《線性代數(shù)》課程標(biāo)準(zhǔn)【課程名稱】線性代數(shù) 【課程編碼】【課程類別】 【適用專業(yè)】理工、經(jīng)管類專業(yè)【授課單位】 【總學(xué)時(shí)】54學(xué)時(shí)【編寫執(zhí)筆人】 【編寫日期】 一、課程定位和課程設(shè)計(jì)1.1課程制定依據(jù)由于線性問題廣泛存在于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，某些非線性問題在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為線性問題，尤其是在計(jì)算機(jī)日益普及的今天，解大型線性方程組、求矩陣的特征值與特征向量等已成為科學(xué)技術(shù)人員經(jīng)常遇到的課題，因此學(xué)習(xí)和掌握線性代數(shù)的理論和方法是掌握現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)以及從事科學(xué)研究的重要基礎(chǔ)和手段，同時(shí)其功能是對(duì)接專業(yè)人才培養(yǎng)目標(biāo)，面向理工科與經(jīng)濟(jì)、管理、工程技術(shù)有關(guān)的工作崗位，通過對(duì)行列式、矩陣、線性方程組、向量與相關(guān)性、特征值與特征向量等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定必備的數(shù)學(xué)知識(shí)與能力基礎(chǔ)。1.2課程性質(zhì)與作用《線性代數(shù)》是高等院校理工、經(jīng)管類各專業(yè)本科學(xué)生必修的重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，是各專業(yè)本科學(xué)生文化素質(zhì)的重要組成部分，使學(xué)生掌握線性代數(shù)的基本概念、基本理論及基本方法,使學(xué)生初步掌握處理線性數(shù)量關(guān)系的基本思想和方法,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用線性代數(shù)方法分析問題和解決實(shí)際問題的能力。作為學(xué)生必修的一門大學(xué)數(shù)學(xué)課程，在培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣、掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、受到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練等方面，具有啟蒙和奠基作用。課程基礎(chǔ)性、理論性強(qiáng)，與相關(guān)課程的學(xué)習(xí)聯(lián)系密切，是全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試統(tǒng)考科目，關(guān)系到學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)。通過該課程的各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)可以逐步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和推理論證能力，養(yǎng)成科學(xué)規(guī)范的表達(dá)方式，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問題的能力。線性代數(shù)在?自然科學(xué)、?社會(huì)科學(xué)及?工程技術(shù)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，對(duì)于提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和邏輯推理能力具有重要意義。1.3課程設(shè)計(jì)思路第一，以《線性代數(shù)》為藍(lán)本，極力用較為通俗的語(yǔ)言闡釋線性代數(shù)的基本理論和思想方法。第二，緊密結(jié)合課程特色和數(shù)學(xué)專業(yè)軟件在課程教學(xué)中的應(yīng)用加以闡述和學(xué)習(xí)。第三，理論和方法相結(jié)合，以強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)理論的應(yīng)用價(jià)值?？傊?，強(qiáng)調(diào)理論和實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的特點(diǎn)，力求在實(shí)際應(yīng)用方面做些有益的探索，也為其他學(xué)科的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。二、課程目標(biāo)本課程在加強(qiáng)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)及其基本技能的同時(shí)，還重視培養(yǎng)學(xué)生的合作、表達(dá)能力。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)達(dá)到以下要求：主動(dòng)探尋并善于抓住線性代數(shù)問題中的背景和本質(zhì)的素養(yǎng)；熟練的用準(zhǔn)確、嚴(yán)格、簡(jiǎn)練的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思想的素養(yǎng)；具有良好的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新精神，合理的提出數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)概念的素養(yǎng)；充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與思維的積極性，注重學(xué)生思維能力的開發(fā)，尤其是創(chuàng)新性思維能力的培養(yǎng)，極大地提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。善于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象和過程進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化和量化，建立數(shù)學(xué)模型的素養(yǎng)。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握（1）理解行列式的基本概念與性質(zhì)，會(huì)計(jì)算行列式；（2）熟練掌握矩陣的各種運(yùn)算方法；（3）會(huì)判別向量組的線性相關(guān)性與線性無(wú)關(guān)性，理解向量組的秩和矩陣的秩的概念及其關(guān)系；（4）掌握線性方程組的解的結(jié)構(gòu)和求解方法；（5）會(huì)求實(shí)方陣的特征值和特征向量，理解方陣可對(duì)角化的條件，掌握方陣對(duì)角化的計(jì)算方法；（6）了解實(shí)二次型概念和正定二次型的判別方法。2.1學(xué)科核心素養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)科育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)與實(shí)踐而逐漸形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)能力主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面。這六個(gè)核心素養(yǎng)貫穿于線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)過程，串聯(lián)線性代數(shù)課程的知識(shí)體系，統(tǒng)領(lǐng)線性代數(shù)課程的教學(xué)目標(biāo)。2.2課程目標(biāo)整門課的三維目標(biāo)知識(shí)與能力：通過線性代數(shù)課程學(xué)習(xí)，能使學(xué)生獲得應(yīng)用科學(xué)中常用的行列式、矩陣、線性方程組等理論及其有關(guān)基本知識(shí)，并具有較熟練的矩陣運(yùn)算能力和刊用矩陣方法解決一些實(shí)際問題的能力，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問題、解決問題的能力以及自學(xué)能力等，為使學(xué)生成為技能型、應(yīng)用型人才奠定基礎(chǔ)。方法與技能：通過對(duì)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生比較系統(tǒng)地掌握線性代數(shù)中所包含的基本概念、基本理論和基本方法，對(duì)求解線性方程組中蘊(yùn)含的思想與方法有較深刻的認(rèn)識(shí)，弄清具體與抽象、特殊與一般、有限與無(wú)限等辯證關(guān)系。情感價(jià)值觀、思政：首先，通過對(duì)本課程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題和愛崗敬業(yè)與團(tuán)隊(duì)合作的基本素質(zhì)。其次，線性代數(shù)能夠把理論知識(shí)與應(yīng)用性較強(qiáng)實(shí)例有機(jī)結(jié)合起來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力并能用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。同時(shí)使學(xué)生對(duì)線性代數(shù)知識(shí)能力有深入的理解，尤其使學(xué)生對(duì)線性代數(shù)知識(shí)與專業(yè)理念與實(shí)際技能之間的聯(lián)系有進(jìn)一步的了解。再次，線性代數(shù)竭力促進(jìn)學(xué)生的潛能開放，培養(yǎng)健康心理品質(zhì)及良好的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，使數(shù)學(xué)應(yīng)用“面向大眾”注重?cái)?shù)學(xué)在社會(huì)實(shí)踐中的實(shí)際效用，采用“問題解決”的數(shù)學(xué)模式:提出問題、分析問題、解決問題。由此完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。最后，線性代數(shù)中有很多符號(hào)、下標(biāo)，不同的符號(hào)及下標(biāo)代表不同的涵義，有助于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)待科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度。三、課程內(nèi)容與教學(xué)要求本課程開設(shè)一個(gè)學(xué)期，共18周，每周3學(xué)時(shí)，共54學(xué)時(shí)。具體安排如下表所示：學(xué)期所用教材課程內(nèi)容學(xué)時(shí)（54）學(xué)周（）第一學(xué)期《線性代數(shù)》第1單元行列式1.1二階、三階行列式171.2排列、逆序數(shù)與對(duì)換11.3n階行列式的定義11.4行列式的性質(zhì)21.5行列式按行（列）展開2第2單元矩陣2.1矩陣的概念及特殊矩陣1102.2矩陣的運(yùn)算22.3逆矩陣22.4克拉默法則12.5分塊矩陣12.6矩陣的初等變化與初等矩陣22.7矩陣的秩1第3單元向量組和向量空間3.1向量組及其線性組合173.2向量組的線性相關(guān)性23.3向量組的秩23.4向量空間2第4單元線性方程組4.1線性方程組的概念284.2線性方程組解的求法24.3線性方程組解的判定24.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)2第5單元相似矩陣與二次型5.1向量的內(nèi)積與正交2145.2n階矩陣的特征值與特征向量25.3相似矩陣25.4對(duì)稱矩陣的對(duì)角化35.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形25.6用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形25.7正定二次型1第6單元線性空間與線性變換6.1線性空間的定義與性質(zhì)166.2維數(shù)、基與坐標(biāo)16.3基變換公式和坐標(biāo)變換公式26.4線性空間的同構(gòu)16.5線性變換1期末復(fù)習(xí)期末復(fù)習(xí)22四、課程實(shí)施4.1教學(xué)條件我校十分注重建設(shè)和完善智慧教學(xué)設(shè)施，如多媒體教室、虛擬實(shí)驗(yàn)室、網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)、網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)庫(kù)等。《線性代數(shù)》課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)是一支職稱結(jié)構(gòu)合理、科研能力和教學(xué)能力過硬、有高度責(zé)任心的隊(duì)伍。團(tuán)隊(duì)以學(xué)科競(jìng)賽為平臺(tái)，通過指導(dǎo)大學(xué)生從事科技創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生的科技創(chuàng)新能力。4.2教學(xué)方法建議本課程遵循“教師引導(dǎo)，學(xué)生為主”的原則，采用講解、多媒體演示、場(chǎng)景模擬法、討論、翻轉(zhuǎn)課堂等多種方法，努力為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更多知識(shí)應(yīng)用的機(jī)會(huì)。講解法：主要用于講授線性代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、專業(yè)知識(shí)等理論性較強(qiáng)的知識(shí)。多媒體演示法：在講解過程中，借助音頻、視頻、圖片等直觀手段來(lái)呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，在激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣和積極性的同時(shí)，不斷提高其知識(shí)儲(chǔ)備能力和綜合文化素質(zhì)。場(chǎng)景模擬法：針對(duì)所教內(nèi)容布置任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生通過情景化的模擬訓(xùn)練來(lái)提升知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用能力和職業(yè)素養(yǎng)。討論法：根據(jù)知識(shí)點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行主題討論，使其在討論中逐步提升交際能力、思辨能力、解決實(shí)際問題的能力等。翻轉(zhuǎn)課堂法：堅(jiān)持學(xué)生的主體地位，鼓勵(lì)學(xué)生在課上對(duì)自己學(xué)到的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分享和講解，并對(duì)其講解進(jìn)行補(bǔ)充和評(píng)價(jià)，不斷完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，加深其對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。教師在教學(xué)過程中，可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況靈活選用教學(xué)方法，因材施教，盡量照顧到每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。4.3教學(xué)評(píng)價(jià)與考核要求課程的教學(xué)評(píng)價(jià)由形成性測(cè)評(píng)（40%）和終結(jié)性測(cè)評(píng)（60%）組成，其考核要求如下：4.3.1形成性測(cè)評(píng)形成性測(cè)評(píng)考核學(xué)生在學(xué)習(xí)本課程過程中的學(xué)習(xí)情況和實(shí)際應(yīng)用能力的發(fā)展情況，包括出勤考核（10%）、課堂參與程度考核（10%）、作業(yè)完成質(zhì)量考核（20%）等。（1）出勤考核本項(xiàng)考核通過課前點(diǎn)名考核學(xué)生的課堂出勤率。遲到15分鐘以內(nèi)每次扣1分，遲到15分鐘以上或無(wú)故缺勤一節(jié)課每次扣2分，該項(xiàng)考核累計(jì)最多扣10分。（2）課堂參與程度考核本項(xiàng)考核主要通過課堂提問和課堂積極發(fā)言來(lái)評(píng)判學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)主動(dòng)性、課堂參與程度，以及學(xué)生的思辨能力、問題解決能力及其對(duì)課堂教學(xué)知識(shí)的掌握情況等。只要學(xué)生能按時(shí)上課聽講，即可獲得5分的基本分。學(xué)生上課發(fā)言一次，即可另外獲得0.5分，課堂發(fā)言最多可得5分。學(xué)生的最后成績(jī)?yōu)椤?+課堂發(fā)言得分”。（3）作業(yè)完成質(zhì)量考核本項(xiàng)考核主要通過學(xué)生作業(yè)來(lái)檢測(cè)其對(duì)教學(xué)主體內(nèi)容的掌握與理解程度、實(shí)際應(yīng)用知識(shí)的能力、自主學(xué)習(xí)能力、信息收集與處理能力等。每次作業(yè)成績(jī)按照相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)而定，學(xué)生作業(yè)質(zhì)量劃分為優(yōu)秀（10分）、良好（8分）、中等（7分）、及格（6分）和不及格（0分）五個(gè)檔次。最后的作業(yè)成績(jī)?yōu)閷W(xué)生作業(yè)完成質(zhì)量成績(jī)的平均數(shù)。4.3.2終結(jié)性測(cè)評(píng)終結(jié)性測(cè)評(píng)主要考核學(xué)生在學(xué)完本課程后所達(dá)到的水平，通過期末考試進(jìn)行考核。期末考試由閉卷筆試（60%）組成，主要評(píng)估學(xué)生對(duì)本門課程基本知識(shí)的掌握情況與綜合運(yùn)用能力。五、課程資源開發(fā)與利用5.1推薦使用教材5.2網(wǎng)絡(luò)資源

