2024高考數(shù)學(xué)講義：概率

目錄

1.概率概念......................................................................1

2.概率(Probability)的本質(zhì)是什么？............................................I

3.常見的概率公式總結(jié)..........................................................6

4.課堂考試.....................................................................8

4.1.選擇題(本大題共6小題,每小題7分，共42分)................................8

4.2.填空題(本大題共2小題,每小題7分，共14分)................................11

4.3.解答題(本大題共3小題，共44分)............11

1.概率概念

在日常生活中，我們常常會(huì)遇到一些涉及可能性或發(fā)生機(jī)會(huì)等概念的事件

(event)o一個(gè)事件的可能性或一個(gè)事件的發(fā)生機(jī)會(huì)是與數(shù)學(xué)有關(guān)的。例

如：

“從一班40名學(xué)生中隨意選出一人，這人是男生嗎？”

事實(shí)上，人們問(wèn)”……可能會(huì)發(fā)生嗎？”時(shí)，他們是在關(guān)注這個(gè)事件發(fā)生

的機(jī)會(huì)。在數(shù)學(xué)上，事件發(fā)生的機(jī)會(huì)可用一個(gè)數(shù)來(lái)表示。我們稱該數(shù)為概率

(Probability)。

我們?nèi)粘Ｋ娝劦氖录笾驴煞譃閮煞N：

一種是確定性事件。確定性事件包含必然事件和不可能事件。如太陽(yáng)從東

方升起，或者在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在100C時(shí)會(huì)沸騰。我們稱這些事件為必然

事件。如擲一個(gè)普通的骰子，向上一面的數(shù)字是7。我們稱這些事件為不匯能

事件。

此外，有大量事件在一定條件下是否發(fā)生，是無(wú)法確定的。如明天的氣溫

比今天低、擲一枚硬幣得正面向上，又或者在下一年度的NBA比賽中，芝加

哥公牛隊(duì)會(huì)奪得全年總冠軍。像以上可能發(fā)生也可能不會(huì)發(fā)生的事件稱為隨機(jī)

事件。

2.概率(Probability)的本質(zhì)是什么？

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我用生活中的例子，從以下幾個(gè)方面聊下概率:

1.什么是概率？

2.概率對(duì)你我有什么用？

在電影《少數(shù)派報(bào)告》中，湯姆?克魯斯扮演的是一位預(yù)防犯罪的警察。

他借助數(shù)據(jù)分析的技術(shù)，能夠在壞人作案之前就預(yù)測(cè)出他們的犯罪行為。

2002年，這部電影是2002年拍的，當(dāng)時(shí)還只是一部科幻片。

但是，到了2011年，電影中的場(chǎng)景這就成了現(xiàn)實(shí)。《紐約時(shí)報(bào)》在2011

年刊登了一篇報(bào)道，標(biāo)題為“在犯罪發(fā)生前派遣警力”。

講的是美國(guó)加州圣克魯茲市警察局的電腦程序預(yù)測(cè)出鬧市區(qū)的一個(gè)停車

場(chǎng)將有可能發(fā)生汽車盜竊案件，于是自動(dòng)派遣警察前往現(xiàn)場(chǎng)。

到場(chǎng)的警察隨后逮捕了兩個(gè)形跡可疑的女人，其中一個(gè)人是警局的?？?，

另外一個(gè)人身上攜帶著毒品。

這里的“預(yù)測(cè)執(zhí)法”屬于預(yù)測(cè)分析學(xué)的一部分。犯罪總是帶有不確定的成

分，這就好比沒(méi)有誰(shuí)能夠確切地說(shuō)誰(shuí)會(huì)撞車、買房貸款銀行也不知道誰(shuí)會(huì)還不

起錢。

那么，警察是如何做到預(yù)測(cè)犯罪的？買房貸款時(shí)銀行是如何預(yù)測(cè)你是否能

還的起貸款？

他們用的預(yù)測(cè)工具正是概率。什么是概率呢？

1.什么是概率？

我們經(jīng)常會(huì)在生活中聽到這句話：選擇比努力更重要。

相信你也無(wú)數(shù)次聽過(guò)這句話，但是有沒(méi)有想過(guò)：這句話背后的真實(shí)含義是

第2頁(yè)共15頁(yè)

