4.4兩個(gè)三角形相似的判定浙教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)同步練習(xí)

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

I.如圖，點(diǎn)P是等腰的腰片B上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線（不與直線48重合）截△48C,使截得的三角形

與原三角形相似.滿足這樣條件的直線最多有（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

3.如圖，在正方形48co中，點(diǎn)E是CO邊上一點(diǎn)，連接力E并延長(zhǎng)至點(diǎn)兒使=連接BF交CO于點(diǎn)

G,若。E=l,BF=26,則正方形j8C0的邊長(zhǎng)為（）

A.6B.10C.12D.13

4.如圖，在△48C中，D.E為邊的三等分點(diǎn)，EF//DG//AC,點(diǎn)”為與DG

的交點(diǎn).若AC=9,則。，為（）

A.1

B.2

D.3

5.如圖，點(diǎn)P在△48。的邊AC上，要判斷△力AC8,添加一個(gè)條件，不正確的是（）

B./.APB=Z.ABC

nABAC

D?而=而

6.如圖，在AABC中，D、E分別是A8和4C的中點(diǎn)，S^^BCED=15,則=（）

A

A.30B.25C.22.5D.20

7.在△力BC中，44C8=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)。是平面上一點(diǎn)，且CD=4,連接力。、BD,則下列說

法正確的是（）

A.,4。長(zhǎng)度的最大值是9B.\AD+8。的最小值是

C.LCBD=30°D.△力8。面積的最大值是40

8.如圖，矩形力BCD,AB=6,8。=3,點(diǎn)E是邊48上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線8c上

的動(dòng)點(diǎn)，且8F=2AE,連接4F,CE.若gAF+Cf=m,則m的最小值為（）

A.3/2B.3/5C.6/2D.6/5

9.如圖，在正方形力8C。中，M為AB的中點(diǎn)，以CM為一-邊作正方形連接AF交8C于G,交CM于

H,連接8立則下列結(jié)論中：①8F=EF；②8M=28G；③CG=38G；④力F=5GH，正確的是【】

A.①②③B.①②?C.①③④D.②③④

10.如圖，在△力8C中，乙4=78°,AB=4,AC=6,將△A8C沿圖不中的虛線剪開，剪卜的陰影三角形

與原三角形不相似的是（）

A

A

11.如圖，在中，Z.A=90°,AB=AC,E是的中點(diǎn),連接BE,過點(diǎn)E作ED1BE交BC于點(diǎn)

D,若AEOC的面積為6,則△A8C的面積為（）

A

BDC

16.如圖，在矩形48CD中，點(diǎn)E在48邊上，把△8CE沿直線CE對(duì)折，使點(diǎn)B落在對(duì)角線/C上的點(diǎn)F處，連

接DF.若點(diǎn)E、八。在同一條直線上，若AE=2,則FD=,BE=.

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題8分）

如圖，4c是。。的直徑，弦80交/C于點(diǎn)￡

⑴求證：AADEs^BCE；

（2）若力=AE-4C,求證：CD=CB.

18.（本小題8分）

如圖，已知*煞黃求證:AABCS&DBE.

19.（本小題8分）

如圖，在△48C中，點(diǎn)0、E分別在48、AC.t,DE.BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,且EF?DF=CF?8F.求證:

△CABs△DAE.

DB

20.(本小題8分)

如圖，在四邊形A3co中，力C平分4BAO,LADC=Z.ACB=90%E為A8的中點(diǎn)，AC與OE交干點(diǎn)F.

(2)若AC=O,48=2,求笨的值.

21.(本小題8分)

在么A8C中，AB=AC,。、E分別是BC、A8的點(diǎn)，且4ADE=iC.

(1)求證：〉A(chǔ)CDs〉DBE；

(2)求證：4BE?AC<BC2.

22.(本小題8分)

已知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點(diǎn)，BELAP,14P.垂足分別是點(diǎn)E、F.

(1)求證：EF=AE-BEx

（2）聯(lián)結(jié)BF,若祭=K，求證：EF=EP.

