波耳共振儀實驗

基科22張家琳022565

實驗?日期2003年3月28日

1、學(xué)習(xí)測量振動系統(tǒng)基本參數(shù)的方法；

2、研究波耳共振儀擺輪受迫振動的振頻特性和相頻特性，觀察共振現(xiàn)象：

3、觀測不同阻尼對受迫振動的影響。

1、有粘滯阻尼的自由阻尼振動

彈簧與擺輪組成一個振動系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)角，的方程為：

j駕+7㈣+k0=0（忽略彈簧的等效轉(zhuǎn)動慣量）

drdt

其中J為轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)動慣量，攵為彈簧勁度系數(shù)，/為阻尼力矩系數(shù)

記g為無阻尼時候自由振動的固有角頻率，其值為定義臨界

阻尼力矩系數(shù)九=2而=24%,阻尼比為阻尼力矩系數(shù)7與九之比，記作

C=y=y

Yc2y[u

當(dāng)，＜1時，自由阻尼振動運動方程的解為：

。⑺=a1％cos（Jl-.卬+&）

當(dāng)4工。時，這是一個振幅不斷衰減的振動，阻尼振動周期為：

Td=2兀

2、周期外力矩作用下的受迫振動

在周期外力矩Mcosd激勵下的運動方程和方程的通解分別為

2

rd0dG,Z1“

J——4-7——+k6=Mcos6?/

dt1dt

6（f）=9f7"COS（J1--卬+4）+0mCOS（6^-0）

這個通解是阻尼振動0產(chǎn)COS（Jl—72%+a）和頻率同激勵源的簡諧振

動/COS（3/-0）的疊加。其中阻尼振動反映一定初始條件后的過渡過程，ff8

時該項為0,而后者則是當(dāng)，時的穩(wěn)態(tài)解。

當(dāng)，>>丁時，穩(wěn)態(tài)解的振幅和相位差分別為：

Mik

血-修/巾+時/城

2久<y/g)

(b-arctan--------——彳

\-(O21CO^

其中。的取道范圍為0<0<乃，反映了擺輪振動總是滯后于激勵源的振動。

3、彈簧支座角位置

當(dāng)連桿E的長度和搖桿M的長度遠大于偏心輪偏心半徑r時，若偏心輪的電

機以角速度。勻速旋轉(zhuǎn)，可以證明，對稱調(diào)節(jié)時，彈簧B的支座的偏轉(zhuǎn)角的一階近

似式可以寫成

a(t)=a,coscot=—coscot

mnR

其中%”是搖桿擺幅，R是連桿E與搖桿M的接點到(搖桿與擺輪的共同)轉(zhuǎn)

軸中心的距離。

4、支座運動時的受迫振動運動方程以及解

當(dāng)彈簧支座運動，運動的支座形成了一-個激勵源，彈簧總轉(zhuǎn)角：

0-a(t)=0-amcos(ot

仿照上例，可以求得固定坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)角0的運動方程：

d20dO,

Jt——+/——+&夕=ka,?coscot

dt2‘力

振幅：然二,七”

J(l-02/g2)2+(2./g)2

相位差：=arctan------------彳

1一療/4~

可以看到，它和彈簧支座固定，擺輪受周期外力矩作用時的運動

方程形式上完全一致，等效外激勵力矩的振幅為女巴?(這是由于波耳共振儀中電磁

阻尼線圈K是固定不動的)。

注意在某一阻尼狀態(tài)卜.，測量其它阻尼檔阻尼比，等參數(shù)與測定受迫振動的幅頻

特性和相頻特性曲線要連續(xù)完成，以避免剩磁影響(由于線圈用直流勵磁，可能因

材料剩磁或磁滯現(xiàn)象而使阻尼狀態(tài)與旋鈕位置不成單值對應(yīng)關(guān)系)。

?相頻、幅頻特性要在穩(wěn)定后測量，即，〃<().01

?共振點附近要注意隨時調(diào)節(jié)切勿使振幅過大，最大振幅不大于220度，以免損壞

波耳共振儀。受迫振動測量時阻尼開關(guān)位置適宜選3、4或5檔。

1、最小阻尼時測定擺輪振動的固有圓頻率①與振幅0,的關(guān)系

阻尼很小時，”近似等于固有圓頻率例)，但力隨振幅區(qū)仍有微小變化。

①測量通過測連續(xù)10個周期的時間，e,通過測同期振幅的首尾平均值。

2、測定最小阻尼比：通過對數(shù)縮減率求

?擺輪擺動后，每隔1個(或N個)周期讀取振幅值2

要求：220>^I(max)>120,30>^J(min)>15

?計算對數(shù)縮減率A可以利用逐差法

?二=A/匹嗎不求得阻尼比

3、測量其它阻尼檔阻尼比，等參數(shù)