什么呢？

我們每天擁有固定的時(shí)間和精力，注意這里“固定”是指你的資源和時(shí)間

都是有限的。在這個(gè)前提下，把它們投入到哪些方向上能夠取得最佳的效果，

這是我們每天都要思考的問(wèn)題。

舉個(gè)具體的例子，假如你剛畢業(yè)，已經(jīng)拿到3家公司的。ffer,一家傳統(tǒng)企

業(yè)的職位，一家創(chuàng)業(yè)公司的職位，一家上市互聯(lián)網(wǎng)公司的職位，你選哪個(gè)？

因?yàn)槟愕臅r(shí)間和精力是有限的，所以你不能同時(shí)到這3個(gè)公司去上班賺

錢，不然你就是孫悟空72變了。

你只能在有限的資源和時(shí)間下，做一個(gè)最佳選擇，這個(gè)選擇代表你去哪家

公司工作，未來(lái)3年內(nèi)能讓你賺錢能力提升的可能性最大。

這里我們提到可能性，但是只知道可能性是無(wú)法做出判斷的。

到這里，我們就可以用這句話來(lái)解釋什么是概率：

概率就是用數(shù)值來(lái)表示某件事發(fā)生的可能性。

當(dāng)你知道了概率這個(gè)數(shù)值，就代表你可以預(yù)測(cè)未來(lái)，因?yàn)槟隳芡ㄟ^(guò)概率來(lái)

判斷出哪種情況發(fā)生的可能性最大。

例如你在玩拋硬幣游戲，正面朝上的可能性是多少呢？

由于硬幣只有兩面，也就是落地后有兩種結(jié)果，要不正面朝上，要不就是

反面朝上，所以拋硬幣正面朝上的可能性用數(shù)值來(lái)表示，概率就是50%,

你看，概率就在我們的日常生活中。只要你面臨選擇的問(wèn)題，概率就會(huì)用

數(shù)值表達(dá)哪種可能性最大，然后幫助你做力最好的選擇。

2.概率對(duì)你我有什么用？

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現(xiàn)在，你已經(jīng)知道了什么是概率，那么接下來(lái)我們一起思考一個(gè)問(wèn)題：

概率對(duì)于提升我們的生活質(zhì)量到底有什么幫助？

作為成年人，我們知道這個(gè)世界是不確定的，所以不會(huì)要求自己每件事都

必須成功，但是我們要努力讓每件事成功的可能性變得更大，也就是讓每件事

成功的概率變的更大。

概率就是這樣一門研究不確定事件和結(jié)果的學(xué)問(wèn)。

投資股市存在著不確定性，拋硬幣同樣也存在著不確定性，因?yàn)橛械臅r(shí)候

你得到的是硬幣的正面，有的時(shí)候是硬幣的反面。

連續(xù)4次拋一枚硬幣更是增加了這種不確定性，因?yàn)槊恳淮味加锌赡苁钦?/p>

面或反面，如果你手里有一枚硬幣并且連續(xù)拋了4次，我事先無(wú)從得知4次的

準(zhǔn)確結(jié)果（你也不能），但根據(jù)前面概率的計(jì)算公式，我們可以計(jì)算出：出現(xiàn)

兩個(gè)正面的概率要大于出現(xiàn)4個(gè)正面。

在獲得并信任此類信息的前提下，決策者常常能夠看清風(fēng)險(xiǎn)、作出決定。

舉個(gè)例子，澳大利亞運(yùn)輸安全局曾經(jīng)發(fā)布了一份有關(guān)乘坐不同交通工具導(dǎo)

致死亡的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)告。大家都覺(jué)得飛行非?？膳拢珜?shí)際上商業(yè)航空旅行的風(fēng)險(xiǎn)

是微乎其微的。

澳大利亞自20世紀(jì)60年代起就再?zèng)]有發(fā)生過(guò)一起商業(yè)航空致死事故，因

此航空旅行每一億公里的死亡率基本為0c汽車每一億公里旅行的死亡率為

0.5,真正嚇人的是摩托車的死亡率，因?yàn)槟ν熊嚨乃劳雎时绕囌叱?5

倍。

那么，為什么在大多數(shù)人的直覺(jué)中飛機(jī)卻是最不安全的呢？

那是因?yàn)槿绻w機(jī)失事，必然會(huì)引起極大的關(guān)注，這時(shí)，你多半會(huì)覺(jué)得飛

機(jī)很危險(xiǎn)。但事實(shí)上。論每公里死亡率，坐飛機(jī)比坐汽車安全22倍。

但是很可悲的是，大多數(shù)人是缺乏概率常識(shí)的，下面圖片里的例子是最好

的證明。

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這里的第1張圖片是外賣小哥因交通事故死亡，據(jù)統(tǒng)計(jì)，2017年.上半

