第三講分式1．使分式eq\f(4,x－2)有意義的x的取值范圍是(C)A．x＞2B．x＜2C．x≠2D．x≥22．分式eq\f(1,3－x)可變形為(D)A．eq\f(1,3＋x)B．－eq\f(1,3＋x)C．eq\f(1,x－3)D．－eq\f(1,x－3)3．(2021·綏化中考)定義一種新的運(yùn)算：如果a≠0，則有a▲b＝a－2＋ab＋|－b|.那么eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))▲2的值是(B)A．－3B．5C．－eq\f(3,4)D．eq\f(3,2)4．化簡(jiǎn)eq\f(x2,x－1)－eq\f(x,x－1)的結(jié)果是(C)A．x＋1B．x－1C．xD．－x5．化簡(jiǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b2,a)))÷eq\f(a－b,a)的結(jié)果是(B)A．a(chǎn)－bB．a(chǎn)＋bC．eq\f(1,a－b)D．eq\f(1,a＋b)6．(2021·貴港桂平市模擬)若分式eq\f(x＋3,x－1)的值為0，則x的值為_(kāi)_－3__．7．(2021·衡陽(yáng)中考)計(jì)算：eq\f(a－1,a)＋eq\f(1,a)＝__1__.8．已知m＋n＝－3，則分式eq\f(m＋n,m)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－m2－n2,m)－2n))的值是____．9．計(jì)算(1＋eq\f(1,x))÷eq\f(x2＋2x＋1,x)的結(jié)果為_(kāi)___．10．當(dāng)a＝3時(shí)，代數(shù)式(eq\f(a2,a－2)－eq\f(1,a－2))÷eq\f(a2－2a＋1,a－2)的值是__2__．11．(2021·北部灣模擬)先化簡(jiǎn)，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,a2＋a)))÷eq\f(a2－1,a2＋2a＋1)，其中a＝3.【解析】原式＝eq\f(a2＋a－a,a2＋a)·eq\f(（a＋1）2,（a＋1）（a－1）)＝eq\f(a2,a（a＋1）)·eq\f(（a＋1）2,（a＋1）（a－1）)＝eq\f(a,a－1)，當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝eq\f(3,3－1)＝eq\f(3,2).12．化簡(jiǎn)(eq\f(x,x－1)－eq\f(1,x2－x))÷eq\f(（x＋1）2,x)，并從－1，0，1，2中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求代數(shù)式的值．【解析】(eq\f(x,x－1)－eq\f(1,x2－x))÷eq\f(（x＋1）2,x)＝eq\f(x2－1,x（x－1）)·eq\f(x,（x＋1）2)＝eq\f(（x＋1）（x－1）,x（x－1）)·eq\f(x,（x＋1）2)＝eq\f(1,x＋1)，由于x≠0，－1，1，所以x＝2，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝eq\f(1,2＋1)＝eq\f(1,3).13．(2021·資陽(yáng)中考)先化簡(jiǎn)，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋2x＋1,x2－1)－\f(1,x－1)))÷eq\f(x2,x－1)，其中x－3＝0.【解析】原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋2x＋1,x2－1)－\f(x＋1,x2－1)))·eq\f(x－1,x2)＝eq\f(x2＋x,x2－1)·eq\f(x－1,x2)＝eq\f(x（x＋1）,（x＋1）（x－1）)·eq\f(x－1,x2)＝eq\f(1,x)，∵x－3＝0，∴x＝3，此時(shí)，原式＝eq\f(1,3).14．若分式eq\f(|x|－1,（x－2）（x＋1）)的值為0，則x等于(D)A．－1B．－1或2C．－1或1D．115．無(wú)論x取什么數(shù)，總有意義的分式是(C)A．eq\f(4x,x3＋1)B．eq\f(x,（x＋1）2)C．eq\f(3x,x2＋1)D．eq\f(x－2,x2)16．若分式eq\f(x2－9,x＋3)的值為零，則x的值為(D)A．x＝±3B．x＝0C．x＝－3D．x＝317．如果把分式eq\f(3xy,4x－3y)中的x和y的值都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，那么分式的值(A)A．?dāng)U大為原來(lái)的3倍B．?dāng)U大為原來(lái)的6倍C．縮小為原來(lái)的12倍D．不變18.計(jì)算eq\f(a2,a－1)－a－1的正確結(jié)果是(B)A．－eq\f(1,a－1)B．eq\f(1,a－1)C．－eq\f(2a－1,a－1)D．eq\f(2a－1,a－1)19．(2021·濟(jì)寧中考)計(jì)算eq\f(a2－4,a)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1－\f(5a－4,a)))的結(jié)果是(A)A．eq\f(a＋2,a－2) B．eq\f(a－2,a＋2)C．eq\f(（a－2）（a＋2）,a) D．eq\f(a＋2,a)20．如果m＋n＝1，那么代數(shù)式(eq\f(2m＋n,m2－mn)＋eq\f(1,m))·(m2－n2)的值為(D)A．－3B．－1C．1D．321．(2021·鄂州中考)已知a1為實(shí)數(shù)，規(guī)定運(yùn)算：a2＝1－eq\f(1,a1)，a3＝1－eq\f(1,a2)，a4＝1－eq\f(1,a3)，a5＝1－eq\f(1,a4)，…，an＝1－eq\f(1,an－1).按上述方法計(jì)算：當(dāng)a1＝3時(shí)，a2021的值等于(D)A．－eq\f(2,3)B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)22．(2021·南充中考)若eq\f(n＋m,n－m)＝3，則eq\f(m2,n2)＋eq\f(n2,m2)＝____．23．已知y≠0，且x2－3xy－4y2＝0.則eq\f(x,y)的值是__4或－1__．24．(2021·貴港港南區(qū)期末)先化簡(jiǎn)，再求值：eq\f(2x,x＋1)－eq\f(2x－4,x2－1)÷eq\f(x－2,x2－2x＋1)，其中x為方程x2－4＝0的根．【解析】原式＝eq\f(2x,x＋1)－eq\f(2（x－2）,（x＋1）（x－1）)·eq\f(（x－1）2,x－2)＝eq\f(2x,x＋1)－eq\f(2（x－1）,x＋1)＝eq\f(2x－2x＋2,x＋1)＝eq\f(2,x＋1)，解方程x2－4＝0得x＝±2，若需分式有意義，必須x不等于2，－1，1，∴x只能為－2，當(dāng)x＝－2時(shí)，原式＝eq\f(2,－2＋1)＝－2.25．先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x＋1)))÷eq\f(x2－1,2x＋2)的值，其中x＝4cos30°－1.【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x＋1)))÷eq\f(x2－1,2x＋2)＝eq\f(x－1,x＋1)·eq\f(2（x＋1）,（x－1）（x＋1）)＝eq\f(2,x＋1)，∵x＝4cos30°－1＝4×eq\f(\r(3),2)－1＝2eq\r(3)－1，∴原式＝eq\f(2,2\r(3)－1＋1)＝eq\f(\r(3),3).【核心素養(yǎng)題】觀(guān)察下面的變形規(guī)律：eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)；eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)；eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)；…解答下面的問(wèn)題：(1)若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想eq\f(1,n（n＋1）)＝________；(2)證明你猜想的結(jié)論；(3)求和：eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,2020×2021).【解析】(1)eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)證明：eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n＋1,n（n＋1）)－eq\f(n,n（n＋1）)＝eq\