乘法公式與全概率公式

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)要求

1.結(jié)合古典藏壁?會(huì)利川乘法公式計(jì)算1.能從條件微率的定義推導(dǎo)乘法公式,會(huì)應(yīng)用乘法公式計(jì)算概率.（數(shù)學(xué)抽

慨率.象?數(shù)學(xué)運(yùn)算）

2.結(jié)介古典微型?會(huì)利用全概率公式計(jì)算2.理解全微率公式?學(xué)會(huì)利用全微串公式與貝葉斯公式if?算《（率.（數(shù)學(xué)抽

概率.象.數(shù)學(xué)運(yùn)算）

3.「解貝葉斯公式.3.只活運(yùn)用乘法公式叮全概率公式斛決問題.（教學(xué)建校?數(shù)學(xué)運(yùn)算）

必備知識(shí)-自主學(xué)習(xí)

1.在。（3|A）,P（BA）,P（A）這三者中，如果已知

P（A）,/，（/3|A）,能不能求出P（BA）?

縣田

FT心、2.已知P(BA)與P(BA)能否求出P(B)?

已知P(B|A),?(A),P(B|%),/)(%),能否求

:出尸(B)?

1.乘法公式

公式：P（BA）=P（A）P（BA）.

意義：根據(jù)事件A發(fā)生的概率，以及已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，可以求出

事件A與B同時(shí)發(fā)生的概率.

思考

如果已知事件B發(fā)生的概率和在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生.的概率，可以求出事件A

與B同時(shí)發(fā)生的概率嗎？

提示：可以，P（BA）=P（B）P（AIB）.

2.全概率公式

（1）一般地，如果樣本空間為Q,A,B為事件，則BA與BA是互斥的，且3=114+13人，

從而P（B）=P（BA）+P（BT）,當(dāng)P（A）〉0且P（T）〉0時(shí)，有P（B）=P（A）

P（B|A）+P（T）_P（B|I）

⑵定理1

若樣本空間Q中的事件Al,品，…,An滿足:

①任意兩個(gè)事件均互斥,即AA.i=。，i￥j,i,j=l,2,…，n；

②A1+A2+…+An=Q；

③P(AJ>O(i=l,2,…，n).

則對(duì)Q中的任意事件B,都有B=BA]+BAz+…+BAn,

且P（B）=y.P（BAi）=fp（A：）P（B〔Ai）.

i=li=l

思考？

在全概率公式的推導(dǎo)過程中，用到了哪些概率公式？

提示：互斥事件概率的加法公式與條件概率的乘法公式.

3.貝葉斯公式

一般地，當(dāng)0＜P（A）＜1且P（B）X）時(shí)，有

/Ixp（A）p（BIA）EQ）E（BA）

P⑻P（A）P（B|A）+P（T）P（^BT）~

P基礎(chǔ)小測(cè)＞.

1.辨析記憶（對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“x”）

（1）P（AB）=P（A）P（AIB）.（）

⑵全概率公式中樣本空間Q中的事件A需滿足的條件為￡A,=Q.（）

i=l

（3）貝葉斯公式是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概

率.（）

提示：（DX.P（AB）=P（A）P（B|A）.

n

（2）X.需滿足的條件為AiA.i=0（iWj）,￡Ai=Q,且P（A）＞0.

i=l

⑶J

2已知p

1115

A--c--

2B.36D.6

【解析】選C.由乘法公式得，P（AB）=P（B）P（A|B）=-.

3.（教材二次開發(fā)：例題改編）為加強(qiáng)對(duì)新型冠狀病庫(kù)預(yù)防措施的落實(shí)，學(xué)校決定對(duì)甲、乙

兩個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)抽查.已知甲、乙兩班的人數(shù)之比為5：4,其中甲班女生占二，乙

班女生占1，則學(xué)校恰好抽到一名女生的概率為（）

2457

-氏-a--

A.999D.9

【解析】選C.設(shè)A：抽到一名學(xué)生是甲班的，

B：是女生，則P(A),p(T),p(B|A)

=1yy=o1,

p(B|T),所以由全概率公式可知，

P(B)=P(A)?P(B|A)H-P(A)?P(B|A)=1x|=￡.

/yoyzy

-------=關(guān)鍵能力-合作學(xué)習(xí)二-------

類型一乘法公式的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算:、數(shù)學(xué)建模)

題組訓(xùn)練

1.某項(xiàng)射擊游戲規(guī)定：選手先后對(duì)兩個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，只有兩個(gè)目標(biāo)都射中才能過關(guān).某

選手射中第一個(gè)口標(biāo)的概率為0.8,繼續(xù)射擊，射中第二個(gè)目標(biāo)的概率為0.5,則這個(gè)選手

過關(guān)的概率為________.

【解析】記“射中第一個(gè)目標(biāo)”為事件A,“射中第一個(gè)目標(biāo)”為事件R,則P(A)=O8,

P(B|A)=O.5.

所以P(AB)=P(B|A)?P(A)=0.8X0.5=0.4,

即這個(gè)選手過關(guān)的概率為0.4.