23.（本小題8分）

校園內(nèi)有一塊三角形空地（如圖中的△/BC）,經(jīng)測(cè)量BC=8米，邊8c上的高4。=6米.某綜合實(shí)踐小組要

在這塊空地上規(guī)劃出一個(gè)區(qū)域（如圖中的△￡1「/））種植月季花，其余部分種植牡丹花.根據(jù)設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)

E,E分別在邊A8,AC上，HEE//8C.己知種植月季花和牡丹花每平方米分別需要50元、80元.設(shè)=

x,尸的面積為S.

（1）求S關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）種植月季花和牡丹花的總費(fèi)用是否存在最小值？若存在，求出最小值：若不存在，說明理由.

24.（本小題8分）

如圖.在△48C中.AB=4,。是上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)48重合），過點(diǎn)。作OE〃BC,交力。于點(diǎn)E.連接

DC,設(shè)△48。的面積為S,aOEC的面積為S'.

（1）當(dāng)。是AB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出q=

（2）若4。=%,3=y,求y關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式以及自變量x的取值范圍.

BC

25.(本小題8分)

已知點(diǎn)C為aABC和△(?/)￡的公共頂點(diǎn)，將ZiCDE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0。va<360。)，連接BD,AE.

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，若△力BC和ACDE均為等邊三角形，則線段BD與線段4E的數(shù)量關(guān)系是;

(2)類比探究：如圖2所示，若4力BC=/EDC=90。，Z.ACB=LECD=60°,其他條件不變，請(qǐng)寫出線段

8。與線段力E的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)拓展應(yīng)用：如圖3所示，若，8AC=NDEC=90°,AB=AC,CE=DE,BC=2CD=4/2,當(dāng)點(diǎn)8,

D,E三點(diǎn)共線時(shí)，求力E的長(zhǎng).

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查相似三角形的判定的運(yùn)用.根據(jù)已知及相似三角形的判定作輔助線即可求得這樣的直線有幾條.

【解答】

解：(1)作乙=

Z.A=Z.A,

???△i4Pos△ACB,

(2)作PE〃8C,

APE^LABC,

(3)作4BPF=ZC,

???=z_B,

???△FBPs《ABC,

(4)作PG〃心

PBGs^ABC,

所以共4條，

故選C.

2.【答案】D

【解略

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查的是正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的有關(guān)知識(shí)，先根據(jù)正方形的性質(zhì)

得到乙。二90。，AB=DC=BC=AD,DC//AB,然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)，得到BG=13,

EG=\AB,進(jìn)而求出CG,再利用勾股定理求解即可.

【解答】

解：???四邊形力BCD為正方形，

.?./C=90。，AB=DC=BC=AD,DC//AB,

-：EF=AE,EF+AE=AF,

.-.EF=^AF,

vDC//AB,

???△FEGFAB

.EG_PG_EF_1

'而=麗=而=2'

/.EG=\AB,FG=1x26=13,

BG=BF-FG=26—13=13.

???DE=1,

CG=CD-DE-EG=AB-~\AB=^AB-1,

在RtABCG中，BC2+CG2=BG2,

AB2+（^AB-l）2=132,

解得=12（負(fù)值不合題意，舍去）

則正方形力BCD的邊長(zhǎng)為12

4.【答案】C

【解析】解：???/）、E為邊48的三等分點(diǎn)，EF//DG//AC,

???BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,

：.AB=3BE,。”是的中位線，

DH=；",

VEF//AC,

.*.△BEFs>BACy

EFBEunEF1

;而=而'即丁=§'

解得:EF=3,

...OH=/1F=1界33=/

故選：C.

依據(jù)?！笔恰鰽EF的中位線，即可得出再根據(jù)△BEFSABAC,即可得到EF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出

。，的長(zhǎng).

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

5.【答案】D

【解析】【分析】

此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵.分別利用相似三角形的判定方法判斷得

出即可.