《線性代數(shù)》

教案課時(shí)分配表章序課程內(nèi)容課時(shí)備注1行列式72矩陣103向量組和向量空間74線性方程組85相似矩陣和二次型146線性空間和線性變換6期末期末復(fù)習(xí)2合計(jì)54

課題二階、三階行列式課時(shí)1課時(shí)（45min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）掌握二元、三元一次方程組求解、理解二階、三階行列式的定義（2）掌握二階、三階行列式的計(jì)算素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生從二階三階行列式的概念中總結(jié)規(guī)律的能力。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：二階、三階行列式的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：二階、三階行列式的定義、計(jì)算教學(xué)方法例題講解法、問答法、討論法、講授法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過APP或其他學(xué)習(xí)軟件【學(xué)生】完成課前任務(wù)考勤【教師】使用APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到新課預(yù)熱【學(xué)生】自我介紹，與學(xué)生簡(jiǎn)單互動(dòng)，介紹課程內(nèi)容、考核標(biāo)準(zhǔn)等【學(xué)生】聆聽、互動(dòng)互動(dòng)導(dǎo)入【教師】提出問題在初中數(shù)學(xué)中，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過二元一次線性方程組和三元一次線性方程組的求解問題，那么你能說出二元一次方程組的形式和求解方法嗎？【學(xué)生】思考、討論、回答傳授新知【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)，介紹二階行列式一、二階行列式在初中數(shù)學(xué)中，已經(jīng)學(xué)習(xí)過二元一次線性方程組和三元一次線性方程組的求解問題．對(duì)于二元一次線性方程組（1.1.1）其中，為未知量，為系數(shù)，為常數(shù)，可用消元法分別消去，，得當(dāng)時(shí)，有（1.1.2）圖1-1為了便于記憶和計(jì)算，引入記號(hào)表示．由兩行、兩列共4個(gè)元素組成，稱為二階行列式，是線性方程組（1.1.1）的系數(shù)行列式．?dāng)?shù)稱為行列式的元素或元．元素中的i代表該元素所在的行數(shù)，稱為行標(biāo)；j代表該元素所在的列數(shù)，稱為列標(biāo)．圖1-1二階行列式可用對(duì)角線法則來(lái)記憶，如圖1-1所示．在行列式中，將從左上角元素到右下角元素的實(shí)線稱為主對(duì)角線，將從右上角元素到左下角元素的虛線稱為次對(duì)角線．二階行列式的值等于主對(duì)角線上兩個(gè)元素的乘積減去次對(duì)角線上兩個(gè)元素的乘積．根據(jù)二階行列式的定義式，可將式（1.1.2）中的分子分別寫成，其中，表示把D中第i列換成線性方程組（1.1.1）等號(hào)右邊的常數(shù)列所得到的行列式．于是，當(dāng)時(shí)，線性方程組（1.1.1）的解可以表示為．（1.1.3）例1計(jì)算行列式．解．例2已知二階行列式，問：（1）當(dāng)為何值時(shí)，？ （2）當(dāng)為何值時(shí)，？解因?yàn)?，所以?）當(dāng)或時(shí)，；（2）當(dāng)且時(shí)，．例3用二階行列式解線性方程組解由于因此，線性方程組的解為．二、三階行列式對(duì)于三元一次線性方程組（1.1.4）其中，為未知量，為系數(shù)，為常數(shù)，可采用上述類似方法求解．為了方便記憶和計(jì)算，引入記號(hào)．由三行、三列共9個(gè)元素組成，稱為三階行列式．三階行列式是6項(xiàng)的代數(shù)和，每一項(xiàng)都是三個(gè)元素的乘積并適當(dāng)附上正號(hào)或負(fù)號(hào)，而且這三個(gè)元素必須來(lái)自不同的行和不同的列．如圖1-2所示，這6項(xiàng)的代數(shù)和也可用對(duì)角線法則來(lái)記憶：對(duì)從左上角到右下角的實(shí)線上三個(gè)元素的乘積取正號(hào)，對(duì)從右上角到左下角的虛線上三個(gè)元素的乘積取負(fù)號(hào)．圖1-2令，，，，則當(dāng)時(shí)，三元一次線性方程組的解可簡(jiǎn)單地表示成．例4計(jì)算三階行列式．解．例5用三階行列式解線性方程組解由于，，所以．例6當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，？解因?yàn)?，而若要使，則a與b必須同時(shí)等于零，所以當(dāng)且時(shí)，．【教師】比較二階行列式和三階行列式，說一說它們的異同．【學(xué)生】聆聽、思考、回答探索新知【教師】學(xué)習(xí)了二階、三階行列式，那么n階行列式該如何定義？拓展訓(xùn)練【教師】對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，每組4～6人，并選出一名組長(zhǎng)，然后組織學(xué)生以小組為單位，思考下列問題：當(dāng)為何值時(shí)，行列式．【學(xué)生】分組、思考、討論【教師】隨機(jī)邀請(qǐng)學(xué)生，讓其展示小組答案【學(xué)生】闡述、聆聽【教師】總結(jié)學(xué)生的回答課堂小結(jié)【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了二階行列式、三階行列式的定義及其計(jì)算方法。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)作業(yè)布置【教師】布置課后作業(yè)請(qǐng)根據(jù)課堂知識(shí)，完成習(xí)題1.1內(nèi)容。本課作業(yè)布置二維碼老師掃描此碼，即可進(jìn)行線上作業(yè)布置【學(xué)生】完成課后任務(wù)教學(xué)反思

《線性代數(shù)》

教案課時(shí)分配表章序課程內(nèi)容課時(shí)備注1行列式72矩陣103向量組和向量空間74線性方程組85相似矩陣和二次型146線性空間和線性變換6期末期末復(fù)習(xí)2合計(jì)54APP

課題排列、逆序數(shù)與對(duì)換課時(shí)1課時(shí)（45min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）理解排列的概念，掌握逆序數(shù)的求法（2）理解奇偶排列和對(duì)換的概念素質(zhì)目標(biāo)：掌握“舉一反三”的學(xué)習(xí)技巧，鍛煉從一般到抽象的思考能力，提升學(xué)習(xí)的自主性和前瞻性。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：逆序數(shù)的求法教學(xué)難點(diǎn)：排列的概念，逆序數(shù)的求法教學(xué)方法例題講解法、問答法、討論法、講授法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)【學(xué)生】完成課前任務(wù)考勤【教師】使用APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到新課預(yù)熱【學(xué)生】回顧上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，與學(xué)生互動(dòng)簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容【學(xué)生】聆聽、互動(dòng)互動(dòng)導(dǎo)入【教師】提出問題你認(rèn)為什么是排列呢？【學(xué)生】思考、討論、回答傳授新知【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)，介紹排列和逆序數(shù)一、排列與逆序數(shù)用對(duì)角線法則來(lái)計(jì)算二階、三階行列式是可行的，但是對(duì)于四階及更高階的行列式卻不適合．為了計(jì)算四階及更高階的行列式，需要先學(xué)習(xí)排列的知識(shí)．定義1由n個(gè)元素（如自然數(shù)）組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n元排列．例如，1234和3412都是4元排列，52341是5元排列．?dāng)?shù)字由小到大的n元排列稱為n元自然排列．定義2則稱與構(gòu)成一個(gè)逆序．一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記作．對(duì)于任意一個(gè)排列，可以按照以下方法來(lái)求逆序數(shù)．設(shè)是這n個(gè)自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序．先看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為；再看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為；……；最后看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為，則該排列的逆序數(shù)為．其中，稱為元素的逆序數(shù)．容易看出，自然排列的逆序數(shù)為0．定義