年，涉及到上海市送餐外賣行業(yè)的傷亡道路交通事故共76起，“餓了么”和

“美團(tuán)外賣”各占26%。

要知道，在統(tǒng)計(jì)概率里，騎摩托車死亡率是最高的，如果懂點(diǎn)統(tǒng)計(jì)常識(shí)，

是如何都不能選擇這個(gè)行業(yè)的。這無(wú)非等于拿命賺錢，根本不劃算。

第2張圖片是美國(guó)的911事件。

康奈爾大學(xué)的3位研究人員在一篇引人入勝的論文中這樣說(shuō)道，可能有數(shù)

以千計(jì)的美國(guó)人在“9?11”恐怖襲擊事件發(fā)生之后由于害怕坐飛機(jī)而死于非

命。我們永遠(yuǎn)都不知道遭受恐怖襲擊的真正風(fēng)險(xiǎn)到底有多大，但我們知道開車

確實(shí)是一件危險(xiǎn)的事。

在“9?11”恐怖襲擊事件發(fā)生之后，越來(lái)越多的美國(guó)人選擇自駕出行，

而不選擇乘坐飛機(jī)。

據(jù)統(tǒng)計(jì)，在考慮平均死亡率和天氣等導(dǎo)致路面交通事故因素的前提下，

2001年10?12月，平均每個(gè)月因交通事故致死的人數(shù)比以往多了344人。該

效應(yīng)隨著時(shí)間的推移逐漸減弱，這是因?yàn)榇蠹覍?duì)恐怖主義的恐懼在慢慢消退。

但這項(xiàng)研究的作者認(rèn)為，“9?11”恐怖襲擊事件導(dǎo)致的駕車死亡人數(shù)或

已超過(guò)2000人。

你看，在不懂概率的情況下，選擇交通方式都會(huì)導(dǎo)致死亡率的提升。

現(xiàn)在我們回過(guò)頭來(lái)看下學(xué)習(xí)概率到底對(duì)我們有什么用。

雖然概率并不會(huì)確鑿地告訴我們將會(huì)發(fā)生什么，但我們通過(guò)概率能夠知道

很有可能發(fā)生什么、不太可能發(fā)生什么。

第5頁(yè)共15頁(yè)

聰明的人會(huì)使用這類數(shù)據(jù)為自己的事業(yè)和生活指明方向。牛人就是持續(xù)對(duì)

大概率事件下注，并同時(shí)有意識(shí)預(yù)防那些足以毀掉你生活的風(fēng)險(xiǎn)。

我認(rèn)為每個(gè)人都應(yīng)該學(xué)一些概率知識(shí)，它現(xiàn)在是公民必備基礎(chǔ)知識(shí)。當(dāng)不

懂概率的人大驚小怪的時(shí)候，懂概率的你可以可以淡定自若。

其實(shí)，大多數(shù)人在中學(xué)的數(shù)學(xué)課中就學(xué)習(xí)過(guò)概率，但掌握概率的計(jì)算方法

不等于真正理解概率。

實(shí)際上，概率中的幾個(gè)關(guān)鍵思維，是多數(shù)數(shù)學(xué)老師沒(méi)有講明白，甚至這些

老師自己就沒(méi)有弄明白。理解這些思維不需要你會(huì)做任何計(jì)算，但是它們能讓

我們看世界的眼光發(fā)生根本的改變。

這些思維的邏輯很簡(jiǎn)單，我們可以從最簡(jiǎn)單的概率中得到4個(gè)生活中的智

慧。

這4個(gè)生活中的智慧就是：賭徒謬論，大數(shù)定律，如何投資賺錢最多，如

何預(yù)防風(fēng)險(xiǎn)。我后在后面有時(shí)間在詳細(xì)展開聊。

4、總結(jié)