【解答】

解：4當(dāng)=時(shí)，又?.?4力=2力，.必力82644。8,故此選項(xiàng)不符合題意；

8.當(dāng)ZAPB=448C時(shí)，又：4/1=24,2\＞48「54力。8,故此選項(xiàng)不符合題意；

心當(dāng)舞=皆時(shí)，又???〃="???△ABPSMCB,故此選項(xiàng)不符合題意；

D添加照=若，無法得到A/lBPs△4C8,故此選項(xiàng)符合題意.

orCo

故選。.

6.【答案】0

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理.

由。、E分別是4B、4C的中點(diǎn)，可得DE〃BC、DE=\BC,^LADE^^ABC,2匹=(某＞=］即

乙3Azi8cBL4

可得到答案.

【解答】

解：???￡＞、E分別是48、4c的中點(diǎn),

ADE//BC,DE=\BC,

.*.△ADE^L,ABC,

,=(")2=J,

S"8cBC4

:?SAADE：S四邊形網(wǎng)口二1：3,

???S四邊形BCED=15,

S&ADE=5,SXABC=5x4=20.

故選。.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，難度較

大,由題知，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓，當(dāng)。點(diǎn)在/1C的延長(zhǎng)線時(shí)，力。的長(zhǎng)度最大，可判斷4在￡4上截

CE=ICD,證明△/COS^OCE,得到￡。=［力。，當(dāng)E、。、B三點(diǎn)共線時(shí)，,4。+8。取得最小值，長(zhǎng)

度為EB,利用勾股定理求出EB可判斷8；根據(jù)NCBO不是固定值可判斷C；過圓心C作CFJ_48于點(diǎn)F,延

長(zhǎng)FC交圓于點(diǎn)D,則此時(shí)△480的面積取得最大值，求出此時(shí)面積可判斷D.

【解答】

解：由題知，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓.

對(duì)于選項(xiàng)A.如卜圖：

當(dāng)。點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線時(shí)，A。的長(zhǎng)度最大，值為10.

故A不正確；

對(duì)「選項(xiàng)8如下圖：

A

在C4I-.SCE=|CD,

則在△力。。和4OCE中，

(竺_￡￡_3

DC=EC=2

y^ACD=乙DCE

'.^ACD^^DCE(SAS)

2

-.ED=^AD,

o

當(dāng)E、D、8三點(diǎn)共線時(shí)，|A/)+BD取得最小值，長(zhǎng)度為EB,

EB=VCE2+CB2=J(|)2+82=

故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C.因?yàn)辄c(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，々C8D不是固定值，

故C不正確；

對(duì)丁選項(xiàng)D如下圖：

A

過圓心C作CF148于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)FC交圓于點(diǎn)D,則此時(shí)△A3。的面枳取得最大值.

vAC=6.BC=8,

AB=10>

根據(jù)S-8c=^ACXBC=^ABXCF

得C/=4.8,

進(jìn)而DF=8.8,

所以￡u0小..%〃乂/〃“，

故D不正確.

8.【答案】C

【解析】解：連接DE，如圖：

:嚅=整=3乙ABF=LDAE=90°,

ADAE2

ABFs〉DAE,

.DE_AD_1

??1--—?

AFAB2

］：AF+CE=OE+CE,

延長(zhǎng)ZM至點(diǎn)D',使4D'=/1D,連接DE,則DE=D'E,

:.DE+CE=D'E+CE=m,

.?.蘭點(diǎn)E為CD'與AB的交點(diǎn)時(shí)，m取最小值，此時(shí)

?n=CD'=J(帥/+CD?=J(2x3尸+62=6/2

即取的最小值為6/2，

故選：C.

本題的思路是先根據(jù)兩條邊對(duì)應(yīng)成比例并且夾角相等證明三角形相似，將;4尸轉(zhuǎn)化為OE,然后做OE關(guān)于

48的對(duì)稱線段D'E,結(jié)論自然可得.