3若排列的逆序數(shù)是奇數(shù)，則稱該排列為奇排列；若排列的逆序數(shù)是偶數(shù)，則稱該排列為偶排列．例如，排列3412的逆序數(shù)為4，所以其是偶排列；排列52341的逆序數(shù)為7，所以其是奇排列．例1求下列排列的逆序數(shù)：（1）6372451； （2）．解（1）對(duì)于所給排列6372451：6排在首位，所以其逆序數(shù)為0；3的前面有1個(gè)比它大的數(shù)，所以其逆序數(shù)為1；7的前面沒有比它大的數(shù)，所以其逆序數(shù)為0；2的前面有3個(gè)比它大的數(shù)，所以其逆序數(shù)為3；4的前面有2個(gè)比它大的數(shù)，所以其逆序數(shù)為2；5的前面有2個(gè)比它大的數(shù)，所以其逆序數(shù)為2；1的前面有6個(gè)比它大的數(shù)，所以其逆序數(shù)為6．故該排列的逆序數(shù)為．（2）對(duì)于所給排列：前n個(gè)元素不構(gòu)成逆序；2前面有個(gè)數(shù)比它大，故其逆序數(shù)為；4前面有個(gè)數(shù)比它大，故其逆序數(shù)為；依次下去，前面沒有數(shù)比它大，故其逆序數(shù)為0．將所有元素的逆序數(shù)相加，得該排列的逆序數(shù)為．二、對(duì)換定義4在一個(gè)n元排列中，如果將其中兩個(gè)元素與對(duì)調(diào)位置，其余各元素位置不變，得到另一個(gè)新的n元排列，這樣的變換稱為對(duì)換，記作對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，稱為相鄰對(duì)換．例如，在排列3412中，將4與2對(duì)換，得到新的排列3214．定理1任意一個(gè)排列經(jīng)過一次對(duì)換后，其奇偶性改變．證分兩種情況討論．（1）相鄰對(duì)換．若該排列為，將相鄰兩個(gè)元素i與j做一次對(duì)換，則排列變?yōu)椋@然，對(duì)元素和來(lái)說，并不改變它們的逆序數(shù)．但當(dāng)時(shí)，經(jīng)過i與j的對(duì)換后，排列的逆序數(shù)增加1；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過i與j的對(duì)換后，排列的逆序數(shù)減少1．所以，對(duì)換相鄰兩元素后，排列的奇偶性發(fā)生了改變．（2）一般對(duì)換．設(shè)排列為．將i與j做一次對(duì)換，則排列變?yōu)椋梢钥闯上葘與對(duì)換，再與對(duì)換，……，最后與對(duì)換，即將i與它后面的元素做m次相鄰對(duì)換，變成排列；再將j與它前面的元素做次相鄰對(duì)換而成的．因此，對(duì)換不相鄰的元素i與j（中間有m個(gè)元素），相當(dāng)于做次相鄰對(duì)換．由前面的證明知，排列的奇偶性改變了次，而為奇數(shù)，因此不相鄰的兩元素i，j經(jīng)過對(duì)換后的排列與原排列的奇偶性不同．定理2任一n元排列都可通過一系列對(duì)換變成n元自然排列，且所做對(duì)換次數(shù)的奇偶性與這個(gè)n元排列的奇偶性相同．定理3由個(gè)不同元素組成的n元排列共有n！個(gè)，其中奇、偶排列各占一半，分別有個(gè)．【教師】通過多媒體展示課堂小結(jié)、回顧排列的相關(guān)知識(shí)【學(xué)生】聆聽、思考、回答探索新知【教師】學(xué)習(xí)了二階、三階行列式和排列的定義，n階行列式該如何定義？拓展訓(xùn)練【教師】對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，每組4～6人，并選出一名組長(zhǎng)，然后組織學(xué)生以小組為單位，思考下列問題：你能證明本節(jié)課的定理3嗎？【學(xué)生】分組、思考、討論【教師】隨機(jī)邀請(qǐng)學(xué)生，讓其展示小組答案【學(xué)生】闡述、聆聽【教師】總結(jié)學(xué)生的回答課堂小結(jié)【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了排列的概念，重點(diǎn)要求掌握逆序數(shù)的求法，理解奇偶排列和對(duì)換的概念。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。【學(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)作業(yè)布置【教師】布置課后作業(yè)請(qǐng)根據(jù)課堂知識(shí)，完成習(xí)題1.2內(nèi)容。本課作業(yè)布置二維碼老師掃描此碼，即可進(jìn)行線上作業(yè)布置【學(xué)生】完成課后任務(wù)教學(xué)反思

《線性代數(shù)》

教案課時(shí)分配表章序課程內(nèi)容課時(shí)備注1行列式72矩陣103向量組和向量空間74線性方程組85相似矩陣和二次型146線性空間和線性變換6期末期末復(fù)習(xí)2合計(jì)54APP

課題n階行列式的定義課時(shí)1課時(shí)（45min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）理解n階行列式的定義（2）能夠利用n階行列式的定義計(jì)算素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生從二階三階行列式的概念抽象出n階行列式的能力。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用n階行列式的定義計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：n階行列式的定義教學(xué)方法例題講解法、問答法、討論法、講授法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)【學(xué)生】完成課前任務(wù)考勤【教師】使用APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到新課預(yù)熱【學(xué)生】回顧上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，，與學(xué)生互動(dòng)簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容【學(xué)生】聆聽、互動(dòng)互動(dòng)導(dǎo)入【教師】提出問題你能從二階和三階行列式中發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律呢？【學(xué)生】思考、討論、回答傳授新知【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)，介紹n階行列式的定義為了將二階、三階行列式推廣到n階行列式，可以先找出二階、三階行列式的規(guī)律，然后引出n階行列式的定義．二階與三階行列式的定義式分別為可以看出以下規(guī)律：（1）二階行列式是2！項(xiàng)的代數(shù)和，三階行列式是3！項(xiàng)的代數(shù)和．（2）二階行列式中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列；三階行列式中的每一項(xiàng)都是三個(gè)元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列．（3）每一項(xiàng)的符號(hào)按如下方法確定：這一項(xiàng)中元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列，若元素的列標(biāo)排列為偶排列，則取正號(hào)；若為奇排列，則取負(fù)號(hào)．因此，二階、三階行列式可寫成根據(jù)這些規(guī)律和二階、三階行列式的表示方法，可推出n階行列式的定義．定義1由排成n行n列的個(gè)元素組成的行列式，稱為n階行列式，它是n！項(xiàng)的代數(shù)和，其每一項(xiàng)都是取自不同行和不同列的n個(gè)元素的乘積．各項(xiàng)的符號(hào)按如下方法確定：每一項(xiàng)中元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列，若列標(biāo)的排列為偶排列，則取正號(hào)；若為奇排列，則取負(fù)號(hào)，即（1.3.1）【教師】知識(shí)點(diǎn)撥當(dāng)時(shí)，一階行列式為．當(dāng)時(shí)，這樣定義的二階、三階行列式與前面用對(duì)角線法則定義的是一致的．例1在五階行列式中，這一項(xiàng)應(yīng)取什么符號(hào)？解這一項(xiàng)各元素的行標(biāo)是按自然數(shù)順序排列的，列標(biāo)的排列為23514．因?yàn)?，所以這一項(xiàng)應(yīng)取正號(hào)．例2寫出四階行列式中帶負(fù)號(hào)且包含因子的項(xiàng)．解包含因子的項(xiàng)的一般形式為，按定義，可取2或4，可取4或2，因此包含因子的項(xiàng)只能是或．因?yàn)闉槠鏀?shù)，為偶數(shù)，所以該項(xiàng)只能是．例3計(jì)算行列式．解由n階行列式的定義可知，上述行列式應(yīng)有n！項(xiàng)，其一般項(xiàng)為．但由于D中有許多元素為零，因此只需要求出其中不為零的項(xiàng)．在D中，第n行元素除外，其余均為零，所以只能?。辉诘谛兄?，除和外，其余元素都是零，因而可取，又由于和位于同一列，因此只能?。@樣逐步往上推，可以得出，在展開式中只有一項(xiàng)不等于零．而這項(xiàng)的列標(biāo)所組成的排列的逆序數(shù)，故取正號(hào)．因此，由行列式的定義有．例3中這種主對(duì)角線下側(cè)的元素全為零的行列式稱為上三角形行列式，且上三角形行列式的值等于主對(duì)角線上各元素的乘積．同理，主對(duì)角線上側(cè)的元素全為零的行列式稱為下三角形行列式，且下三角形行列式的值等于主對(duì)角線上各元素的乘積，即．特別地，除主對(duì)角線上的元素外其余元素均為零的行列式稱為對(duì)角行列式，且對(duì)角行列式的值等于主對(duì)角線上各元素的乘積，即．例4計(jì)算行列式．解這個(gè)行列式除項(xiàng)外，其余項(xiàng)均為零，現(xiàn)在來(lái)看這一項(xiàng)的符號(hào)．行標(biāo)的n元排列為自然排列，列標(biāo)的n元排列為，它的逆序數(shù)為，所以．由n階行列式的定義可知，行列式中的每一項(xiàng)都是取自不同行和不同列的n個(gè)元素的乘積，所以可得出：若行列式中有一行（列）的元素全為零，則該行列式等于零．在n階行列式中，為了確定每一項(xiàng)的正負(fù)號(hào)，把n個(gè)元素的行標(biāo)排成自然排列，即．事實(shí)上，由于數(shù)的乘法運(yùn)算是滿足交換律的，因此這n個(gè)元素的位置是可以任意調(diào)換的．一般地，n階行列式的項(xiàng)可以寫成．（1.3.2）其中，是兩個(gè)n元排列，它的符號(hào)由下面的定理來(lái)確定．定理1n階行列式的一般項(xiàng)可以寫成，（1.3.3）其中，都是n元排列．同理，也可以把行列式一般項(xiàng)中元素的列標(biāo)排成自然排列，此時(shí)相應(yīng)行標(biāo)的n元排列為，則行列式的定義又可敘述為．【教師】通過多媒體展示課堂小結(jié)、回顧n階行列式的相關(guān)知識(shí)【學(xué)生】聆聽、思考、回答探索新知【教師】學(xué)習(xí)了n階行列式的定義，是否能解決所有行列式求解的問題？拓展訓(xùn)練【教師】對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，每組4～6人，并選出一名組長(zhǎng)，然后組織學(xué)生以小組為單位，思考下列問題：計(jì)算行列式．【學(xué)生】分組、思考、討論【教師】隨機(jī)邀請(qǐng)學(xué)生，讓其展示小組答案【學(xué)生】闡述、聆聽【教師】總結(jié)學(xué)生的回答課堂小結(jié)【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了n階行列式定義及特殊行列式的計(jì)算。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)作業(yè)布置【教師】布置課后作業(yè)請(qǐng)根據(jù)課堂知識(shí)，完成習(xí)題1.3內(nèi)容。本課作業(yè)布置二維碼老師掃描此碼，即可進(jìn)行線上作業(yè)布置【學(xué)生】完成課后任務(wù)教學(xué)反思