選定2-3種阻尼狀態(tài)，仿照上述方法求4并計算其不確定度，再分別求出

r,A,Q以及A的不確定度。

4、測定受迫振動的幅頻特性和相頻特性曲線

保持阻尼狀態(tài)不變，調(diào)節(jié)強迫激勵周期旋鈿以改變。，測定幅頻和相頻特性

曲線。要求：

?每條曲線至少依據(jù)II個實驗數(shù)據(jù)點，其中必須要包括共振點，共振點兩側(cè)數(shù)

據(jù)分布合理，

?將用此法測定的g與步驟1中的結(jié)果作比較。

?逐點求實測相位差。與理論值。=arctan紇/叱的偏差

1—CD~/CDQ

?對振幅測得值與理論值仇”二一進行過原點的

2/42)2+(2-//)2

直線擬合，求斜率相對標(biāo)準(zhǔn)差。設(shè)a,”=4.5。

■

1、最小阻尼時測定擺輪振動的固有圓頻率切與振幅W/。的關(guān)系

瓦/。244214186162141123105

107；/s15.47515.45815.44315.43115.42515.42015.419

91796856473319

107；/515.41815.41715.41215.40915.40515.40215,393

最小阻尼時固有圓頻率與振幅的關(guān)系

4.085

4.080

<

?4.075

回

憶4.070

園4.065

4.060

4.055

A1XI223

500050005000

在最小阻尼情況卜，振幅變化時，固有圓頻率在小數(shù)點后第2位有微小變化。而且

。在振幅處于80~13()之間比較穩(wěn)定，而接下來的測量較多的數(shù)據(jù)集中在這個段中，

因此基本上可以認為固有圓頻率是固定不動的。

2、測定最小阻尼比:

注：以下計算過程中的數(shù)據(jù)均未進行修約，修約數(shù)據(jù)到數(shù)據(jù)匯總時再進行。

每隔5個周期記錄一次數(shù)據(jù)?：

瓦/。212203194185176168160153146138131125

0j/a1181121071019691868178737066

心/。646058545249464340383633

利用逐差法:

In%-In-0.902239In6>28-ln/910-0.938270

In%)-M仇-0.918757In%9-M]-0.923954

In%-In&

-0.911149In63G-In%-0.936493

In022一In4-0.929896h】%-In仇3-0.942043

1n

仙23-4-0.921989ln6>32-ln<914-0.957299

Ing-In&-0.934309In%-In%-0.983949

In唯一In%-0.916291InK-ln%-0.977534

In%一M%-0.936093In%-In“7-0.980829

In927-In/-0.923164In%6-In，18-1.014352

利用公式4=-NN=——!—D=—!—y(y(rt_/)+/-y：)

17

(n-I)Cx/(?-/)ft〃

,1[Z(。-，)2

-1

(=A/14萬2+A。;Q三=；r=2J/y=(^y0)

z(15)=2.13nUN=2.13*sh]

c<=4儲=4儲

K=(4病、A?嚴(yán)=4=(4/+工嚴(yán)A

求得A=0.010462105,sbl=0.000390204,^=0.001665094,

Q=300.2834345,r=147.389272s,(/A=0.000831135,

U”0.000132279

所以：A=0.01()4±0.(XX)8,4=0.00166±0.00013

3、測量其它阻尼檔阻尼比4等參數(shù)(與4一起)

阻尼檔：第1檔

每隔5個周期記錄一次數(shù)據(jù)：

0j/°2211961751561371221089585

0j/°756760524641363126

類似測定最小阻尼比的情況可以求得：

2=128.416958,r=63.03139035s

A=0.0245±0.0030,<=0.00389±0.()0048

阻尼檔：第2檔

每隔1個周期記錄一次數(shù)據(jù):