本題考查了矩形的性質(zhì)，掌握三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是關(guān)鍵，過由F作FN1BC于

N,先根據(jù)正方形的性質(zhì)利用44s證明△FCN三4CMB得GV=BM,FN=BC,再根據(jù)中點(diǎn)定義證明fN垂

直平分根據(jù)線段垂直平分線的定義即可判定①正確；連接4N,根據(jù)對(duì)邊平行且相等的三角形是平行

四邊形證明四邊形4N尸8是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可判定故②正確；根據(jù)BG=GN=

：BN,CN=^BC,得8G=；BC,CG=\BC,即可判定故③正確；過點(diǎn)G作GP〃/IB交CM于尸，證明△

乙乙*1*1

CGPfCBM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得GP=*BM,證明△“GPSA/MM,得端=果=不設(shè)GH=

3k,則/1H=4K,力尸=24G=14K即可判定④錯(cuò)誤.

【解答】

解：如圖，過點(diǎn)尸作FN1BC于N,

???匹邊形4BC0、CMEF是正方形,

：?￡MCF=Z.DCB=90°,CM=CF,

:.Z.MCB+乙FCB=90°,Z.FCB+乙CFN=90°,

???iMCB=乙CFN,

FCNCMB(AAS)

CN=BM,FN=BC

???M為力8的中點(diǎn)，

:.BM=^AB=gBC,

CN=^BC,

???FN垂直平分。氏

:.FC=FB,

vFC=EF,

BF=EF,故①正確；

連接4V,

???ZF/VF=Z-ABC=90°,

:.AB//FN,

又?；FN=BC,BC=AB,

：.FN=AB,

匹邊形AN尸3是平行四邊形，

...BG=GN/BN=；BM,

：.BM=2BG,故②正確；

BG=GN=；BN,CN=匆C,

I3

BG=^BC,CG=^BC,

44

：.CG=3BG,故③正確;

過點(diǎn)G作GP〃4B交CM于P,

CGPCBM9

■GP_CG_3

''BM=CB=4f

3

GP=7M,

4

vGP//AB

.*.△HGP-△HAM,

GHGP3

AHAM4

.?.設(shè)GH=3k,則力H=4K,

AG=GH+AH=7K,

:.AF=2AG=14K,

AF=AF=^-GH,故④錯(cuò)誤.

綜上所述正確的是①②③.

故選人.

10.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可.

【解答】

解：在選項(xiàng)4、B中，陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，則兩三角形相似，故4、B選項(xiàng)不符合

題意；

在C中，兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，則兩三角形不相似，故C選項(xiàng)符合題意；

在D中，兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等，則兩三角形相似，故。選項(xiàng)不符合題意.

故選C.

11.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理以及三角形的面積.

過點(diǎn)E作￡尸18。于F,先求出乙。=45°,設(shè)AB=AC=4%,則4E=CE=2%,利用勾股定理求

出EF,8廠的長(zhǎng)，證明rEs/EFD,求出進(jìn)而得到BC=6CD,則以人8c=^=^SDE=

?JBCEAC

72.

【解答】

解：如圖所示，過點(diǎn)E作KF1BC于巴

???在Rt/L48c中，4A=90°,AB=AC,

:.LC=45°,

設(shè)48=AC=4x,

???E是4。的中點(diǎn)，

AE=CE=2x,

2222

?.BE=AB+AE=20xt

...EF=CF=^CE=g，

???BF=VBE2-EF2=3/2x?BC=4/2x.

BE1DE,

乙FEB十乙FBE=90°=乙FEB十乙FED,

:.乙FBE=乙FED,

又；乙BFE=乙EFD=90°,

二ABFE^AEFD,

，更=空，即登=3,

EFDF>f2xDF

小廠\f-2x

???DF=二一，

CD=CF-FD=

:.BC=6c0,

???△EDC的面積為6,

SHBCE=6S&EDC=36,

???E是AC的中點(diǎn)，

^ABC=2sABCE-72?

12.【答案】A

【脩析】解：???四邊形力8C。是正方形，

乙B=乙BCD=90°,AB=BC=CD=2/2,

???點(diǎn)E、?分別是邊48、BC的中點(diǎn)，

BE=^AB,CF=^BC,

:.BE=CF=72,

(BE=CF

在和dOCT中，=/.DCF=90°

(BC=CD

；.ACBE三ADCF(SAS)

CE=DF=J(2/1)2+(/2)2=AHO.