《線性代數(shù)》

教案課時(shí)分配表章序課程內(nèi)容課時(shí)備注1行列式72矩陣103向量組和向量空間74線性方程組85相似矩陣和二次型146線性空間和線性變換6期末期末復(fù)習(xí)2合計(jì)54APP

課題行列式的性質(zhì)課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）掌握行列式的性質(zhì)（2）能夠利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的值素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生刻苦努力，耐心計(jì)算的能力，提升學(xué)生的計(jì)算能力與思維水平。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：行列式的性質(zhì)、利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的值教學(xué)難點(diǎn)：利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的值教學(xué)方法例題講解法、問答法、討論法、講授法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)【學(xué)生】完成課前任務(wù)考勤【教師】使用APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到新課預(yù)熱【學(xué)生】回顧上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，，與學(xué)生互動(dòng)簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容【學(xué)生】聆聽、互動(dòng)互動(dòng)導(dǎo)入【教師】提出問題當(dāng)行列式的階數(shù)較高時(shí)，直接根據(jù)n階行列式的定義計(jì)算值會(huì)很困難．那應(yīng)該如何求解行列式呢？【學(xué)生】思考、討論、回答傳授新知【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)，介紹行列式的性質(zhì)定義1設(shè)有n階行列式，將D的第行依次變?yōu)榈诹?，得到的新行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為，即．顯然，．性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即．證令，則

．該性質(zhì)說明，在行列式中行與列具有相同的地位，即行列式中行具有的性質(zhì)，其列也具有．性質(zhì)2對(duì)換行列式中任意兩行（列），行列式變號(hào)，即．證根據(jù)n階行列式的定義及對(duì)換的性質(zhì)，有．推論若行列式中有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素相同，則行列式的值為零．證由性質(zhì)2可知，對(duì)換相同的兩行（列），有，所以．性質(zhì)3把行列式某一行（列）的所有元素同乘數(shù)k，等于用數(shù)k乘該行列式，即．證用數(shù)k乘行列式D的第i行中所有元素得到行列式，則．由性質(zhì)3可以得到以下推論．推論行列式中某一行（列）所有元素的公因子，可以提到行列式記號(hào)的外面．性質(zhì)4若行列式中有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則該行列式的值為零．性質(zhì)

5若行列式中某一行（列）的元素為兩組數(shù)的和，則該行列式可以分為兩個(gè)行列式之和，且這兩個(gè)行列式除這一行（列）外的其他元素與原行列式的對(duì)應(yīng)元素一樣，即．證根據(jù)n階行列式的定義可得

．性質(zhì)6把行列式某一行（列）的所有元素乘數(shù)k加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，所得行列式的值不變，即．利用上述性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算，基本思路是，利用行列式的性質(zhì)，把行列式化成上三角形行列式或下三角形行列式，從而得到行列式的值．計(jì)算行列式時(shí)，為敘述方便，約定如下記號(hào)：以表示行列式的第i行，以表示行列式的第j列．交換兩行，記作；第i行乘數(shù)k，記作；第i行加上（或減去）第j行的k倍，記作．對(duì)列也有類似記號(hào)．例1計(jì)算行列式．解通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，行列式的第1列與第2列對(duì)應(yīng)元素成比例，所以．例2計(jì)算行列式．解通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，行列式的第2行為第1行與第3行之和，所以．例3計(jì)算行列式．解

．例4計(jì)算行列式．解．【教師】知識(shí)點(diǎn)撥（1）運(yùn)算中一般不能顛倒次序，因?yàn)楹笠淮芜\(yùn)算是作用在前一次運(yùn)算結(jié)果上的．（2）運(yùn)算（將第j行加到第i行上去）與（將第i行加到第j行上去）是有區(qū)別的．（3）算法不是唯一的，如例4的解法二：．例5計(jì)算n階行列式．解行列式D的主對(duì)角線上的元素全為a，其余元素全為b．注意到行列式每一行的元素之和是相同的，因此，將第列都加到第1列上去，然后提出第1列的公因子，可得

．【教師】通過多媒體展示課堂小結(jié)、回顧行列式的性質(zhì)相關(guān)知識(shí)【學(xué)生】聆聽、思考、回答探索新知【教師】行列式的性質(zhì)共有幾條？你能分別說出這些性質(zhì)嗎？拓展訓(xùn)練【教師】對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，每組4～6人，并選出一名組長(zhǎng)，然后組織學(xué)生以小組為單位，思考下列問題：試證明：【學(xué)生】分組、思考、討論【教師】隨機(jī)邀請(qǐng)學(xué)生，讓其展示小組答案【學(xué)生】闡述、聆聽【教師】總結(jié)學(xué)生的回答課堂小結(jié)【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了行列式的性質(zhì)，通過題目給出行列式性質(zhì)的應(yīng)用。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)作業(yè)布置【教師】布置課后作業(yè)請(qǐng)根據(jù)課堂知識(shí)，完成習(xí)題1.4內(nèi)容。本課作業(yè)布置二維碼老師掃描此碼，即可進(jìn)行線上作業(yè)布置【學(xué)生】完成課后任務(wù)教學(xué)反思

《線性代數(shù)》

教案課時(shí)分配表章序課程內(nèi)容課時(shí)備注1行列式72矩陣103向量組和向量空間74線性方程組85相似矩陣和二次型146線性空間和線性變換6期末期末復(fù)習(xí)2合計(jì)54APP

課題行列式按行（列）展開課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）掌握余子式和代數(shù)余子式的定義（2）掌握行列式的展開定理，能夠利用行列式的展開定理計(jì)算行列式的值素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力，提升學(xué)生的計(jì)算能力與思維水平。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：行列式的展開定理、利用行列式的展開定理計(jì)算行列式的值教學(xué)難點(diǎn)：余子式和代數(shù)余子式的定義、行列式的展開定理教學(xué)方法例題講解法、問答法、討論法、講授法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)【學(xué)生】完成課前任務(wù)考勤【教師】使用APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到新課預(yù)熱【學(xué)生】回顧上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，，與學(xué)生互動(dòng)簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容【學(xué)生】聆聽、互動(dòng)互動(dòng)導(dǎo)入【教師】提出問題一般情況下，低階行列式比高階行列式更容易計(jì)算．如何把較高階行列式轉(zhuǎn)化為較低階行列式呢？【學(xué)生】思考、討論、回答傳授新知【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)，介紹行列式的性質(zhì)行列式的計(jì)算，特別是高階行列式的計(jì)算非常復(fù)雜，但如果能將高階行列式用低階行列式表示，就能起到降階的效果，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化．定義1在n階行列式中，劃去元素所在的第i行和第j列，余下的個(gè)元素按原來(lái)的排列組成的階行列式，稱為元素的余子式，記作．在前面加上符號(hào)后，得到，稱它為的代數(shù)余子式，記作，即．例1已知三階行列式，分別求元素，的余子式和代數(shù)余子式．解元素的余子式和代數(shù)余子式分別為．元素的余子式和代數(shù)余子式分別為．引理若在n階行列式D中，第i行元素除外全為0，則該行列式的值等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．證（1）先證的情形，此時(shí)．（2）對(duì)于一般情形，此時(shí)．對(duì)D做如下調(diào)換：將第i行依次與第，，…，1行對(duì)換，再將第j列依次與第，，…，1列對(duì)換，得，其中，等于D中元素的余子式，故．定理1n階行列式D等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即，或．證．該定理稱為行列式的按行（列）展開定理，利用該定理可以進(jìn)行降階運(yùn)算．在計(jì)算行列式時(shí)，直接利用該定理對(duì)行列式進(jìn)行展開并不一定能簡(jiǎn)化運(yùn)算，但當(dāng)行列式中的某一行或某一列中含有較多零時(shí)，應(yīng)用該定理將會(huì)非常簡(jiǎn)便．例如，．定理2設(shè)，是元素的代數(shù)余子式，則有（1）；（2）．定理3（拉普拉斯定理）設(shè)，，，則．分析對(duì)做行運(yùn)算，相當(dāng)于對(duì)D的前k行做相同的行運(yùn)算，且D的后n行不變；對(duì)做列運(yùn)算，相當(dāng)于對(duì)D的后n列做相同的列運(yùn)算，且D的前k列不變．證對(duì)做適當(dāng)?shù)男羞\(yùn)算，可將其化為下三角形行列式；同理，對(duì)做適當(dāng)?shù)牧羞\(yùn)算，可將其化為下三角形行列式．將，分別設(shè)為，故對(duì)D的前k行做上述行運(yùn)算和對(duì)D的后n列做上述列運(yùn)算后，D可化為【教師】知識(shí)點(diǎn)撥通過定理3可知，行列式可進(jìn)行某種分塊運(yùn)算，且關(guān)于塊的運(yùn)算等同于行列式的運(yùn)算．通過前面知識(shí)的學(xué)習(xí)，可將行列式的計(jì)算方法總結(jié)為以下幾種．（1）對(duì)于二階、三階行列式，通常用對(duì)角線法則直接求值．（2）對(duì)于高階行列式，可以利用行列式的性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為上（下）三角形行列式再求值．（3）利用行列式的按行（列）展開定理，可以使行列式的階數(shù)降低，從而簡(jiǎn)化其運(yùn)算過程，特別是當(dāng)行列式中的某行（列）中含有較多零時(shí)．例2求下列行列式：（1）； （2）．解（1）．（2）．例3當(dāng)行列式時(shí)，求x的值．解因?yàn)椋裕?證明范德蒙德（Vandermonde）行列式，其中，記號(hào)“”表示全體同類因子的乘積．證用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立．現(xiàn)假設(shè)階范德蒙德行列式成立，即，則對(duì)于n階行列式，從第n行開始，后一行依次減去前一行的倍，得．按照第1列展開，并提出每列的公因子，則有．上式右端的行列式是階范德蒙德行列式，由歸納法假設(shè)，它等于所有因子的乘積，所以．【教師】通過多媒體展示課堂小結(jié)、回顧行列式的展開相關(guān)知識(shí)【學(xué)生】聆聽、思考、回答探索新知【教師】你能說出計(jì)算行列式的基本方法嗎？拓展訓(xùn)練【教師】對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，每組4～6人，并選出一名組長(zhǎng)，然后組織學(xué)生以小組為單位，思考下列問題：試計(jì)算四階行列式．【學(xué)生】分組、思考、討論【教師】隨機(jī)邀請(qǐng)學(xué)生，讓其展示小組答案【學(xué)生】闡述、聆聽【教師】總結(jié)學(xué)生的回答課堂小結(jié)【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了余子式和代數(shù)余子式、行列式展開定理、以及行列式展開定理的相關(guān)應(yīng)用。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)作業(yè)布置【教師】布置課后作業(yè)請(qǐng)根據(jù)課堂知識(shí)，完成習(xí)題1.5內(nèi)容。本課作業(yè)布置二維碼老師掃描此碼，即可進(jìn)行線上作業(yè)布置【學(xué)生】完成課后任務(wù)教學(xué)反思

