第2課時(shí)與球有關(guān)的綜合問題——(教學(xué)方式：拓展融通課—習(xí)題講評(píng)式教學(xué))題型(一)球的截面問題1．球的截面形狀(1)當(dāng)截面過球心時(shí)，截面的半徑即球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的大圓；(2)當(dāng)截面不過球心時(shí)，截面的半徑小于球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的小圓．2．球的截面的性質(zhì)(1)球心和截面圓心的連線垂直于截面；(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：d＝eq\r(R2－r2).[例1]平面α截球O的球面所得圓的半徑為1.球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)π B．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)π D．6eq\r(3)π聽課記錄：|思|維|建|模|(1)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決．(2)注意一個(gè)直角三角形，即由球心距(球心到截面圓心的距離)、截面圓的半徑、球的半徑圍成一個(gè)直角三角形，滿足勾股定理．[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知過球面上三點(diǎn)A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的eq\f(\r(3),2)倍，且AC＝8，BC＝6，AB＝10，則球的表面積是______，體積是______．題型(二)與球有關(guān)的切、接問題角度(一)球與正(長(zhǎng))方體的切接問題處理與球有關(guān)的相接、相切問題時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)“接點(diǎn)”和“切點(diǎn)”作一適當(dāng)?shù)慕孛妫瑢⒖臻g問題轉(zhuǎn)化為平面問題．(1)球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑．(2)球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．[例2]有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面，第二個(gè)球與這個(gè)正方體的各條棱相切，第三個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比．聽課記錄：角度(二)球與其他多面體的切接問題特殊多面體的內(nèi)切球或外接球問題，要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系．一般情況下，由于球的對(duì)稱性，球心總在特殊位置，比如幾何體的中心，對(duì)角線的中點(diǎn)等，還需熟記棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6)a,12).[例3]設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．πa2B.eqB.\f(7,3)πa2C.eqC.\f(11,3)πa2 D．5πa2聽課記錄：角度(三)球與旋轉(zhuǎn)體的切接問題球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑．[例4](1)若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為()A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πRr D．π(R＋r)2(2)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是______．聽課記錄：[針對(duì)訓(xùn)練]2．已知一個(gè)圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為()A．π B.eq\f(3π,2)C．2π D．3π3．正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為________．4．若圓柱內(nèi)接于球，圓柱的底面半徑為3，高為8，則球的表面積為________．eq\a\vs4\al(課下請(qǐng)完成課時(shí)跟蹤檢測(cè)二十七)第2課時(shí)與球有關(guān)的綜合問題[題型(一)][例1]選B如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點(diǎn)，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1.∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3)，即球的半徑為eq\r(3).∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.[針對(duì)訓(xùn)練]1．解析：如圖，設(shè)球的半徑為R，球心為O，截面圓心為O1，則OO1＝eq\f(\r(3),2)R.在△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°.∴O1是AB的中點(diǎn)，即O1A＝5.又OOeq\o\al(2,1)＋O1A2＝OA2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2＋52＝R2.∴R2＝100，R＝10.∴球的表面積S球＝4πR2＝4π×102＝400π，球的體積V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×103＝eq\f(4000,3)π.答案：400πeq\f(4000,3)π[題型(二)][例2]解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，設(shè)三個(gè)球的半徑分別為r1，r2，r3.①正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)面(正方形)的中心，經(jīng)過在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如圖(1)所示．所以2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.②球與正方體各棱的切點(diǎn)為每條棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖(2)．所以2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.③正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，過球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖(3)所示．則2r3＝eq\r(3)a，∴r3＝eq\f(\r(3),2)a，S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.因此三個(gè)球的表面積之比為S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.[例3]選B如圖所示，設(shè)O1，O分別為上、下底面的中心，連接OO1，則球心O2為OO1的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于D點(diǎn)，連接AO2.∵AD＝eq\f(\r(3),2)a，AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(\r(3),3)a，OO2＝eq\f(a,2)，∴AOeq\o\al(2,2)＝eq\f(1,3)a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(7,12)a2.故該球的表面積S球＝4π×eq\f(7,12)a2＝eq\f(7,3)πa2.[例4]解析：(1)如圖，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB.∴OE2＝AE·BE＝Rr.∴球的表面積為4πOE2＝4πRr.(2)設(shè)球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r.所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2).答案：(1)C(2)eq\f(3,2)[針對(duì)訓(xùn)練]2.選C依題意，作出圓錐與球的軸截面，如圖所示，設(shè)球的半徑為r，易知軸截面三角形邊AB上的高為2eq\r(2)，因此eq\f(2\r(2)－r,3)＝eq\f(r,1)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，所以圓錐內(nèi)切球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝2π，故選C.3．解析：如圖所示，設(shè)球半徑為R，底面中心為O′且球心為O，∵正四棱錐P-ABCD中AB＝2，∴AO′＝eq\r(2).∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝(eq\r(2))2＋(4－