解】空間向量，則，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：.13.圓與圓的公共弦長為______.【答案】【解析】【分析】將兩圓方程作差可得出公共弦所在直線的方程，再求該直線截圓所得弦長即可.【詳解】將圓和圓的方程作差并化簡得，即兩圓公共弦所在直線的方程為.圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長為，圓的圓心到直線的距離為，因此，兩圓的公共弦長為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓公共弦長的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，定義為“曼哈頓距離”.若，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為______，若橢圓上有且僅有8個點(diǎn)滿足，則橢圓的離心率的取值范圍是______【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)“曼哈頓距離”列方程，結(jié)合絕對值的知識求得點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積.根據(jù)已知條件列不等式，求得的范圍，進(jìn)而求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，若，則；若，則；若，則；若，則，由此畫出點(diǎn)的軌跡如下圖所示（正方形），由圖可知點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.橢圓，對應(yīng)，，要使橢圓上有且僅有8個點(diǎn)滿足，根據(jù)對稱性，由方程組有兩個解，且，所以，整理得，，解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）證明：直線l過定點(diǎn)；（2）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）S的最小值為4，直線l的方程為x－2y＋4＝0．【解析】【分析】（1）直線方程化為y＝k（x＋2）＋1，可以得出直線l總過定點(diǎn)；（2）考慮直線的斜率及在y軸上的截距建立不等式求解；（3）利用直線在坐標(biāo)軸上的截距表示出三角形的面積，利用均值不等式求最值，確定等號成立條件即可求出直線方程.【詳解】（1）證明：直線l的方程可化為y＝k（x＋2）＋1，故無論k取何值，直線l總過定點(diǎn)（－2，1）．（2）直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則解得k≥0，故k的取值范圍是．（3）依題意，直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為1＋2k，∴A，B（0，1＋2k）．又且1＋2k＞0，∴k＞0．故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4k＝，即k＝時，取等號．故S的最小值為4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0．16.在如圖所示的平行六面體中，，，，，，設(shè)，，.（1）用，，表示，，；（2）求的長；（3）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1），，（2）（3）【解析】【分析】（1）利用空間向量基本定理即可；（2）利用模長公式求解即可；（3）利用向量夾角公式求解即可【小問1詳解】，，，【小問2詳解】，，，，，，因?yàn)?，所以，即的長為；【小問3詳解】因?yàn)?，，同理可求得，，又因?yàn)?，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.17.已知圓，過點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)．（1）若，求直線的方程；（2）若點(diǎn)是上的一動點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求動點(diǎn)的軌跡方程．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先求出圓心到直線的距離，再解得直線與圓的位置關(guān)系，分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論求解；（2）設(shè)，利用中點(diǎn)關(guān)系結(jié)合在圓上即可求解動點(diǎn)的軌跡方程．【小問1詳解】圓，圓的半徑，圓心，直線與圓心的距離，若斜率不存在，即，圓心到直線距離，與圓無交點(diǎn)，不符合題意；若斜率存在，設(shè)直線，即，由，解得，直線的方程為，即或．【小問2詳解】設(shè)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，即①，又點(diǎn)圓上，，將①代入得，整理得，點(diǎn)的軌跡方程為：．18.如圖（1），在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）若，求直線與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的值；（3）閱讀下列“鏈接”材料，試判斷異面直線BE和AD間的距離是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.鏈接：運(yùn)用空間向量求異面直線間的距離如圖（2），設(shè)、分別為異面直線、上的點(diǎn)，是與直線、都垂直的向量，從而異面直線、間的距離為，即為向量在向量上的投影向量的模.【答案】（1）（2）（3）是，【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可得出的值；（3）求出異面直線、的公垂線的一個方向向量，結(jié)合題中材料可求出異面直線、間的距離.【小問1詳解】在四棱錐中，平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因?yàn)椋渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以、、、?若，即為中點(diǎn)，則，所以，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，則.【小問2詳解】因?yàn)?，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以平面的一個法向量為.因?yàn)槎娼堑拇笮?，且，得，整理得，解得，或（舍），所?【小問3詳解】由（2）得，故，.設(shè)與直線、都垂直，所以.令，可得，，即.又，所以異面直線和間的距離為.故異面直線和間的距離為定值.19.在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作斜率分別為的直線，若，則稱直線是定積直線或定積直線.（1）已知直線是定積直線，且直線，求直線的方程;（2）如圖所示，已知點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別是三條傾斜角為銳角的直線上的點(diǎn)(與均不重合)，且直線是定積直線，直線是定積直線，直線是定積直線，求點(diǎn)的坐標(biāo);（3）已知點(diǎn)，直線是定積直線，若，求三角形的面積.【答案】（1）（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義求得的斜率，得直線方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，由新定義列方程組解得，求得直線方程，再聯(lián)立直線方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)新定義列出關(guān)系式，得到動點(diǎn)軌跡方程，假定在軸上方，根據(jù)直線斜率與角之間關(guān)系轉(zhuǎn)化列出等式，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得三角形面積.【小問1詳解】由已知得，又，