《線性代數(shù)》

教案課時(shí)分配表章序課程內(nèi)容課時(shí)備注1行列式72矩陣103向量組和向量空間74線性方程組85相似矩陣和二次型146線性空間和線性變換6期末期末復(fù)習(xí)2合計(jì)54APP

課題矩陣的概念及特殊矩陣課時(shí)1課時(shí)（45min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：掌握矩陣的定義和幾種特殊形式的矩陣素質(zhì)目標(biāo)：（1）培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的思想（2）培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)交流的合作精神，使學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)事物的特殊性和一般性之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生善于探索的思維品質(zhì)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的定義、幾種特殊形式的矩陣教學(xué)難點(diǎn)：矩陣的定義和幾種特殊形式的矩陣教學(xué)方法例題講解法、問答法、討論法、講授法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟考勤【教師】使用APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到新課預(yù)熱【教師】自我介紹，與學(xué)生簡(jiǎn)單互動(dòng)，介紹課程內(nèi)容、考核標(biāo)準(zhǔn)等【學(xué)生】聆聽、互動(dòng)【教師】帶領(lǐng)學(xué)生回憶行列式的定義【學(xué)生】聆聽、記錄、理解互動(dòng)導(dǎo)入【教師】提出以下問題：矩陣是從許多實(shí)際問題中抽象出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，除了應(yīng)用于線性方程組外，還應(yīng)用于一些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中．某省有三個(gè)產(chǎn)地生產(chǎn)煤礦，運(yùn)往甲、乙、丙、丁四個(gè)銷地，調(diào)配方案如表2-1-1所示．表2-1-1調(diào)運(yùn)量表單位：千噸銷地

產(chǎn)地甲乙丙?、?143Ⅱ4121Ⅲ1514表2-1-1中的數(shù)據(jù)可構(gòu)成一個(gè)三行四列的數(shù)表，為了表示它是一個(gè)整體，加一個(gè)括號(hào)將它括起來(lái)，即，這樣的數(shù)表稱為矩陣，矩陣中每一個(gè)數(shù)據(jù)（元素）都表示煤礦從某個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往某個(gè)銷地的噸數(shù)．【學(xué)生】思考、舉手回答【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)傳授新知【教師】通過大家的發(fā)言，引入新的知識(shí)點(diǎn)，講解矩陣的概念一、矩陣的概念定義1由個(gè)數(shù)按給定順序排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣，其中，數(shù)是矩陣第i行第j列的元素，稱為矩陣的元．矩陣可以表示為或，一般用大寫的黑體英文字母表示矩陣．例如，上述矩陣可記作．元素為實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素為復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣．如無(wú)特別聲明，本教材所討論的矩陣都是實(shí)矩陣．【教師】矩陣記號(hào)與行列式記號(hào)有什么區(qū)別？二、特殊矩陣根據(jù)形狀和元素的特殊性，特殊矩陣包括以下幾種．（1）同型矩陣．行數(shù)與列數(shù)分別相等的矩陣稱為同型矩陣，如矩陣．（2.1.1）設(shè)矩陣與矩陣為同型矩陣，若它們的對(duì)應(yīng)元素相等，即，則稱矩陣A與矩陣B相等，記作．在式（2.1.1）中，當(dāng)且僅當(dāng)，，，時(shí)，有．（2）行矩陣（行向量）．只有一行的矩陣稱為行矩陣或行向量，如矩陣．（3）列矩陣（列向量）．只有一列的矩陣稱為列矩陣或列向量，如矩陣．（4）方陣．行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣稱為方陣，如式（2.1.1）中的矩陣A與B，它們都是矩陣，一般稱為二階方陣或二階矩陣；又如矩陣，它的行數(shù)和列數(shù)均為n，稱為n階方陣或n階矩陣，可記作．元素所在的直線稱為方陣的主對(duì)角線．（5）對(duì)角矩陣．不在主對(duì)角線上的元素全為零的n階矩陣稱為對(duì)角矩陣，如矩陣，它為n階對(duì)角矩陣，記作，簡(jiǎn)記作或．（6）數(shù)量矩陣（純量矩陣）．主對(duì)角線上的元素相等，其他元素全為零的n階矩陣稱為數(shù)量矩陣或純量矩陣，如矩陣，它為n階數(shù)量矩陣，記作或．（7）單位矩陣．主對(duì)角線上的元素全為1，其他元素全為零的n階矩陣稱為n階單位矩陣，記作，簡(jiǎn)記作，即．（8）零矩陣．元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或．（9）三角形矩陣．主對(duì)角線以下（上）的元素全為零的n階矩陣稱為上（下）三角形矩陣，如矩陣為n階上三角形矩陣，矩陣為n階下三角形矩陣．【教師】講解矩陣需要注意的地方（1）不同階的單位矩陣是不相等的．（2）不同型的零矩陣是不相等的，如和都是零矩陣，但．【學(xué)生】聆聽、思考、理解、記憶探索新知【教師】提供網(wǎng)絡(luò)，可供學(xué)生查找資料，對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，安排任務(wù)請(qǐng)大家分組收集和矩陣相關(guān)的實(shí)例?！窘處煛坎シ乓曨l（詳見教材）點(diǎn)評(píng)、講解【學(xué)生】聆聽、記錄、思考。拓展訓(xùn)練【教師】講解矩陣在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用【學(xué)生】聆聽、記錄、思考課堂小結(jié)【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了矩陣的定義和幾種特殊的矩陣形式。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)作業(yè)布置【教師】布置課后作業(yè)請(qǐng)根據(jù)課堂知識(shí)，完成習(xí)題2.1內(nèi)容。本課作業(yè)布置二維碼老師掃描此碼，即可進(jìn)行線上作業(yè)布置【學(xué)生】完成課后任務(wù)教學(xué)反思

《線性代數(shù)》

教案課時(shí)分配表章序課程內(nèi)容課時(shí)備注1行列式72矩陣103向量組和向量空間74線性方程組85相似矩陣和二次型146線性空間和線性變換6期末期末復(fù)習(xí)2合計(jì)54APP

課題矩陣的運(yùn)算課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：（1）掌握矩陣的運(yùn)算：矩陣的加法、數(shù)與矩陣的乘法、矩陣的乘法（2）掌握矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算、方陣行列式的計(jì)算和伴隨矩陣素質(zhì)目標(biāo)：（1）培養(yǎng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣（2）通過例題及課堂練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)生虛心的學(xué)習(xí)態(tài)度和細(xì)心的做事習(xí)慣教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的加法、數(shù)與矩陣的乘法、矩陣的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣行列式的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：矩陣的乘法、伴隨矩陣教學(xué)方法例題講解法、問答法、討論法、講授法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟考勤【教師】使用APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到新課預(yù)熱【教師】自我介紹，與學(xué)生簡(jiǎn)單互動(dòng)，介紹課程內(nèi)容、考核標(biāo)準(zhǔn)等【學(xué)生】聆聽、互動(dòng)【教師】帶領(lǐng)學(xué)生回憶矩陣的定義【學(xué)生】聆聽、記錄、理解傳授新知【教師】通過大家的發(fā)言，引入新的知識(shí)點(diǎn)，講解矩陣的加法一、矩陣的加法定義1設(shè)矩陣，都是矩陣，A與B的和記作，規(guī)定．矩陣的加法滿足以下運(yùn)算規(guī)律（設(shè)都是矩陣）：（1）交換律；（2）結(jié)合律．矩陣的全部元素都變號(hào)后得到一個(gè)新矩陣，稱為矩陣A的負(fù)矩陣，記作，顯然有．矩陣的減法由矩陣的加法和負(fù)矩陣的概念定義．減去一個(gè)矩陣等于加上這個(gè)矩陣的負(fù)矩陣，即．也就是說，兩個(gè)同型矩陣相減是兩個(gè)矩陣的對(duì)應(yīng)元素相減．【教師】講解矩陣加法需要注意的地方只有兩個(gè)同型矩陣才可以相加．兩個(gè)同型矩陣相加是把它們的對(duì)應(yīng)元素相加，它們的和矩陣仍是這兩個(gè)矩陣的同型矩陣．例如，若有三階矩陣，，則，且仍是三階矩陣．二、數(shù)與矩陣的乘法定義2數(shù)與矩陣的乘積，記作或，規(guī)定．當(dāng)時(shí)，是矩陣A的負(fù)矩陣．?dāng)?shù)與矩陣的乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)律（設(shè)都是矩陣；都是數(shù)）：（1）；（2）；（3）．【教師】講解矩陣數(shù)乘需要注意的地方數(shù)乘矩陣A是矩陣A中的每一個(gè)元素都乘數(shù)．例1設(shè)矩陣，求．解