答案：0.4

2.在某大型商場(chǎng)促銷抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，甲、乙兩人先后進(jìn)行抽獎(jiǎng)前，還有60張獎(jiǎng)券，其中有6

張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券.假設(shè)抽完的獎(jiǎng)券不放回，甲抽完以后乙再抽，求：

(1)甲中獎(jiǎng)而且乙也中獎(jiǎng)的概率：

(2)甲沒中獎(jiǎng)而且乙中獎(jiǎng)的概率；

(3)乙中獎(jiǎng)的概率.

【解析】方法一：設(shè)A：甲中獎(jiǎng)，B：乙中獎(jiǎng)，貝i]P(A)=J;=；,

5—9—6

P(B|A),P(A)=—,P(B|A)=—,所以，

□yIUay

i5i

(1)甲中獎(jiǎng)而且乙也中獎(jiǎng)的概率P(BA)=P(A)-P(B|A)=—X—=—.

iuoyiio

(2)甲沒中獎(jiǎng)而乙中獎(jiǎng)的概率

———Q627

P(BA)=P(A)?P(B|A)=—X—=—.

1V/V。

——1271

(3)P(B)=P(BA+BA)=P(BA)+P(BA)=—+泰=-.

11ozvoiu

一、二、三、四等種子長(zhǎng)出的麥槐含有50顆麥粒以上的概率分別為0.5,0.15,0.1,0.05,

求這批麥種所結(jié)出的麥穗含有50顆麥粒以上的概率.

【思路導(dǎo)引】細(xì)研題意，利用定理1解決問題.

【解析】設(shè)氏：從這批種子中任選一顆是k等種子，k=l,2,3,4；設(shè)A：從這批種子中

任選一顆結(jié)出的麥穗含有50顆麥粒以上，則

P（B2）=0.02,P（B（）=0.015,P（B|）=0.01,

P（B.）=1-0.02-0.015-0.01=0.955,

P（AIBi）=0.5,P（AIB2）=0.15,

P（AIB：0=0.1,P（AIB＞）=0.05,由定理1得，

P（A）=（B）P（A|B）

i=l

=0.955X0.5+0.02X0.15+0.015X0.1+0.01X0.05

=0.4825.

?變式探究

本例條件不變，求所結(jié)出的含有50顆麥粒以上麥穗中是一等種子長(zhǎng)成的概率.

【解析】由典例知P（A）=0.4825,所以

"cICP（AB）P（Bi）F（A|B1）o.955X0.5八…八

PQ」A）=7（AF=-P（A）―"0.18255896.

解題費(fèi)略

全概率公式求概率的關(guān)注點(diǎn)

（1）實(shí)質(zhì)：為了求復(fù)雜事件的概率，往往可以把它分解成若干個(gè)互斥的簡(jiǎn)單事件之和，然后

利用條件概率和乘法公式，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，最后利用概率可加性，得到最終結(jié)果.

⑵應(yīng)用：把事件B看作某一過程的結(jié)果，

把％,Az,…,A”…看作該過程的若干個(gè)原因，根據(jù)歷史資料,每一原因發(fā)生的概率（即P（A“））

已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度（即P（B|）已知，貝J可用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)

生的概率（即P（B））.

題組訓(xùn)練

1.設(shè)有兩箱同一種商品：第一箱內(nèi)裝50件,其中10件優(yōu)質(zhì)品；第二箱內(nèi)裝30件，其中

18件優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)在隨意地打尸一箱，然后從中隨意取出一件，求取到是優(yōu)質(zhì)品的概率.

【解析】設(shè)4=｛取到的是優(yōu)質(zhì)品｝,Bi=｛打開的是第i箱｝（i=l,2）,P（B）=P（B?）=],

?n1ioo

P（A|B＞）=—=-,P（A|B）=—=T,由全概率公式得P（A）=P（BI）P（AB）+P（B2）P（A|B2）

buooUo2

=2

=5?

2.有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50%,三廠生

產(chǎn)的占20%,又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品

率分別為2%,1%，1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少？

【解析】設(shè)事件A為“任取一件為次品”，

事件R：任取一件為i廠的產(chǎn)品，i=l,2,3.

B1UB2UB3=O,B,BJ=0,i,j=l,2,3,iWj；

P(Bi)=0.3,P(B2)=0.5,P(灰)=0.2,P(A|BI)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B：))

=0.01,由全概率公式得，

P(A)=P(A|Bi)P(Bi)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.02X0.3+0.01X0.5+

0.01X0.2=0.013.

教師

專用

設(shè)一倉(cāng)庫(kù)中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品，其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱，3箱,

2箱，三廠產(chǎn)品的廢品率依次為0.1,0.2,0.3從這10箱產(chǎn)品中任取一箱，再?gòu)倪@箱中

任取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率.