???點(diǎn)6、〃分別是EC、尸。的中點(diǎn)，

...HF=CG=學(xué).

由ABECg&CFO知乙BCE=乙CDF,

?:乙CDF+乙CFD=90°,

Z.CFD+乙BCE=90°,

Z.FOC=90°,

CE1DF.

乙FCD=90°,

△FOCsxFCD,

OF_O￡_F￡

FC=CD='FDf

OF_OC__/2

71=2/1=f

???GG=GC-OC=筆，OH=HF-OF=需

；?GH=VOG2+OH2=J（*）2+（察）2=1.

故選:A.

利用正方形的性質(zhì)和勾股定理求得CE=DF=/10,利用全等三角形的判定與性質(zhì)和在直角三角形的性質(zhì)

得到CE1Z）凡利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出。入OC,在RCAOHG中，利用勾股定理即可求得結(jié)

論.

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用全

等三角形的判定定理得到△BEC%CFD是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】a+2b

【解析】【分析】

此題考查了平面向量的知識(shí)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì).注意掌握三角形法則的應(yīng)

用是關(guān)鍵.根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形D8FC是平行四邊形，則DC=B凡故A尸=248=

2DC,結(jié)合三角形法則進(jìn)行解答.

【解答】

解：如圖，連接8D,FC,

???匹邊形48。。是平行四邊形,

ADC//AB.DC=AB,

???△DCEs>FBE,

又E是邊BC的中點(diǎn)，

?匹=也一=1,

,,EFEB1

：.DE=FE,即點(diǎn)E是D尸的中點(diǎn),

???匹邊形DBFC是平行四邊形，

???DC=BF,

AAF=2AB=2DC,

-，DF=DA+AF=DA^2DC=a+2b-

故答案是:a+2b.

14.【答案】6

【解析】解：???四邊形力BCD為矩形，

/.BAD=90。，

在RtZi/BO中，BD=10,40=8,

AB=V102-82=6，

vBE=2AE,

:.AE=2,

???△PEM為等腰直角三角形，

:.PE=PM,MPM=90°,乙PME=乙PEM=45°,

.?.點(diǎn)/、P在以EM為直徑的圓上，

:.Z.PAE=Z.PME=45°,4PAM=iPEM=45。，

AP平分N84C,

即點(diǎn)P的枕跡在284。的平分線上，

過D點(diǎn)作OP14P于P點(diǎn)，此時(shí)。P的值最小，

???/.PAD=45°,乙APD=90°,

Z.PDA=45°,PA=PD,

???Z.EPA+AAPM=90%Z-APM+乙MPD=90°,

/.Z.EPA=乙MPD,

在ZiEPA和AMPD中，

Z.PAE=乙PDM

PA=PD,

Z.EPA=乙MPD

.?.△松力如MPD(ASA),

:.AE=DM=2,

AM=AD-DM=8-2=6.

故答案為：6.

先利用勾股定理計(jì)算出AB=6,則AE=2,再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到PE=PM,LEPM=90%

Z.PME=LPEM=45°,則根據(jù)網(wǎng)周角定埋可判斷點(diǎn)4、P在以bM為直徑的圓上，所以4==

45c,^PAM=2LPEM=45°,從而可判斷4P平分48力。，過。點(diǎn)作DP14P于P點(diǎn)，利用垂線段最短得到

DP的值最小，然后證明△EP/lgAMPD得到AE=DM=2,從而得到=6.

本題考查了矩形的性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理和全等三

角形的判定與性質(zhì).

15.【答案】C(4,4)或C(5,2)

【解析】解：如圖,

△OAB的兩直角邊之比為1：2,那么AABC兩直角邊之比為1：2,

???AB=

.?.當(dāng)44=90。,AC=2/5,此時(shí)點(diǎn)C(5,2),

當(dāng)/B=90。，BC=2/5，此時(shí)點(diǎn)C(4,4),

故C點(diǎn)的坐標(biāo)是C(4,4)或C(5,2).

本題可根據(jù)圖形得出AC與力B的長(zhǎng)度比，再根據(jù)角A或角8為直角，來判斷C點(diǎn)的位置.