．三、矩陣與矩陣的乘法定義3設(shè)矩陣是一個(gè)矩陣，矩陣是一個(gè)矩陣，規(guī)定矩陣A與B的乘積是一個(gè)矩陣，其中，矩陣A與B的乘積記作．【教師】講解矩陣乘法需要注意的地方只有當(dāng)矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)時(shí)，矩陣A與B的乘積AB才有意義．（2）矩陣AB的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)，列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)．（3）矩陣AB的第i行第j列元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和．例2設(shè)，求AB和BA．解．．例3設(shè)，求AB，BA，AC．解，，．由例2與例3可知，矩陣與矩陣的乘法與大家所熟悉的乘法存在根本差別．（1）兩個(gè)矩陣相乘一般不能交換順序，即使在交換后可相乘的情況下，也不能隨便交換順序，即一般．因此，兩個(gè)矩陣相乘時(shí)，AB稱為A左乘B，而BA稱為A右乘B．對(duì)于兩個(gè)n階矩陣，若，則稱矩陣A與B為可交換矩陣．（2）矩陣與矩陣的乘法一般不能隨便消去同一個(gè)非零矩陣，即雖然有，且，但是不能得出．（3）兩個(gè)非零矩陣相乘的結(jié)果可以是零矩陣，即雖然有，但是不能得出或．矩陣與矩陣的乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)律（設(shè)矩陣對(duì)所涉及的運(yùn)算都可行）：（1）結(jié)合律，；（2）左乘分配律，右乘分配律．對(duì)于單位矩陣E，容易驗(yàn)證，或簡(jiǎn)寫成．可見，單位矩陣E在矩陣乘法運(yùn)算中的作用類似于數(shù)1．對(duì)于純量矩陣，有，即純量矩陣與矩陣A的乘積等于數(shù)λ與矩陣A的乘積．當(dāng)A為n階矩陣時(shí)，有，這說明純量矩陣與任何同階矩陣都是可交換的．對(duì)于n階矩陣A，可以根據(jù)矩陣與矩陣的乘法定義n階矩陣的冪，即，其中，k為正整數(shù)．這就是說為k個(gè)A連乘．因?yàn)榫仃嚺c矩陣的乘法滿足結(jié)合律，所以n階矩陣的冪運(yùn)算滿足以下運(yùn)算規(guī)律：，其中，k，l為正整數(shù)．又因?yàn)榫仃嚺c矩陣的乘法不滿足交換律，所以對(duì)于兩個(gè)n階矩陣A與B，一般來(lái)說，．這是因?yàn)?，而．設(shè)都是n階矩陣，則，，因此數(shù)學(xué)中的乘法公式在矩陣中必須謹(jǐn)慎使用．【教師】當(dāng)AB和BA滿足什么條件時(shí)，，？

例4設(shè)

m

次多項(xiàng)式，記，則稱為n階矩陣A的m次多項(xiàng)式．已知，，求．解因?yàn)椋?，即．n個(gè)變量與m個(gè)變量之間的關(guān)系式表示從變量到變量的線性變換，它可用矩陣表示為，簡(jiǎn)記作，其中，．矩陣A是變量的線性變換矩陣．設(shè)有兩個(gè)線性變換和，矩陣A是的線性變換矩陣，矩陣B是的線性變換矩陣，則可得，從而得出矩陣是的線性變換矩陣．例5設(shè)有兩個(gè)線性變換求從變量到變量的線性變換．解由題意可得，．將從變量到變量的線性變換代入從變量到變量的線性變換中去，得．由于，因此得出從變量到變量的線性變換為，即

四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義4設(shè)矩陣，把矩陣A的行換成同序號(hào)的列，得到一個(gè)矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作．例如，矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為．的第j行第i列元素，即．矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿足以下運(yùn)算規(guī)律（設(shè)矩陣對(duì)所涉及的運(yùn)算都可行）：（1）；（2）；（3）；（4）．這里僅證明運(yùn)算規(guī)律（4）．證設(shè)矩陣，，記，．由矩陣與矩陣相乘的定義，得C的第j行第i列元素．而的第i行為，的第j列為，則D的第i行第j列元素．由轉(zhuǎn)置運(yùn)算的定義知，于是，即．定義5設(shè)是n階矩陣，若，則稱A為對(duì)稱矩陣；若，則稱A為反對(duì)稱矩陣．【教師】在反對(duì)稱矩陣中，主對(duì)角線上的元素一定均為零嗎？例如，為對(duì)稱矩陣，為反對(duì)稱矩陣．由定義可知，對(duì)稱矩陣的和、對(duì)稱矩陣與數(shù)的乘積仍為對(duì)稱矩陣；反對(duì)稱矩陣的和、反對(duì)稱矩陣與數(shù)的乘積仍為反對(duì)稱矩陣．

例6設(shè)A為n階反對(duì)稱矩陣，B為n階對(duì)稱矩陣，試證明為對(duì)稱矩陣．證由定義5可知，，，于是，所以為對(duì)稱矩陣．五、n階矩陣的行列式定義6設(shè)A是n階矩陣，由n階矩陣A的元素按原來(lái)的位置構(gòu)成的行列式稱為n階矩陣A的行列式，記作或．n階矩陣的行列式滿足以下運(yùn)算規(guī)律（設(shè)為n階矩陣；是數(shù)）：（1）（行列式性質(zhì)1）；（2）；（3）．對(duì)于運(yùn)算規(guī)律（2），由行列式性質(zhì)可知，若行列式某行（列）有公因子，則可把公因子提到該行列式外面．又根據(jù)定義2可知，等于矩陣A的每個(gè)元素都乘數(shù)，從而的行列式的每一行都有公因子，因而得出運(yùn)算規(guī)律（2）．由運(yùn)算規(guī)律（3）可得，．得，．于是得．但，，即．【學(xué)生】聆聽、思考、理解、記憶探索新知【教師】提供網(wǎng)絡(luò)，可供學(xué)生查找資料，對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，安排任務(wù)請(qǐng)大家分組收集和矩陣運(yùn)算相關(guān)的實(shí)例?！窘處煛坎シ乓曨l（詳見教材）點(diǎn)評(píng)、講解【學(xué)生】聆聽、記錄、思考。拓展訓(xùn)練【教師】講解矩陣運(yùn)算在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用【學(xué)生】聆聽、記錄、思考課堂小結(jié)【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了：矩陣的加法、數(shù)與矩陣的乘法、矩陣的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣行列式的計(jì)算、伴隨矩陣。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)作業(yè)布置【教師】布置課后作業(yè)請(qǐng)根據(jù)課堂知識(shí)，完成習(xí)題2.2內(nèi)容。本課作業(yè)布置二維碼老師掃描此碼，即可進(jìn)行線上作業(yè)布置【學(xué)生】完成課后任務(wù)教學(xué)反思

《線性代數(shù)》

教案課時(shí)分配表章序課程內(nèi)容課時(shí)備注1行列式72矩陣103向量組和向量空間74線性方程組85相似矩陣和二次型146線性空間和線性變換6期末期末復(fù)習(xí)2合計(jì)54APP

課題逆矩陣課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：（1）掌握逆矩陣的定義和性質(zhì)（2）掌握逆矩陣的計(jì)算方法素質(zhì)目標(biāo)：通過教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)觀察、善于思考、勇于創(chuàng)新的科學(xué)素養(yǎng)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：逆矩陣的定義、逆矩陣的性質(zhì)、逆矩陣的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：逆矩陣的定義、逆矩陣的性質(zhì)、逆矩陣的計(jì)算教學(xué)方法例題講解法、問答法、討論法、講授法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟考勤【教師】使用APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到新課預(yù)熱【教師】自我介紹，與學(xué)生簡(jiǎn)單互動(dòng)，介紹課程內(nèi)容、考核標(biāo)準(zhǔn)等【學(xué)生】聆聽、互動(dòng)【教師】帶領(lǐng)學(xué)生回憶矩陣的定義【學(xué)生】聆聽、記錄、理解傳授新知【教師】通過大家的發(fā)言，引入新的知識(shí)點(diǎn)，講解逆矩陣的概念一、逆矩陣的定義2.2

節(jié)定義了矩陣的加法和乘法，那么是否也能定義矩陣的除法呢？答案是否定的，但是可以換個(gè)角度去考慮這個(gè)問題．在代數(shù)運(yùn)算中，若，則有．在矩陣與矩陣的乘法運(yùn)算中，對(duì)于任意n階矩陣A，都有．這里單位矩陣E與數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用非常相似．那么，對(duì)于n階矩陣，是否存在n階矩陣B，使得呢？如果存在這樣的n階矩陣B，那么A要滿足什么條件？如何利用A把B求出來(lái)？為此引入逆矩陣的定義．定義1設(shè)A是n階矩陣，若有一個(gè)n階矩陣B，使得，（2.3.1）則稱B是A的逆矩陣，A稱為可逆矩陣或非奇異矩陣．【教師】講解逆矩陣需要注意的地方當(dāng)時(shí)，A稱為奇異矩陣，否則稱為非奇異矩陣．由定義1可知，可逆矩陣一定是方陣，并且它的逆矩陣亦為同階方陣；定義1中A與B的地位是等同的，所以B也是可逆矩陣，且A是B的逆矩陣．定理1若A是一個(gè)n階可逆矩陣，則它的逆矩陣是唯一的．證假設(shè)矩陣A有兩個(gè)逆矩陣B與C，即．于是，所以矩陣A的逆矩陣是唯一的．用表示A的逆矩陣，則有．下面研究在什么條件下n階矩陣是可逆的，以及如果A可逆，怎樣求．定義2設(shè)，為行列式中元素的代數(shù)余子式，則稱為矩陣A的伴隨矩陣．設(shè)A為n階矩陣，則有．同理，．于是得到n階矩陣A與它的伴隨矩陣之間的重要關(guān)系式．（2.3.2）定理2n階矩陣A可逆的充分必要條件是，且當(dāng)A可逆時(shí)，有．（2.3.3）證必要性．因?yàn)閚階矩陣A可逆，所以存在，且，這樣，因此．充分性．當(dāng)時(shí)，由式（2.3.2）得．于是n階矩陣A可逆，且．定理2不但給出了判斷矩陣可逆的條件，而且提供了一個(gè)求逆矩陣的公式（2.3.3）．它主要用于理論證明、計(jì)算階數(shù)較低的矩陣，以及求一些特殊矩陣的逆矩陣，至于其他求逆矩陣的方法，將在后面介紹．例1設(shè)，求．解因?yàn)?，所以A可逆．又因?yàn)?，，，即，所以．推論設(shè)A與B都是n階矩陣，若，則A，B都可逆，并且，．證因?yàn)?，所以，從而，．由定?可知，存在．，即．同理，．這個(gè)推論指出，對(duì)于n階矩陣A，若存在n階矩陣B，使得，則可逆，且互為逆矩陣．在判斷矩陣是否可逆時(shí)，該推論使用起來(lái)非常方便．例2設(shè)n階矩陣A滿足，證明可逆，并求其逆矩陣．證由，得，即，則