所有，理解了下面3個(gè)知識(shí)點(diǎn)，你就理解了概率的本質(zhì)。

1)什么是概率？

概率的本質(zhì)是用數(shù)值表示某件事情發(fā)生的可能性。

我給出了概率線，讓你對(duì)各類事件發(fā)生的概率有了大致的認(rèn)識(shí)C

2)概率對(duì)我有什么用？

雖然概率并不會(huì)確鑿地告訴我們將會(huì)發(fā)生什么，但我們通過(guò)概率能夠知道

很有可能發(fā)生什么、不太可能發(fā)生什么。

聰明的人會(huì)使用這類數(shù)據(jù)為自己的事業(yè)，生活，和投資指明方向。牛人就

是持續(xù)對(duì)大概率事件下注，并同時(shí)有意識(shí)預(yù)防那些足以毀掉你生活的風(fēng)險(xiǎn)。

3.常見的概率公式總結(jié)

1.古典概率

一般說(shuō)來(lái),如果在全部可能出現(xiàn)的基本事件范圍內(nèi)構(gòu)成事件A的基本事件有

a個(gè)，不構(gòu)成事件A的事件有b個(gè)，則出現(xiàn)事件A的概率為：

P(A)=a/(a+b)

例子：

第6頁(yè)共15頁(yè)

同時(shí)擲兩枚硬幣，可能出現(xiàn)正正、反反、正反、反正四種可能的結(jié)果，每

種可能出現(xiàn)概率1/4

2.條件概率公式

描述：

公式中P(AB)為事件AB的聯(lián)合概率，P(A|B)為條件概率，表示在B條件

下A的概率，P(B)為事件B的概率。

例子：

有一同學(xué)，考試成績(jī)數(shù)學(xué)不及格的概率是0.15,語(yǔ)文不及格的概率是

0.05,兩者都不及格的概率為0.03,在一次考試中，已知他數(shù)學(xué)不及格，那么

他語(yǔ)文不及格的概率是多少？

記事件A為“數(shù)學(xué)不及格”，事件B為“語(yǔ)文不及格”，則P(A)=0.15

P(B)=0.05,P(AB)

=0.03則P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.2

推廣：

上述乘法公式可推廣到任意有窮多個(gè)事件時(shí)的情況。

設(shè)，，…

為任意n個(gè)事件522)且

，則P(Al,A2,...An)=

3.全概率公式

描述：

公式表示若事件Al,A2,…，An構(gòu)成一個(gè)完備事件組且都有正概率，則

對(duì)任意一個(gè)事件B都有公式成立。

例子：

首先建立一個(gè)完備事件組的思想,其實(shí)全概就是已知第一階段求第二階段，

比如第一階段分ABC三種，然后ABC中均有D發(fā)生的概率，最后讓你求D的概

率

P(D)=P(A)*P(D/A)+P(B)*P(D/B)+P(C)*P(D/C)

第7頁(yè)共15頁(yè)

例子：

甲乙丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%,35%,

40%,次品率率分別是5%,4%,2%,從這一產(chǎn)品中取任一ji件，則是次品

的概率是。

設(shè)P(A1)為抽到甲車間的概率，P(A2)為抽到乙車間的概率，P(A3)為抽到

丙車間的概率。

設(shè)P(B)為抽到次品的概率。

則P(B)=P(A1)*P(B|A1)+P(A2)*P(B|A2)

+P(A3)*P(B|A3)=25%*5%+35%*4%+40%*2%=0.0345

4.貝葉斯公式

公式描述：

公式中，事件Bi的概率為P(Bi),事件Bi已發(fā)生條件下事件A的概率為

P(A|Bi),事件A發(fā)生條件下事件Bi的概率為P(Bi|A)。

例子：

已知在所有男子中有5%,在所有女子中有0.25%有色盲癥，隨機(jī)抽一人

發(fā)現(xiàn)患有色盲癥，問(wèn)其為男子的概率是是多少？(設(shè)男子和女子的人數(shù)相等)

設(shè)A表示抽到為男子，B表示抽到是女子，C表示ch抽到的人有色盲癥。

貝|JP(A)=P(B)=l/2,P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.0025

由Bayes公式有

P(A|C)=P(A)*P(C|A)/P(A)*P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.5*0.05/0.5*0.05+0.5*0.00

25=95%

4.課堂考試

4.1.選擇題(本大題共6小題,每小題7分，共42分)

1.若隨機(jī)變量X~BQ00,p),X的均值E(X)=24,則〃的值是()

第8頁(yè)共15頁(yè)

答案:c

解析:???X~B(100,p),

.\E(X)=100p.