本題考查了相似多邊形的性質(zhì)及點(diǎn)的坐標(biāo)，此題需注意分情況討論三角形哪一個(gè)角為直角的情況.

16.【答案】2

\<5-1

【解析】【分析】本題考杳了翻折變換(折疊問題)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.根據(jù)矩形的性質(zhì)得到40=BC,^ADC=^B=^DAE=

90S根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CF=BC,LCFE=ZB=90°,=8E,根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得到

DF=AE=2,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可求出BE.

【解答】

解：???四邊形力BC。是矩形，

：.AD=BC,Z.ADC=Z.B=Z.DAE=90°,

由折疊的性質(zhì)知：CF=BC,/-CFE=LB=90°,EF=BE,

-，CF=AD,Z,CFD=90°,

???/.ADE+乙CDF=乙CDF+乙DCF=90°,

:./.ADE=Z.DCF,

在MOE與△FC。中，

vLADE=乙DCF,AD=CF,Z.EAD="FC,

FCD(ASA),

.?.OF=AE=2,DE=CD,

v/.AFE=/-CFD=90°,

Z.AFE=乙DAE=90°,

vZ.AEF=乙DEA,

???△AEFs〉DEA,

_AE_EF

??瓦一而’

.2_EF

’24-EF=T*

??.E/=0一1(負(fù)值舍去)，

BE=EF=y[s-l

17.【答案】【小題1】

證明：24與都是。。所對(duì)的圓周角，.?.4/=N/?.又N/lEO=NB/?。.40/?SABCE.

【小題2】

-AD2=AE-AC,二空二空.又???乙4二4/，??.△/OESAACO,二乙力E。=440二???4C是。。的直徑，

ADAC

Z.ADC=90°,.?.44E0=90。，.?.直徑4cl弦8D,二CD=CB,CD=CB.

【解析】1.略

2.略

18.【答案】證明：.:解=*=黑,

LJCLoC

ABDs△CBE,

AZ.ABD=乙CBE,

???Z.ABD+Z.DBC=乙CBE+乙DBC,

^LABC=乙DBE.

bABBD

又學(xué)二而,

ABBC

即Hn而F

:小ABCs&DBE.

【解析】略

19.【答案】證明：???斯?￡)2=??8".

?E??F——=CF——,

BFDF

Z.EFC=乙BFD,

???△EFCs〉BFD,

???乙CEF=乙B,

??乙B=乙AED,

,:乙CAB=乙DAE,

CABs&DAE.

【解析】根據(jù)相似三角形的判定得出△E*sZi8/D,得出“EF=NB,進(jìn)而證明△EBS^DAE即可.

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定解答.

20.【答案】解：(1)證明：:AC平分心BAD,

???Z.DAC=

???"DC=^.ACB=90%

???△ADCs△ACB,

.AD_AC

：?AC=AB>

AC2=ABAD；

(2)vAC2=AB-AD,AC=73,AB=2,

AC2(NH)23

4n=—=5,

v￡ACB=90°,E為48的中點(diǎn)，

:.EA=EC=EB=\AB=1x2=1,

Z.EAC=Z-ECA,

???力C邛:分NZX4B,

Z.DAC=Z.CAE,

???Z.DAC=Z.ECA,

VZ.AFD=乙CFE,

AFDs〉CFE,

AFADI3

???一=—=—=

FCEC12

【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形斜邊上直線的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與

性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

(1)由AC平分48A0,得出乙=再由乙40C=乙4c8=90°,得出△AOCs/kAC8,進(jìn)而得出

黎=能即可證明"2=4BMD；

(2)由(1)可知AC?”BTD結(jié)合已知條件力C=C，AB=2,可求出EA=EC=EB=\AB=

|x2=1,Z.EAC=Z.ECA,再根據(jù)4c平分乙DAB,得出乙DAC=4CAE,得出NZMC=ZEC4由4AFD=

“FE,得出△4/WSAC尸E,即可得出解=鋁=今

FCEC2

21.【答案】(1)證明：vAB=AC,

???NB=",

vZ.BDA=Z.DAC+Z.C=Z.ADE+jBDE,LADE=乙C,

:.Z.BDE=Z.DAC,

:.bACDs〉DBE；

(2)證明：?.?△｛。。/△。.，

:.—BE=——BD,

CDAC

即BE?4C=BD?CD，

設(shè)BC=m,BD=x,WJCD=m-x,

???4BE-AC=4BD?CD=4x(m-x)=-(2x-m)2+m2,

22

4BE-AC<mf-AC<BC.