，所以可逆，且．二、逆矩陣的性質(zhì)下面給出可逆矩陣的一些性質(zhì)．性質(zhì)1若A可逆，則可逆，且．證因?yàn)?，由定?的推論可知可逆，且．性質(zhì)2若n階矩陣都可逆，則AB可逆，且．證因?yàn)槎伎赡妫远即嬖冢忠驗(yàn)?，所以由定?的推論可知，AB可逆，且．性質(zhì)2可以推廣到多個(gè)可逆矩陣的情形．設(shè)均為n階可逆矩陣，則也可逆，且．性質(zhì)3若A可逆，則．證因?yàn)?，所以，于是．性質(zhì)4若A可逆，則．證因?yàn)?，所以由定?的推論可知，可逆，且．性質(zhì)5若A可逆，數(shù)，則．性質(zhì)6若A可逆，且，則．性質(zhì)7若A可逆，且，則．最后3個(gè)性質(zhì)的證明略．說明，矩陣與矩陣的乘法可以消去同一個(gè)可逆矩陣．例

3設(shè)為n階可逆矩陣，證明A的伴隨矩陣可逆，且．證因?yàn)榫仃嘇可逆，且，所以．又因?yàn)?，可逆，所以可逆，且．?解矩陣方程，其中．解由，得．因?yàn)?，所以矩陣可逆，則有．【學(xué)生】聆聽、思考、理解、記憶探索新知【教師】提供網(wǎng)絡(luò)，可供學(xué)生查找資料，對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，安排任務(wù)請(qǐng)大家分組收集和逆矩陣相關(guān)的實(shí)例?！窘處煛坎シ乓曨l（詳見教材）點(diǎn)評(píng)、講解【學(xué)生】聆聽、記錄、思考。拓展訓(xùn)練【教師】講解逆矩陣在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用【學(xué)生】聆聽、記錄、思考課堂小結(jié)【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了：逆矩陣的概念與性質(zhì)、逆矩陣的計(jì)算方法。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。【學(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)作業(yè)布置【教師】布置課后作業(yè)請(qǐng)根據(jù)課堂知識(shí)，完成習(xí)題2.3內(nèi)容。本課作業(yè)布置二維碼老師掃描此碼，即可進(jìn)行線上作業(yè)布置【學(xué)生】完成課后任務(wù)教學(xué)反思

《線性代數(shù)》

教案課時(shí)分配表章序課程內(nèi)容課時(shí)備注1行列式72矩陣103向量組和向量空間74線性方程組85相似矩陣和二次型146線性空間和線性變換6期末期末復(fù)習(xí)2合計(jì)54APP

課題克拉默法則課時(shí)1課時(shí)（45min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：掌握克拉默法則及其應(yīng)用素質(zhì)目標(biāo)：通過教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)觀察、善于思考、勇于創(chuàng)新的科學(xué)素養(yǎng)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：克拉默法則及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：克拉默法則及其應(yīng)用教學(xué)方法例題講解法、問答法、討論法、講授法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟考勤【教師】使用APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到新課預(yù)熱【教師】自我介紹，與學(xué)生簡(jiǎn)單互動(dòng)，介紹課程內(nèi)容、考核標(biāo)準(zhǔn)等【學(xué)生】聆聽、互動(dòng)【教師】帶領(lǐng)學(xué)生回憶逆矩陣的定義【學(xué)生】聆聽、記錄、理解傳授新知【教師】通過大家的發(fā)言，引入新的知識(shí)點(diǎn)，講解克拉默法則及其應(yīng)用克拉默法則在1.1節(jié)中，分別利用二階、三階行列式求解了二元一次線性方程組和三元一次線性方程組．本節(jié)主要介紹n元線性方程組的解的公式，即克拉默法則．設(shè)含有n個(gè)未知量和n個(gè)方程的線性方程組為（2.4.1）則該線性方程組的系數(shù)行列式為．定理1（克拉默法則）若n元線性方程組（2.4.1）的系數(shù)行列式，則該線性方程組有唯一解，且（2.4.2）其中，是把系數(shù)行列式D的第j列元素用線性方程組的常數(shù)項(xiàng)替換而得到的n階行列式，即．證先證明式（2.4.2）是線性方程組（2.4.1）的解．將代入第i個(gè)方程的左端，得，將按第j列展開，得，于是，由行列式按行（列）展開定理得所以．這說明式（2.4.2）是線性方程組（2.4.1）的一個(gè)解．再證明式（2.4.2）是線性方程組（2.4.1）的唯一解．設(shè)，，…，是線性方程組（2.4.1）的解，則．（2.4.3）分別用系數(shù)行列式D的第k列元素的代數(shù)余子式乘式（2.4.3）的各項(xiàng)，然后相加，得，，即

．當(dāng)時(shí)，有．這就證明了式（2.4.2）是線性方程組（2.4.1）的唯一解．例1用克拉默法則解線性方程組解線性方程組的系數(shù)行列式為．因?yàn)椋跃€性方程組有唯一解．又因?yàn)樗裕媚婢仃?，可以給出克拉默法則的另一種證法．根據(jù)矩陣與矩陣的乘法，線性方程組（2.4.1）可寫為（2.4.4）其中，為線性方程組的系數(shù)矩陣，，．當(dāng)時(shí)，矩陣A可逆．于是有，即，（2.4.5）即．這樣就得到線性方程組（2.4.1）的解，并且這個(gè)解是唯一的．還可以把上面的方法推廣到一般形式的矩陣方程，如，其中，A，B均為可逆矩陣．上述矩陣方程均有唯一解，分別為．例2解線性方程組解線性方程組的矩陣方程形式為，其中．由于，故A可逆，于是．所以線性方程組的解為，，．【學(xué)生】聆聽、思考、理解、記憶探索新知【教師】提供網(wǎng)絡(luò)，可供學(xué)生查找資料，對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，安排任務(wù)請(qǐng)大家分組收集和克拉默法則相關(guān)的實(shí)例。【教師】播放視頻（詳見教材）點(diǎn)評(píng)、講解【學(xué)生】聆聽、記錄、思考。拓展訓(xùn)練【教師】講解克拉默法則在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用【學(xué)生】聆聽、記錄、思考課堂小結(jié)【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了：克拉默法則及其應(yīng)用。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)作業(yè)布置【教師】布置課后作業(yè)請(qǐng)根據(jù)課堂知識(shí)，完成習(xí)題2.4內(nèi)容。本課作業(yè)布置二維碼老師掃描此碼，即可進(jìn)行線上作業(yè)布置【學(xué)生】完成課后任務(wù)教學(xué)反思

《線性代數(shù)》

教案課時(shí)分配表章序課程內(nèi)容課時(shí)備注1行列式72矩陣103向量組和向量空間74線性方程組85相似矩陣和二次型146線性空間和線性變換6期末期末復(fù)習(xí)2合計(jì)54APP

課題分塊矩陣課時(shí)1課時(shí)（45min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：掌握分塊矩陣的概念、分塊矩陣的運(yùn)算（分塊矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置和分塊對(duì)角矩陣）素質(zhì)目標(biāo)：（1）通過教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)觀察、善于思考、勇于創(chuàng)新的科學(xué)素養(yǎng)（2）通過引導(dǎo)探究，開發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，逐步培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用分類討論等數(shù)學(xué)思想方法思考問題、解決問題的習(xí)慣教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：分塊矩陣的概念、分塊矩陣的運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：分塊矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置和分塊對(duì)角矩陣教學(xué)方法例題講解法、問答法、討論法、講授法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟考勤【教師】使用APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到新課預(yù)熱【教師】自我介紹，與學(xué)生簡(jiǎn)單互動(dòng)，介紹課程內(nèi)容、考核標(biāo)準(zhǔn)等【學(xué)生】聆聽、互動(dòng)【教師】帶領(lǐng)學(xué)生回憶矩陣的定義【學(xué)生】聆聽、記錄、理解傳授新知【教師】通過大家的發(fā)言，引入新的知識(shí)點(diǎn)，講解分塊矩陣一、分塊矩陣的概念定義1用若干條橫線與縱線將矩陣分成若干個(gè)小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣．例如，矩陣，可將其分塊為，令

，則矩陣是矩陣A的分塊矩陣．對(duì)矩陣分塊時(shí)，有兩種重要的分塊法，即按列分塊和按行分塊．設(shè)矩陣．若令，則矩陣A可按列分塊為．若令則矩陣A可按行分塊為．顯然，一個(gè)矩陣的分塊矩陣是不唯一的，這與矩陣的分塊法有關(guān)．因此，在利用分塊矩陣討論具體問題時(shí)，應(yīng)采用適當(dāng)?shù)姆謮K法，使問題能簡(jiǎn)單方便地得到解決．下面介紹分塊矩陣的運(yùn)算，它與矩陣的運(yùn)算基本類似．二、分塊矩陣的運(yùn)算1．分塊矩陣的數(shù)乘將矩陣A分成的分塊矩陣，若為數(shù)，則有．2．分塊矩陣的加法將矩陣A與B按相同的分塊法分別分成的分塊矩陣，于是有．3．分塊矩陣的乘法設(shè)矩陣，，矩陣A第i行的行向量為矩陣B第j列的列向量為．將矩陣A按行分塊，矩陣B按列分塊，則有，則

