二次根式復(fù)習(xí)主講人：尚曉嫚

學(xué)學(xué) 科：數(shù)學(xué)（人教版

）

年校：北京市第一O一中學(xué)級(jí)：八年級(jí)下學(xué)期初中數(shù)學(xué)全章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖平方根二次根式基本性質(zhì)乘除法則乘除運(yùn)算算術(shù)平方根字母表示數(shù)化簡(jiǎn)（最簡(jiǎn)二次根式）分配律加減運(yùn)算混合運(yùn)算初中數(shù)學(xué)二次根式概念同類二次根式復(fù)習(xí)概念”稱為二次根號(hào)．形如

a（a≥0）的式子，“代數(shù)式 用基本運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來得到的式子．最簡(jiǎn)二次根式 （1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．最簡(jiǎn)二次根式中被開方數(shù)相同的二次根式．初中數(shù)學(xué)解決問題1．若

3

m

為二次根式，則

m的取值范圍是

．③是

．（填序號(hào)）b

中，最簡(jiǎn)二次根式a25x2．在根式

① (

y

1)2 ②27mn ④83．已知

y

x

2

2

x

3 ，求xy

的值．初中數(shù)學(xué)解決問題1．若 3

m

為二次根式，則

m的取值范圍是

m≤3 ．③b

中，最簡(jiǎn)二次根式a25x2．在根式

① (

y

1)2 ②27mn ④是

④

．（填序號(hào)）83．已知

y

x

2

2

x

3 ，求

2

x

0.解：∵

x

2

0,8∴x=2，y=3

.∴3

.xy

2

3

8 2xy 的值．總結(jié)：

二次根式要求被開方數(shù)不小于0，所以求二次根式中字母的取值(范圍)常轉(zhuǎn)化為解不等式(組).初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)性質(zhì)雙重非負(fù)性.

性質(zhì)a≥0

（a≥0）a2

=a（a≥0）

a）

2（a≥0）.

（ a）2

=

a（a≥0）

逆向運(yùn)用a

（

推廣.

a,

a

0

a

a,

a

0a2初中數(shù)學(xué)解決問題4．已知：

x

4

+ 2x

y

=

0，求

x-y

的值.5．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.（1）

x2

2；（2）x2

2 3x

3

.

(c

b

a)2

.6．設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，化簡(jiǎn)(a

b

c)2

(a

b

c)2

(b

a

c)2初中數(shù)學(xué)解決問題4．已知：

x

4

+ 2x

y

=

0，求

x-y

的值.解：由題意，得 x-4=0且

2x+y=0，解得 x=4，y=-8，∴x-y=4-(-8)=4+8=12.5．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.（1）x2

2

；（2）x2

2 3x

3

.

( 2)2

(x

2)(x

2)；

2 3x

( 3)2

(x

3)2

.解：（1）原式=

x2（2）原式=

x2初中數(shù)學(xué)解決問題6．設(shè)a，b，c為△

ABC的三邊，化簡(jiǎn)(a

b

c)2

(a

b

c)2

(b

a

c)2

(c

b

a)2

．解：原式=|a+b+c|+|a-b-c|-|b-a-c|+|c-b-a|.∵a，b，c為△

ABC的三邊

，∴a+b+c>0，a-b-c<0，b-a-c<0，

c-b-a<0.∴原式=a+b+c-(a-b-c)+(b-a-c)-(c-b-a)=

a+b+c-a+b+c+b-a-c-c+b+a=

4b.初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)運(yùn)算運(yùn)算乘除運(yùn)算加減運(yùn)算ab（a≥0，b≥0

）；b（a≥0，b≥0

）．乘法：反之：

除法：b反之：bba

b

=ab=

a

a

a（a≥0，b＞0

）；ba a

（a≥0，b＞0

）．步驟：“一化簡(jiǎn)、二判斷、三合并”；依據(jù)：二次根式的性質(zhì)、分配律和整式加減法則.初中數(shù)學(xué)解決問題21

．7．計(jì)算：(8

2)