又E(X)=24,

A24=100p,

即。=竺=A

K10025

2.兩名教師對(duì)一篇初評(píng)為“優(yōu)秀”的作文復(fù)評(píng)，若批改成績(jī)都是兩位正整數(shù),且十位

數(shù)字都是5,則兩名教師批改成績(jī)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2的概率為（）

A.0.44B.0.56

C.0.41D.O.39

答案:A

解析:用。,歷表示兩名教師的批改成績(jī)，則。,），）的所有可能情況為1ox1o=1oo（種）.

當(dāng)x=50時(shí)J可取50,51,52,共3種可能；

當(dāng)x=51時(shí),y可取50,51,52,53,共4種可能；

當(dāng)1=52,53,54,55,56,57時(shí),y的取法均有5種，共30種可能；

當(dāng)產(chǎn)58時(shí),y可取56,57,58,59,共4種可能；

當(dāng)x=59時(shí),），可取57,58,59,共3種可能.

綜上可得，兩名教師批改成綺之差的絕對(duì)?值不超過(guò)2的情況有44種.

由古典概型概率公式可得，所求概率P=蔡=0.44.

3.甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.7,在目標(biāo)被

擊中的情況下，甲、乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率為（）

.21

A—B.竺

4422

C.—D.—

5025

答案:A

解析：（方法一）設(shè)“目標(biāo)被擊中“為事件3,“甲、乙同時(shí)擊中目標(biāo)”為事件A,

則PU）=0.6x0.7=0.42,P（B）=0.6x0.7+0.4x（）.7+0.6x0.3=0.88,

得。（川8尸遜=剪=吆=2

V17P（B）P（B）0.8844

（方法二）記“甲擊中目標(biāo)”為事件A,“乙擊中目標(biāo)”為事件8,“目標(biāo)被擊中”為事件

第9頁(yè)共15頁(yè)

則P(C)=\-P(A)P(B)=l-(l-0.6)x(l-0.7)=0.88.

故在目標(biāo)被擊中的情況下，甲、乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率為啜?=靠故選A.

4.七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正

方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.一個(gè)用七巧板拼成的正方形如圖所示，

若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()

答案:B

解析:不妨設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則最小的兩個(gè)等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為

1,1,加，左上角的等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為企,企,2,兩個(gè)最大的等腰直角三角形

的邊長(zhǎng)為222vl即大正方形的邊長(zhǎng)為2企,所以所求概率

5.己知㈤磷.6827,尸(//-2b<XW〃+2㈤大0.9545.某次全市2()

000人參加的考試，數(shù)學(xué)成績(jī)大致服從正態(tài)分布Ml。。［。。),則本次考試120分以

上的學(xué)生人數(shù)約有()

A.1587B.228C.455D.3173

答案:C

解析:依題意可知〃=1()(),。=10.因?yàn)镻a-2〃vXW〃+2o)乜).9545,

所以尸(80<XW120)^0.9545,

因此本次考試120分以上的學(xué)生約有20000X1~°^545=455(A).

6.某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為P，各成員的支付方式相互獨(dú)立.

設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù),。(X)=2.4,P(X=4)vP(X=6),則

P二()

A.0.7B.0.6

C.0.4D.0.3

答案:B

第10頁(yè)共15頁(yè)

解析:由題意，得D(X)=?p(l-p)=lOp(l-p)=2.4,

???〃(1-p)=().24,由p(X=4)<〃(X=6)知/〃Y1-p)6<%p6(i-〃)4,即〃2>(i-〃)2,

/./?>0.5,

.??p=0.6(其中〃=0.4舍去).

4.2.填空題(本大題共2小題,每小題7分，共14分)

7.一只碗內(nèi)有五個(gè)湯圓，其中兩個(gè)花生餡,三個(gè)黑芝麻餡.某人從碗內(nèi)隨機(jī)取出兩

個(gè),記事件A為“取到的兩個(gè)為同一種餡”，事件B為“取到的兩個(gè)都是黑芝麻餡”,

則P(B\A)=.

答案:?

p2

解析:依題意可得P（AB）=急

C5

「24r2

p(m=鬻，

3

故P(B|4)=—=

7P(A)4

8.甲、乙等5名志愿者被隨機(jī)地分到A,B,C,D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至

少有一名志愿者.設(shè)隨機(jī)變量X為這5名志愿者中參加A崗位服務(wù)的人數(shù)，則X

的均值為.