，設(shè)，其中．例

1設(shè)，試?yán)梅謮K矩陣的乘法計(jì)算AB．解把矩陣A與B分別分成，則．在利用分塊矩陣的乘法計(jì)算AB時(shí)，下面幾種特殊情況需要注意．設(shè)A為矩陣，B為矩陣，將矩陣B按列分塊為，則．若，則，從而，即是矩陣方程的解，也就是說矩陣B的列是矩陣方程的解．4．分塊矩陣的轉(zhuǎn)置將矩陣A分成的分塊矩陣，則A的轉(zhuǎn)置矩陣為．三、分塊對(duì)角矩陣定義2形如的分塊矩陣稱為分塊對(duì)角矩陣（或準(zhǔn)對(duì)角矩陣），簡(jiǎn)記作，其中，為方陣，非對(duì)角線上的子塊都為零矩陣．例如，是分塊對(duì)角矩陣，其中．分塊對(duì)角矩陣具有類似于對(duì)角矩陣的運(yùn)算性質(zhì)．設(shè)n階矩陣A與B采用相同的分塊法，分別得到分塊對(duì)角矩陣，則有下述運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)1．性質(zhì)2，其中為數(shù)．性質(zhì)3．性質(zhì)4，，其中k為正整數(shù)．性質(zhì)5．性質(zhì)6若均可逆，則．例

2設(shè)，求．解對(duì)A進(jìn)行分塊得．因?yàn)?，，所以．例3設(shè)，用矩陣分塊法計(jì)算AB．解對(duì)矩陣分別進(jìn)行分塊得，，則．因?yàn)椋?，所以．?設(shè)，且m階矩陣B和n階矩陣C均可逆，試證明分塊矩陣A可逆，并求．證至第列逐列交換到第2列，……，最后將第列與第m列至第列逐列交換到第m列，共進(jìn)行了mn次列交換，有，所以A可逆．設(shè)．由，得

由可逆，解得，，，，則．由例4可得，當(dāng)均可逆時(shí)，有．該結(jié)論可作為公式使用．注意它與分塊對(duì)角矩陣運(yùn)算性質(zhì)6的區(qū)別．【學(xué)生】聆聽、思考、理解、記憶探索新知【教師】提供網(wǎng)絡(luò)，可供學(xué)生查找資料，對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，安排任務(wù)請(qǐng)大家分組收集和分塊矩陣相關(guān)的實(shí)例?！窘處煛坎シ乓曨l（詳見教材）點(diǎn)評(píng)、講解【學(xué)生】聆聽、記錄、思考。拓展訓(xùn)練【教師】講解分塊矩陣在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用【學(xué)生】聆聽、記錄、思考課堂小結(jié)【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了：分塊矩陣的定義、分塊矩陣的運(yùn)算法則。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)作業(yè)布置【教師】布置課后作業(yè)請(qǐng)根據(jù)課堂知識(shí)，完成習(xí)題2.5內(nèi)容。本課作業(yè)布置二維碼老師掃描此碼，即可進(jìn)行線上作業(yè)布置【學(xué)生】完成課后任務(wù)教學(xué)反思

《線性代數(shù)》

教案課時(shí)分配表章序課程內(nèi)容課時(shí)備注1行列式72矩陣103向量組和向量空間74線性方程組85相似矩陣和二次型146線性空間和線性變換6期末期末復(fù)習(xí)2合計(jì)54APP

課題矩陣的初等變換與初等矩陣課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：（1）掌握矩陣的初等變換、矩陣的等價(jià)和初等矩陣的定義（2）掌握矩陣初等變換的應(yīng)用（求解逆矩陣、求解矩陣方程）素質(zhì)目標(biāo)：通過教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)觀察、善于思考、勇于創(chuàng)新的科學(xué)素養(yǎng)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的初等變換、初等矩陣的定義、矩陣初等變換的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：矩陣的等價(jià)、初等矩陣的定義教學(xué)方法例題講解法、問答法、討論法、講授法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟考勤【教師】使用APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到新課預(yù)熱【教師】自我介紹，與學(xué)生簡(jiǎn)單互動(dòng)，介紹課程內(nèi)容、考核標(biāo)準(zhǔn)等【學(xué)生】聆聽、互動(dòng)【教師】帶領(lǐng)學(xué)生回憶單位矩陣的定義【學(xué)生】聆聽、記錄、理解傳授新知【教師】通過大家的發(fā)言，引入新的知識(shí)點(diǎn)，講解矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換與矩陣的等價(jià)1．矩陣的初等變換與矩陣等價(jià)的概念定義1以下三類對(duì)矩陣的變換稱為矩陣的初等行（列）變換：（1）對(duì)換矩陣的兩行（列）；（2）將矩陣的某一行（列）所有元素乘不為零的數(shù)k；（3）將矩陣的某一行（列）所有元素乘數(shù)k加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．顯然，矩陣的三類初等變換都是可逆的，且其逆變換仍為同類的初等變換．為了方便，用表示對(duì)換矩陣的第i行與第j行，表示對(duì)換矩陣的第i列與第j列；表示將矩陣的第i行所有元素乘不為零的數(shù)k，表示將矩陣的第j列所有元素乘不為零的數(shù)k；表示將矩陣的第j行所有元素乘數(shù)k加到第i行對(duì)應(yīng)的元素上去，表示將矩陣的第j列所有元素乘數(shù)k加到第i列對(duì)應(yīng)的元素上去．定義2若矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B行等價(jià)，記作或．若矩陣A經(jīng)過有限次初等列變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B列等價(jià)，記作或．若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B等價(jià)，記作或．例如，若，則稱矩陣A與B等價(jià)．矩陣的等價(jià)具有以下性質(zhì)：（1）反身性；（2）對(duì)稱性如果，那么；（3）傳遞性如果，，那么．【教師】矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣與B之間的連接符號(hào)不是“=”，而是“”或“～”，為什么？2．矩陣的行階梯形、行最簡(jiǎn)形與標(biāo)準(zhǔn)形利用初等行變換把矩陣化成行階梯形與行最簡(jiǎn)形，是矩陣極為重要的運(yùn)算，而且有著廣泛的應(yīng)用．定義3若矩陣A的非零行的第一個(gè)非零元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增加而嚴(yán)格增加，則稱矩陣A為行階梯形矩陣．若矩陣A是行階梯形矩陣，且其非零行的第一個(gè)非零元素為1，而該元素所在列的其他元素全為0，則稱矩陣A為行最簡(jiǎn)形矩陣．例1下列矩陣哪些是行階梯形矩陣，哪些是行最簡(jiǎn)形矩陣？．解根據(jù)定義3知，矩陣為行階梯形矩陣，矩陣B為行最簡(jiǎn)形矩陣．矩陣D不是行階梯形矩陣．定理1任何非零矩陣經(jīng)過有限次初等行變換都可以化為行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣．

例2設(shè)，對(duì)A做初等行變換，將其化為行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣．解對(duì)A施以初等行變換，則有，所以B為行階梯形矩陣．對(duì)B繼續(xù)施以初等行變換，則有，所以為行最簡(jiǎn)形矩陣．若對(duì)繼續(xù)施以初等列變換，則有．定義4形如的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，其中是r階單位矩陣．由例2得出下述定理．定理2任何非零矩陣經(jīng)過有限次初等變換都可以化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣．二、初等矩陣定義5由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣．由三類初等變換，可得到如下三類初等矩陣．（1）對(duì)換矩陣對(duì)換單位矩陣的第i行（列）與第j行（列）所得到的矩陣．．顯然，，則可逆，且．可以證明．（2）倍乘矩陣將單位矩陣的第i行（列）乘不為零的數(shù)k所得到的矩陣．．顯然，，則可逆，且．可以證明．（3）倍加矩陣將單位矩陣的第j行（或第i列）乘數(shù)k加到第i行（或第j列）上去所得到的矩陣．．顯然，，則可逆，且．可以證明；．由以上討論，得出下述定理．定理3（1）初等矩陣都可逆，且其逆矩陣為同類的初等矩陣；（2）設(shè)A為一個(gè)矩陣，對(duì)A做一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A做一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘一個(gè)相應(yīng)的n階初等矩陣．定理4n階矩陣A可逆的充分必要條件是A可表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積，即，其中，為初等矩陣．證先證充分性．設(shè)，因?yàn)槌醯染仃嚳赡?，有限個(gè)可逆矩陣的乘積仍可逆，所以A可逆．再證必要性．設(shè)n階矩陣A可逆，且A的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為F，由定理3可知，F(xiàn)經(jīng)有限次初等變換可化為A，即有初等矩陣，使．因?yàn)锳可逆，也都可逆，所以標(biāo)準(zhǔn)形矩陣F可逆．假設(shè)中的，則，與F可逆矛盾，因此必有，即，從而．定理5設(shè)A與B為矩陣，則（1）的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P，使得；（2）的充分必要條件是存在n階可逆矩陣Q，使得；（3）的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得．證根據(jù)的定義和初等矩陣的性質(zhì)，有A經(jīng)過有限次初等行變換變成B存在有限個(gè)m階初等矩陣，使得存在m階可逆矩陣P，使得．同理可證（2）和（3）．推論n階矩陣A可逆的充分必要條件是．三、初等矩陣1．求逆矩陣設(shè)n階矩陣A可逆．根據(jù)分塊矩陣的乘法，有．因?yàn)榭赡?，所以由定?得，存在有限個(gè)n階初等矩陣，使得，則．由定理3，得．（2.6.1）設(shè)A為n階可逆矩陣，由式（2.6.1）得到利用初等行變換求逆矩陣的方法，其步驟如下：（1）寫出矩陣；（2）利用初等行變換將化為行最簡(jiǎn)形矩陣；（3）寫出A的逆矩陣．例3設(shè)，求．解因?yàn)?/p>

，所以．定理5表明，若，即A經(jīng)過一系列初等行變換變?yōu)锽，則有可逆矩陣P，使得．下面給出求可逆矩陣的方法：由于，因此，若對(duì)矩陣做初等行變換，則當(dāng)把A化為B時(shí)，E就化為了P，于是就可得到所求的可逆矩陣．例4設(shè)的行最簡(jiǎn)形矩陣為F，求一個(gè)可逆矩陣P，使得．解由于，因此，所以為A的行最簡(jiǎn)形矩陣，使得的可逆矩陣