【解析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)有關(guān)知識(shí).

(1)利用等腰三角形的性質(zhì)得出NS=",再結(jié)合三角形外角性質(zhì)得出NBDE=Z.DAC,最后利用相似三角

形囪判定定理解答；

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出差=整，然后再解答.

CUriC

22.【答案】(1)證明：?.?四邊形力BC。是正方形，

AB=BC=CD=AD,Z.ABC=乙BCD=乙CDA=Z.BAD=90°,

???BE1AP,OF1AP,

:.Z.BEA=Z-AFD=90°,

v/.BAE+乙FAD=90°,乙FAD+Z.ADF=90°,

:.乙BAE=乙ADF,

在△ABE和△IMF中

(Z.BEA=Z.AFD

\z-BAE=LADF^

“B=AD

：.^ABE^^DAF(AAS),

:.BE=AF,

^EF=AE-AF=AE-BE,

(2)連接8F,如圖所示：

BEDF

:.—=——，

BFAD

BEBF

DFAD

:.Rt△BEFsRt△DFA,

NFBE=Z.ADF,

vZ.ADF=Z.BAE,

:.乙FBE=乙BAE,

又?；/.ABE+乙EBP=90°,/.ABE+Z.BAE=90°,

二乙EBP=Z.BAE=乙FBE,

在么BE尸和△BEP中

ZEBP=Z.EBF

BE=BE，

l/BEP=乙BEF=90°

.??△BEFgABEP(ASA),

二EF=EP.

【解析】本題主要考杳了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，利用已知

條件及角、邊的等量關(guān)系的轉(zhuǎn)換，結(jié)合問題來解題即可.

(1)證明△/IBEgADA/，得出4F=BE,利用等量代換即可證明E尸=4E—BE；

(2)利用浮=需以及4尸二BE通過等量代換，得至取△。凡4，即可得至Ij/FBE=NAO凡通過

利用角的等量代換得△BEFdBEP即可得到E尸=EP.

23.【答案】解：(1)設(shè)AD與EF交于點(diǎn)M.

vEF//BC,

???△AEFSAABC,

vAD1BC,

:.AM1EF,

.EF_AM

,BC=~AD，

設(shè)DM=y,則搟=等，

解得y=+6.

S=|xy=-1(x-4)2+6(0<x<8).

Zo

(2)設(shè)總費(fèi)用為W,則"=50s+80(；x8x6-S)

=-305+1920

3、

=-30x[-(x-4)2+6]+1920

3o

=y(x-4)2+1740.

4o,

二蘭x=4時(shí),W最小，最小值為1740.

答：種植月季花和牡丹花的總費(fèi)用的最小值為1740元.

【解析】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用.

⑴證明△AEF^LABC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比可得益=瞿，設(shè)DM=y,由相似可得

DC/\U

y=-1x+6,再根據(jù)三角形面積公式列出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍;

(2)設(shè)總費(fèi)用為W,然后列出W關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

24.【答案】:

【解析】解：(1)?:DE〃BC,

???△ADE^^ABC,

???。是A8的中點(diǎn),

???DE是的中位線,

DE1*

而=E，AE=EC

.SMDE_1

■'S^ABC-4

ADE與△CED等底同高,

**,S&ADE=S^CED?

???設(shè)△A8C的面積為S,△/)￡(?的面積為S',

S'1

-7-?

故答案為：京

(2)vAB=4,AD=x,DE//BC,

ADE^is.ABC

「?鬻=蒙=標(biāo)①，

—=—=x

'AB=AC=4,

.AE_x

,EC=

MADE與ACED,