【解析】設(shè)A為事件”取得的產(chǎn)品為正品”，

BHB：,B.,分別表示“任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的”，

532

由題設(shè)知P(B])=言，P(B2)=—,P(B3)=—,

P(A|B,)=0.9,P(A|B2)=0.8,P(AIB3)=0.7,

所以P(A)=￡p(B.)P(A|B.)

i=l

59,38.27

=行XT3+ToxToxTo=0?8工

類型三貝葉斯公式的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)

【典例】設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2：1,貨車中途停車修理的概率為

0.02,客車為0.01,今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率.

四步內(nèi)容

條件：①某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2：1,貨車中途停車修理的概率為0.02,客

蝴

車為0.01；②今有一輛汽車中途停車修理.

題意

結(jié)論：求該汽車是貨車的概率.

思路吃透題意，可選用貝葉斯公式求解.

探求

設(shè)8=｛中途停車修理｝,Ai=｛經(jīng)過的是貨車｝,

A?=｛經(jīng)過的是客車｝,則8=岫+的B.

21

由于P(AI)=Q,P(A2)=",P(B|Ai)=0.02,

P(B|A2)=0.01①

所以由貝葉斯公式有P(AdB)=Pp；；

書寫P(A.)P(B|A1)

表達(dá)-p(Ai)P(B|Ai)+P(Aa)P(B|A2)

|x0.02

-21-0.80.②

-X0.02+-X0.01

JJ

即該汽車是貨車的概率為0.80.

注意書寫的規(guī)范性：①將已知條件正確地用事件的概率和條件概率予以表示：

②選用貝葉斯公式求解.

貝葉斯公式的應(yīng)用

把事件B看作某一過程的結(jié)果，

題后把％,h看作該過程的若干個(gè)原因，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率即P(A”)2

反思

知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度(即P(B|A”))已知，如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時(shí)

是由第i個(gè)原因引起的概率，則用貝葉斯公式(即求P(AJB)).

解好策略

貝葉斯公式針對(duì)的是某一個(gè)過程中已知結(jié)果發(fā)生求出事件過程的某個(gè)條件成立的概率，解題

步驟如下：

⑴找出目標(biāo)條件所在的完備事件組，并命名；(2)命名已知會(huì)發(fā)生的結(jié)果事件：(3)代入貝

葉斯公式求解.

跟蹤訓(xùn)縱

用血清診斷肝癌，臨床實(shí)踐表明，患肝癌的病人中有95舟試驗(yàn)呈陽(yáng)性，也有2%的非肝癌患者

化驗(yàn)呈陽(yáng)性.若將此法用于人群肝癌普查，設(shè)人群中肝癌患病率0.2軋現(xiàn)某人在普查中化

驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，求此人確患肝癌的概率.

【解析】設(shè)A：被化驗(yàn)者確患肝癌癥，B：被化驗(yàn)者結(jié)果呈陽(yáng)性，則

P(B|A)=0.95,P(B|T)=0.02,P(A)=0.002,

P(A)=l-P(A)=0.998,

n/rc'P(AB)_______P(B|A)P(A)_________

P(A|B)=77B7

P(B|A)P(A)+P(B|T)P(T)

0.95X0.002八c

=-----------------------087

0.95X0.0024-0.02X0.998

---------?課聾檢測(cè)-素養(yǎng)達(dá)標(biāo)----------

1.第一個(gè)袋中有黑、白球各2只，第二個(gè)袋中有黑、白球各3只.先從第一個(gè)袋中任取一

球放入第二個(gè)袋中，再?gòu)牡诙€(gè)袋中任取一球.則第一、二次溝取到白球的概率為()

1c2八1n4

A.~B.7C.-D.~

11^1

【解析】選B.記Ai：第i次取得白球，i=l,2,則P(A)=|,

Z,X4

P(A2|A,)=-,由乘法公式求得，

419

P(AIA2)=P(A2|AI)P(AI)=-x-=-.

2.設(shè)某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同型號(hào)家用電器，第一車間的次品率為0.15,第二車間的次品

率為0.12,兩個(gè)車間的成品都混合堆放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù),假設(shè)第1,2年間生產(chǎn)的成品比例為2:3,

今有一客戶從成品倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品，則該產(chǎn)品合格的概率為()

A.0.6B.0.85C.0.868D.0.88

【解析】選C.設(shè)B：從倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提出的一臺(tái)是合格品，A,：提出的一臺(tái)是第i車間生產(chǎn)的,

i=i?2,

則有B=ABUMB,由題意，

23

P(A>)=-，P(Az)=-，P(B|A)=0.85,P(B|A)=0.88,

bol2

由全概率公式P(B)=P(Ai)F(B|A,)4-P(A2)P(B|A2)=0.4XC.85+0.6X0.88=0.868.

3.某生產(chǎn)線的管理人員通過對(duì)以往數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn)，每天生產(chǎn)線啟動(dòng)時(shí)，初始狀態(tài)良好的

419

概率為三.當(dāng)生產(chǎn)線初始狀態(tài)良好時(shí)，第一件產(chǎn)品合格的概率為右：否則，第一件產(chǎn)品合格

的概率堤.某天生產(chǎn)線啟動(dòng)時(shí)，生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品，則當(dāng)天生產(chǎn)線初始狀態(tài)良

好的概率為()

AtB&C