答案3

4

解析:根據(jù)題意,5名志愿者被隨機(jī)分配到A,B,C,D四個(gè)不同崗位，每個(gè)崗位至少

一人,共有釐A}240（種），而X=l,2,

則P（x=l）=期=&=訪X=2）=強(qiáng)=弛=3

''2402404'72402404

古攵七（X）=lx?+2x1=?.

444

4.3.解答題（本大題共3小題，共44分）

9.（14分）根據(jù)國(guó)家《環(huán)境空氣質(zhì)量》規(guī)定:居民區(qū)中的PM2.5（PM2.5是指大氣中

直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可入肺顆粒物）年平均濃度不得超過(guò)35

微克/立方米,PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過(guò)75微克/立方米.某城市環(huán)保部

門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)

據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

第11頁(yè)共15頁(yè)

組別PM2.5/(微克及方米)頻數(shù)/天頻率

第一組10,15)40.1

第二組[15,30)120.3

第三組[30,45)80.2

第四組[45,60)80.2

第五組[60,75)40.1

第六組[75,90]40.1

(1)寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)(不必寫出計(jì)算過(guò)程)；

(2)求該樣本的平均數(shù),并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮,

判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)?說(shuō)明理由；

⑶將頻率視為概率，監(jiān)測(cè)去年的某2天，記這2天中該居民區(qū)PM2.5的24小時(shí)平

均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為。求E的分布列及均值反②和方差

解:(1)眾數(shù)為22.5微Q立方米，中位數(shù)為37.5微克/立方米.

(2)去年該居民區(qū)PM2.5的年平均濃度為

7.5x0.1+22.5x0.3+37.5xO.2+52.5xO.2+67.5xO.l+82.5xO.l=40.5(微立方米).

V40.5>35,

???去年該居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn),故該居民區(qū)的

環(huán)境需要改進(jìn).

(3)記事件A表示“一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，則

9

P(A)=6

隨機(jī)變量4的可能取值為0,1,2,且B(2,S).

?,?%=&)=e舄)”(1?烹2“伏=0,1,2)和

V*

()12

11881

P

100100100

/.E(c)=Ox—+1x—+2x—=1.8,

100100100

或￡?=〃〃=2*=1.8,

D(^)=np(l-p)=2x^x^=0.18.

第12頁(yè)共15頁(yè)

10.（15分）為了解學(xué)生寒假期間學(xué)習(xí)情況，學(xué)校對(duì)某班男、女學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行

調(diào)查，學(xué)習(xí)時(shí)間按整小時(shí)統(tǒng)計(jì)，調(diào)查結(jié)果繪制成折線圖如下:

人數(shù)

5—..................................................................

4--------------------------------------------------------

3-----------------介-----------------

2—y—1----------------------------------------------------------

].OBIBOBMB0>WBOB?*?**■?B?0*****IB*■0■■?■0?■

o1----M-1------1-------1------1------1----------------?

123456學(xué)習(xí)時(shí)間

女生統(tǒng)計(jì)圖

⑴已知該校有400名學(xué)生，試估計(jì)全校學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)不足4小時(shí)的人數(shù)；

（2）若從學(xué)習(xí)時(shí)間不少于4小時(shí)的學(xué)生中選取4人,設(shè)選取的男生人數(shù)為X,求隨

機(jī)變量X的分布列；

（3）試比較男生學(xué)習(xí)時(shí)間的方差式與女生學(xué)習(xí)時(shí)間的方差登的大小.（只需寫出結(jié)

論）

解：（1）由折線圖可得共抽取了20人，其中男生中學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的有8人,

女生中學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的有4人.

故可估計(jì)全校學(xué)生中每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的人數(shù)為4（X）x-=240.

20

（2）學(xué)習(xí)時(shí)間不少于4小時(shí)的學(xué)生共8人，其中男生人數(shù)為4,

故X的所有可能取值為0,1,2,34

由題意可得

尸2。）老=弟

P（x=l）二萼=芫=總

P（X=2）=卑=-=

7Cf7035

P（x=3）=粵=-=

'47035

第13頁(yè)共15頁(yè)

「41

P(X=4尸薩而

所以隨機(jī)變量X的分右列為

X01234

181881

p

7035353570

均值E(X)=0