0j/°220207194183172161151141133124117109

訪/。1039690857975706562585552

瓦/。484642403835333028262523

類似測定最小阻尼比的情況可以求得：

0=49.26926,r=24.18302s

A=0.0638±0.0005,4=0.01014±0.00008

4、測定受迫振動的幅頻特性和相頻特性曲線

阻尼檔：第3檔

數(shù)據(jù)1：每隔1個周期記錄一次數(shù)據(jù)：

瓦/。19617615814212911610594847466

瓦/。5953484238343027242118

類似測定最小阻尼比的情況可以求得：

。=28.01392,7=13.75018s

A=0.1122±0.0020,<=0.01785±0.00032

數(shù)據(jù)2：每隔1個周期記錄一次數(shù)據(jù):

瓦/。24020818616614913312010796857667

瓦/。605348423834302623201715

類似測定最小阻尼比的情況可以求得:

0=26.79908,r=13.1539s

A=0.1172±0.0027,^=0.01866±0.00043

幅頻、相頻特性曲線測顯：(數(shù)據(jù)處理采用數(shù)據(jù)1)

26（3/3（））

其中:相位差理論值。=arctan

1—co~/g"

0j/0T/s0/。理論值。/。偏差A(yù)。/。

131.315169.6173.64.0

261.419166.6167.91.3

561.488155.2153.4-1.8

741.505145.9143.7-2.2

931.517135.8132.5-3.3

1231.530116.4113.6-2.8

1351.54096.494.2-2.2

1361.54288.890.01.2

1351.54585.283.8-1.4

1261.55564.064.80.8

851.57538.940.11.2

661.59227.129.22.1

461.62017.519.92.4

311.66911.812.70.9

振幅測顯值與理論值直線擬合結(jié)果(作過原點的直線擬合):

ct

振幅理論值：2〃=/一

-J(l—CO~/69()~)~+(24(0/g)~

斜率斜率標(biāo)準(zhǔn)差斜率相對標(biāo)準(zhǔn)差

1.0629320540.0073679060.006931681

阻尼檔：第4檔

每隔1個周期記錄一次數(shù)據(jù):

0j/°2091751461231038671615143363025211714

類似測定最小阻尼比的情況可以求得:

2=17.71844,r=8.69681s

A=0.1774±0.0025,=0.02822±0.00040

幅頻、相頻特性曲線則量:

面/。T/s族/。理論值。/。偏差

121.336165.1168.93.8

181.392162.3164.62.3

361.464151.6151.5-0.1

501.490142.0140.6-1.4

641.509128.8127.5-1.3

761.526112.2110.3-1.9

821.534101.6100.4-1.2

831.54291.290.0-1.2

831.54685.184.8-0.3

801.55474.474.60.2

761.56067.267.60.4

661.57452.353.91.6

491.60334.336.01.7

341.63624.625.50.9

261.68417.317.70.4

振幅f量值與理論值耳線擬合結(jié)果（作過原點的直線擬合）：

_____斜率________斜率標(biāo)準(zhǔn)差斜斜率率相相對對標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差

1.0256489880..0000664400772236--0..006247007

阻尼檔：第5檔

每隔1個周期記錄一次數(shù)據(jù):

0j/°2351811441159171564434272116

類似測定最小阻尼比的情況可以求得：

0=13.01301,r=6.383085s

A=0.2416±0.0050,<=0.03842±0.00079

幅頻、相頻特性曲線測量:

瓦/。T/s族/。理論值。/。偏差

161.360159.3162.93.6

201.395156.5158.92.4

261.431151.7152.60.9

321.454147.5146.5-1.0

401.476141.1138.3-2.8

521.503122.2123.00.8

621.526108.2104.3-3.9

661.53697.494.8-2.6

661.54191.690.0-1.6

661.54686.185.2-0.9

641.55873.174.11.0

581.57657.059.72.7

491.59743.647.13.5

401.62333.136.53.4

271.68121.823.82.0

振幅測量值與理論值直線擬合結(jié)果（作過原點的直線擬合）:

斜率斜率標(biāo)準(zhǔn)差斜率相對標(biāo)準(zhǔn)差

1.1076199030.0070519650.006366773

受迫振動的幅頻特性和相頻特性曲線:

相頻特性曲線

--阻尼檔3

阻尼檔4

cn

阻尼檔5

受迫振動圓頻率與固有圓頻率之比

幅頻特性曲線

受迫振動圓頻率與固有圓頻率之比

各個阻尼檔阻尼參數(shù)匯總:

阻尼檔阻尼檔0阻尼檔1阻尼檔2阻尼檔3阻尼檔4阻尼檔5

A0.0104621050.0244641860.063767029(1.1121618690.1773770350.241597708

%0.0008311350.0030375870.0005028910.001989040.0024976620.004961052

c0.0016650940.0038935670.0101483150.0178482730.028219190.038423076

Ur0.0001322790.0004834368.00252E-050.0003164140.0003970410.000787828

Q300.2834346128.416958249.2692611928.0139154117.7184392113.01301332

T!s147.389275263.0313903524.183021313.750178048.6968097876.383085292

幅頻曲線中振幅測得值與理論值的斜率相對標(biāo)準(zhǔn)差0.0063667730.0062470070.006931681

幅頻曲線中振幅測得值與理論值的斜率1.0629320541.0256489881.107619903

修約后的數(shù)據(jù)匯總為:

阻尼

阻尼檔0阻尼檔1阻尼檔2阻尼檔3阻尼檔4阻尼檔5

檔

A0.01050.02450.06380.11220.17740.2416

UA0.00080.00300.00050.00190.00240.0049

7I.67E-033.89E-031.0I5E-021.78E-022.82E-023.84E-02

%0.I3E-030.48E-030.008E-020.03E-020.03E-020.08E-02

Q300.28128.4249.2728.0117.7213.01

r/s147.3963.0324.1813.758.706.38

幅頻曲線中振幅測得值與理論值的斜率相對標(biāo)準(zhǔn)差0.64%0.62%0.69%

幅頻曲線中振幅測得值與理論值的斜率1.0631.0261.108

?從表中可以很清楚地看到，、Q、r都可以表征阻尼的大小。

?對振幅測得值與理論值的直線擬合后，其斜率相對標(biāo)準(zhǔn)差較小，說明這兩者的線性相關(guān)

性很好，但其斜率值均略大于I,可能是因為生“略大于4.5。，并不嚴(yán)格相等，利用表

中的數(shù)據(jù)可以近似求得見〃之4.8。，由于數(shù)據(jù)較少，這個結(jié)果并不非常準(zhǔn)確。

?相位差理論值與測量值的對比（以阻尼檔3為例）

阻尼檔3：相位差理論值與測量值對比

楣測量值

坦

□ZI理論值

0.911.11.2

受迫振動圓頻率與固有圓頻率之比

可以看到，振幅為13的數(shù)據(jù)點與理論值偏差比較大。可能的原因有：

1）、在振幅較小的時候，儀器的固有圓頻率發(fā)生了偏差，以下對此可能進行分析:

最小阻尼時測定擺輪振動的固有圓頻率/與振幅2/。的關(guān)系

0j/°244214186162141123105

107；/515.47515.45815.44315.43115.42515.42015.419

瓦/。91796856473319

10萬/s15.41815.41715.41215.40915.40515.40215.393

阻尼檔3時測定擺輪振動的固有圓頻率①與振幅內(nèi)/。的關(guān)系

Oj!Q202180161143127113101

61.5451.5441.5431.5421.5421.5421.542

OjlQ90797061554842

Td/s1.5421.5421.5411.5411.5411.5401.539

瓦/。363126221815

15391.5381.53715361.5341.531

注：此表中數(shù)據(jù)是后來單獨測量的，考慮到剩磁等，數(shù)據(jù)可能有一些偏差。

以下分析只是定性的分析。

固有圓頻率與振幅的關(guān)系

4.110

4.100

4.090

—阻尼檔3

4.080

—阻尼檔3

4.070

4.060

4.050

3OO

振幅

固有圓頻率與振幅的關(guān)系在振幅小于30時不同阻尼檔之間有較大的偏差，阻

尼檔3時固有【同頻率的變化很大。對此對原數(shù)據(jù)進行修正：