8．已知：x

2

3，y

2

3

，求代數(shù)式 x2

xy

y2

的值．9．已知

a

5

1，求代數(shù)式

a2

2a

7

的值．初中數(shù)學(xué)解決問題1

．7．計(jì)算：( 8

2)

解：原式=

(222

2)

1

2

1

1．2 2解題思路：二次根式的化簡(jiǎn)，減法，乘法.4

1

1．1

22

1

2另解：原式= 8

解題思路：乘法分配律，二次根式的乘法，化簡(jiǎn).初中數(shù)學(xué)解決問題3

，求代數(shù)式 x2

xy

y2

的值．33，y

2

3，y

2

8．已知：x

2

解：∵

x

2

∴原式

(2

3)2

(2

3)(2

3)

(2

3)2

7

4 3

4

3

7

4 3

15．解題思路：乘法公式，二次根式的乘法，加法.另解：x2

xy

y2

(x

y)2

xy

.

42

(4

3)

15．解題思路：乘法公式變形，二次根式的加法，乘法.33)2

(2

3)(2

3)∵x

2

3，y

2

∴原式

(2

3

2

初中數(shù)學(xué)解決問題9．已知

a

2a

7

的值．5

1，求代數(shù)式

a2

2a

7

(a

1)2

6

.解：

a2∵

a

5

1∴原式

( 5

1

1)2

6

11.解題思路：配方，二次根式的化簡(jiǎn).另解：

∵

a

5

1 ∴a

1

5，∴(a

1)2

5 即

a2

2a

1

5，a2

2a

4，∴原式=4+7=11.解題思路：恒等變形已知條件，整體代入.也可以把a(bǔ)的值直接代入代數(shù)式進(jìn)行求解，計(jì)算量較大.初中數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用例1 求下列代數(shù)式中實(shí)數(shù)

x的取值范圍．.x

3（1） x

2

；1

x1（2） x

5

初中數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用例1 求下列代數(shù)式中實(shí)數(shù)

x的取值范圍．.x

3（1） x

2

；

x

3

0.解：（1）∵

x

2

0,

∴

x≥-2且x≠3.1

x1（2） x

5

（2）∵

x

5

0,

1

x

0.∴

-5≤x<1.總結(jié)：轉(zhuǎn)化為解不等式組.初中數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用例2 兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式

ab

與

c5

，求

a+b+c的值．b

相加得

6初中數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用b

與

c5

，求

a+b+c的值．b

相加得

6例2 兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式

a解：∵ a b

c b

6 5

，∴b=5，5.5

c 5

(a

c) 5

6∴

a∴a+c=6，∴a+b+c=11．總結(jié)：同類二次根式是指最簡(jiǎn)二次根式中被開方數(shù)相同的二次根式．初中數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用例3 定義：若兩個(gè)二次根式m，n滿足m?n=p，且p是有理數(shù)，則稱m與n是關(guān)于p的共軛二次根式．若

a與 2

是關(guān)于

4的共軛二次根式，求

a的值；若

2

3與

4

3k

是關(guān)于

2的共軛二次根式，求

k的值.初中數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用例3 定義：若兩個(gè)二次根式m，n滿足m?n=p，且p是有理數(shù)，則稱m與n是關(guān)于p的共軛二次根式．（1）若

a與 2

是關(guān)于

4的共軛二次根式，求

a的值；（2）若

2

3與

4

3k

是關(guān)于

2的共軛二次根式，求

k的值.解：（1）∵2a

4

，，42

∴a

2

.2

2

22

24

2

4∴a

總結(jié)：化簡(jiǎn)時(shí)需要進(jìn)行分母有理化．初中數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用例3 定義：若兩個(gè)二次根式m，n滿足m?n=p，且p是有理數(shù)，則稱m與n是關(guān)于p的共軛二次根式．若

a與 2

是關(guān)于

4的共軛二次根式，求

a的值；若

2

3與

4

3